第02讲 椭圆的简单几何性质（教师版）-2022学年高二数学同步讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第2讲椭圆的简单几何性质

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课程标准课标解读

1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆

中a,b,c,e的几何意义.

2.会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量“，b,c,e

质，会用椭圆的几何意义解决相关问的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大

题.小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、

3.会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关周长、面积等问题.

系，会求直线与椭圆相交的弦长.

贸知识精讲

知识点椭圆的相关性质:

标

方准V%21

—d---=1

/+记」2

方/b

程(a>b>0)(a>h>0)

程

范围-a<x<a,—b<y<b—a<x<af—b<y<b

中心原点0(0,0)原点0(0,0)

顶点3,0),(-«,0),(0力)，(0,—6)(0,a),(Or),(b,0),(-b,0)

对称轴x轴，y轴；x轴，y轴；

长轴长2〃,短轴长2b长轴长2〃,短轴长2b

焦点Fi(c,O),尸2(-c,0)Fi(Oc),Fi(0,c)

焦距2c(其中C=JQ2—人2)2c(其中c=yla2—b2)

离心率e=£(O<e<l)e=£(O<e<l)

aa

2

x=+—

准线cc

焦半径r=a±exr=a±ex

2b22b-

通径aa

a,b,cq2=〃+c2

关系

fv2

【即学即练1】椭圆5+4=1(〃>6>0)的左焦点6的坐标为(-1，。)，则右焦点尸2的坐标是().

ab

A.(1,2)B.(-2,1)C.(-2,0)D.(1,0)

【答案】D

【分析】根据椭圆的几何性质可得答案.

22

【详解】因为椭圆「+2=1(。>人>0)的左焦点6的坐标为(-1,0),所以右焦点F2的坐标是(1,0),

ab

故选：D.

【即学即练2】椭圆C：片+$=1的短轴长为(

)

94

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】取分母较小的为从可得短轴长.

【详解】由已知加=4,b=2,3=4.故选：C.

>>2）2

【即学即练3】椭圆三+2=1与椭圆A+2L=i有（）

259a29

A.相同短轴B.相同长轴

C.相同离心率D.前三个答案都不对

【答案】D

22

【分析】由于椭圆二+汇=1中，由于“2与9的大小关系无法确定，所以无法确定椭圆的焦点位置，以及长

a29

轴和短轴长、离心率，即可得正确答案.

）2

【详解】在三+匕=1中，4=5,4=3,可得：=4

259v

所以其长轴长为10,短轴长为6,离心率4=±=*,在椭圆《+$=1中，由于1与9的大小关系无法确

定，所以无法确定椭圆的焦点位置，以及长轴和短轴长、离心率，所以选项ABC都不正确，故选：D.

【即学即练4】已知椭圆cJ+g=l（a>6>0）的离心率为乌则（）

A.a=2b2B.a=2bC.3a2=4b2D.3a=4b

【答案】B

【分析】利用离心率与。、匕的关系即可获解

【详解】e=2,得6=、仁耳=越,得/=4〃，^a=2b.故选：B

2Va22

【即学即练5】椭圆］+营=1（。>人>0）的上、下顶点分别为瓦,鸟，右顶点为A,右焦点为F,

则椭圆的离心率为（）

【答案】C

【分析】求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.

22

【详解】椭圆1=Ka>b>0）的上、下顶点分别为用（0力）,B2（0,-b）,

ab

右顶点为A（a，0）,右焦点为F（c,0）,BFX1B2A,可得-22=-1,

ca

上U=l,解得e=避二L故选：C.

ac2

【即学即练6】椭圆[+]=1的焦点坐标是（）

2516

A.（0,3）,（0,-3）B.（3,0）,（-3,0）

C.（0,5）,（0,-5）D.（4,0）,（-4,0）

【答案】B

【分析】根据方程，可得a?,/的值，根据a,b,c的关系，可求得c值，即可得答案.

【详解】根据方程可得标=25,〃=16,且焦点在x轴，又。2=。2一匕2=9,所以c=3,

所以焦点坐标为（3,0）,（-3,0）.故选：B

【即学即练7】曲线5+以=1与曲线——+。—=1伙<16）的（）

251625-%16-k

A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等

【答案】C

【分析】判断出曲线为椭圆，分别计算他们的半焦距长、长半轴长、短半轴长、离心率可得答案.

