高中数学思想方法

u榭

函数与方程思想

答案c

[思想方法解读]1.函数与方程思想的含义解析由y=log“(x+l)+l在[0,+8)上递减，得

0<a<1.

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研

又由/(X)在R上单调递减，

究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，

02+(4a-3)-0+3a>/(0)=1，

建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质

则,3—4。、

去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思-^―>034

想方法.

如图所示，在同一坐标系中作出函数)，=反)|和y=2

(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量

-x的图象.

关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解

方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化

问题，使问题获得解决的思想方法.

2.函数与方程思想在解题中的应用

(1)函数与不等式的相互转化，对函数y=/U)，当)>0

时，就化为不等式借助于函数的图象和性质由图象可知，在[0,+8)上，仪x)|=2-x有且仅有

可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等一个解.

式.故在(-8,0)上，|/(x)|=2—x同样有且仅有一个解.

(2)数列的通项与前〃项和是自变量为正整数的函数，当3a>2,

2

用函数的观点去处理数列问题十分重要.即时，由f+Ka—3)x+3a=2—x(其中x<0),得

(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组

『+(4a—2)x+3a-2=0(其中x<0),则J=(4o-2)2

才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理

-4(3a-2)=0,

论.

3

解得或a=l(舍去)；

(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，

经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以12

当1W3“W2,即时,

解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的

由图象可知，符合条件.

关系更加密切.

综上所述，|U哥.故选C.

题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程

根等问题点评函数图象的交点、函数零点、方程的根三者

例1(2016.天津)己知函数/)=之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思

3)x+3a,x<0,想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，

,,、(“>0,且在R上单

[log(x+1)+1,xNO

fl反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化

调递减,且关于x的方程|/U)|=2—x恰有两个不相等为方程根的问题.

的实数解，则。的取值范围是()变式训练1已知定义在R上的函数人x)满足：fix)

/2]「23]ri2]J31ri2、

A-l0*3jB.5W」C-L313jUWD-L3'3)■?+2,xG[0,1),

且加+2)=%),g(x)=

2—x2,xG[—1,0),

2x±5法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解

7+2f则方程7U)=g(x)在区间[—5,1]上的所有实

决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，

根之和为()

需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，

A.-5B.-6C.—7D.-8

使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，

答案

C而待求范围的量为参数.

.2x+52Q+2)+l1,

斛析g(x)-।=―,=2+-,由题意变式训练2已知«r)=log2X,xG[2,16]>对于函数

°x~r23+2x+2

段)值域内的任意实数相，则使x2+>wc+4>2m+4x

知函数7U)的周期为2,则函数於),g(x)在区间[—5,

恒成立的实数x的取值范围为()

1]上的图象如图所示：

A.(-8,-2]B.[2,+8)

C.(-8,-2]U[2,+°°)D.(-8,-

2)U(2,+8)

答案D

解析16],.\/(x)=log>4],

即m^[[,4].

不等式x2+nvc+4>2m+4x恒成立，

由图象知於)、g(“)有三个交点，故方程yu)=g。)

即为07(x—2)+(x—2)2>0恒成立，

X/4XQ

2

在x£[—5,1]上有三个根心、加、xc9切=—3,-2~设g(m)=(x—2)m+(x—2),

则此函数在口,4]上恒大于0,

=-2,XA+KC=14,

2

.•・以+用+江=-7.k(l)>0,(x-2+(x-2)>0,

所以即,,

[g(4)>0,[4(x-2)+(x-2)2>0,

题型二函数与方程思想在不等式中的应用

例2定义域为R的可导函数y=/U)的导函数为解得x<—2或x>2.

题型三函数与方程思想在数列中的应用

/(X),满足>U)W(X)，且式0)=1，则不等式等<1

例3已知数列｛如｝是首项为2,各项均为正数的等

的解集为()

差数列，。2,G，如+1成等比数列，设d=?一+甘一

A.(-8,0)B.(o,+8)c.(—8,2)D.(2,+

°°)H----1"甘■(其中S”是数列｛〃〃｝的前n项和),若对任意

答案B

“WN’,不等式与W%恒成立，求实数k的最小值.

解析构造函数g(x)=譬，则g'(%)=

解因为0=2,屈=”2-(at+l),

ex-f(x)—ev7(x)f匚目工士少.又因为｛斯｝是正项等差数列，故心0,

(4)2=4.由题意得g'W<0怛

所以(2+2团2=(2+双3+3公，

成立，所以函数g(x)卡在R上单调递减.又g(0)=得d=2或1=一1(舍去)，

所以数列｛斯｝的通项公式a„=2n.

