导数应用测试题

导数应用测试题

1.已知函数/(%)=kx3+3(k-l)x2-k2+l(/c>0)的单调递减区间是(0,4),则k

的值是.

2.函数/(%)=x3-3x2+1在％=处取得极大值.

3.函数/(上)=，+。/+1”工+占在％=1时取得极值，则实数Q=.

4.若函数/(%)=asinx+cos%在％=g处有极值，则实数a等于.

5.函数/(%)=靖一3%+2的单调增区间为.

6.已知函数/(%)=2x2-Inx+1,则/(%)的单调减区间为.

7.已知函数/(x)=ln(x-1)—巴”，则函数/(尤)的图象在(2,-5)处的切线方程为

8.设X=。是函数/(%)=3cosx+sin%的一个极值点，则cos26+sin20=

9.若函数/(%)=Inx+a%在区间(0,1)上单调递增，则实数a的取值范围是.

10.已知函数/(%)=x3+ax2+bx+小在％=1处有极值为10,贝!Jab=.

11.函数/(%)=靖一e%的单调递减区间为.

12.若函数/(%)=%(%-c)2在％=2处有极大值，则常数C=

13.函数/(%)=1/+%2-2a%+1在(0,4)上有极值，则实数。的取值范围是.

14.函数f。)=靖-2%在［l,e］上的最小值为.

15.已知函数f(x)=2N(e)lnx-「则函数/(%)的极大值为

答案和解析

1.解：•••/(%)=kx3+3(fc—l)x2—k2+1,

・•・f'(%)=3kx2+6(/c—l)x=3fcx(x+~j~)-

・•・函数f(x)的单调递减区间是(0,4),—等=4.k=\.

2.解：由题意知/'(%)=3%2—6x=3x(x—2),令/'(%)=0得％=。或%=2,

由/'(%)>0得％<0或%>2,由/'(%)<0得0V%<2.

所以/(%)在久=0处取得极大值.

3.解：•・,/(%)=%3+ax2+Inx+b,/'(%)=3x2+2ax+

又・・・/(%)在％=1时取得极值，，((1)=3+2Q+1=0,a=-2.

4.解：函数/(%)=asinx+cosx,/'(%)=acosx—sinx,

■TT11

由题息可得，％=丁处有极值，则acos§兀一sin§兀=0,

故口=声，经检验，符合题意.故答案为：V3.

5.解：根据题意，/(%)=ex-3x+2,其导数/'(%)=e"-3,

若(0)="-3>0,变形可得峭>3,解可得%>"3,

即函数/(X)的递增区间为(仇3,+8)；故答案为：()3,+8)

6.解：因为/(x)=2x2-Inx+l(x>0),所以「(久)=4%-p

1111

令((%)V0,得4%—7解得一5<%〈鼻.又%>0,所以0<%<刁.

所以/(X)的单调减区间为(0,》.故答案为：(0,》.

7.解：因为/(%)=ln(%-1)--不■，点坐标为(2,—5),可知点在曲线上,

则/'0)=a-品，则((2)=1—1=0,即切线的斜率为0,

又因为过点(2,-5),所以切线方程为y+5=0,故答案为：y+5=0.

1

8.解：((6)=-3sin0+cosd=0,tand=

COS2019

・••cos20+sin20=2cos2。—1+sin20=cos20=

cos20+sin20l+tan2010

故答案为卷.

第2页，共4页

11

9.解：由已知/'(%)=1+a20在(0,1)恒成立，只需a2在(0,1)恒成立，

显然y=—5在(0,1)上是增函数，故—《<—1,所以a2—1.

10.解：f'(x)=3x2+2ax+b,由题意可知：｛；(；；)1］*

即1C得｛广4或｛二［3,

(.a+a+o+1=10,3=-11lb=3.

当a=-3,b=3时，/'(x)=3x2—6x+3=3(x—l)2,

易知在x=1的左右两侧都有/'(%)>0,即函数/Q)在R上是单调递增的，

因此f(久)在x=1处并不存在极值，故｛；二)］］ab=-44.

11,解:函数/(x)=e*-ex,则/''(X)=e*-ex,

令((X)=e*-e<0,解得x<1,所以函数/(%)的单调递减区间为(一8,1).

故答案为：(—°°,1).

12.解：・函数f(尤)=x(x—c)?=x3—2cx2+c2x,它的导数为/''(%)=3x2—4cx+c2,

由题意知，在％=2处的导数值为r(2)=12-8c+c2=0,

c—6,=2,

又函数/(x)=x(x-c)2在％=2处有极大值，故导数值在x=2处左侧为正数，右侧为

负数，

当c=2时，［(X)=3/_8x+4=(3%-2)(%-2),不满足导数值在x=2处左侧为正

数，右侧为负数.

当C=6时，r(x)=3/-24%+36=3(x2—8x+12)=3(x-2)(%-6),满足导数值

在x=2处左侧为正数，右侧为负数.

故c=6.

故答案为6.

13.解:/'(X)=/+2%-2a,.,.该函数的对称轴是：x=-1,

•."(X)在(0,4)上存在极值点，即函数(。)在该区间存在零点，且(0,4)在久=-1的右边，

・J!以二片解得0<a<12,实数a的取值范围为：(0,12).

14.解：=ex-2,•・•XE.・./(%)>0,.•./(%)在［l,e］上单调递增，

,71⑺min=/⑴="2.故答案为c-2.

15.解：fQ)=2e，(e)ln%-J,定义域为(0,+8),则i⑴=空詈_1,

所以1Q)="”一，则八e)=\"(x)=|—；等，/-(x)=21n%-1,

令((%)=0,则％=2c,

当％E(0