高中数学选修第一册：第2章 25

2.5椭圆及其方程

2.5.1椭圆的标准方程

学习目标核心素养

1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义

解决实际问题.（重点）1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，

2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆培养数学抽象素养.

的标准方程.（重点）2.借助于标准方程的推导过程，提升

3.理解椭圆标准方程的推导过程，并逻辑推理、数学运算素养.

能运用标准方程解决相关问题.（难点）

情境趣味导学情境导学。探新知预习素养感知

畲情境引入•助学助教

“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车

为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”

着陆区进行高精度成像.“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是

以月球为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标准方程.

e新知初探m

1.椭圆的定义

（1）定义：如果为，歹2是平面内的两个定点，。是一个常数，且2a＞尸1"|,

则平面内满足|Pai+|PCI=2a的动点P的轨迹称为椭圆.

（2）相关概念：两个定点二称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离同耳

称为椭圆的焦距.

思考1：椭圆定义中，将“大于|尸声2|"改为“等于回尸2|”或“小于IF1&I”

的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

［提示］2a与匹凡|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

条件结论

动点的轨迹是椭圆

2a>\FiF2\

2a=|尸i&l动点的轨迹是线段入巳

2a<\FiF2\动点不存在，因此轨迹不存在

2.椭圆的标准方程

焦点位置在X轴上在y轴上

eJ1

£士『

标准方程

(a>b>0)(a>b>0)

图形

焦点坐标(土c,0)(0,±c)

a,b,c的关系a2=b2-\-c2

思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？

［提示］a,b的值及焦点所在的位置.

思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？

［提示］把方程化为标准形式，%2,产的分母哪个大，焦点就在相应的轴上.

r初试

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“x”)

(1)平面内与两个定点Fi,后的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.

()

92

(2)椭圆记+女=1的焦点坐标是(±3,0).()

2Q

(3)%+讲=l(aW。)表示焦点在y轴上的椭圆.()

［答案］(1)X(2)X(3)X

［提示］(1)X需2a

⑵义(0,±3).

⑶Xa>6>0时表示焦点在y轴上的椭圆.

2.以下方程表示椭圆的是()

A.x2+y2=lB.2X2+3)；2=6

C.x2—y2=lD.2f—3;/=6

B［只有B符合椭圆的标准方程的形式［可化为了+］

3.以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2,且过点(0,2)的椭圆的标准方程

是()

A.f+^=l

B.f+^=l

c-或沼=1

D..+'=1或、+/

Y2*7

C［若椭圆的焦点在无轴上，则c=l,b=2,得〃=5,此时椭圆方程是5十

292

，=1;若焦点在y轴上，则a=2,c=l,则属=3,此时椭圆方程是^■+；=：!.］

92

4.椭圆方+；=1的左、右焦点R,点P在椭圆上，若|尸£|=4,则|。啊

2［由椭圆的定义知|尸乃|十|尸西|=6,所以|尸外|=6一|PB|=6—4=2.］

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成

、类型求椭圆的标准方程

【例1】根据下列条件，求椭圆的标准方程.

(1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0,—5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为

26.

(2)经过点P。，!),两焦点间的距离为2,焦点在x轴上.

72

(3)过(一3,2)且与］+；=1有相同的焦点.

［解］(1)：椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为：，+胃=l(a>>

>0).

•2〃=26,2c=10,・・Q=13,c=5.

Z72=6z2—<?=144.

27

...所求椭圆的标准方程为：嵩+市=1.

loy144

?2

(2)设椭圆的标准方程为卞+*=l(a>b>0),

,焦点在x轴上，2c=2,.'.a2=b2+l,

9

(3、14

又椭圆经过点尸［1,曲，•••西庐=1,

解之得。2=3,：.cr=4.

92

...椭圆的标准方程为1.

72

(3)由方程g+：=1可知，其焦点的坐标为0),即c=小.

72

设所求椭圆方程为3十方=1(。>6>0),则/=反+5,因为过点(一3,2),代

94

入方程为"2=l(Q>Z?>0),

aci3

解得。2=15(〃2=3舍去),Z?2=io,

72

故椭圆的标准方程为5+言=1.

厂.......规法.......................

利用待定系数法求椭圆的标准方程

(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求〃，乩。的等量关系；(4)求mb

的值，代入所设方程.

提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在无轴上和在y轴上两种情况

讨论，可设椭圆方程为用/十町/二1(加m>0,n>0).

IJ

［跟进训练］

1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在X轴上，且。=4,c=2；

(2)经过点P生；)，Q(0,—£).

［解］(l)ViZ2=16,C2=4,.,.♦=16—4=12,

且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为京+近=1・

?2

(2)法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设标准方程为，+本=l(a>6>0),

1,

1,

0_1

a一予

解得q

廿4

因为a>6>0,所以方程组无解.

