第二十八届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷（五年级）

第二十八届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷（五年级）一、填空题.（把正确的答案填在括号内，每题4分，共100分）1．（4分）计算2021×202220222022﹣2022×202120212021＝2．（4分）计算：11.99×73+1.09×297＝3．（4分）计算：＝4．（4分）420×814×1616×911除以13的余数为。5．（4分）若质数m、n满足5m+7n＝129，则m+n的最大值是。6．（4分）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，任意截取其中相邻两位可以得到5个不同的两位数，那么这5个两位数的和最小是。7．（4分）已知990×991×992×993＝，则＝．8．（4分）有一类四位数，除以5余2，除以7余5，除以11余10。这类四位数中最小的一个是。9．（4分）有三块草地，面积分别为4公顷、12公顷和22公顷.草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供8头牛吃30天，第二块草地可供20头牛吃45天。问；第三块草地可供头牛吃60天。10．（4分）有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了4小时。工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省6小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下台抽水机。11．（4分）15！与非0自然数n的积是一个完全平方数，n最小是。12．（4分）计算1+2+3+……+n的和，如果所求的和是111的倍数，n最小是。13．（4分）用2021!除以275，再将所得的商继续除以275，以此类推，直到所得的商不能被275整除为止。问：整个过程一共除以了次275。14．（4分）平行四边形ABCD中，点P、Q、R、S分别是边AB、BC、CD、DA的中点，而点T为线段SR的中点。已知△PQT的面积为45平方厘米，则平行四边形ABCD面积为平方厘米。15．（4分）如图，△ABC面积为120，E、F分别为AB和AC上的点，满足AB＝4AE，AC＝4AF，点D是线段BC上的动点，设△FBD的面积为S1，△EDC的面积为S2，则S1×S2的最大值为。16．（4分）如果N是1，2，3，……2088，2089，2090的最小公倍数，则N可以写成2的次方与一个奇数的积。17．（4分）由4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是。18．（4分）已知A和B的最小公倍数为108，则A+B共有种不同的取值。19．（4分）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是56，24，20。那么三角形DBE的面积是。20．（4分）如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD＝AB，延长BC至E，使BC＝2CE，F是AC的中点，若△ABC的面积是12平方厘米，则△DEF的面积是平方厘米。21．（4分）如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形EFGH的面积为240平方厘米，则四边形ABCD的面积是平方厘米。22．（4分）在n小于100的自然数范围内，使得4n+5和7n+6有大于1的公因数的所有n的可能值有个。23．（4分）三人从环形跑道的同一起点同时出发，同向运动。甲每16分钟跑15圈，乙每24分钟跑25圈，丙每48分钟跑35圈。出发后秒钟后，三人第一次同时回到起点。24．（4分）一只青蛙在A，B，C，D四点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳5次仍回到A点，则这只青蛙一共有种不同的跳法。25．（4分）有1张写有数字1的卡片、2张写有数字2的卡片、3张写有数字3的卡片……、n张写有数字n的卡片（n＜100）；另外还有k张写有数字2021的卡片。从中随意抽取2021张卡片，都能确保这2021张卡片中有写有20和21的两张卡片。当n取得最大的可能值的时候，k的最大值是。参考答案与试题解析一、填空题.（把正确的答案填在括号内，每题4分，共100分）1．