*=1,所以誓<1,即g(x)<l,所以x>0,所以不

因为*=〃(〃+1),

等式的解集为(0,+8).故选B.,1,1,,I

On=7-+7-H----FT—

3〃+1品+2

点评不等式恒成立问题的处理方法

_1I1,,1

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方(〃+1)(〃+2)十(〃+2)(〃+3)十十2"(2"+1)

为递增数列.

n+1n+2n+2n+32n2n+1

喏<-1,所以例>0,。7<0,即数列｛飙｝前7项

n__________]

〃+12〃+12层+3〃+1।1

2〃十一十3均小于第项大于零，所以的最小值为

n0,8S,S7,

故选D.

令火x)=2x+：(x^l),

题型四函数与方程思想在解析几何中的应用

则/(x)=2一当时，/'(x)>0恒成立,例4椭圆C的中心为坐标原点。，焦点在y轴上,

短轴长为啦，离心率为坐，直线/与y轴交于点P(0,

所以贝x)在[1,+8)上是增函数，

故当X=1时，7U)min=4D=3,

in),与椭圆C交于相异两点A,B,且崩=3通.

即当〃=1时，S”)max=Z，(1)求椭圆C的方程；

要使对任意的正整数小不等式仇恒成立，(2)求，"的取值范围.

则须使©S")max=:，所以实数k的最小值为:.解(1)设椭圆C的方程为《+5=1»>0),

222

点评数列问题函数(方程)化法设c>0,c=a—bf

数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法由题意，知2b="：=乎，所以〃=1,b=c=*

类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，

涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：故椭圆C的方程为丁+:=1,即丹及=1.

第一步：分析数列式子的结构特征.2

第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转(2)①当直线/的斜率不存在时，也满足崩=3而，此

化问题形式.

时m=±2-

第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为

函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、

+相(与椭圆的交点坐标为为，/)，

值域问题的研究.kWO),/C48(X2,

第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究,㈤，

[y=fcx+〃2,

回归问题.2

由彳90得/+2)f+2左加¥+(加一1)=0,

[2r+/=l,

变式训练3设S”为等差数列｛为｝的前〃项和，(〃+

A=(2km)2-4(F+2)(m2—1)=4(3-2加+2)>0,(*)

1)&<〃*+i(〃GN*).若言<一1,则()

—2kmm2—1

X\+X2=^2_|_2,XlX2=7+2,

A.S“的最大值是SsB.S„的最小值是

58因为AP=3P8,所以一XI=312,

C.S“的最大值是SiD$的最小值是

Xl+l2=—2X2,

2

Si所以一则3(X|+X2)+4X1X2=O,

XjX2——3%2•

答案D

即3(籍M咯招=。，

解析由条件得?<空，即吟抖<

〃n~v1

整理得4^W2+2W2-^-2=0,

(〃++

,所以如V%+i,所以等差数列｛斯｝即R(4〃尸—1)+2相2-2=0,

2(〃+1)

当加=:时，上式不成立;又丁£[0,6Z2],：・2?0冰&3壮,

.1,2-2m2

当旭02工1时，0一",

44/77—1

由(*)式,得必>2m2—2,又左W0,

数形结合思想

2—2加2

所以评=帚二了0，

［思想方法解读］数形结合是一个数学思想方法，包

解得一1<根<一；或3<〃?<1,

含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用

综上，所求〃？的取值范围为(一1,1).大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性

来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目

点评利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的

的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；

步骤

②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些

第一步：联立方程.

属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线

第二步：求解判别式/.

的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内

得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个

在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，

等量关系，将其代换.

使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、

第四步：下结论.将上述等量代换式代入/>0或/20

和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题

中，即可求出目标参数的取值范围.

思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.

第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直

系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范

观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的

围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求

相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代

解这类问题的关键环节.

数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注

变式训练4已知点F^-c,0),F(C,0)为椭圆'+

2意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意

V’义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结

=1(“>〃>0)的两个焦点，点P为椭圆上一点，且

h2

论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰

际「丽=d,则此椭圆离心率的取值范围是当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想

数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范

围.

答案惇,割

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.

解析设尸(x,y),

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定

则PaPF2=(—c—x,—y)-(c—x,—y)义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单

=f-c2+j2=c2,位圆来定义的.

①题型一数形结合在方程根的个数中的应用

2

hX

将一瞪2代入①式解得例1方程sin7LY=a的解的个数是()

(2。2一序)〃2

9(3d一))后A.5B.6C.7D.8

A—7

(T

答案c

解析在同一平面直角坐标系中画出yi=sin7tr和>2

=抽图象，如下图：

-2-11

./2AA5X

VX/.显然Q0不符合题意.

