高中数学知识点及经典例题

1,题目：高中数学复习专题讲座一对集合的理解及集合思想应用的问题

高考要求

集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具,

考查集合语言和集合思想的运用,本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合

思想的理解与应用.

重难点归纳t

1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合

{x|x£P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素X以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直

观地解决问题.

2,注意空集0的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如氏则有片0

或4W0两种可能，此时应分类讨论

典型题例示范讲解；

例1设Z={(x,y)*—x—l=0},B={(xy)|4x2+2x—27+5=0}。={。沙)》=依+6},是否存在k、6GN,使得(ZU8)D

C=0,证明此结论.

命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，

进而解决问题.

知识依托：解决此题的闪光点是将条件(/U8)nc=0转化为jnc=0且snc=0,这样难度就降低了.

错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无

从下手.

技巧与方法：由集合力与集合8中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到机％的

范围，又因从&GN,进而可得值.

解：•.♦(/U8)nc=0,.•./nc=0且8rle=0

，)”+1必x2+(2bk-1)x+b2—1=0"."AAC=0

y=kx+b

A1=(2/>A—1)2-4^2(/>2-1)<0，4好一4尿+l〈0,此不等式有解，

其充要条件是16/-16>0,

即/>2>1①

...4x-+2x-2了+5=0;,4x2+(2-2k)x+(5+2h)=0

y=kx+b

V5nc=0,.*./2=(1一方一4(5—26)<0

：.l^-2k+Sb-\9<0,从而8X20,

即兴25②

由①②及6GN,得b=2代入由4,<0和勺<0组成的不等式组，得

4k2+1<0

<,..仁1,故存在自然数上1,6=2,使得(ZU8)CC=0.

k2-2k-3<0

例2向50名学生调查对/、8两事件的态度，有如下结果：赞成/的人数是全体的五分之三，其余的不赞

成，赞成8的比赞成/的多3人，其余的不赞成：另外，对N、8都不赞成的学生数比对/、8都赞成的学生数

的三分之一多1人.问对力、8都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握,本题主

要强化学生的这种能力.

知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.

错解分析；本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.

技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.

3

解：赞成/的人数为50X±=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图，记

5

50名学生组成的集合为“赞成事件Z的学生全体为集合4赞成事件8的学

生全体为集合区

设对事件A,B都赞成的学生人数为x,则对A.B都不赞成的学生人数为

：+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33—阳

,Y

依题意(30—x)+(33—x)+x+(-+1)=50,解得x=21.

所以对/、8都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.

例3已知集合4={(x,y)*+mx—y+2=0},8={(x,y)|x—y+l=0,且0WxW2},如果ACBW0，求实数m的取值范围.

①

解由Ux盛，)得网—

方程①在区间［0,2］上至少有•个实数解，

首先，由4=。〃一I)?—420,得机23或，〃W—1,当机23时，由xi+x2=—(加-1)<0及X阳=1>0知，方程①只

有负根，不符合要求

当1时，由占+必=一(加一1)>0及X附=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0,1］内，从而

方程①至少有一个根在区间［0,2］内.

故所求勿的取值范围是后一1.

2,题目：高中数学复习专题讲座一充要条件的理解及判定方法

高考要求：

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件。和结论1之间的关系,本节

主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.

重难点归纳：

⑴要理解“充分条件”“必要条件”的概念当“若p则形式的命题为真时，就记作png,称p是q的充

分条件，同时称夕是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.

(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号要熟悉它的各种同义词语:“等价于”，“当且仅当”，“必须

并且只需”，“……，反之也真”等，

(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概

念所具有的性质.

(4)从集合观点看，若则/是8的充分条件，8是/的必要条件；若4=B,则/、8互为充要条件.

(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要

性)

典型题例示范讲解：

例1已知炉［1—、^］W2,q:x2—2x+l-/W0(m>0),若>是p的必要而不充分条件，求实数机的取值范围.

命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种

命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，

知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解

变得简单明了.

错解分析；对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语

言理解上的困难.

技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解

集间的包含关系，进而使问题解决.

解:由题意知；

命题:若Lp是F的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为如是q的充分不必要条件.

Y"1Y"1Y--"1

夕:|1-------1<2=>—2W--------1W2n—------W3n—2WxW10

333

g：%2—2x+l一租2.0=[x—(1—777)][%—(l+w)]WO*

・・・p是夕的充分不必要条件，

，不等式|1——-1<2的解集是2x+l—*wo(加>0)解集的子集.

