逻辑代数基础课件

逻辑代数基础1.1逻辑变量及其基本运算描述事物状态的逻辑数必因事物状态变化而变化，叫做逻辑变量。例如开关电路中表示开关和灯的逻辑数都是逻辑变量。

1.11逻辑变量

定义：逻辑变量规定:(1)逻辑变量用字母表示；(2)逻辑变量的取值不是1就是0；(3)逻辑变量的值必须经过“定义”才有意义。

(4)逻辑变量有原变量和反变量，它是描述同一事物的两种形式的变量。在任何情况下，原变量和反变量的值互为反数。可以说，只要定义了原变量，同时也就定义了反变量。逻辑常数：描述某一事物的逻辑数保持不变，该逻辑数称为逻辑常数。逻辑常数只能保持为

1

或保持为0。

以开关

S

为例，S

表示原变量，S

表示反变量。1.12逻辑运算

以下是2输入变量真值表，逻辑变量A、B，逻辑函数F0-F15。以该真值表为例，说明逻辑运算的意义。

基本逻辑运算

F1

与运算：与（AND）又称为逻辑乘，它的运算规则是仅当A、B皆为1时输出为1，否则为0。与运算符用“·”表示，逻辑变量和运算符组成算式，称作逻辑函数表达式。

F1=A·B读做

A与B

F7

或运算：或（OR）又称为逻辑加，它的运算规则是A、B皆为0时输出为0，否则为1。或运算符用“+”表示，表达式为

F7=A+B

读做

A或B

基本逻辑运算

F12非运算：称为逻辑非（NOT），非运算的逻辑意义是表示一个变量的反变量。非运算符用“”表示，表达式为

或对任何逻辑变量连续作两次（偶数次）非运算，则变量的值保持不变。

基本逻辑运算F3恒等运算：恒等（IDE），输出等于输入。

F3=A

与运算、或运算、非运算和恒等运算是基本逻辑运算，可以构成各种复杂逻辑运算。

简单组合逻辑运算

F14

与非运算：与非(NAND）运算规则是先与运算后非运算，表达式

F8

或非运算：或非（NOR）运算规则是先或运算后非运算，表达式

简单组合逻辑运算

F6

异或运算：异或（XOR）运算规则是仅当

A、B

不同时，F6=1，否则，F6=0。表达式F9同或运算：同或（NXOR）运算规则是仅当A、B的值相同时，F9=1，否则，F9=0。表达式F9=A⊙B

F6=A⊕B几点说明：

（与运算符可以省略），逻辑意义是仅当四个自变量A、B、C、D

皆为1时，F=0，否则，F=1。逻辑运算不同于算数运算。逻辑运算是一位数的运算，没有进位和借位；

(1)逻辑表达式中变量的取值只有0或1，比算术运算简单；

(2)除“非”运算和“恒等”运算是一个自变量外，其它运算也适合于多个自变量，如四变量与非表达式为(3)几点说明：⑷真值表中没有列出的表达式，也属于组合逻辑运算，读者学习第三章时就清楚了。

⑸以上8种逻辑运算，市场上均有集成电路片出售

基本公式0-1律：A+0=AA+1=1A·1=AA·0=0

重叠律与互补律:

对合律（双重否定）：

A=A基本公式交换律：

结合律：

（A+B）+C=A+（B+C）（A·B）·C=A·（B·C）分配律：

A·B=B·AA+B=B+AA⊙B=B⊙AA⊕B=B⊕AA+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC小结上述七组基本公式中，A，B和C均为逻辑变量，且每一组公式中的两个公式互为“对偶”。即将其中一式中的“+”换成“·

