高中数学-平面向量的基本定理及坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量基本定理、正交分解及坐标表示》

目标分析

知识与技能

1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表

示为一组基底的线性组合；

2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题(如相交线交成线段比的问题等)。

过程与方法

1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上

的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；

2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定

理所蕴含的转化思想。

情感态度价值观

1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；

2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。

《平面向量基本定理、正交分解及坐标表示》

教材分析

平面向量基本定理是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背

景.其教育价值主要体现在有助于学生体会数学与实际生活的联系，感受数学在解决实际

问题中的作用，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验、领悟数学的创造性和普

遍联系性，有助于学生发展智力，提高运算、推理能力

(1)应了解的内容：共线向量的概念，平面向量的基本定理，用平面向量的数量积处理有

关长度、角度和垂直的问题。应理解的内容：向量的概念，两个向量共线的充要条件，平

面向量坐标的概念。应掌握的内容：向量的几何表示，向量的加法与减法，实数与向量的

积，平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及几何意义，向量垂直的条件,。

(2)注意处理好新旧思维矛盾

学习向量运算与学习数的运算有类似之处：从学习顺序上看，都是先定义运算，再研究运

算性质；从学习内容来看，向量运算具有与数的运算类似的良好性质。当引入向量后，运

算对象扩充了，不仅仅是数的运算了，向量运算是建立在新的运算法则上，向量的运算与

实数的运算不尽相同，向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范

围内不都适用，它有一套自己的运算法则.但很多学生往往完全照搬数的运算法则，而不

注意向量运算法则的特点，因此常常出错。在教学中要注意新旧知识之间的矛盾冲突，及

时让学生加以辨别、总结，利于正确理解向量的实质。例如向量的加法与向量模的加法的

区别，向量的数量积与实数积的区别，在坐标表示中两个向量共线与垂直的充要条件的区

别等等。

（3）注意数学思想方法的渗透

在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法。例如，从帆船在

大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想。通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透

平移变换的思想。由于向量具有两个明显特点一一“形”的特点和“数”的特点，这就使

得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方

程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题。

总之，本节教材内容具有以下几个方面的特点：

1.向量在数学中的地位

向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问

题的重要工具，因此具有很高的教育价值。

2.本节在教学中的地位

平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重

要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空

间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。

3.本节在教学思维方面的培养价值

平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表

达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基

本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。

《平面向量基本定理、正交分解及坐标表示》

学情分析

有利因素

1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和

向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；

2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这

为我们学习向量分解提供了认知准备。

不利因素

1.学生对向量加减法及数乘运算的意义与作用认识不够，可能增加向量用基底表示时的难

度；

2.对于向量加减法及数乘运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量

运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。

3.如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面

向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作

用。

2.3.1平面向量基本定理

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

【教学目标】

1、知识与技能：

(1)理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表

示为一组基底的线性组合；

(2)了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题(如相交线交成线段比的问题等)。

2、过程与方法：

(1)通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上

的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；

(2)通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定

理所蕴含的转化思想。

3、情感态度、价值观：

(1)培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；

(2)与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点】平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向

量的坐标表示.

【教学难点】平面向量基本定理的理解及运用.

【教学过程】

(一)复习引入

1.向量加法与减法有哪几种几何运算法则？

平行四边形法则、三角形法则

2.怎样理解向量的数乘运算?

⑴模：|2a|=|2||a|；

(2)方向：2>0时，之£与£方向相同；2<0时，几£与［方向相反；4=0时，x£=o.

3.平面向量共线定理是什么？

非零向量£与向量B共线等价于存在唯一实数入，使石=47

4.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算•力也可以分解，任何一个大小

不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就

会形成一个新的数学理论.

(-)学习新知

知识点I:平面向量基本定理

探究1：给定平面内任意两个向量a，e2,如何求作向量3a+25和武一2H2?

探究2：在下列两图中，向量砺，丽，玩不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点

M、N,使0庙+0河=。3？

探究3：在上图中，设OA=et,OB=e2,OC^a,则向量加、ON分别与前，e2

的关系如何？从而向量M与七的关系如何？

OM=,oZ=4瓦.1=44+4瓦.