（4分）计算2021×202220222022﹣2022×202120212021＝【解答】解：2021×202220222022﹣2022×202120212021＝2021×2022×100010001﹣2022×2021×100010001＝02．（4分）计算：11.99×73+1.09×297＝【解答】解：11.99×73+1.09×297＝1.09×11×73+1.09×297＝1.09×803+1.09×297＝1.09×（803+297）＝1.09×1100＝1.09×（1000+100）＝1.09×1000+1.09×100＝1090+109＝11993．（4分）计算：＝【解答】解：＝1++﹣+++﹣+……+++﹣﹣（++……+）＝（1++++++……+++）﹣（++……+）﹣（++……+）＝（1++++++……+++）﹣（1++……+）﹣（++……+）＝（1++++++……+++）﹣（1++……++++……+）＝04．（4分）420×814×1616×911除以13的余数为11。【解答】解：420÷13＝32…4，814÷13＝62…8，1616÷13＝124…4，911÷13＝70……14×8×4×1＝128，128÷13＝9…11；答：420×814×1616×911除以13的余数为11。5．（4分）若质数m、n满足5m+7n＝129，则m+n的最大值是25。【解答】解：5、7、129是奇数，所以m、n一定有1个是偶数，即是质数“2”，如果m＝2，则n＝（129﹣5×2）÷7＝17，符合题意，则m+n＝2+17＝19；如果n＝2，则m＝（129﹣7×2）÷5＝23，符合题意，则m+n＝23+2＝25；所以m+n的值为19或25，最大是25。答：m+n的最大值是25。故答案为：25。6．（4分）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，任意截取其中相邻两位可以得到5个不同的两位数，那么这5个两位数的和最小是166。【解答】解：设这个六位数是，则5个不同的两位数之和为：++++＝10a+b+10b+c+10c+d+10d+e+10e+f＝10a+b+10b+c+10c+d+10d+e+10e+f+a+10f﹣＝11（a+b+c+d+e+f）﹣＝11×（1+2+3+4+5+6）﹣＝11×21﹣＝231﹣即要使这5个不同的两位数之和最小，则最大，最大为65所以231﹣＝231﹣65＝166答：用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，任意截取其中相邻两位可以得到5个不同的两位数，那么这5个两位数的和最小是166。故答案为：166。7．（4分）已知990×991×992×993＝，则＝50．【解答】解：由于99丨990，所以99丨，所以99丨96+64+28+++40，所以99丨+247，所以＝50．故答案为50．8．（4分）有一类四位数，除以5余2，除以7余5，除以11余10。这类四位数中最小的一个是1132。【解答】解：方法一：如果这个数加上23，则该数一定是7和11的倍数，即7×11＝77。77﹣23＝54，但54除以5余4，不符合题意；54+77＝131，131除以5余1，不符合题意；54+77×2＝208，208除以5余3，不符合题意；54+77×3＝285，285除以5没有余数，不符合题意；54+77×4＝362，362除以5余2，符合题意；[5，7，11]＝385362+385＝747，不是四位数，不符合题意；362+385×2＝1132，是最小的四位数，符合题意。即这类四位数中最小的一个是1132。方法二：假设满足提交的一个数是N，则：N＝5×7×a+5×11×b+7×11×c（a、b、c均为自然数）5×7×a和5×11×b都是5的倍数，调整c使7×11×c满足除以5余2，则c＝6时满足要求；5×7×a和7×11×c都是7的倍数，调整b使5×11×b满足除以7余5，则b＝2时满足要求；5×11×b和7×11×c都是11的倍数，调整a使5×7×a满足除以11余10，则a＝5时满足要求。所以，N＝5×7×5+5×11×2+7×11×6＝175+110+462＝747747不是四位数，又因为[5，7，11]＝385747+385＝1132，是最小的四位数，符合题意。即这类四位数中最小的一个是1132。答：这类四位数中最小的一个是1132。故答案为：1132。9．（4分）有三块草地，面积分别为4公顷、12公顷和22公顷.草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供8头牛吃30天，第二块草地可供20头牛吃45天。问；第三块草地可供33头牛吃60天。【解答】解：设每头牛每天吃草1份。