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文档简介
第二十八届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷(五年级)一、填空题.(把正确的答案填在括号内,每题4分,共100分)1.(4分)计算2021×202220222022﹣2022×202120212021=2.(4分)计算:11.99×73+1.09×297=3.(4分)计算:=4.(4分)420×814×1616×911除以13的余数为。5.(4分)若质数m、n满足5m+7n=129,则m+n的最大值是。6.(4分)用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数,任意截取其中相邻两位可以得到5个不同的两位数,那么这5个两位数的和最小是。7.(4分)已知990×991×992×993=,则=.8.(4分)有一类四位数,除以5余2,除以7余5,除以11余10。这类四位数中最小的一个是。9.(4分)有三块草地,面积分别为4公顷、12公顷和22公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供8头牛吃30天,第二块草地可供20头牛吃45天。问;第三块草地可供头牛吃60天。10.(4分)有一个水池,池底存了一些水,并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干,原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑,实际调来了9台抽水机,这样比原计划节省了4小时。工程师们测算出,如果最初调来10台抽水机,将会比原计划节省6小时。这样,将水池的水抽干后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下台抽水机。11.(4分)15!与非0自然数n的积是一个完全平方数,n最小是。12.(4分)计算1+2+3+……+n的和,如果所求的和是111的倍数,n最小是。13.(4分)用2021!除以275,再将所得的商继续除以275,以此类推,直到所得的商不能被275整除为止。问:整个过程一共除以了次275。14.(4分)平行四边形ABCD中,点P、Q、R、S分别是边AB、BC、CD、DA的中点,而点T为线段SR的中点。已知△PQT的面积为45平方厘米,则平行四边形ABCD面积为平方厘米。15.(4分)如图,△ABC面积为120,E、F分别为AB和AC上的点,满足AB=4AE,AC=4AF,点D是线段BC上的动点,设△FBD的面积为S1,△EDC的面积为S2,则S1×S2的最大值为。16.(4分)如果N是1,2,3,……2088,2089,2090的最小公倍数,则N可以写成2的次方与一个奇数的积。17.(4分)由4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是。18.(4分)已知A和B的最小公倍数为108,则A+B共有种不同的取值。19.(4分)如图,在三角形ABC中,已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是56,24,20。那么三角形DBE的面积是。20.(4分)如图,在△ABC中,延长AB至D,使BD=AB,延长BC至E,使BC=2CE,F是AC的中点,若△ABC的面积是12平方厘米,则△DEF的面积是平方厘米。21.(4分)如图,将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H,若四边形EFGH的面积为240平方厘米,则四边形ABCD的面积是平方厘米。22.(4分)在n小于100的自然数范围内,使得4n+5和7n+6有大于1的公因数的所有n的可能值有个。23.(4分)三人从环形跑道的同一起点同时出发,同向运动。甲每16分钟跑15圈,乙每24分钟跑25圈,丙每48分钟跑35圈。出发后秒钟后,三人第一次同时回到起点。24.(4分)一只青蛙在A,B,C,D四点之间跳动,若青蛙从A点跳起,跳5次仍回到A点,则这只青蛙一共有种不同的跳法。25.(4分)有1张写有数字1的卡片、2张写有数字2的卡片、3张写有数字3的卡片……、n张写有数字n的卡片(n<100);另外还有k张写有数字2021的卡片。从中随意抽取2021张卡片,都能确保这2021张卡片中有写有20和21的两张卡片。当n取得最大的可能值的时候,k的最大值是。参考答案与试题解析一、填空题.(把正确的答案填在括号内,每题4分,共100分)1.