高中数学讲义微64 空间向量解立体几何（含综合题习题）

微专题64利用空间向量解立体几何问题

一、基础知识

(一)刻画直线与平面方向的向量

1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定

例如：A(2,4,6),8(3,0,2),则直线A8的方向向量为荏=(1,T,T)

2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面a垂直的直线称为平

面a的法线，法线的方向向量就是平面a的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？

(1)所需条件：平面上的两条不平行的直线

(2)求法：(先设再求)设平面a的法向量为力=(x,y,z),若平面上所选两条直线的方向向

量分别为Z=&,%,zj石=(孙必，Z2)，则可列出方程组:

X]X+Xy+Z|Z=O

解出x,y,z的比值即可

x2x+y2y+z2z=0

例如：a=(l,2,0)J=(2,l,3),求工B所在平面的法向量

,、fx+2V=0[x=—2y

解：设”=(x,y,z),则有,解得：<

2x+y+3z=0[z=y

:.x:y:z=-2:l:l.,.n=(-2,1,1)

(­)空间向量可解决的立体几何问题(用表示直线。力的方向向量，用而，石表示平面

a,尸的法向量)

1、判定类

(1)线面平行：a//b<^a//b

(2)线面垂直：aLboaLb

(3)面面平行：a//(3m//n

(4)面面垂直：aL(3omX.n

2、计算类：

⑴两直线所成角：cos，=cos(a,/?)ab

(2)线面角：sin9=cos

m•n

（3）二面角：cos。=C0S（〃2,〃=或cos。=-costm.n（视平面角与法向

量夹角关系而定）

（4）点到平面距离：设A为平面。外一点，P为平面a上任意一点，则A到平面a的距离

（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否

在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法

与技巧

1、理念：先设再求一一先设出所求点的坐标（x,y,z）,再想办法利用条件求出坐标

2、解题关键：减少变量数量一一（x,y,z）可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确

定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解）,

要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：

（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标

（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标

规律：维度=所用变量个数

3、如何减少变量：

（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理一一若=使得3=

例：已知A（l,3,4）,P（0,2,l）,那么直线AP上的某点M（x,y,z）坐标可用一个变量表示，

方法如下：AM=（x-l,y-3,z-4）,AP=（-l,-l,-3）一一三点中取两点构成两个向量

因为〃在AP上，所以丽〃丽n硕'=4而一一共线定理的应用（关键）

x—1=-4x=1-4

/.<y-3=-Ay=3-A,即M（1—43—44—34）——仅用一个变量2表示

z—4=—34z=4—3A

（2）平面上的点：平面向量基本定理一一若£了不共线，则平面上任意一个向量乙均存在

九/GR,使得：c^Aa+/3b

例：已知A（l,3,4）,P（0,2,l）,Q（2,4,0）,则平面APQ上的某点〃（x,y,z）坐标可用两个变

量表示，方法如下：AM=(x-l,y-3,z-4),AP=(-l,-l,-3),Pe=(2,2,-l),故

x—1=—X+2£x=1—2+20

AM=AAP+/3PQ,即.Jy—3=—A+2夕n<y=3—zl+2/7

z—4=—3A,—pz=4-3/l-^

二、典型例题

例1：(2010天津)在长方体ABC。—A5G。中，瓦尸分别是棱6C,CG上的点，

CF=AB=2CE,AB-.AD.AA,=1:2:4

(1)求异面直线4。所成角的余弦值

(2)证明：4/，平面4£。

(3)求二面角4一皿一尸正弦值

解：由长方体ABCO-AgGA得：AA.AEA。两两垂直

以期,434。为轴建立空间直角坐标系

(1)EH,|,0],F(l,2,l),A,(0,0,4),D(0,2,0)

cose=一

5

(2)AF=(1,2,1),设平面AEO的法向量为7=(x,y,z)

4D=(0,2,-4),DE=H,-1,0

2y-4z=0

1=>x:y:z=1:2:1/.n=(1,2,1)

x——y=0

2

/.AF//n.•・■，平面4皮>

(3)设平面EOF的法向量肩=(x,y,z)

DE=[l,-1,0j,DF=(l,0,l)

1八

x——y=0

2=>x:y:z=1:2:(-1)m-(1,2,—1)

x+z=0

:.sin6=—

3

例2：如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是矩形，R4_L平面ABC。，PA=AD=4,

AB=2,若MN分别为棱PD,PC上的点，。为AC中点，且AC=2OM=2ON

(1)求证：平面平面PCD

(2)求直线CO与平面ACM所成角的正弦值

(3)求点N到平面AO0的距离

解：平面ABCD

：.PA±AB,PA±AD

•.•矩形ABCD:.AB±AD

故PAAB,AD两两垂直

以PA,AB,AD为轴建立空间直角坐标系

尸(0,0,4),3(2,0,0),。(2,4,0),。(0,4,0),0(1,2,0)