又,/tn>0

1—M<-2777>1

.•.不等式*的解集为1—mWxWl+机A-二一，二加)9,

1+w>10[w>9

实数机的取值范围是[9,+8).

例2已知数列｛%｝的前n项S习"+加W0,pWl),求数列｛小｝是等比数列的充要条件

命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.

知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前〃项和与通项之间的递推关系，严格

利用定义去判定.

错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.

技巧与方法：由%MJ：,"："、关系式去寻找。”与。,,+1的比值，但同时要注意充分性的证明.

解如=SI=/7+S

n

np(p-l)

当"22时，a„=sn—sn-}=p'(^―1)・・・pW0,pWl,・・・

广"-1)

若｛%｝为等比数列，则”=&包=?

,册p+q

:.p-Qp+q,

这是｛。“｝为等比数列的必要条件.

下面证明q=~\是｛%｝为等比数列的充分条件.

n

当q=-1时，.'.Sn=p—\(p^O,p^\),<7|=Si=p—1

n

当时，a„=Sn—S„-｝=p—p"^'=p"'(p—1)

n(P-1)P”T

：.an=(p-\)p'=p为常数

5-1)产

：.q=~\时，数列｛斯｝为等比数歹小即数列｛斯｝是等比数列的充要条件为广一1，

例3已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b-0有两个实数根。、£,

证明;|a|<2且|£|<2是2\a\<4+b且回<4的充要条件.

证明M)充分性:由韦达定理,得|臼=|。•川=|•|£|<2X2=4.

设4)=工2+冰+6，则<x)的图象是开口向上的抛物线.

又|。|<2,|£|<2,；坟±2)>0,

即有4=4+/»2°>—(4+6)又向<4=>4+b>0n2同<4+6

4-2a+Z>>0

⑵必要性：

由2同<4+6=｛士2)>0且y(x)的图象是开口向上的抛物线.

，方程;(x)=0的两根%£同在(-2,2)内或无实根.

£是方程兀0=0的实根，£同在(-2,2)内，即|。|V2且|£|V2.

例4写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.

(1)若x、y都是奇数，则xtF是偶数；

(2)若町片0,贝h=0或产0；

(3)若一个数是质数，则这个数是奇数.

解：(1)命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题.

原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.

(2)命题的否定：肛=0则xWO且yWO,为假命题.

原命题的否命题：若中#0,则x#0且yr0,是真命题.

(3)命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.

原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.

例5有“、8、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.

A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，

B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，

C盒子上的纸条写的是“苹果不在/盒内”.

如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？

解：若苹果在/盒内，则/、8两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.

若苹果在8盒内，则/、8两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在3

盒内.

同样，若苹果在C盒内，则8、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.

综上，苹果在8盒内.

3,题目：高中数学复习专题讲座一运用向量法解题

高考要求

平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考

查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.

重难点归纳：

1.解决关于向量问题时，•要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运

算，加深对向量的本质的认识,二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.

2,向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中,常用向量的直角坐标运算来证明

向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.

3,用空间向量解决立体几何问题•般可按以下过程进行思考：

(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未

知向量与由已知条件转化的向量有何关系？

(4)怎样对L1经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？

典型题例示范讲解：

例1如图，已知平行六面体/8。。一48C1。1的底面是菱形，且/GC8=/GCZ>/8CD

(1)求证：gCLBD.“

R%.Ai

/D1

/)//

(2)当丝的值为多少时•，能使4CL平面G8。？请给出证明.

CC、

命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体儿何图形的解读能力.

知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论

证变得简单.

错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中

提供的角与向量夹角的区别与联系.

技巧与方法：利用G_LBoG•5=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.

(1)证明：设而=方，函，不=2,依题意，团|=区|,CD.CB,西中两两所成夹角为乐于是

DB=a-b，

CCBD-c(a-b)=c,a—c,h=\c\*\a|cosBA9—\c\*\b|cos0=Q,'.CC^BD.