(4分)计算2021×202220222022﹣2022×202120212021=【解答】解:2021×202220222022﹣2022×202120212021=2021×2022×100010001﹣2022×2021×100010001=02.(4分)计算:11.99×73+1.09×297=【解答】解:11.99×73+1.09×297=1.09×11×73+1.09×297=1.09×803+1.09×297=1.09×(803+297)=1.09×1100=1.09×(1000+100)=1.09×1000+1.09×100=1090+109=11993.(4分)计算:=【解答】解:=1++﹣+++﹣+……+++﹣﹣(++……+)=(1++++++……+++)﹣(++……+)﹣(++……+)=(1++++++……+++)﹣(1++……+)﹣(++……+)=(1++++++……+++)﹣(1++……++++……+)=04.(4分)420×814×1616×911除以13的余数为11。【解答】解:420÷13=32…4,814÷13=62…8,1616÷13=124…4,911÷13=70……14×8×4×1=128,128÷13=9…11;答:420×814×1616×911除以13的余数为11。5.(4分)若质数m、n满足5m+7n=129,则m+n的最大值是25。【解答】解:5、7、129是奇数,所以m、n一定有1个是偶数,即是质数“2”,如果m=2,则n=(129﹣5×2)÷7=17,符合题意,则m+n=2+17=19;如果n=2,则m=(129﹣7×2)÷5=23,符合题意,则m+n=23+2=25;所以m+n的值为19或25,最大是25。答:m+n的最大值是25。故答案为:25。6.(4分)用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数,任意截取其中相邻两位可以得到5个不同的两位数,那么这5个两位数的和最小是166。【解答】解:设这个六位数是,则5个不同的两位数之和为:++++=10a+b+10b+c+10c+d+10d+e+10e+f=10a+b+10b+c+10c+d+10d+e+10e+f+a+10f﹣=11(a+b+c+d+e+f)﹣=11×(1+2+3+4+5+6)﹣=11×21﹣=231﹣即要使这5个不同的两位数之和最小,则最大,最大为65所以231﹣=231﹣65=166答:用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数,任意截取其中相邻两位可以得到5个不同的两位数,那么这5个两位数的和最小是166。故答案为:166。7.(4分)已知990×991×992×993=,则=50.【解答】解:由于99丨990,所以99丨,所以99丨96+64+28+++40,所以99丨+247,所以=50.故答案为50.8.(4分)有一类四位数,除以5余2,除以7余5,除以11余10。这类四位数中最小的一个是1132。【解答】解:方法一:如果这个数加上23,则该数一定是7和11的倍数,即7×11=77。77﹣23=54,但54除以5余4,不符合题意;54+77=131,131除以5余1,不符合题意;54+77×2=208,208除以5余3,不符合题意;54+77×3=285,285除以5没有余数,不符合题意;54+77×4=362,362除以5余2,符合题意;[5,7,11]=385362+385=747,不是四位数,不符合题意;362+385×2=1132,是最小的四位数,符合题意。即这类四位数中最小的一个是1132。方法二:假设满足提交的一个数是N,则:N=5×7×a+5×11×b+7×11×c(a、b、c均为自然数)5×7×a和5×11×b都是5的倍数,调整c使7×11×c满足除以5余2,则c=6时满足要求;5×7×a和7×11×c都是7的倍数,调整b使5×11×b满足除以7余5,则b=2时满足要求;5×11×b和7×11×c都是11的倍数,调整a使5×7×a满足除以11余10,则a=5时满足要求。所以,N=5×7×5+5×11×2+7×11×6=175+110+462=747747不是四位数,又因为[5,7,11]=385747+385=1132,是最小的四位数,符合题意。即这类四位数中最小的一个是1132。答:这类四位数中最小的一个是1132。故答案为:1132。9.(4分)有三块草地,面积分别为4公顷、12公顷和22公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供8头牛吃30天,第二块草地可供20头牛吃45天。问;第三块草地可供33头牛吃60天。【解答】解:设每头牛每天吃草1份。