高中数学课堂讲义-直线与直线垂直

高中数学课堂讲义一直线与直线垂直

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点异面直线所成的角...................................................1

3.练习........................................................................2

4.探究点一异面直线所成的角................................................3

5.探究点二直线与直线垂直的证明............................................4

6.课堂作业....................................................................6

7.课时作业（二十九）直线与直线垂直...........................................7

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.能从教材实例中了解异面直线所成的角的

从直线与直线位

水概念.（数学抽象）

置关系定义和基本事

平一2.能从实际问题中了解异面直线互相垂直、

实出发，借助长方体，

异面直线所成角的范围.（数学抽象）

通过直观感知，了解

能借助具体的几何体，会求异面直线所成的

空间中直线与直线的水

角，会借助异面直线所成角证明空间中两直线垂

垂直关系.平二

直.（逻辑推理）

2.知识点异面直线所成的角

1.定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。分别作直线〃〃a,

b'//h,把直线屿上所成的角叫做异面直线a与匕所成的角（或夹角）.

2.空间两条直线所成角a的取值范围：0°WaW90°.

3.垂直：如果两条异面直线所成的角是直笛，那么两条异面直线互相垂直,

记作aLb.

［点拨］研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直

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线.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问

题.

3.练习

1.判断正误(正确的打“，错误的打“义”)

(1)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这

条直线垂直.()

(2)异面直线所成的角的大小与点。的位置有关，即点。位置不同时，这一

角的大小也不同.()

(3)若408=110°,则分别和边OA,OB平行的两条异面直线所成的角为

110°.()

(4)与一条直线都垂直的两条直线平行.()

(5)分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.()

答案：(1)V(2)X(3)X(4)X(5)X

2.在长方体ABCD-A而G出中，AB=BC=3，AAi=y[2,则异面直线

AG与BBi所成的角为()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

C[如图，连接AiG,因为所以N4AG为o.

异面直线AG与BBi所成的角.因为tan=人屋之闻。

_________/

(、八)2_|_(、舟24B

幺“一g—》一=小,所以N4ACi=60°,故选C.]

3.在正方体ABCD-48GQ1各个面的对角线中与AQi所成的角为60°的

有()

A.4条B.6条

C.8条D.10条

C[由图可知△AS。和△A3C均是等边三角形，所以AB\,CDi，

AC与A。成60°角.根据平行关系，可知BD,CiD,A\B,4G也与AOi成

60°角，故满足题意的面对角线共有8条，故选C.]

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4.已知正方体ABCO-AiBG。中E,尸分别是边AAi,AB的中点，则异

面直线EE,CG所成的角为.

解析：连接43(图略)，因为E/〃AB,CG//BB1，所以NABBi即为异

面直线ERCG所成的角，所成的角为45°.

答案：45°

课堂探究/素养提升F聚焦兵题剖析•突

4.探究点一异面直线所成的角

例H4如图所示，点A是平面3c。外一点，AD=BC=2,

E,E分别是AB,CO的中点，且EF=@,求异面直线AO与

8C所成的角.

解析：如图，设G是AC的中点，连接EG,

FG.

,:E,F分别是AB,CD的中点,

:.EG〃BC且EG=gBC=]

FG//AD,且FG=|AD=l.

二.NEGR为异面直线AO与BC所成的角.

又EF=y[i,由勾股定理逆定理可得/改7尸=90°,

即异面直线AO与BC所成的角为90。.

方法技巧

1.求异面直线所成的角的步骤

(1)通过作平行线(或利用已知的平行关系)得到相交直线;

(2)将这个角放入某一个三角形中；

(3)在这个三角形中，计算这个角的大小.

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2.作异面直线所成的角的方法

作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

（1）直接平移法（可利用图中已有的平行线）；

（2）中位线平移法；

（3）补形平移法（在已知图形中，补作一个适当的几何体，以便找到平行线）.

[对点训练]

如图所示，在直三棱柱ABC-431cl中，若N84C=90°,AB=AC=AAi，

则异面直线BAi与AG所成的角等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

C[延长C4到。，使得AO=AC,连接3D,4。（图略），则四边形AO4G

为平行四边形，ND4B就是异面直线B4与AG所成的角或其补角.易知△AiOB

为等边三角形，所以ND4]=60°.]