AC=2OM=2ON,且OM,ON分另U为

△A/CAANC的中线

：.AN±PC,AM±PD

设点〃(x,y,z),因为三点共线

PM=APD而而=(x,y,z—4),丽=(0,4,-4)

x=0

:.ATD=(0,4/lT/l).•.<y=4A

z—4=—4/1

.-.M(0,42,4-42)而AMJ.PDnAA7P/5=O

162-4(4-4/1)=0=2=—

.•./(0,2,2)

同理，设点N（x,y,z）,因为P,N,C三点共线

.•.丽=〃定而两=（x,y,z-4）斥=（2,4T）

X=2JLI

：./uPD=(2//,4//,-4//).Jy=4〃

z-4=-4〃

.•.N(2",4〃,4—44)而AN_LPCn前尸3=0

4

47/+16//-4(4-4//)=0=>//=—

81620^

3'7'TJ

（1）设平面的法向量为]=（x,y,z）A5=（2,0,0）,AM=（0,2,2）

2x=0

=>/=(0,l,-l)

2y+2z=0

设平面PCD的法向量为兀=(x,y,z)定=(2,4,-4),DC=(2,0,0)

2x+4y-4z=0

=%=(0,1,1)

2x=0

二.4=0.•・〃]J_丐

・•・平面ABMJL平面PC。

（2）设平面ACM的法向量为“x,y,z）

AC=(2,4,0),AM=(0,2,2)

2x+4y=0.

=>n=(2-1,1)

2y+2z=0

而丽=(-2,0,0)

CDn4_V6

设直线CD与平面ACM所成角为e则sin3=COS

丽2-76-3

(3)4可一平面ACM

例3：已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AO=2,A8=1,/%_L平面

ABCD,£,产分别是线段的中点

(1)求证：PF1FD

(2)在线段24上是否存在点G,使得£G〃平面

PFD,若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明

理由

(3)若PB与平面ABCD所成的角为45,求二面角

A—PD—/的余弦值

解：因为B4_L平面ABCD,且四边形A8CD是矩形

以E4,ARAB为轴建立空间直角坐标系，设

\P^\=h

•.P(0,0,/2),B(l,0,0),Z)(0,2,0),C(l,2,0),F(l,l,0),£^,0,0

(1)/.PF=(1,1,-A),ED=(-1,1,0):.PFFD=Q

r.PFA.FD

(2)设G(0,0,a).•.旃=(—g,0,a)

设平面PFD的法向量为n=(x,y,z)vPF=(1,1,-/?),FD=(-1,1,0)

x=h

x+y-zh=0-/、

-x+y=0V7

z=2

EG//平面PFD:.EG±n

---11

EGF=——〃+2a=0解得a=—。

24

存在点G,为AP的四等分点(靠近A)

(3)•.•Q4_L底面ABC。.•.PB在底面ABC。的投影为BA

NPBA为PB与平面A3CD所成的角,即NPBA=45,

为等腰直角三角形.•.|叫=|4同=1即〃=1

.•・平面PRD的法向量为:=(1,1,2)

平面APD为yOz平面，所以平面APO的法向量为m=(0,1,0)

设二面角4一~0—下的平面角为6,可知。为锐角

1_76

cos6cos(m,n

76

例4：四棱锥P-ABCD中，平面PABX.平面ABCD

AD//BC,ZABC=90,PA=PB=3,BC=1,AB=2,AO=3,0是AB中点

(1)求证：8_1_平面20。

(2)求二面角C—P。—O的平面角的余弦值

(3)在侧棱PC上是否存在点M，使得BM//平面POD,

若存在，求出C士M•的值；若不存在，请说明理由

PC

解：过。在平面ABCO作A3的垂线交CD于。

POLAB

■：平面PABJ_平面ABCD

.•.POJ•平面ABC。

PO±OB,POLOQ

OQLAB

以PO,OB,OQ为轴建立空间直角坐标系

PO=NP普-oN=2V2

10,0,2旬,8(1,0,0),A(-l,0,0),C(l,l,0),0(-1,3,0)

(1)CD=(-2,2,0)设平面POC的法向量为1=(x,y,z)

OP=(0,0,2V2),OC=(1,1,0)

OPn=02&z=0

__._=<.-./?=(-1,1,0)

OCn=0[x+y=0

:.CD//~nCDJ•平面POC

(2)设平面PC。的法向量为1=(x,y,z)

PC=(l,l,-2>/2),CD=(-2,2,0)

正.)=()_

CD-7^=0

设平面P。。的法向量为丐=(x,y,z)

丽=(0,0,20),9=(-1,3,0)