2222

【详解】因为‘一+」一=1（%<16）,所以25-%>16-女>0,所以——+^^=1依<16）表示焦点在

25—k16—225k16—k

X轴上的椭圆，长半轴长为仄，短半轴长为而仄，其半焦距c=J（25-Q-（16-/）=3,离心率为

41222

,椭圆2+3=1中，因为25>16,所以2+夫=1表示焦点在工轴上的椭圆，长半轴长为5,短半轴

725—k25162516

长为4,其半焦距为^/^^=3,离心率为^,所以两条曲线的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不相

等.故选：C.

【即学即练8】椭圆三+丁=1的左、右顶点分别为A，4,点P在椭圆上且直线P4斜率的取值范围是

,那么直线尸4斜率的取值范围是（）

-i11r131一「1J「1「

A.-»­'B.-?-7C.二/D.—,1

|_42]\_24J[4」\_2J

【答案】A

v21

【分析】设尸（x,y）,则有即A，由P在椭圆上可得•原A=-'，又即A,€[-2,-1]即可求直线尸4

2x~—22

斜率的取值范围.

【详解】由题意知：设P（x,y）,而A（—0,0），4（3,0），

2

yyv

・・・5=17r则机/=亳'而2y2*

•・攵叽,=一耳，又左外£[-2,-1],故即逸6[1万].故选：A

2222

【即学即练9】如图，记椭圆三+匕=1,二+二=1内部重叠区域的边界为曲线C,P是曲线C上的任意

259259

一点，则下列四个命题中不正确的是()

A.P到£(-4,0),g(4,0),&(O,Y),鸟(0,4)四点的距离之和必为定值

B.曲线C关于直线^=尢，y=-x均对称

C.曲线C所围区域的面积必小于36

D.曲线C的总长度必大于67

【答案】A

【分析】根据椭圆的定义判断A,由椭圆的对称性判断B,结合椭圆的范围得出曲线C的范围判断CD.

【详解】由题意耳，心是前一个椭圆的焦点，斗工是后一个椭圆的焦点，当|尸耳|+|尸&=10时，|尸闾+|尸周

不是定值，A错；用(y,x)替换椭圆二+片=1中的(x,y)得f+《=1,反之变然，因此两个椭圆关于直线

259259

y=x对称，同理它们也关于直线y=-x对称，因此它们所转区域及区域的边界也关于直线丫=X，y=-x对

称，B正确；由椭圆方程知曲线C在直线x=±3,y=±3围成的正方形内部，其面积必小于6?=36,C正确;

由椭圆性质，曲线C的点到原点距离的最小值为3,曲线C在以原点。为圆心，3为半径的圆外部，而圆的

周长为2万x3=6万，因此曲线C的周长必大于6万，D正确.故选：A.

【即学即练io】椭圆二+t=1的离心率为;，则实数机=_______.

m32

【答案】:9或4

4

【分析】利用椭圆的简单性质，离心率写出方程即可求出机的值，需注意分类讨论.

【详解】因为椭圆片+二=1的离心率为:，当焦点在X轴时，可知.2=机，〃=3,c2=m-3,

m32

可得g=解得m=4.当焦点在y轴时，可知/=3,h2=m,c2=3-m,可得等=。，解得加=劣.

m4344

9

故答案为：;或4.

4

【即学即练11】设椭圆^+《=1的短轴端点为鸟、6为椭圆的一个焦点，则

B2,NB/B2=.

129

【答案】120。

【分析】计算出［十骂。的大小,进而可得出N与耳员的大小.

【详解】如图所示，由题意4(0,-3)、鸟(0,3)、川-6,0),

M囹=需福=收

在M△之£0中,所以NB/O=60.

由椭圆的对称性知，/46鸟=2/与耳。=120.故答案为：120.

【即学即练121若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为石，则椭

圆的标准方程为

【答案】I

【分析】由题知［“一2,"进而得卜=2百，再分当焦点在*轴上时和焦点在y轴上时，讨论求解即可

<?=V3.