5.探究点二直线与直线垂直的证明

例国"如图，在正方体ABCD-AIiGOi中，例为底面AiBiGDi的中心.求

证：AO\LBD.

证明：如图所示，连接AD\,AB],AOi，

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,：ABCD-A\B\C\D\是正方体,

：.BB\统DD\.

：.四边形BB\D\D是平行四边形，

：.B\D\//BD.

二直线A0\与BiDi所成的角即为直线AOi与8。所成的角.

易证ABi=ADi.又0\为底面征HGDi的中心,

0\为B\D\的中点,：.AO\YB\D\,

：.AO\±BD.

方法技巧

证明空间的两条直线垂直的方法

(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.

(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三

角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.

［对点训练］

如图，在长方体A8CO-4BGQ1中，AiA=AB,E,尸分别是和4。的

中点.

求证：CDiLEF.

证明：取CDi的中点G,连接EG,DG.

是的中点，

J.EG//BC,EG=^BC.

OF是AD的中点,

且AD〃BC,AD=BC,

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J.DF//BC,DF=gBC.

J.EG//DF,EG=DF.

，四边形EFDG是平行四边形.

J.EF//DG.

又二四边形A8B1A1、四边形CQDiG都是正方形，且G为

的中点，

；.DG工CDi,：.CD\VEF.

6.课堂作业

1.如图，在正方体ABCO-A山CiOi中，直线8。与4G的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面但不垂直D.异面且垂直

D[因为正方体的对面平行，所以直线8。与4G异面，连接AC（图略），

则AC〃AiG，AC±BD,所以直线8。与4cl垂直，所以直线8。与4cl异面

且垂直.故选D.]

2.在正方体ABC。-48Goi中，与直线AAi垂直的棱有（）

A.2条B.4条

C.6条D.8条

D[在正方体AG中，与AAi垂直的棱为43，BiCi，C\D\,D\A\,AB,

BC,CD,DA,共8条.故选D.]

3.如图，在四棱锥P-4BCO中，PALAB,底面ABC。是平行四边形，则

必与C0所成的角是.

解析:*/四边形ABCD是平行四边形,

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：.AB//CD.

.♦.N①8是以与CO所成的角.

又：出：.ZB\B=90°.

答案：90°

4.如图，已知正方体A8CD-A1BGO1.

（1）求AiG与BiC所成角的大小；

（2）若E,尸分别为棱AB,AO的中点，求证：AiCilEF.

解析：（1）如图，连接AC,ABx.

由几何体ABCO-A山IGOI是正方体，知四边形A4CC为平行四边形，所

以AC〃4G，

从而AC与所成的角即为4G与所成的角.

由ABi=AC=BC,可知N3C4=60°.

故4G与SC所成的角为60°.

（2）如图，连接8D

易知四边形A4CC为平行四边形，所以AC〃4G，

因为EF为△A3。的中位线，所以EF〃BD.

又ACLBO,所以£7/LAC,所以ACiLEF.

7.课时作业（二十九）直线与直线垂直

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

[A级基础达标]

1.在直三棱柱ABC-A山Ci中，AB1AC,在三棱柱所有的棱中，和AC垂

直且异面的直线有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

B[和AC垂直且异面的直线有和38，故选B.]

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2.在正方体ABC。-4BiCi£>i中，M,N分别为棱A。，的中点，则异

面直线MN与AC所成的角大小为（）

A.30°B.60°

C.75°D.90°

B［如图，连接ADi.

由M,N分别为棱AO,的中点，得MN〃AOI.，NDIAC即为异面直线

MN与AC所成的角.连接DiC,则△ADC为等边三角形，可得，NO|AC=60°,

即异面直线MN与AC所成的角为ND】AC=60°.故选B.］

3.如图，在正四棱柱ABCD-43GD1中，AB=l,若异面直

QAA.

线48与Ad所成角的余弦值为球.则然的值为（）

1Uf\D

5

A.3B.2

3

C.2D.2

A［连接BG，4ci（图略）.CADi〃3Ci,，异面直线48与A£h所成角为

NAiBCi.令AA\=t,贝ijAiB=BC\=y[P+~i.,A\C\=y[2,cosZAiBCi=

（V?TT）2+（^77）2—22件9

2

2（产+1）=2（»+1）=77；.r=9,t=3即AA\=

C.AAI

3..•.存=3.]

