高中数学新教材同步必修第一册 第1章集合与常用逻辑用语

Chapter1

第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

第1课时集合的概念

【学习目标】1.通过实例了解集合的含义2理解集合中元素的特征3体会元素与集合的“属

于“关系，记住常用数集的表示符号并会应用.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一元素与集合的概念

1.元素：一般地，把研究对象统称为元素（element）,常用小写的拉丁字母a,b,c…表示.

2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（set）,（简称为集），常用大写拉丁字母A,B,C…

表示.

3.集合相等：指构成两个集合的元素是一样的.

4.集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的.

思考我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？

答案不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准.

知识点二元素与集合的关系

1.属于：如果。是集合A的元素，就说a属于集合A,记作aGA.

2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说，不属于集合4,记作照A.

知识点三常见的数集及表示符号

数集非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

■思考辨析判断正误

1.组成集合的元素一定是数.（X）

2.接近于0的数可以组成集合.（X）

3.分别由元素0,1和1,0组成的两个集合是相等的.（V）

4.一个集合中可以找到两个相同的元素.（X）

题型探究探究重点素养提升

一、对集合的理解

例1(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()

①中国各地的美丽乡村；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家.

A.③④B.②③④C.②③D.②④

答案B

解析①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，

故选B.

(2)下列说法中，正确的有.(填序号)

①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；

②集合M中有3个元素a,h,c,其中a,b,c是AABC的三边长，则△ABC不可能是等腰

三角形；

③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个

集合.

答案②

解析①不正确.book的字母。有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.

②正确.集合“中有3个元素a,b,c,所以m匕，c都不相等，它们构成的三角形三边不

相等，故不可能是等腰三角形.

③不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,123,4,5,6,7,8,9这10

个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关.

反思感悟判断一组对象是否为集合的三依据

(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合.

(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数.

(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序

无关.

二、元素与集合的关系

例2下列关系中正确的个数为()

0V2eQ:②一14N；刨&R；@|-4|ez.

A.IB.2C.3D.4

答案B

解析①：也是无理数，二啦阵Q,故①错误；②一1EN,②正确；③..•兀是实数，.•.TTGR,

故③错误;④；|一4|=4是整数，.F-qGZ,故④正确.

反思感悟判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法：集合中的元素是直接给出的.

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特

征即可.

跟踪训练1给出下列说法：

①R中最小的元素是0；

②若“ez,则一〃Z；

③若“GQ,6GN*,则a+6WQ.

其中正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若“GZ,则一〃也是整数，故一“GZ,

所以②也不正确；只有③正确.

三、元素特性的应用

例3已知集合4含有两个元素”一3和2.-1,若一3GA,试求实数a的值.

解：-3WA,

—3=〃-3或一3—2a—1,

若一3=°-3,

则a=0,

此时集合A中含有两个元素-3,-1,符合题意；

若一3=2。-1,则a=T,

此时集合4中含有两个元素一4,-3,符合题意；

综上所述，a=0或a=-1.

延伸探究

若将“一3GA"换成"adA”，求实数〃的值.

解VaeA,.,.q=a—3或a=2〃-1,

解得4=1,此时集合A中有两个元素一2,1,

符合题意.

故所求a的值为1.

反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤

跟踪训练2己知集合A中含有两个元素。和片,若1GA,则实数〃=,

答案T

解析若1GA,则4=1或.2=1,即。=±[.

当。=1时，a—a2,集合4中有一个元素，

，4#1.

当a=-l时，

集合A中含有两个元素1,-1,符合互异性.

•\a=-1.

随堂演练基础巩固学以致用

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1.下列给出的对象中，能组成集合的是（）

A.一切很大的数

B.好心人

C.漂亮的小女孩

D.方程/-1=0的实数根

答案D

2.下列结论不正确的是（）

A.OGNbSQC.0«QD.8GZ

答案C

解析0是有理数，故OGQ,所以C错误.

3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）

A.梯形B.平行四边形

C.菱形D.矩形

答案A

解析由于db,c,d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等.

4.一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有

________个元素.

答案10

解析由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的

元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素.

5.如果有一集合含有两个元素：x,/-X,则实数x的取值范围是.