【详解】由于椭圆的短轴端点到焦点的距离为“,所以由己知得:从而/=9，

当焦点在x轴上时，椭圆的方程为=+£=1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为占+片=1

129912

所以所求椭圆的标准方程为=+二=1或片+片=1故答案为：目+t=1或兰+《=1

129912129912

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆是简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌

握水平和分析推理能力，是基础题.本题解题的关键在于求椭圆的标准方程，•般利用待定系数法，先定位,

后定量.

Q能力拓展

考法01

用待定系数法求椭圆的标准方程：基本思路为“先定位，再定量

(1)定位：确定焦点所在的坐标轴.一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴，而已

知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，不能确定焦点所在的坐标轴，此时应分类讨论；

(2)设出相应的标准方程；

(3)建立关于仇c之间的关系或方程(组)；

(4)求出。2力2的值；

(5)写出椭圆的标准方程.

【典例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).

(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0,-10),尸到它较近的一个焦点的距离等于2.

(3)已知椭圆经过两点(-3,9)与(追,、后)，求椭圆的标准方程.

22

选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.

22

【解析】(1)因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的标准方程为：0+2=l(a＞分〉0)

ab

,・•椭圆经过点(2,0)和(0,1)

O

2z-+-

2

ay

。1

+

一-

a2加

故所求椭圆的标准方程为土•+＞2=1

4

(2)•・,椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为:

22

之+本=1(。＞人＞0)

：P(0,-10)在椭圆上，,a=10.

又・・・P到它较近的一焦点的距离等于2,

・・・一c-(-10)=2,故c=8.

/.b2=a2—c2=36.

22

•••所求椭圆的标准方程是2-+二=1.

10036

22

(3)设椭圆的标准方程二+上=1(机>0,〃>0,加丰〃)

mn

(-力(；)2

2।2

则有\mn，解得〃z=6,〃=10.

mn

所以，所求椭圆的标准方程为三+汇=1.

610

说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为。与b的值.

(2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近.

(3)不明确焦点位置时求椭圆方程最好设方程为：

/2

一+--=1(机>0,”>0,，”工〃)或，wc+ny=\(m>0,n>n).

mn

【即学即练13】以(-3,0)和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为()

【答案】B

【分析】设所求椭圆的方程为彳+4=1，根据已知条件求出。，仇。的值即可求解.

ab"

【详解】设所求椭圆的方程为］+t=l，因为焦点为(-3,0)和(3,0),长轴长为8,

ab

可知a=4,c=3,则/=/一°2=16-9=7，椭圆的标准方程为：二+上-=1.故选：B.

167

【即学即练14】阿基米德(公元前287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他

利用“逼近法''得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标

轴，焦点在y轴上，且椭圆c的离心率为毛，面积为侬，则椭圆c的方程为（）

A.《+匚1

B=,c.D-T<=1

916-f41832

【答案】A

【分析】利用已知条件列出方程组，求出mh,即可得到椭圆方程.

ab7T=121

C不

【详解】由题意可得:<—二------->解得a=4,匕=3,

a4

a2=/+02

因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：^1+y=l.故选：A.

【即学即练15】已知点M@,咐是椭圆捺+3

5y=1（6Z>Z?>0）上的一点,椭圆的长轴长是焦距的|■倍,

则该椭圆的方程为（）

222

Axy.X2/

DR.-----1-------=1

25202745

02

C.—+^-=1D.±+*=1

18103620

【答案】D

33

【分析】由长轴长是焦距的|•得。=]c,再把已知点的坐标代入，结合a2=〃+c2可解得〃力得椭圆方程.

a2=b2+c2

3

【详解】由题意《a=-c,解得15所以椭圆方程为《+亲L故选：D.

b9+^15=1,

[即学即练16]（多选）已知P为椭圆C上一点，&为椭圆的焦点，且氏周=26，若|PF]|+|PB|=2|FF2|,

则椭圆C的标准方程为（）

Ar9x2y2_x2y2_

A.------1-----------1D.-----1-----------1C.-------1-----------1D+=1

1294548912-5£

【答案】AC

【分析】先求出b、c,再写出椭圆方程.