}产D]

⑵解：若使小C_L平面C]8。，只须证mCJ_£>G，

由C4-GO=(C4+44J(CD-CG)

=(a+b+c)•{a-c)=\a^+a,b-b•c—|c|2

=|512—|c|2+|6|,|a|cos—|A|,|c|,cos6=0,得

当|方=|己|时，4C_LZ)G'同理可证当|=,|时，A}C±BD,

CD

：.——=1时，小CJ_平面CiBD.

例2如图，直三棱柱/8C一小SG，底面NVIBC中,CA=CB=\,Z804=90°

/小=2,M、N分别是小历、小工的中点.

(1)求丽的长；

⑵求cos<BA{,CB]>的值；

(3)求证：小8_LC|M

命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几

何问题.

知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系。一平，进而找到

点的坐标和求出向量的坐标.

错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.

技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy内的/、8、C点坐标,然后利用向量的模及方向来找出其他的

点的坐标.

(1)解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系。一折

依题意得：8(0,1,0),Ml，0,1)

|BN|=7(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=V3.

⑵解：依题意得：小(1,0,2),C(0,0,0),5](0,1,2)

/.BAX=(1,-1,2),CBI=(0,1,2)

例.CA=lX0+(-l)Xl+2X2=3

222

|BA]|=^(l-0)+(0-l)+(2-0)=V6

|西|=J(0-Op+(1-0)2+(2-0)2=亚

BA]・CB]

cos<BA\,CB]>=

函u函V6.V510

(3)证明：依题意得：G(o,0,2),A/(-,-,2)

22

---11一

C,A/=(-,-,0)，4S=(-l,l,-2)

--------11一——

...^l5-C1A/=(-l)x-+lx-+(-2)x0=0,.\A.BA.QM,

：.A\BLCXM.

例3三角形中，/(5,—1)、5(-1,7)、以1,2),求：⑴比1边上的中线4"的长；(2)/勿6的平分

线4〃的长；(3)cos/6c的值.

解：⑴点M的坐标为x，片三丑=0；>必=手=1,.-.A/(O,j)

・•.IAM\=J(5—0)2+(一等=警

(2)|荔|=1(5+1)2+(-1-7>=10,|^C|=7(5-1)2+(-1-2)2=5

。点分前的比为2.

.-1+2x117+2x211

IAD1=^(5—1)2+(-i-y)2=y^2.

(3)N/BC是强与心的夹角，而0=(6,8),5C=(2,-5).

6x2+(—8)x(—5)522629

cosABC=

\BA\-\BC\,6-+(-8)2.12-+(―5、10厉―145

4,题目；高中数学复习专题讲座一二次函数、二次方程及二次不等式的关系

高考要求

三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和

密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具,高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问

题有关,本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.

重难点归纳：

h二次函数的基本性质

(1)二次函数的三种表示法：

产办2+6x+c；尸7(X_1］)(%一12)产。(工一刈)2+小

⑵当。>0段)在区间［p,g］上的最大值/,最小值加,令Xo=g(p+办

若一二〈P，则Ap)=mJ(q)=M;若pW，<xo,则8-3尸m次q尸M;

若M<一二<%则加尸M/(一二尸如若一3则加尸必检尸加.

2a2a2a

2.二次方程｛x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.

(1)方程於尸0的两根中一根比r大,另一根比尸小O。・O。；

A=/>2-4ac>0,

b

(2)二次方程/(x尸0的两根都大于r<=><-->r,

2a

〃•/⑺>0

A=A2-4ac>0,

b

P<一丁<%

(3)二次方程尸0在区间⑦⑺内有两根o・2a

a-f(q)>0,

a・7(p)>0；

(4)二次方程危尸0在区间伊,夕)内只有一根O加)・7(夕)<0,或小尸0(检验)或加尸0(检验)检验另一根若在⑦⑼

内成立.

(5)方程於)=0两根的一根大于P，另一根小于q(p<q)<=><a'(P)<°

［〃,/(夕)>0

3,二次不等式转化策略

⑴二次不等式小尸af+bx+cWO的解集是：

(―co,a］)u［£,+8)oav。且火a)y£)=0；

(2)当。X)时，/a)y£)O|a+当<|肘+，|,

2a2a

当a<0时，/(。)伏£)=|。+上|>|£+金］;

2ala

(3)当。>0时，二次不等式y(x)>()在［p,g］恒成立

b-今NP；

一丁<P，T2a或，

2a或<2a

f(一导》。，

J(P)>0,/(心0；

(4次戏>0恒成立

a>0,_«ci—b—0,,__,d、.a<0,_^\a=b=0

<=>或《/0)<0恒成乂<=>或<

A<0,lc>0;△<0/[c<0.