-1Vi=simrx

y

」Y若R0,显然函数人。)=［二］■与g(x)=小在xWO时

观察图象可知yi=sin⑪和,2=］的图象在第一象限

有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3只有一个交点，即原点0(如图所示).

个交点，在加上原点，共7个交点，所以方程sinnx

=今有7个解.

点评利用数形结合求方程解应注意两点

(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使

x_

问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论若k=0,显然函数/?0)=不二7与g(x)=&在xWO时

方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则

只有一个交点，即原点O.

会得到错解.

综上，所求实数后的取值范围是(-8,0］.故选B.

(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,

题型二利用数形结合解决不等式函数问题

数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数

2x>2

形结合.例2已知函数yu)=，'1’若关于x的

(%—1)3»x<2,

一,1-fci2,尤WO,

变式训练1若函数大力=产一|有

方程式x)=&有两个不等的实根，则实数k的取值范

』nx,x>0

围是.

且只有两个不同的零点，则实数k的取值范围是

答案(0,1)

()

2

A.(-4,0)B.(—8,0］C.(-4,0］D.(—8,0)解析当尤22时，人无)=:,

答案B此时4x)在［2,+8)上单调递减，且0勺(x)Wl.

解析当心>0时，y(x)=lnx与x轴有一个交点，当x<2时，/(x)=(x-l)3,此时式x)过点(1,0),(0,

即7U)有一个零点.一1),且在(一8,2)上单调递增.

依题意，显然当xWO时，/(x)=m"j-履2也有一个当x-2时，1.

如图所示作出函数y=«r)的图象，由图可得/(x)在(一

零点，即方程书一小为只能有一个解.

°°,2)上单调递增且段)<1,

Yu

1

令为a)=n，gM=kx9则两函数图象在xwo时

只能有一个交点.

-1o\X12X

Y_

若k>。,显然函数力(工)=不二［与观的二点2在xWO时

有两个交点，即点A与原点0(如图所示).

/(x)在［2,+8)上单调递减且0勺(x)Wl,

故当且仅当0<%<1时，关于x的方程y(x)=k有两个

不等的实根，

即实数々的取值范围是(0,1).

点评利用数形结合解不等式或求参数的方法设万l=a,OB=b,OC^c,则（^=a-c,CB=b~

求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，

根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)由题意知名，之，

函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数

.♦.0、A、C、8四点共圆.

量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获

...当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|灰1=也.

得简捷的解答.

点评利用数形结合求最值的方法步骤

变式训练2若存在正数x使2%%一”)<1成立，则a

第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义.

的取值范围是()

一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否

A.(—8,+co)B.(—2,+°°)C.(0,+°°)D.(—

具有几何意义.

1,+°0)

第二步：转化为几何问题.

答案D

第三步：解决几何问题.

解析因为2*>0,所以由2\x-d)<\得x—〃<*=2一

第四步：回归代数问题.

在直角坐标系中，作出函数八x)=x—a,g(x)=2-第五步：回顾反思.

*在x>0时的图象，如图.应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的

几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑

直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；

(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式

----可考虑两点间的距离.

变式训练3已知圆C：(》一3)2+&-4)2=1和两点

当x>0时，g(x)=2r<l,A(—m,0),B(m,0)(/n>0),若圆C上存在点P,使

所以如果存在x>0,使2\x-a)<\,得NAPB=90。，则团的最大值为()

A.7B.6C.5D.4

则有10)<1,即一即〃>一1,

答案B

所以选D.

解析根据题意，画出示意图，如图所示，

题型三利用数形结合求最值

例3已知a1是平面内两个互相垂直的单位向量，

若向量c满足(a—c)O—c)=0,则|c|的最大值是

()

A.lB.2C.啦D半

则圆心C的坐标为(3,4),半径r=l,且|AB|=2万.

答案C

因为NAPB=90。，连接。P,易知|OP|=3|4B|=机.

解析如图，

要求优的最大值,

即求圆C上的点P到原点。的最大距离.纳小结，综合得出结论.

因为|OC|=、32+42=5,题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分

所以|0Qmax=|0C|+，=6,类讨论

即m的最大值为6.例I设集合A={xeR|『+4x=0},B={xeR|『+

2(a+l)x+/-l=0,aGR},若BUA,求实数a的

分类讨论思想取值范围.

解；A={0,-4),BQA,于是可分为以下几种情

［思想方法解读］分类讨论思想是一种重要的数学况.