②当椭圆的焦点在y轴上时，设标准方程为=l(a>b>0),

、1

。=不

依题意,解得3

2

rX2

所以所求方程为1+-1-

4-5-

法二：设所求椭圆的方程为如^+〃》=1(机>0,”>0,且机W”),

m=5,

依题意得j]解得,

1«=4,

甲=1,

^

-

即

十1

故所求方程为5犷+4广=1,-

4-5

、、类型J2'椭圆的定义及其应用

［探究问题］

1.如何用集合语言描述椭圆的定义？

［提示］P={M\\MFi\+\MF2\=2a,2a>\FiF2\}.

2.如何判断椭圆的焦点位置？

［提示］判断椭圆焦点在哪个轴上就栗判断椭圆标准方程中X2项和V项的

分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.

3.椭圆标准方程中，a,b,c三个量的关系是什么？

［提示］椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点”到两焦点间距离的和的一

半，可借助图形帮助记忆.a,b,c（都是正数）恰是构成一个直角三角形的三条

边，a是斜边，所以a>b,a>c,且/二片+片（如图所示）.

72

【例2】设P是椭圆:+今=1上一点，Fi,B是椭圆的焦点，若/F"

=60°,求的面积.

7525

［解］由椭圆方程知，a2=25,尻=1，♦・・02=7，

c=2?2c=5・

在△PB厂2中，

222

IF1F2I=|PF］I+|PF2|-2|PF1|-|PF2|COS60°,

2

即25=\PF\|+\PF^~\PF}|.\PF2\.①

由椭圆的定义，得10=|PK|+|P又I,

即100=|PRI|2+|PR2F+2『B|.|PB|.②

②一①，得31PBi-|PR2|=75,

所以『人卜|尸夫|=25,

所以SAF1PF2=||PFiI-|PF2|-sin60°=巧叵.

［母题探究］

1.将本例中的“/FIPF2=60。”改为“NHPR2=30。”其余条件不变，求

的面积.

5

275225

［解］由椭圆方程知，a=25,尻=彳，；.c=-j-'.c=2,2c=5.

在△PBB中，

222

IF1F2I=|PF1|+|PF2|-2|PF1MPF2|-COS30°,

即25=|PB|2+|PR2|2一小1PBi①

由椭圆的定义得10=|PFI|+|PF2|,

即100=|尸四|2+|尸巳|2+2|尸乃卜|尸外|.②

②一①，得(2+5)|尸川・|尸4=75,

所以|PRiHP尸21=75(2一小),

175

所以5AFIPF2=I-\PFz\-sin30°=了(2-#).

72

2.将椭圆的方程改为“需+言=1”其余条件不变，求△RPE的面积.

［解］\PFi\+\PF2\=2a=20,又尸1代|=2°=12.

由余弦定理知：(2C)2=|PRF+|PR2|2-2|PBHPR2|-COS60°,

2

即：144=(|PFi|+|PF2|)-3|PFII-\PF2\.

〜256

所以|尸乃卜|尸冏=丁，

164、公

所以SAFiPF2=2lPFi|-\PF2\-sm60°=—

1........规津方法...........................

椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MFi|+也*2|=2。(2。〉下1同)，则点”的

轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点〃到两焦点的距离之和必为2a.

(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因此，解题

过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的

定义求解.

拓展延伸：椭圆中的焦点三角形

椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的APF1F2,称为焦点三角形.解

关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定

理等知识求解.

'类型与椭圆有关的轨迹问题

■fiL_3_________________________________________________

【例3】如图，圆C：(%+1)2+产=25及点A(1,O),Q为圆上一点，AQ的

垂直平分线交CQ于求点M的轨迹方程.

［解］由垂直平分线性质可知|MQ=|AM|,

\CM\+\MA\=\CM\+\MQ\=\CQ\.

：.\CM\+\MA\=5.

...Af点的轨迹为椭圆，其中2a=5,

焦点为C(-1,O),A(1,O),

52521

.\a=2,c=l,/.b2=a2—c2=~^—1=~^.

72

所求轨迹方程为：^+^-=1.

......规律c方法......

求解与椭圆相关的轨迹问题的方法

/方法一

求

判

断

得

轨方法二

曲

轨

迹

线

迹

问

类

方

题方法三

型

程

［跟进训练］

2

2.已知两圆G：(x—4)2+9=169,C2：(X+4)+/=9,动圆在圆G内部

且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.

［解］如图所示，设动圆圆心为M(x,y),半径为r,

由题意动圆M内切于圆G,

A\MCi\=13~r.

圆般外切于圆。2,

/.\MC2\=3+r.

.,.|MCI|+|MC2|=16>|CIC2|=8,

...动圆圆心M的轨迹是以G、。2为焦点的椭圆，

且2a=16,2c=8,

〃="—/=64—16=48,

故所求轨迹方程为总+金=1・

课堂知识夯实课堂小结》提素养双基盲点扫除

二必备素养二］

⑴平面内到两定点F1、尸2的距离之和为常数，即|〃为|+也*2|=

r2a>|FiF2|,轨迹为椭圆

2a\2a=\FiF2\,线段BE

［2。<旧丑］,不存在

(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a,b,c其中的两个量；也可以

用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要

步骤可归纳为“先定位，后定量”.

(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为加>0,