典型题例示范讲解:

例1已知二次函数人工)=依2+&+6和一次函数g(x)=—bx,其中。、b、c满足夕>6>c,o+b+c=0,(夕也c£R),

(1)求证:两函数的图象交于不同的两点4、B；

(2)求线段N8在x轴上的射影小丛的长的取值范围.

命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.

知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.

错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解

问题的突破口，而忽略了“数”.

技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.

⑴证明:由\y=ax'+bx+c消去y得ax^bx+c^

y=-bx

A=4ft2—4ac=4(—a—c^—4ac=4(a2-^ac+c2)=4[(a+-^-)2

*.*a+b+c=O,a>b>c,/.67>0,c<0

...-c2>0,.\/>0,即两函数的图象交于不同的两点.

4

2

(2)解:设方程ax+bx+c=0的两根为X]和必,则x]+x2=——^\X2=—^

aa

22—

Im8『=(修—X2)=(XI+%2)4x1%2

/2b、24c4b2-4ac4(-a-c)2-4ac“/、2c”1、23

=(一一)一一二——2=------g------=4[(-)2+—+1]=4[(-+-)-+-]n

aaaaaaa24

<4>6>c,a+b+c=O,a>O,cvO

c1

...A—a—c>c,解得一£(—2,——)

a2

•."(£)=4[(-)2+-+1]的对称轴方程是g=」.

aaaa2

§6(—2,一上)时，为减函数

a2

；.|小8112G(3,12),故同⑸|e(石,2百).

例2已知关于x的二次方程x2+2/wx+2/»+l=a

(I)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求机的范围.

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求机的范围.

命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题.

知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.

错解分析:用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.

技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.

解：⑴条件说明抛物线人)=/+2血+2/«+1与x轴的交点分别在区间(一1,0)和(1,2)内，画出示意图,得

1

m<——

/(0)=2〃?+1<0,2

meR,y

/(-1)=2>0,

n-1

/(I)=4m+2<0,m<——,

2

/⑵=6〃?+5>0

5-1012%

m>——

6

51

——<m<——

62

（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0,1）内，列不等式组

1

m>—,

7(o)>o,2y

/(1)>0,1

nm>——,

A>0,2、/

0<-tn<1m>l+亚或m<1-V2,01仅

-1<加<0.

（这里0<-w<l是因为对称轴x=-m应在区间（0,1）内通过）

例3已知对于x的所有实数值，二次函数加）=¥-4办+24+12（aGR）的值都是非负的,求关于x的方程」一=|〃

4+2

—1|+2的根的取值范围

解:由条件知4W0,即（一4。）2—4（2什12）W0,，--WaW2

3

（1）当一时，原方程化为

x=—a2+a+6,―/+。+6=—（a——）2+彳.

.3叶91,25

•.〃=—不时，n时，^=­•

242max4

31

（2）当lWaW2忖，x=a2+3a+2=（a+

.,.当0=1时，0加=6,当0=2时，xmax=12,.*.12.

o

综上所述，ZWxW12.

4

5,题目：高中数学复习专题讲座一求解函数解析式的几种常用方法

高考要求：

求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视,本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上,

掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.

重难点归纳。

求解函数解析式的几种常用方法主要有：

1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；

2.换元法或配凑法，已知复合函数/［以幻］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3,消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解兀v）;

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.

典型题例示范讲解：

例1⑴已知函数本）满足/（10^）=——（X-，）（其中a>0,（zWlX>0）,求y（x）的表达式，

a-1x

（2）已知二次函数於尸加+6x+c满足贝1）|=1/（一1）|=火0）|=1,求於）的表达式.

命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识

的能力.

知识依托：利用函数基础知识，特别是对“广的理解，用好等价转化，注意定义域

错解分析；本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.

技巧与方法：（1）用换元法；（2）用待定系数法.

解：⑴令t=lo&M心1,/>0;0<«<1,«0),则x=a.