,.----

OPn=02缶=0

2n<小=(3,1,0)

亦第=0-x+3y=0

cos/一{/一2\)=#勺•W%=£4

网•陶5

4

所以二面角C—P。-。的平面角的余弦值为一

5

(3)设M(x,y,z)CM=ACP

函=(x-l,y-l,z)衣=(-1,-1,2⑹

x-1=一丸

y-l=-2=>M(l-2,l-2,2V22)

z-2A/2A

BM=(-A,l-而平面PDO的法向量为兀=(3,1,0)

平面尸0。.-.BM-^=0=>-3A+l-A=0

CM1

4PC4

例5：已知四棱锥P—ABC。中，Q4_L平面A8CD,底面A8CD是边长为a的菱形,

A

NBA。=120,PA=b

(1)求证：平面P8D_L平面P4C

(2)设4c与3D交于点。，M为OC中点，若二面角

O—PM—O的正切值是2庭，求的值

建系思路一：由B4与底面垂直，从而以B4作为z轴，以A

得取CD中点T,连结AT则有AT_LAB,从而建立空间■直角坐标

解：取CD中点T,连结AT,可得AT_LCD

:.AB1.AT•.Q4_L平面ABC。

B

以PAAB,AT为轴建立空间直角坐标系

可得：B(«,O,O),C0,D--a,^-a,0,P(0,0,A)

36cl

(1)设平面PBD的法向量为五=(x,y,z)•.•丽=(。,0,—万),瓦5=

22J

cix-hz=0x=h

36/.tn=(b,6b,a)

——4X+——ay

22-

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)vAP=(0,0,/?),AC=卜亭，0

z=ox=-A/3

)

1百，尸y=in—>/3,1,0

-0X4-——ay=0

122z=o

:.m-n=0平面尸平面PAC

'1)(335/3、

(2)O—a,—a,0,M—a,-----a,0

U4J(88J

-a,-^-aAoM

设平面QPM的法向量为I=(x,y,z)-.-OPflGJ

1手ay+bz=0

——ax—X=-73

4

y1.H,=(-73,1,0^

160

—ax-\-丁y=。z=0

8

—a,—b\,MD76]

设平面PMD的法向量为后=(x,y,z)PD一丁丁,0j

22

1V3

-----CIXH-----ay-bz=QX=屉

22n

=>vy7b2=(V^0,7Z?,38a)

76

-----CIXT-a--y---=--0z=3ypia

I88

设二面角O-R0-£)的平面角为e,则tan6=2#,可得cos6=1

5

4b

/.cos。=

2452〃+27a25

|104=y]52b2+21a2=>100/j2=52b2+27a2

6F2_48_16a

石一王i一飞"~b

建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致

后面的计算繁杂。所以考虑结合图形特点，建立

坐标简单的坐标系，从而简化运算：利用菱形对

角线垂直的特点，以。为坐标原点。过。作的

平行线，即可垂直底面，从而所建立的坐标系使

得底面上的点均在轴上；另一方面，可考虑以|OC|

为单位长度，可得a=2,避免了坐标中出现过多

的字母

解：过。作OT〃P4,ABCD

AT_L平面ABC。

因为ABCD为菱形，所以OCLOO

以。为轴建立空间直角坐标系，以|0C|为单位长度

"（-1,0,0）,C（L0,0）,8（0,-6,0）,。（0,6,0）,P（-1,0,。）

(1)设平面PRD的法向量为五=(x,y,z)•/PB=(1,-73=(0,273,0)

x=b

x-y/3y-bz-0

n<y=0.•."2=（0,0,1）

26y=0

z=1

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)因为平面PAC即为xOz平面

；=（0,1,0）

「・记・3=0.•・平面尸平面尸AC

（2）Ml1,0,0

设平面0PM的法向量为]=（x,y,z）­.■OP=（-\,0,b）,OM=（^,Q,Q

-x+bz=Ox=0

1_0=><y=l;.nA=（0,1,0）

.2“.z=0

设平面PMD的法向量为后=(x,y,z)PD=(1,V3,-/?),MD=

x+6y-bz=0X=2屉

1广=ybR=(2&b,3⑻

--x+y/3y=0

z=3G

则tan。=2遍，可得cos8=4

设二面角O-PM-D的平面角为e，

5

b

：.COS0=COS

J13人+275

的=43b2+27=25b2=136+27=6=§=(

^=—,,.•<2=1CD\-2.,.£=4:3

例6：如图，在边长为4的菱形ABC。中，ZR4£)=60AB于点E,将&ADE沿DE

折起到64。石的位置，使得4。，。。

(1)求证：46_1平面8。。£

(2)求二面角七一A3-C的余弦值

EP

(3)判断在线段£B匕是否存在一点尸，使平面AOP,平面ABC,若存在，求出记的

值，若不存在，请说明理由

解1

;CDLED,CDJ.4。

.-.CD±平面AED

：.CD±\E\E±DE

:.A,E1平面BCOE

(2)..^E-LED,^EJLBE

-,-DEA.BE.•.AE,ED,BE两两垂直

以AE,ED,BE为坐标轴建立坐标系

计算可得：AE=2,DE=2y/3

4(0,0,2),8(2,0,0),D(0,2A5,0)C(4,2A/3,0)