”，“·

”换成“+”，1换0，0换1，便得到与其相应的另一公式。

补充公式吸收律：消除多余变量，化简逻辑函数。摩根定理：常用于逻辑函数化简。

1.2逻辑函数及其基本形式

1.2.1逻辑函数的定义

设某一逻辑网络的输入逻辑变量为A1，A2，……，An，输出逻辑变量为F，如图1.1所示。当A1，A2，……，An的取值确定后，F的值就唯一的被确定下来，则称F是A1，A2，……，An的逻辑函数，记为

A1A2AnF实现F=f（A1，A2，……，An）的逻辑网络图1.1F=f（A1，A2，……，An）

F=f（A1，A2，……，An）1.2.2逻辑函数的表示方法

1.逻辑表达式--逻辑函数的代数表示法；逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、“非”三种运算符所构成的式子，这是一种用公式表示逻辑函数的方法。

表示逻辑函数有如下方法：F=f（A，B）=AB+AB2.真值表--逻辑函数的表格表示法；真值表事由逻辑变量的所有可能取值组合及其对应的逻辑函数值所构成的表格，这是一种用表格表示逻辑函数的方法。

3.卡诺图--逻辑函数的图形表示法；卡诺图是由表示逻辑变量的所有可能组合的小方格所构成的图形。

AB0 101mo

m2m1

m30 101AB二变量卡诺图1.2.3逻辑函数的标准形式

1.最小项及最小项表达式

设有一个二变量的逻辑函数上述的最后一个表达式，该式是由包含所有变量的若干与（积）项之和组成，其中每个与项具有这样的

可以转换为特点：

它包含有该逻辑函数的全部自变量（A，B），且每个自变量在一个与项中以原变量或反变量仅出现一次；①这三个与项称为该逻辑函数的最小项，若逻辑函数的与项全由最小项组成，称该函数为最小项之和式，常称为标准与或式；②④用符号

mI

表示最小项，确定下标i的值：将各最小项变量按一定次序排好后，用1代替其中的原变量，用0代替其中的反变量，这样每个最小项对应的二进制数的等效十进制数为相应的最小项

mI

下标

i的值。例如三变量最小项有：

③对于n

个自变量的逻辑函数来说，最多有2n

个最小项；对于二个自变量的逻辑函数来说，最多有四个最小项，其中：

同理用符号

mi

表示最小项依此为：m0，m1，m2，m3，m4，m5，m6，m7

由此看出在变量的任意一个确定的状态，仅有一个最小项取值为1，如

ABC取值为010时，

任意两个最小项mi

和

mj（I≠j）之积为0，记为

n个变量最小项之和为1，记为其它最小项为0。有使2.最大项及最大项表达式

设有一个三变量的逻辑函数上述表达式是由包含所有变量的若干或（和）项之积组成，其中每个或项具有这样的特点：

①它包含有该逻辑函数的全部自变量（A，B，C），且每个自变量在一个或项中以原变量或反变量仅出现一次；

②这四个或项称为该逻辑函数的最大项，若函数的或项全由最大项组成，称该函数为最大项之积式，常称为标准或与式；

特点：③对于n

个自变量的逻辑函数来说，最多有2n

个最大项；

④用符号

Mi

表示最大项，下标i的值与最小项相反，确定规则是：将各最大项变量按一定次序排好后，用0代替其中的原变量，用1代替其中的反变量，这样每个最大项对应的二进制数的等效十进制数为相应的最大项Mi

下标i的值。例如三变量有八个最大项：

其中同理用符号Mi

表示最大项依此为：M0，M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7

由此看出在变量的任意一个确定的状态，仅有一个最大项取值为0，其余为1。有n

个变量最大项之积为0，记为

任意两个最大项Mi

和

Mj（I≠j）之和为1，记为

F=(A+C)·(A+B)·(A+B+C)=(A+C+BB)·(A+B+CC)·(A+B+C)例1已知函数求取F的最大项表达式的过程如下：F=(A+C)·(A+B)·(A+B+C)=(A+C+B)·(A+C+B)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)=(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)=M0M1M2M3=∏(0,1,2,3)最大项表达式是逻辑函数的另一种标准形式，通常也称为和之积范式，或主合取范式。例2已知函数F=A+ABC由下式可求得F的最大项表达式：F=A+ABC=(A+A)·(A+BC)=1·(A+B)·(A+C)=(A+B+CC)(A+C+BB)=(A+B+C)(A+B+C)(A+C+B)(A+C+B)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=∏(0,1,2)1.2.4逻辑函数三种表示法的关系