8×30÷4＝240÷4＝60（份）20×45÷12＝900÷12＝75（份）（75﹣60）÷（45﹣30）＝15÷15＝1（份）60﹣1×30＝60﹣30＝30（份）30×22＝660（份）1×22＝22（份）22+660÷60＝22+11＝33（头）答：第三块草地可供33头牛吃60天。故答案为：33。10．（4分）有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了9台抽水机，这样比原计划节省了4小时。工程师们测算出，如果最初调来10台抽水机，将会比原计划节省6小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下6台抽水机。【解答】解：设泉水每小时涌出的水量为a，每台抽水机每小时的抽水量为b，调来8台抽水机同时工作需用c小时可将水池的水抽干。根据题意得：即所以36b﹣4a＝30b﹣3a即a＝6b所以泉水每小时涌出的水量等于6台抽水机每小时的抽水量即为了保持池中始终没有水，还应该至少留下6台抽水机。答：为了保持池中始终没有水，还应该至少留下6台抽水机。故答案为：6。11．（4分）15！与非0自然数n的积是一个完全平方数，n最小是1430。【解答】解：15!＝211×36×53×72×11×13所以n最小是：2×5×11×13＝1430答：n最小是1430。故答案为：1430。12．（4分）计算1+2+3+……+n的和，如果所求的和是111的倍数，n最小是36。【解答】解：根据高斯求和公式可得n（n+1）÷2＝111k，n（n+1）＝111k×2＝2×3×37×k要使n最小，两个因数37与（2×3×k）要尽量接近，即2×3×k＝37﹣1＝36，则k＝6，符合题意，则n最小是36。答：n最小是36。故答案为：36。13．（4分）用2021!除以275，再将所得的商继续除以275，以此类推，直到所得的商不能被275整除为止。问：整个过程一共除以了200次275。【解答】解：[]＝183[]＝16[]＝1183+16+1＝200（次）答：整个过程一共除以了200次275。故答案为：200。14．（4分）平行四边形ABCD中，点P、Q、R、S分别是边AB、BC、CD、DA的中点，而点T为线段SR的中点。已知△PQT的面积为45平方厘米，则平行四边形ABCD面积为180平方厘米。【解答】解：连接SP、QR，如下图所示：因为点P，Q，R，S分别为边AB，BC，CD，DA的中点，所以平行四边形SRQP的面积是平行四边形ABCD面积的，又因为三角形PQT和平行四边形SRQP等底等高，所以三角形PQT的面积是平行四边形SRQP的面积的，则三角形PQT的面积是平行四边形ABCD面积的。所以三角形PQT的面积：45×4＝180（平方厘米）答：平行四边形ABCD面积为180平方厘米。故答案为：180。15．（4分）如图，△ABC面积为120，E、F分别为AB和AC上的点，满足AB＝4AE，AC＝4AF，点D是线段BC上的动点，设△FBD的面积为S1，△EDC的面积为S2，则S1×S2的最大值为2025。【解答】解：连接EF，如下图所示：因为AB＝4AE，AC＝4AF所以＝＝所以EF//BC所以S△EBD＝S△FBD＝S1所以S1+S2＝S△EBD+S△EDC＝S△EBC＝S△ABC＝×120＝90如果和一定，则差越小，积越大所以当S1＝S2时，即D为中点时，则S1×S2最大。即当S1＝S2＝90÷2＝45时，S1×S2最大，最大为45×45＝2025。答：S1×S2的最大值为2025。故答案为：2025。16．（4分）如果N是1，2，3，……2088，2089，2090的最小公倍数，则N可以写成2的11次方与一个奇数的积。【解答】解：因为210＝1024211＝2048212＝4096＞2090即每一个不大于2090的正整数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于11个，所以N等于11个2与某个奇数的积。答：如果N是1，2，3，……2088，2089，2090的最小公倍数，则N可以写成2的11次方与一个奇数的积。故答案为：11。17．（4分）由4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是18。【解答】解：4＝2×2；6＝2×3；8＝2×2×2即4、6、8组成的无重复数中必然有公因数2，又4、6、8组成的无重复数的数字和是4+6+8＝18＝2×9，即4、6、8组成的无重复数中必然有公因数9。所以2×9＝18，即4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是18。