探窕4：若上述向量即，e2,7都为定向量，且询，务不共线，则实数4,4是否存在？

是否唯一？

探究5：根据上述分析，平面内任一向量方都可以由这个平面内两个不共线的向量与，备表

示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？

若3，加是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量少，有且只有一

对实数4,4,使4=4币+获2・

探究6：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量询，J叫做表示这一平面内所有向

量的一组基底.那么：

①作为基底的这两个向量是什么位置关系？

②同一平面内可以作基底的向量有多少组？

③当基底确定后向量的表示是否唯一？

练一练：

下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内

有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量，

其中正确的说法是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

解：

平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所

有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.

综上所述：②③正确.选B.

知识点n：平面向量的正交分解及坐标表示

探究1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量］和5,作OA=a,OB=b,

如图.为了反映这两个向量的位置关系，称NAOB为向量方与5的夹角.你认为向量的夹角

的取值范围应如何约定为宜？

探究2：如果向量万与B的夹角是90°,则称向量万与B垂直，记作互相垂直的两

个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

探究3：在平面直角坐标系中，分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量：、j作为基底，

对于平面内的一个向量占，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得

£=xPkyj.我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作£=(x,y).其中x叫做Z在x

轴上的坐标，y叫做£在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示.那么x、y的几何意义

如何？

探究4：相等向量的坐标必然相等，作向量丽=1,则砺=(x,y),此时点A的坐标

是什么？

练一练：

扑

0

如图，已知向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量占与：的夹角是30°,且同=4,

以向量；、j为基底，如何表示向量万？

思考：如果以图中的0为坐标原点，以向量：、j的方向分别为平面直角坐标系的x轴、y轴

的正方向，那么向量1的坐标是什么？

（三）应用举例

例1：已知向量分02（如图5）,求作向量一2.5q+3e2

作法：

（1）如图，任取一点0,作

>—>►—»

OA-—2.5q,OB=3e,.

（2）作口OACB.

故OC就是求作的向量.

思考：还有其它解法吗？

（因为2.51+31=31-2.51所以利用向量减法运算的三角形法则也可得到）

例2：如图，写出向量万，b,c,，的坐标.

解：

由图可知，a=AA[+AA2~xi+yj,

r.a=（2,3）.

同理,6=-2i+3j=（-2,3）;

c=-2i-3j=（-2,-3）;

d=2i-3j=（2,-3）.

本题小结：

本例要求用基底7、亍表示7、h,c,2,其关键是把7、h、7、Z表示为基底i、

j的线性组合.一种方法是把3正交分解,看Z在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量Z用；、

1表示出来,进而得到向量。的坐标.

另一种方法是把向量Z移到坐标原点，则向量7终点的坐标就是向量£的坐标.同样的

方法，可以得到向量人、c、4的坐标.

例3：如图，在平行四边形ABCD中，A*=M,AD^b,E、M分别是AD、DC的中

点，点厂在8C上，且/，以为基底分别表示向量次和丽

处理方法:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.然后让学

生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同

学给予提示和鼓励.

解：由E、M、F所在位置，有

AM^AD+DM^AD+-DC

2

=ADH—AB=—a+b

22

EF^AF-AE^AB+BF-AE

^AB+-AD--AD=AB--AD

326

-1r

=a-b.

6

一题多解：向量而还有其它解法吗？

本题小结：

用已知向量表示未知向量：

本质：利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

方法：结合图像，从以下角度入手：

(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；

(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些

向量与基向量的关系；

(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用

加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。

拓展延伸：在上题中若改为设府=。，瓯=5,试以为基底分别表示向量而和通

解：

一1—•―•

AD+-AB^AM

由例题的分析可知：（2，在本变式中由赤=5,而=5得:

AB--AD=EF

6

—■1——1-

AD+-AB=aAB=—（2万+12b）

■_，解得_：

AB--AD=hAb^—（12a-6b）

6I13

（四）巩固练习

1.已知向量。=q-26，b=2e1+e2,其中耳、g不共线，则Q+B与c=6q—羽的关

系（）

A.不共线B.共线C.相等D.无法确定

2.已知向量q、与不共线，实数无、y满足（3x-4y）q+（2x-3y）e2=6,+3弓，则x-y

的值等于（）

A.3B,-3C.0,D.2

3.已知6为/^正（2的重心，设A月=G,AC=5,试用万、B表示向量而.

4.是两个不共线的向量，已知丽=3：+2j,CB=i+Aj,d=-2i+j,若

A、B、D三点共线，试求实数；I的值.