【详解】由已知2c=|BB|=2G，所以C=G.因为24=|PQ|+|PB|=2|QB|=46,

所以『25所以〃。3=9.故椭圆C的标准方程是会匕=1或二+±=1.故选：AC

9912

【点睛】求椭圆（双曲线、抛物线）的标准方程：先定位（确定焦点的位置），再定量（定量计算，计算。、

尻C的值.）

【即学即练⑺过点（6-后，且与椭嗯有相同焦点的椭圆的标准方程为

【答案】^+―=i

204

【分析】由题设条件设出椭圆方程W+《=l,再列出关于。2与加的方程组即可作答.

ab

【详解】所求椭圆与椭圆（+工=1的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有。2=25-9=16,

设它的标准方程为《+鸟—>0）,于是得好炉=[6,又点（5—6）在所求椭圆上，即宗+卷=1,

53

联立两个方程得尺工+涓=1,即32）2+8〃-48=0,解得〃2=%则“2=20,所以所求椭圆的标准方程为

2

y+：L故答案为：

20

22

【即学即练18】若租1,1）,E（O,I）,r,周1,四点中恰有三点在椭圆c：,方—。）

上，则椭圆C的方程为,

【答案】—+/-1

4'

【分析】由于A，巴关于轴对称，故由题设知C经过乙，八两点，C不经过点耳，然后求出a,b,即可得

到椭圆的方程.

|3

【详解】由于舄，巴关于轴对称，故由题设知C经过骂，旦两点，所以/+赤=1・

又由，2吟+云=1知，C不经过点片，所以点鸟在匕所以6=1.

因此/=4,故C的方程为土+丁=1.故答案为：二+9=1.

44

【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：

②定义法：根据椭圆的定义，确定/,从的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出。，b-.若焦点位置不明确,

则需要分焦点在无轴上和>轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx1+ny2=1（加>0,〃>0,/n*ri）.

考法02

椭圆几何性质的简单应用：（1）利用椭圆的性质时，应先把椭圆方程化成标准方程，再求出其长轴长、短

轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标等.

（2）解析几何中与椭圆上动点有关的最值或范围问题应用利用椭圆的范围来解决.

(3)解题中若能恰当使用椭圆的对称性常能使问题迅速解决.

【典例2】求椭圆16/+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它

的图形.

【解析】把已知方程化成标准方程乌+与=1，

5242

所以，a=5,b=4,c=Vs2—42=3,

因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2。=10,3=8,离心率e=±c=33，两个焦点分别为

a5

F,(-3,0),F2(3,0),椭圆的四个顶点是A(-5,0),4(5,0),B(0,-4),B2(0,4).

将已知方程变形为y=±gj25-d,根据)，=.,25-％2,在0w%w5的范围内算出几个点的坐标

(x,y)：

X012345

y43.93.73.22.40

先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆:

【即学即练19】已知椭圆方程为9/+16/=144,则它的长轴长为,短轴长为,焦距为

，离心率为.

【答案】862^—

4

【分析】将椭圆方程化为标准方程，求出。、b.c的值，即可得出结果.

【详解】把椭圆方程化成标准方程为m+《=1，所以a=4,b=3,c=4^^=S，

所以椭圆的长轴长为8,短轴长为6,焦距为2不，离心率为e=£=也.

a4

故答案为：8；6；2\/1；.

4

【即学即练20】椭圆片+片=1的焦点在一轴上，焦距为一；椭圆片+片=1的焦点在一轴上，焦点

259916

坐标为.

【答案】x8y仅西和

【分析】根据椭圆标准方程的特征分析即可得到答案，但要注意焦距是2c.

【详解】由25>9可判断椭圆片+《=1的焦点在工轴上，由02=25-9=16,可得c=4,

259

22

故其焦距为8,由16>9,可判断椭圆三+二=1的焦点在y轴上，,2=16-9=7,

916

焦点坐标为（0,⑺和（0，-⑺.故答案为：x；8；>•；（0,⑺和（0,-⑺.

2

【即学即练21】椭圆工+y2=i的两个焦点为人，F1,过Q作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为尸，则

4

△PF/2的面积等于（）

C7

A.上B.y/3C.-D.4

22

【答案】A

【分析】利用椭圆的参数关系求1£鸟1,由/>人，Q乃设「（-6,坊）代入椭圆方程求1尸不，即可求

的面积.