因此如)=3G—G)

a-1

■—一av)(a>1^c>0;0<a<1^<0)

a-1

(2)由./(1尸a+6+cJ(—1尸a—Z>+c,/(0)=c

«=1[/(D+/(-1)]-/(0)

得

c=/(0)

并且寅I)、火一1)、&0)不能同时等于1或一1,

所以所求函数为：

J(x)=2x2—1或y(x)=-2X2+1或.危)=—》2一工+1

或Ax)=x2~x~1或於)=—x2+x+1或J(x)=x2+x—1.

例2设40为定义在R上的偶函数,当xW-l时-，y=/(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线，又在

月(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(一1,1)的一段抛物线，试写出函数负x)的表达式，并在图中作

出其图象.

命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需

要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.

知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.

错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.

技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式

解：⑴当xW-l时，设<x)=x+b

•.•射线过点(一2,0),：.0=­2+bHPb=2,.\/(x)=x+Z

(2)当一1<x<1时，设Xx)=ar2+2.

•抛物线过点(一1,1),；.l=a・(-1)2+2,即&=一1

.'.J(X)=-X2+2.

(3)当时，火x尸一x+2

x+l,x<-l

综上可知：段)=,2--1<X<1作图由读者来完成

-x+2,x>1

例3已知火2—cosx)=cos2x+cosx,求/(x—1>

解法一：(换元法)

-cosx)=cos2x_cosx=2cos2x—cosx—1

令w=2—cosx(lW〃W3),则cosx=2—H

cosx)y〃尸2(2—I/)?一(2—“)-1=2"2—7"+5(lW“W3)

：.fix-l)=2(x-1)2-7(X-1)+5=2X2-H"4(2WXW4)

解法二：(配凑法)

fl2-COSX)=2COS2X-cosx-1=2(2—cosx)2—7(2-co&r)+5

.\Ax)=2?-7x-5(lWxW3),

即AX-D=2(A-1)2-7(A—1)+5=2/-11A+14(2^%^4).

6,题目：高中数学复习专题讲座一求函数值域的常用方法及值域的应用

高考要求

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，

并会用函数的值域解决实际应用问题.

重难点归纳：

(1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法

等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综

合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强，

(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力

和数学建模能力.

典型题例示范讲解：

例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为画面的上、卜一各留8cm的空

白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

23

如果要求那么才为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

34

命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能

力.

知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.

错解分析：证明5(与在区间［4」］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来

34

解决.

技巧与方法！本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.

解：设画面高为xcm,宽为Axcm,则儿.』=4840,设纸张面积为Scm2,

贝I」S=(x+16)(^x+10)=/lx2+(16^+10)x+160,

将尸卫娄代入上式得：5=5000+44V10(8/1+々=),

当即4=2(9<1)时s取得最小值.

〃88

/4R40S

此时高：x=J----=88cm,宽：Ax=—X88=55cm.

VA8

如果可设:wXivLW：,

则由S的表达式得：

s(4)-5(4)=44何(8旧+-4=-8伍--i=)

=44A/10(^7-yf~^2)(8--1)

y/44

又J4%》W1，故8—］—=>0,

387^7

23

.,.5(八)-S(羽)<O,；.S(Q在区间［-,-］内单调递增.

34

从而对于AS［士2二3］,当4=24时，S(A)取得最小值.

343

答：画面高为88cm,宽为55cm时，所用纸张面积最小,如果要求4W［42二3］，当八=24时，所用纸张面

343

积最小,

例2已知函数"x2+2x+q口共8)

x

(1)当a=g时，求函数/(x)的最小值.

(2)若对任意xG［1,+8)<*)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力.

知识依托：本题主要通过求处0的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.

错解分析：考生不易考虑把求。的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.

技巧与方法：解法一运用转化思想把.危)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.

⑴解：当斫,时，/(x)=x+—+2

22x

:段)在区间［1,+8)上为增函数，

7

在区间［1,+8)上的最小值为人1尸万.

(2)解法一：在区间［1,+8)上，

y(.v)=—————>o恒成立。.*+2》+。>0恒成立.

X

设产x2+2jdaxG［1,+CO)

y=x2-^2x+a=(x+1)2+^—1递增，

•,*当x=\时，Vmin=3+a,当且仅当即in=3+q>0时，函数<x)>0恒成立，

故。>一3.