答：由4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是18。故答案为：18。18．（4分）已知A和B的最小公倍数为108，则A+B共有16种不同的取值。【解答】解：因为108＝2×2×3×3×3，A，B是108的约数，它们只能取2，3．不妨设A≥B，当取A＝108时，B＝1，2，3，4，6，9，12，18，27，36；54，108当取A＝54时，B＝4，12，36，54所以，A+B共有16种可能的不同数值．两个自然数A、B的最小公倍数等于108，当A≥B时，有1+108＝1092+108＝1103+108＝1114+108＝1126+108＝1149+108＝11712+108＝120108+18＝126108+27＝135108+36＝144108+54＝162108+108＝21654+4＝5854+12＝6654+36＝9054+54＝108答：A+B有16种可能的数值。19．（4分）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是56，24，20。那么三角形DBE的面积是14。【解答】解：根据题意可知：S△ADE＝56，S△DCE＝24，S△BCD＝20。根据三角形高一定时，三角形的面积与高成正比的性质可得：＝＝＝所以＝＝所以S△ABE＝S△ABC又S△ABC＝S△ADE+S△DCE+S△BCD＝56+24+20＝100所以S△ABE＝S△ABC＝×100＝70所以S△DBE＝S△ABE﹣S△ADE＝70﹣56＝14答：三角形DBE的面积是14。故答案为：14。20．（4分）如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD＝AB，延长BC至E，使BC＝2CE，F是AC的中点，若△ABC的面积是12平方厘米，则△DEF的面积是21平方厘米。【解答】解：如下图所示，连接AE、CD。因为S△ABC＝12平方厘米，BC＝2CE所以S△ACE＝S△ABC＝×12＝6（平方厘米）又因为F是AC的中点所以AF＝CF所以S△AEF＝S△CEF＝S△ACE＝×6＝3（平方厘米）所以S△ABE＝S△ABC+S△ACE＝12+6＝18（平方厘米）因为BD＝AB所以S△BDE＝S△ABE＝18（平方厘米），S△BCD＝S△ABC＝12（平方厘米）所以S△CDE＝S△BDE﹣S△BCD＝18﹣12＝6（平方厘米）因为S△ACD＝S△ABC+S△BCD＝12+12＝24（平方厘米），AF＝CF所以S△CDF＝S△ACD＝×24＝12（平方厘米）所以S△DEF＝S△CDF+S△CDE+S△CEF＝12+6+3＝21（平方厘米）答：△DEF的面积是21平方厘米。故答案为：21。21．（4分）如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形EFGH的面积为240平方厘米，则四边形ABCD的面积是20平方厘米。【解答】解：如下图所示：连接AC，BD。因为BE＝2AB，BF＝2BC由共角定理得＝＝即S△BEF＝4S△ABC同理S△DGH＝4S△ACD所以S△BEF+S△DGH＝4S△ABC+4S△ACD＝4（S△ABC+S△ACD）＝4S四边形ABCD又因为AE＝3AB，AH＝3AD由共角定理得＝＝即S△AEH＝9S△ABD同理S△CFG＝9S△BCD所以S△AEH+S△CFG＝9S△ABD+9S△BCD＝9（S△ABD+S△BCD）＝9S四边形ABCD又因为S四边形EFGH＝S△BEF+S△DGH+S△AEH+S△CFG﹣S四边形ABCD所以S四边形EFGH＝4S四边形ABCD+9S四边形ABCD﹣S四边形ABCD＝12S四边形ABCD而四边形EFGH的面积为240平方厘米即S四边形EFGH＝12S四边形ABCD＝240所以S四边形ABCD＝240÷12＝20（平方厘米）答：四边形ABCD的面积是20平方厘米。故答案为：20。22．（4分）在n小于100的自然数范围内，使得4n+5和7n+6有大于1的公因数的所有n的可能值有9个。【解答】解：设4n+5和7n+6的公约数为k。则（4n+5）÷k为整数，（7n+6）÷k为整数，（4n+5）÷k×7为整数，（7n+6）÷k×4，结果还是都为整数，则[7（4n+5）﹣4（7n+6）]÷k＝11÷k为整数，因为k≠1，则11÷k为整数时k只能为11，即两代数式大于1个公约数为11，又因为[2（4n+5）﹣（7n+6）]÷k为整数，代入k＝11，有（n+4）÷11为整数因为n＜100则n＝7，18，29，40，51，62，73，84，95。故所有n的可能值有9个。故答案为