1.逻辑表达式与真值表例1：函数F=AB+AC的真值表如右所示：ABC F000 0001 1010 0011 1100 1101 1110 0111 0例2写出下列真值表的逻辑表达式000 0001 1010 0011 1100 1101 0110 0111 0ABC F解：2.逻辑表达式与卡诺图

例1.一个逻辑函数通过最小项表达式转换成相对应的卡诺图。如下例：A01000111ＢＣ

例2.一个逻辑函数通过最大项表达式转换成相对应的卡诺图。上例的逻辑函数表达式。

上述逻辑函数的最大项表达式：Ｆ＝∏(0,1,3,5)A01000111ＢＣ1.3逻辑代数的主要定理及常用公式

1.3.1逻辑代数的主要定理

定理1：德·摩根(DeMorgan)定理

(X1+X2+···+Xn)=X1·X2·····Xn（1）（2）(X1·X2·····Xn)=X1+X2+···+Xn该定理可叙述如下：n个逻辑变量的“或”的“非”等于各逻辑变量的“非”的“与”；n个逻辑变量的“与”的“非”等于各逻辑变量的“非”的“或”。定理2：香农(Shannon)定理

f(X1,X2,···,Xn,0,1,+,·)=f(X1,X2,···,Xn,1,0,·,+)该定理可叙述如下：任何函数的反函数，可通过对该函数的所有变量取反，并将常量1换为0，0换为1，“·”运算换为“+”运算，“+”运算换为“·”运算而得到。定理3：对偶定理对偶函数定义：

设有逻辑函数f（X1,X2,···Xn,0,1,+,·),若把该函数中的“·”运算换为“+”运算，“+”运算换为“·”运算，0换为1，1换为0，而变量保持不便，则所得函数称为原来函数的对偶函数，记为

f（X1,X2,···Xn,0,1,+,·)显然，按此定义必有f′(X1,X2,···Xn,0,1,+,·)=f（X1,X2,···Xn,1,0,·,+)

对偶定理公式：f′(X1,X2,···Xn,1,0,·,+)=f（X1,X2,···Xn,1,0,·,+)1.3.2逻辑代数的常用公式

公式1：

AB+AB=A公式2：A+AB=A公式3：A+AB=A+B公式4：

AB+AC+BC=AB+AC公式5：AB+AB=AB+AB*1.3.3定理及常用公式的应用举例

例.化简逻辑函数Z(A,B,C,D,E,F)=A+AB+AC+BD+ACEF+BE+EDF应用公式2，可消去AB和ACEF项，得Z=A+AC+BD+BE+EDF应用公式3，可消去AC中的A，得Z=A+C+BD+BE+EDF应用公式4，可消去EDF，得Z=A+C+BD+BE1.4逻辑函数的化简

1.4.1逻辑函数最简式的定义

一个与给定函数等效的积之和式中，若同时满足：①该式中的乘积项最少。②该式中的每个乘积项再不能用变量更少的乘积项代替，则此积之和式是给定函数的最简式。

例如，逻辑函数的下列表达式中，式(1.48)是最简式：F(A,B,C)=AB+BC+AC=AB+C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC(1.48)1.4.2代数化简法

运用逻辑代数的基本公式和运算规则对函数式进行等效变换，消除多余项和多余变量，以其获得最简表达式的方法称为代数化简法。代数化简法没有一个成熟的模式可以借鉴，只有多多练习，熟能生巧。

一、"与或"式的化简二、"或与"式的