（五）本课小结

（I）知识点：

平面向量的基本定理；向量的夹角与垂直的定义；平面向量的正交分解；平面向量的坐标

表示.

（II）数学思想与方法：

待定系数法、归纳与类比、数形结合数学思想、方程的思想

（六）课后作业

1.必做题：课本102页第3题

2.选做题：课本102页第4题

3.课后探究作业：

请同学们课下小组合作探究下列命题正确与否：

对比今天所做的必做题：

录与晟是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数4、4,使得41+&1=0,则

4=4=0.

试证明下面的问题：

［与1是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数、声2,4m2,使得

a]e]+a2e2=b]el+b2e2,则q=4，〃2=82.

(七)板书设计：

课题

例题3：

1、平面向量基本定理(1)

2、向量的夹角(2)

多媒体课件展示影区

3、正交分解

4、向量的坐标

课堂合作探究1、2作图专用纸（格点图）

合作探究1：两个人一组，一名同学在下面格点图中任意画出两个向量,

另一名同学做出西土生?和七里

合作探究2：在下列两图中，向量五！而，无丕共线，能否在直线OA、OB上分别找一点

M、N,^,OM+ON=OC?"

《平面向量基本定理、正交分解及坐标表示》

评测练习

1.已知向量a=q—2e2,b=2et+e2,其中q、e2不共线，则a+B与c=6q—2e2的关

系（）

A.不共线B.共线C.相等D.无法确定

2.已知向量q、e?不共线，实数x、y满足（3x-4y）q+（2¥-3、应=6^+3e2,则x—y

的值等于（）

A.3B.-3C.0.D.2

3.已知6为2^出（2的重心，设A月=①=试用汗、5表示向量店.

4.i,j是两个不共线的向量，已知而=3i+2j,而=：+衍，丽=一2：+j,若

A、B、D三点共线，试求实数4的值.

5.证明下列两个结论：

（1）1与］是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数4、%,使得41+4最=0,则

4=4=o.

（2）［与1是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数叫候2，%12，使得

%%+a2e2=4q+b2e2,贝U%=bva2=b2.

《平面向量基本定理、正交分解及坐标表示》

效果分析

1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理一一平面向量基本定理.教科书

首先通过“思考”：让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表

示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如Xiei+X2e2的向量

表示.

2.教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法，引导

学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分

的题.

3.如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学

生练习为主，教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也

是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法

就越恰当而简捷.

《平面向量基本定理、正交分解及坐标表示》

观评记录

吴老师点评：

贾老师的教学特点如下：

1、教学设计好，教学流程清楚，环节紧凑、流畅，由易到难，层次分明，知识梳理清

晰，既有对集体备课形成的教学案的使用吸收，又有个人的创新、独到之处，注重了基本数

学方法的培养与基本数学思想的渗透，让学生从整体、系统的角度领悟复习要求，从整体上

处理教材内容，从系统上把握要求，整个设计把教学过程变成学生对知识的理解应用过程,

变成了学生自己探索提升的过程，让学生的能力得到了提高。

2、教学定位非常准。上课能与学生的有效沟通，虽说上这节讲评课时间紧，内容和知

识点多，上课舍得把时间给学生去交流思考思路、去讲解解决问题过程;不仅自己板书示范，

还让学生板书解题过程，老师充分放手让学生自己动手，动口，老师只引导点拨，使学生主

动获取知识，在潜移默化中领悟知识，使学生完全成为课堂主人，达到知识学习与能力培养

的统一，说明她善于启发调动学生学习的主动性，有较强的驾驭课堂的能力。

建议：

本节课是概念定理讲授课，是否可以把横向综合性比较强、能力要求比较抽象的题目放

在下节课，再在本节定理理解上再深入点、多花点时间呢。

付老师：

贾老师的课：（1）注重了学生动手操作能力的培养，如动手画一画环节让学生画向量

的和得结论。（2）注重及时总结梳理知识。（3）注重学生推理能力的培养。（4）注重分层指

导和分层作业。（5）注意学生的板演纠正。

刘老师:

贾老师的课：（1）注重学生学习兴趣的培养。（2）注重好习惯的培养，如做笔记的

习惯，回答问题过程严谨叙述的习惯，一题多解的习惯。