解法二：A^)=X+-+2A6口,+8)

X

当时，函数段)的值恒为正；

当时，函数/(X)递增，故当X=1时，/(X)min=3+。，

当且仅当F(x)min=3+a>0时,函数『00〉0恒成立,故a〉一3

例3设，%是实数，记M={m\m>1),/(x)=log3(x2-4/wx+477724-/w+——).

m-l

(1)证明：当机£〃时，火x)对所有实数都有意义；反之，若/工)对所有实数x都有意义，则加

(2)当加W/时，求函数外)的最小值.

(3)求证：对每个加£加；函数./)的最小值都不小于1*

(1)证明：先将外)变形：/(x)=log3\_(x—2m'y+m+―-—],

m-1

当m&MH'J',m>1,/.(x—m)2+m+―-—>0恒成立，

m-1

故段)的定义域为R

反之，若左)对所有实数x都有意义，则只须x2—4mx+4m2+m+—!—>0,令△<0,即16，/-4(4//+机+―!—)

<0,解得加>1,故m&M.

⑵解析：设w=x2—4/MX+4W2+/„+--—,

m-1

：y=log3"是增函数，...当“最小时，危)最小.

而u=(x-2m)2+m+---,

m-\

显然，当x=m时，u取最小值为m+―!—,

此时人2根尸Iog3(w+—-—)为最小值.

m-1

(3)证明：当机GAY时，m+—-—=(»?—1)+—-—+123,

m-1m-1

当且仅当w=2时等号成立.

...Iog3(/一-—)》log33=l.

m—1

7,题目：高中数学复习专题讲座一

处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法(1)

高考要求

函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.特别是两性质的应用更加突出,本

节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象,帮助

考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识

重难点归纳：

(1)判断函数的奇偶性与单调性

若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.

若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.

同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一.

复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基木函数.

(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目.

(3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目，此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具

有综合分析问题和解决问题的能力.

(4)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的

思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求

实际应用题中的最值问题.

典型题例示范讲解：

例1已知奇函数_Ax)是定义在(一3,3)上的减函数，且满足不等式义工—3)找2一3)<0,设不等式解集为/,B=A

U{x|lWxWy/5}，求函数g(x尸一3/+3x—4(x68)的最大值.

命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力.

知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.

错解分析：题目不等式中的号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易

漏掉定义域.

技巧与方法：借助奇偶性脱去“尸号，转化为X的不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值，

—3<x—3<30<x<6

解:由一3<—得—L且xNO,故00<痛,

V6

又；危)是奇函数，；・/(x—3)<一(——3)=穴3—x2),

又於)在(一3,3)上是减函数，

.•・工——3>3——/,即f+x—6>0,解得x>2或xv——3,

综上得2口<痛,即J={x|2<x<V6},

:・B=AU{x|lWxW旧}={x|l<xv痴},

iij

又g(x)=-3X2+3X—4=—3(x——)2——知g(x)在B上为减函数，

，g(X)max=g(D=-4

例2已知奇函数J(x)的定义域为R,且兀v)在［0,+8)上是增函数，是否存在实数也使mos2。-3)»(4〃］一

2mcos对所有。eL0,11都成立？若存在，求出符合条件的所有实数机的范围，若不存在，说明理由.

命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力.

知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间

上的最值问题.

错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.

技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.

解：：/)是R上的奇函数，且在［0,+8)上是增函数，.•./(》)是R上的增函数,于是不等式可等价地转化

为火cos2，-3)次2加cos夕一4阳)，

即cos20—3>2/7;COS。一4九即cos20—/wcosd+2m-2>0,

设片COSJ,则问题等价地转化为函数

g(f)=/2—W/+2/W—2=(/—)2-2在［0,1］上的值恒为正，又转化为函数g(。在［0，1］上的

最小值为正.

vyi

.・.当_<0,即zn<o时,g(0)=2w—2>0=>m>\与m<0不符；

mm2

当0W万时，即0W/wW2时，g(w)=-―^-+2m—2>0

=>4-2A/2<W<4+2A/2,.,.4-2VI

当5>1,即加>2时，g(l)=/n—1>0=>w>l./.m>2

综上，符合题目要求的皿的值存在，其取值范围是优>4—2JL

另法(仅限当加能够解出।的情况)：cos?wcos，+2,〃-2>0对■于夕6［0,—］恒成立，

2

等价于加>(2—cos2，欣2—cos9)对于［0,工］恒成立

2

:,当e邑［0,y］时、（2-cos20）/（2-c