8×30÷4=240÷4=60(份)20×45÷12=900÷12=75(份)(75﹣60)÷(45﹣30)=15÷15=1(份)60﹣1×30=60﹣30=30(份)30×22=660(份)1×22=22(份)22+660÷60=22+11=33(头)答:第三块草地可供33头牛吃60天。故答案为:33。10.(4分)有一个水池,池底存了一些水,并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干,原计划调来8台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑,实际调来了9台抽水机,这样比原计划节省了4小时。工程师们测算出,如果最初调来10台抽水机,将会比原计划节省6小时。这样,将水池的水抽干后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下6台抽水机。【解答】解:设泉水每小时涌出的水量为a,每台抽水机每小时的抽水量为b,调来8台抽水机同时工作需用c小时可将水池的水抽干。根据题意得:即所以36b﹣4a=30b﹣3a即a=6b所以泉水每小时涌出的水量等于6台抽水机每小时的抽水量即为了保持池中始终没有水,还应该至少留下6台抽水机。答:为了保持池中始终没有水,还应该至少留下6台抽水机。故答案为:6。11.(4分)15!与非0自然数n的积是一个完全平方数,n最小是1430。【解答】解:15!=211×36×53×72×11×13所以n最小是:2×5×11×13=1430答:n最小是1430。故答案为:1430。12.(4分)计算1+2+3+……+n的和,如果所求的和是111的倍数,n最小是36。【解答】解:根据高斯求和公式可得n(n+1)÷2=111k,n(n+1)=111k×2=2×3×37×k要使n最小,两个因数37与(2×3×k)要尽量接近,即2×3×k=37﹣1=36,则k=6,符合题意,则n最小是36。答:n最小是36。故答案为:36。13.(4分)用2021!除以275,再将所得的商继续除以275,以此类推,直到所得的商不能被275整除为止。问:整个过程一共除以了200次275。【解答】解:[]=183[]=16[]=1183+16+1=200(次)答:整个过程一共除以了200次275。故答案为:200。14.(4分)平行四边形ABCD中,点P、Q、R、S分别是边AB、BC、CD、DA的中点,而点T为线段SR的中点。已知△PQT的面积为45平方厘米,则平行四边形ABCD面积为180平方厘米。【解答】解:连接SP、QR,如下图所示:因为点P,Q,R,S分别为边AB,BC,CD,DA的中点,所以平行四边形SRQP的面积是平行四边形ABCD面积的,又因为三角形PQT和平行四边形SRQP等底等高,所以三角形PQT的面积是平行四边形SRQP的面积的,则三角形PQT的面积是平行四边形ABCD面积的。所以三角形PQT的面积:45×4=180(平方厘米)答:平行四边形ABCD面积为180平方厘米。故答案为:180。15.(4分)如图,△ABC面积为120,E、F分别为AB和AC上的点,满足AB=4AE,AC=4AF,点D是线段BC上的动点,设△FBD的面积为S1,△EDC的面积为S2,则S1×S2的最大值为2025。【解答】解:连接EF,如下图所示:因为AB=4AE,AC=4AF所以==所以EF//BC所以S△EBD=S△FBD=S1所以S1+S2=S△EBD+S△EDC=S△EBC=S△ABC=×120=90如果和一定,则差越小,积越大所以当S1=S2时,即D为中点时,则S1×S2最大。即当S1=S2=90÷2=45时,S1×S2最大,最大为45×45=2025。答:S1×S2的最大值为2025。故答案为:2025。16.(4分)如果N是1,2,3,……2088,2089,2090的最小公倍数,则N可以写成2的11次方与一个奇数的积。【解答】解:因为210=1024211=2048212=4096>2090即每一个不大于2090的正整数表示为质因数相乘,其中2的个数不多于11个,所以N等于11个2与某个奇数的积。答:如果N是1,2,3,……2088,2089,2090的最小公倍数,则N可以写成2的11次方与一个奇数的积。故答案为:11。17.(4分)由4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是18。【解答】解:4=2×2;6=2×3;8=2×2×2即4、6、8组成的无重复数中必然有公因数2,又4、6、8组成的无重复数的数字和是4+6+8=18=2×9,即4、6、8组成的无重复数中必然有公因数9。所以2×9=18,即4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是18。