【详解】如下图示:

由定义知，IPFJ+IP8l=2a=4,cZa1-/=百，即|百居|=2百，

由设P的坐标为（",%）,代入工+丁=1,得1为1=[,即/人|=；,

422

•••$•弓=；1尸耳"直1=¥•故选：A

【即学即练22】已知八钻。的顶点B,C在椭圆]+丁=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外

一个焦点在BC边上，则AABC的周长是（）

A.20B.C.4D.6

【答案】B

【分析】利用椭圆的定义即可求解.

【详解】椭圆5+>2=1，则”=6，

由题意可得AABC的周长为|AC|+|CE|+|6目+忸周=2a+2a=4a=46.故选：B

【即学即练23］（多选）若椭圆反+《=1的焦距是2,则加=（）

m4

A.1B.3

C.5D.7

【答案】BC

【分析】分焦点在x轴和y轴分别计算.

【详解】当焦点在x轴上时，a2—m,b2—4,/="?—4.又2c=2,所以c=l,所以,徵一4=1,所以,”=5.

当焦点在y轴上时，出=4,b2=m,所以/=4—〃i=l,所以加=3.

故选：BC

考法03

求椭圆的离心率（或范围）的常用方法：（1）若已知a，c,则可直接代入e=£中求解：

a

（2）若己知。力，贝U使用e=Jl—（2）求解；

（3）若已知a,仇c的关系，则可转化为关于离心率e的方程（或不等式）求解，注意e的范围为0<e<l.

2）

【典例3】设片，K分别是椭圆氏二+马=1（“>"0）的左、右焦点,若椭圆E上存在点P满足丽■•丽=,

a'b

则椭圆E离心率的取值范围为（）

A.呼］B.肉）C.吟今侔］

【答案】D

【分析】先设P5,%）,根据P在椭圆上得到）=、（2：一））,由蜻40,片］,得到?的范围，即为离心

率的范围.

【详解】由椭圆的方程可得耳（-c,0）,6（。,0）,设尸（为,%）,

由尸6・PB=C2,则（一。一工0，一%），（。一工0,一30）=。~,即/~+为~=2c“，

由尸在椭圆上可得J+J=l,所以乂=〃（弓），代入可得Q：+/=2C2

[若生0

所以¥=""2C2"）,由/2平,/],所以，）（2c：-"）4a2,整理可得：

c2L」C，[2c^-hz<cz

b2=a2-c2

消去/得：卜J“所以即34工4立，可得：ejf,*].故选：D.

【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到八儿c的关系，消去6,构造离心

率e的方程或（不等式）即可求出离心率.

【即学即练24】椭圆的焦距长等于它的短轴长，则离心率为.

【答案】用

2

【分析】根据题意得2r=2^进而得/=2/,进而得答案.

【详解】由题知2c=%，即6=c,所以/=C2+》2=2C2,即0=也,，所以e=£=也

a2

故答案为：巫

2

丫22（14a2、

【即学即练25】椭圆C：Y}=l（a>%>0）的右焦点为尸（c,0）,定点叼年,0）若椭圆C上存在点N,

使得"MN为等腰钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是.

【答案】（|』）

【分析】结合图形分析只可能NM/W为钝角，利用和0<e<l可得答案.

a9c

【详解】因为|0昨|。刊=空-〃-9ac=a（14"9c）,且”>°,所以四1一.=理色四>。，

9c9c9c9c9c

所以仞在F点右侧且在椭圆的外部，所以NNMF不可能为钝角，

若NFMW为钝角，设ME的中点为E,N的横坐标为方,则-aV/Wa,

应有为二|O目，即NE垂直平分FM,|OE|=|OF|+：|FM=c+g—^-c=--^-+c,

乙乙1yC7nlvc）

1

)14a2+9c?-18"5a2+9(c-aY

2-----+c-a=---------------=-----------—>0

所以NFNM不可能为钝角,

结合图形可知，只可能|FM|=|FN|,且/MFN吟,而上加|=等一c,|取|-c,Q+c],当N尸垂直入轴

时，N(c,y0),所以=+4=1,得尻|二旦，所以邑<更^—c<a+c

abaa9c

'18e2+9^-14>0

得,9e3-9/-9e+14>0,所以gvevl.故答案为：(|，1

0<e<l

【点睛】本题考查了椭圆的性质，解题的关键点是分类讨论和转化思想的应用，考查了推理能力与计算能

力.