4.如图，点尸，Q分别是正方体ABCO-AIBGOI的面对角线AD”8。的

中点，则异面直线P。和所成的角为（）

A.30°B.45°

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C.60°D.90°

C［连接AC,DC

；ABCO-A山iGDi是正方体，Q是8。的中点，

二。是AC的中点，又P是AA的中点，

：.PQ//CD\.

又BG〃AA，二/4。。为异面直线尸。和BC所成的角或其补角.

VAACD,为等边三角形，

：.ZADiC=60°.

即异面直线P。和3G所成的角为60。.]

5.（多选）如图，在四面体A3CO中，截面PQMN是正方形，则在下列说法

中，正确的为（）

A.ACLBD

B.AC〃截面PQMN

C.AC=BD

D.异面直线PM与8。所成的角为45°

ABD「.,截面PQMN是正方形，

S.PQ//MN,QM//PN,

•「MNU平面DAC,Pg平面DAC,

〃平面DAC.

又P0U平面BAC,平面84cA平面DAC=AC.

：.PQ//AC//MN.

「PQU平面PQMN,A8平面PQMN.

：.AC〃截面PQMN,故B正确.

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同理可证，PN//BD//MQ.

'：PN±NM,：.AC±BD,故A正确.

又•.•NPMQ=45°.

...异面直线PM与8D所成的角为45°,

故D正确.AC与BD长度不确定,故选ABD.]

6.如图，正方体ABCO-ABiG。的棱长为1，M为8G的中点，连接48,

OiM,则异面直线A1和所成角的余弦值为.

解析：连接CD\,CM（图略）.由4£>i=BC,可得四边形

为平行四边形，则48〃CQi.

.♦.NCOiM为异面直线43和AM所成角.由题意得，DiM=MC=^,

51c5

力一4_VTb

CDI=V2.在△CMDI中，由余弦定理可得,cosNCDiM=

2X乎X啦-5

...异面直线A山和。所成角的余弦值为华.

答案：千

7.如图，空间四边形ABCO的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,

CO的中点，并且异面直线AC与B。所成的角为90°,则MN等于

解析：如图，取AO的中点P,连接PM,PN,则

AC〃PM，NMPN即异面直线AC与B。所成的角.

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=90°.又•.•PNugAC=4,PM=gBD=3,：.MN=5.

答案：5

8.如图，若正四棱柱ABCD-AiBGU的底面边长为2,高为£

4,则异面直线85与44i所成角的正弦值为,异面直「

线BDi与AD所成角的正弦值是.

解析：因为AAi//DDi，所以NODI即为异面直线BD\».

与A41所成的角.连接BO,在中,

_2^2=近

sinZDDiB=

2#—3

18c即为异面直线BD\与A£＞所成的角（或其补角）.

连接DC，在△OiB。中，•.,正四棱柱ABC。-48clz）1的底面边长为2,高

为4,

:.DiB=2#,BC=2,DiC=24,DiB2=BC2+DiC2.

：.ZD{CB=90°.

故异面直线BDi与AO所成角的正弦值是噜.

答案：半等

9.如图，正方体ABCD-A18QD1，求证：ACLB\D.

证明：如图，连接8。交AC于O,取的中点为E,连接0E.

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：0为8。的中点，

?.OE//DB}.

：.OE与AC所成的角即为与AC所成的角.

连接AE,CE.

•.•易证AE=CE,又。是AC的中点,

：.AC±OE.：.AC±B}D.

10.如图，在棱长为。的正方体ABCD-AiBiGQi中，。是底面ABC。的中

心，E,尸分别为CG,A。的中点，求异面直线OE和F01所成角的余弦值.

因为O为底面A8CO的中心，R为A。的中点，M为。©的中点,

所以OF"MD\,且。尸=MDi,

所以四边形OEQiM是平行四边形，

所以OM〃FD\,且0M=FD\,

所以NM0E是异面直线OE和尸。所成的角或其补角.

连接OC,ME.

因为OM=F7)i尸十刃£)?=+屋=坐a,

ME=y)MC^+C\Er=图=乎a,

OE=y/OC2+CE2=4惇J+固=半