答案xW0,2

解析由集合元素的互异性可得f—xWx,解得xW0,2.

-课堂小结

1.知识清单：

（1）元素与集合的概念、元素与集合的关系.

（2）常用数集的表示.

（3）集合中元素的特性及应用.

2.方法归纳：分类讨论.

3.常见误区：忽视集合中元素的互异性.

课时对点练--------注-重--双-基、强-化-落--实

g基础巩固

1.以下各组对象不能组成集合的是（）

A.中国古代四大发明

B.地球上的小河流

C.方程/-7=0的实数解

D.周长为10cm的三角形

答案B

解析因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流,故地球上的小河流不能组成集合.

2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（）

A.3.14B.-5C.1D.巾

答案D

解析由题意知“应为无理数，故“可以为市.

3.有下列说法：

①集合N中最小的数为1；②若一adN,则aGN；③若a^N,b@N,则a+人的最小值为

2；④所有小的正数组成一个集合.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.IC.2D.3

答案A

解析N中最小的数为0,所以①错；由一（一2）GN,而一2EN可知②错；若a6N,beN,

则a+b的最小值为0,所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A.

4.给出下列关系：①1GR；②小GQ；③一3在Z；④一小在N,其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析上是实数，①正确；小是无理数，②错误；一3是整数，③错误；一小是无理数，④

正确.故选B.

5.集合A中有三个元素2,3,4,集合B中有三个元素2,4,6,若且短B,则x等于（）

A.2B.3C.4D.6

答案B

解析集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意.

6.下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；

③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正

确的有.

答案②④

解析因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表

示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确.

7.已知集合A是由0,"尸一3加+2三个元素构成的集合，且2CA,则实数机=.

答案3

解析由题意知，根=2或zn2—3团+2=2,

解得机=2或〃?=0或，*=3,经验证，

当机=0或机=2时，不满足集合中元素的互异性，

当机=3时，满足题意，故加=3.

8.若由“，去1组成的集合与由济，〃+瓦0组成的集合相等，则/。19+/。19的值为

答案T

解析由已知可得

因为两集合相等，所以有彳。

d=i,a+h=l,

b=0,b=0f

所以（舍）或

经检验，a=—\,b=Q,满足条件,

所以/。19+/。19=一]

9.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若adA且求“的值.

解且3aWA,

k<6,

1解得a<2.又aeN,

[3«<6,

.".a=0或1.

10.设xdR,集合A中含有三个元素3,x,/—2x

(1)求元素x应满足的条件；

(2)若一2GA,求实数x的值.

解(1)由集合元素的互异性可得xWB,*—2xWx,且2rW3,解得x#—l,xW0,且xW3.

(2)若一26A,则x=-2或*—lx——2.

由于方程f-2x+2=0无实数解，所以x=-2.

经检验，知》=-2符合互异性.故x=-2.

X综合运用

11.集合A中含有三个元素2,4,6,若“WA,且6—那么a为()

A.2B.2或4C.4D.0

答案B

解析若a=2,则6—2=464；

若〃=4,贝ij6—4=2£A；

若a=6,则6—6=0&A,故选B.

12.已知x,y为非零实数，代数式卷+己+苫的值所组成的集合是例，则下列判断正确的是

内1)1I犯I

()

A.-leAfB.lewC.2eMD.3阵M

答案A

解析①当x,y均为正数时，代数式三+己+器的值为3；②当x,y为一正一负时，代数

内DIIA)I

式三+已+苫的值为—1；③当尤，y均为负数时，代数式已+己+苫的值为一1，所以集合“

囚1)1|冷|闪1)1I犯I

的元素有一1,3,故选A.

13.由层,2—a,4组成一个集合4且集合A中含有3个元素，则实数。的取值可以是()

A.1B.-2C.-1D.2

答案C

解析由题意知。2H4,2—/H2—a,解得qW±2,且aWl,结合选项知C正确，故选

C.

14.已知集合A中的兀素满足x=3&-1,kez,则一1A,-34A.（填"e"

或“阵”）

答案e丘

解析当k=0时，X——1,所以一1GA；令-34=3%—1,得a=—11,所以一34GA.

口拓广探究

15.已知集合M有2个元素x,2—