考法04

1.直线与椭圆的位置关系：直线与椭圆的位置关系的两类问题：

(1)判定位置关系的常用方法：

y=kx+m(m丰0)

联立方程组得/，消去>,W(^2+a2k2)x2+2a2knvc+critr-a2b2=0.

当A>0时，直线与椭圆相交，有两个公共点；

当A=0时;直线与椭圆相切，有一个公共点；

当A<0时，直线与椭圆相离，无公共点.

(2)依据位置关系确定参数的取值或取值范围：将直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别

式和根与系数关系求解.

2.弦长问题：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于％(或>)的一元二次方程，然后运用根与系数的在

系，再求弦长.设斜率为依女声0)的直线/与圆锥曲线。相交于4B两点，A(x»x),B(x2,y2),则.

|A£|=Ji+92Kl_引=Ji+/a-*2)=

IM=…I=＞土(…2)=音

22

【典例4】已知斜率为2的直线经过椭圆,+、=1的右焦点耳，与椭圆交于48两点，求弦A3的长

X2y2

【解析】解法一：•直线/过椭圆彳■+；=：!的右焦点耳(1,0),又直线的斜率为2,

.•.直线/的方程为y=2(x-l),即2x—y—2=0,

2x-y-2=0

由方程组＜M,2，得交点A(0,—2),8(9,d).

+-133

154

则|知=J区—X)+(%—%)2={0—$2+(_2-$2=|有

2x-y-2=0

解法二：设A(%，X),5(X2，%)，则A,8的坐标是方程组2的公共解，

—+—=1

154

,5

对方程组消y得3/—5x=0.则玉+々=：,%•/=0.

22

|A8|=7(X,-%2)(1+V)=皿+储)[(石+々)2-可看]='(1+22)[(1)-4XO]=|V5.

XC

【即学即练26]已知斜率为1的直线过椭圆1+V=1的右焦点交椭圆于A,6两点，则弦的长为

【答案】第

【解析】右焦点(6,0),立线AB的方程为y=x-6.

y=x-6

llhr2,得51-8&+8=0.

—+/=1

14

|,网=J(1+IQ[(苧f-4x|]=|"

设4%,)|),8(工2，%)，则X+X2=百―%%=

【即学即练27】已知以人(-2,0),尸2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+百y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆

的长轴长为.

【答案】2".

【分析】联立直线方程和椭圆方程，利用△=（）列方程求出〃=3,最后计算长轴长..

【详解】根据题意设椭圆方程为d/+/=1仍>0）,

则将X=-Gy-4代入椭圆方程，得4s2+1）V+8病》-/+12匕2=0,

因为椭圆与直线x+Gy+4=0有且仅有一个交点，所以△=（8屉2y_4x4（/+1）（-/+12从）=0,

即（从+4）（从一3）=0,所以6=3,长轴长为2加+4=2"故答案为:2不.

【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去M或y）建立一元二次方程，然后

借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

【即学即练28】椭圆区■+工=1（4>%>0）的离心率是正，斜率为1的直线过Mb,0）且与椭圆交于A,B

a-2

两点，o为坐标原点，若丽•丽一^―,则椭圆的标准方程是___________.

5tanNAOB

【答案】—+^=1

164

【分析】由椭圆的离心率可得小的值，由题意可得直线/的方程，联立直线与椭圆的方程，求出交点A,

8的坐标，求出数量积丽•丽的表达式，由数量积的运算可得/AO8的余弦值，进而求出其正切值，由题

意可得匕的值，进而求出椭圆的方程

【详解】由题意e=^=£,b2=a2

-02,

2a

20

厂上厂1

可得/=4〃，所以椭圆的方程为：-了+*1一

由题意可得直线AB的方程为：y=x-b,

8,

\y=X-h[x=0x--b

5

联立x2y2，解得人或

W+^=1U…3J

y=­b

「5

所以设方=（0，—3，丽=（|仇|人），—•—•3o

OAOB=——火

5