思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题(1)当A=B时，B={0,-4},

分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问-2(a+l)--4,

二由根与系数的关系，得解得a

题的解答来实现解决原问题的思想策略.a1—1=0,

1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：

(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、(2)当8A时，又可分为两种情况.

不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.

①当时，即8={0}或8={—4},

(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算

当x=0时，有a—±l；

中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真

当x=-4时，有a=7或a=l.

数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式又由1=4(a+1)2—4(/-1)=0,

中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，

解得a=-1,此时B={0}满足条件；

等比数列{斯}的前〃项和公式等.②当3=0时，J=4(a+l)2-4(a2-l)<0,解得。<一

(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：1.

如函数的单调性、基本不等式等.综合(1)(2)知，所求实数a的取值范围为aW-l或a

(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函=1.

数图象、指数函数图象、对数函数图象等.点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准

(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参确把握是解题关键，在本题中，BUA,包括B=0和

数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果B。两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于

不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论

或证明方法等.时首先要考虑的因素.

2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定n

变式训练1已知数列{m}的前n项和Sn=p~\(p

的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，是常数),则数列他“}是()

分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重A.等差数列B.等比数列

不漏”.C.等差数列或等比数列D.以上都不对

3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要答案D

确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次解析:S,尸

确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、

a\=p—1,an=Sn—Sn-\=(p—I)“Li(n22),

不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进当pWl且pWO时，{斯}是等比数列；

行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归当P=1时，{斯}是等差数列；

当p=0时，ai=-I,。"=0(〃》2),此时｛斯｝既不是又式0)=0,所以若aWO,则当xd[0,+8)时,

等差数列也不是等比数列.火x)电0)=0,符合题意.

题型二分类讨论在含参函数中的应用

若a>0,则当In

例2已知函数兀0=-f+2or+l—a在xW[O，1]

即0<aW2时，则当xW[0,+8)时，

上有最大值2,求。的值.

./(X)刃(0)=0,符合题意.

解函数fix)——x2+2ax+1—a——(x—a)2+a2—a

当In^>0,即a>2,

+1,

对称轴方程为x—a.则当xG(0,In多时，段)单调递减，

(1)当“<0时，/X)max=/(O)=l—a,

7U)勺(0)=0,不符合题意.

1—a=2,.\a=-1.

综上，实数〃的取值范围是(-8,2].

2

⑵当0<aWl时，fl.x)mm^J(a)^a-a+l,

题型三根据图形位置或形状分类讨论

0+1=2,.'.a2­a-1=0,.，.a=(舍).

(3)当a>\时，式x)max=/U)=a,，a=2.y20,

例3在约束条件〈,一下，当3WsW5时,

综上可知，a——1或a=2.y।xW：s，

点评本题中函数的定义域是确定的，二次函数的、y+2xW4

对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴z=3x+2y的最大值的变化范围是()

息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]

在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定答案D

区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求x+y=st|x=4—s,

解析由「，=c'

出a的值.y+2x=4ly=2^—4,

变式训练2已知函数_/U)=2e'一以一2(xGR,取点A(2,0),B(4-s,25-4),C(0,s),C(0,4).

“GR).①当3Ws<4时，

(1)当”=1时,求曲线y=y(x)在x=l处的切线方程；可行域是四边形04BC(含边界)，如图(1)所示，

(2)求x》0时，若不等式/U)20恒成立，求实数a此时，7WZmax<8.

的取值范围.

解(1)当a=l时，_/(x)=2e4-x-2,

f'(x)=2e'-l,f(l)=2e-l,

即曲线y=J(x)在x=l处的切线的斜率Z=2e-1,

又加)=2e—3,

②当4WsW5时，此时可行域是△OAC',如图(2)

所以所求的切线方程是y=(2e—l)x-2.

所示，Zmax=8.综上，z=3x+2y最大值的变化范围是

(2)易知/(x)=2左一a.

口，8],

若“W0,则/(x)>0恒成立，火x)在R上单调递增；

点评几类常见的由图形的位置或形状变化引起的

若。>0,则当xd(-8,in当时，

分类讨论

f(x)<0,4x)单调递减，(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变

化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的

当*G(ln1+8)时，f(x)>o,/)单调递增.

位置变化；（5）圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由（1）熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问

离心率引起的形状变化；（6）立体几何中点、线、面题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们

的位置变化等.运用熟知的知识、经验和问题来解决.

变式训练3设点Fi，B为椭圆卷+?=1的两个焦（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过

对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或

点，点尸为椭圆上一点，已知点P,Fi，色是一个

获得某种解题的启示和依据.

直角三角形的三个顶点，且伊川>伊巳|,求管的

（3）和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表

冲2|

现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式;

值.