答:由4、6、8组成的所有无重复数字的三位数的最大公因数是18。故答案为:18。18.(4分)已知A和B的最小公倍数为108,则A+B共有16种不同的取值。【解答】解:因为108=2×2×3×3×3,A,B是108的约数,它们只能取2,3.不妨设A≥B,当取A=108时,B=1,2,3,4,6,9,12,18,27,36;54,108当取A=54时,B=4,12,36,54所以,A+B共有16种可能的不同数值.两个自然数A、B的最小公倍数等于108,当A≥B时,有1+108=1092+108=1103+108=1114+108=1126+108=1149+108=11712+108=120108+18=126108+27=135108+36=144108+54=162108+108=21654+4=5854+12=6654+36=9054+54=108答:A+B有16种可能的数值。19.(4分)如图,在三角形ABC中,已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是56,24,20。那么三角形DBE的面积是14。【解答】解:根据题意可知:S△ADE=56,S△DCE=24,S△BCD=20。根据三角形高一定时,三角形的面积与高成正比的性质可得:===所以==所以S△ABE=S△ABC又S△ABC=S△ADE+S△DCE+S△BCD=56+24+20=100所以S△ABE=S△ABC=×100=70所以S△DBE=S△ABE﹣S△ADE=70﹣56=14答:三角形DBE的面积是14。故答案为:14。20.(4分)如图,在△ABC中,延长AB至D,使BD=AB,延长BC至E,使BC=2CE,F是AC的中点,若△ABC的面积是12平方厘米,则△DEF的面积是21平方厘米。【解答】解:如下图所示,连接AE、CD。因为S△ABC=12平方厘米,BC=2CE所以S△ACE=S△ABC=×12=6(平方厘米)又因为F是AC的中点所以AF=CF所以S△AEF=S△CEF=S△ACE=×6=3(平方厘米)所以S△ABE=S△ABC+S△ACE=12+6=18(平方厘米)因为BD=AB所以S△BDE=S△ABE=18(平方厘米),S△BCD=S△ABC=12(平方厘米)所以S△CDE=S△BDE﹣S△BCD=18﹣12=6(平方厘米)因为S△ACD=S△ABC+S△BCD=12+12=24(平方厘米),AF=CF所以S△CDF=S△ACD=×24=12(平方厘米)所以S△DEF=S△CDF+S△CDE+S△CEF=12+6+3=21(平方厘米)答:△DEF的面积是21平方厘米。故答案为:21。21.(4分)如图,将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H,若四边形EFGH的面积为240平方厘米,则四边形ABCD的面积是20平方厘米。【解答】解:如下图所示:连接AC,BD。因为BE=2AB,BF=2BC由共角定理得==即S△BEF=4S△ABC同理S△DGH=4S△ACD所以S△BEF+S△DGH=4S△ABC+4S△ACD=4(S△ABC+S△ACD)=4S四边形ABCD又因为AE=3AB,AH=3AD由共角定理得==即S△AEH=9S△ABD同理S△CFG=9S△BCD所以S△AEH+S△CFG=9S△ABD+9S△BCD=9(S△ABD+S△BCD)=9S四边形ABCD又因为S四边形EFGH=S△BEF+S△DGH+S△AEH+S△CFG﹣S四边形ABCD所以S四边形EFGH=4S四边形ABCD+9S四边形ABCD﹣S四边形ABCD=12S四边形ABCD而四边形EFGH的面积为240平方厘米即S四边形EFGH=12S四边形ABCD=240所以S四边形ABCD=240÷12=20(平方厘米)答:四边形ABCD的面积是20平方厘米。故答案为:20。22.(4分)在n小于100的自然数范围内,使得4n+5和7n+6有大于1的公因数的所有n的可能值有9个。【解答】解:设4n+5和7n+6的公约数为k。则(4n+5)÷k为整数,(7n+6)÷k为整数,(4n+5)÷k×7为整数,(7n+6)÷k×4,结果还是都为整数,则[7(4n+5)﹣4(7n+6)]÷k=11÷k为整数,因为k≠1,则11÷k为整数时k只能为11,即两代数式大于1个公约数为11,又因为[2(4n+5)﹣(7n+6)]÷k为整数,代入k=11,有(n+4)÷11为整数因为n<100则n=7,18,29,40,51,62,73,84,95。故所有n的可能值有9个。故答案为
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