(2)平面ERB的法向量为茄(0,1,0)

设平面4BC的法向量为7=(x,y,z)

BC=(2,2x/3,0),AC=(4,2A/3,-2)

"C〃=0_2x+2Gy=0

=Jx=z=—y/3y

1而i=04x+26y-2z-0

.-.n=(A-l,73)

设二面角E-A.B-C的平面角为。

m-n-1_V7

cos。=cos(m,/7

|m|1•币7

(3)设P(4,0,0)

设平面\DP的法向量为）=（x,y,z）

AD=(0,273,-2)F=(Z0,—2)

x=2

n,=023-2z=艮

°=>y=­Z

«1=0Ax-2z=03

z=A,

二・Z,-3-A,AJ

•・•平面\DP1平面ABC

.•.»-/T=0^2>/3-—2+732=0解得：A=-3

3

;.P（—3,0,0）不在线段BE上，故不存在该点

小炼有话说：(1)对待翻折问题要注意在翻折的过程中，哪些量和位置关系是不变的，要将

平面图形的相关量与翻折后的几何体建立对应关系。

(2)在处理点的存在性问题时，求该点所在平面法向量的过程中会遇到所解方程含参的情况，

此时可先从含参方程入手，算出满足方程的一组值，再代入另一方程计算会比较简便。

例7：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是平行四边形，PA，平面ABCD，点M,N

分别为BC,PA的中点，且AB=AC=1,AD=J5.

(1)证明：MN〃平面PCD；

(2)设直线AC与平面PBC所成角为a,当a在(0总

内变化时，求二面角P—BC—A的取值范围.

解：AB-+AC2=AD2AB±AC

•.•9J_平面ABC。：.PA±AB,PA±AC

以PA,AB,AC为轴建立直角坐标系，设

fi(l,O,O),C(O,l,O),D(-l,l,O),P(O,O,/i),yvfo,O,|j,MP,1,O

(1)MN=\,设平面PC。的法向量为3=(x,y,z)

I222

CD=(-1,0,0),PC=(0,1,-/z)

jCDn=0J-x=0

1定i=0[y-zh^0

____1]

MN・n=——h+—h=0

22

・・・MV〃平面PC。

(2)设平面P8C的法向量为m=(x,y,z)

BC=(-l,l,0),PB=(l,0,-/z)

BC-m=0f-x+y=0

_____=><1,m=(h,h,l)

PBm=0[x-zh=0

vAC=（0,1,0）

h

sin。=cos

J2"+1

sinae|0,—|BP0<,<—

（2j72^712

h2

<一=>〃£

2*14

平面BCA的法向量为）=（0,0,1）〃2=（〃,〃』）

/----\m-n.1

••­cos（加,4）='=———

、/|叶闯V/2/i2+1

（

由0,芋可得2*+1«1,2）

设二面角P-BC—A的平面角为。

则COS0G

例8：在如图所示的多面体中，E4_L平面平面ABC,AC1BC,且

AC=BC=BD^2AE^2,〃是A3中点

(1)求证：CMLEM

(2)求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值

(3)在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC

所成的角为60?若存在，指出点N的位置，若不存在，请说

明理由

解：过A在平面ABC上作BC的平行线AN

vAC±BC:.AN±AC

•.•E4_L平面ABC：.AE±AN,AE±AC

AE,AC,AN两两垂直

如图建系：

B（2,2,0）,C（0,2,0）,D（2,2,2）,M（l,l,0）,£（0,0,l）

（1）.-.CM=（1,-1,O）,£M=（1,1,-1）

：.CM-EM=0：.CMA.EM

：.CM±EM

(2)设平面EMC的法向量为勺=(x,y,z)

x-y=O

=>«1=（1,1,2）

x+y-z=O

设平面BCD的法向量为%=(x,y,z)

丽=（0,0,2）,而=（2,0,0）

2z=Q

=>n=（0,1,0）

‘2x=0]

设平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值为0

_1_V6

则cos6

（3）设N（x,y,z）「N在CD上

CN=ACDCD=（2,0,2）OV=（x,y-2,z）

/LCD=（22,0,2/1）

x—24x==2/1

y—2=0=<y二=2

z=2Zz=:24

.♦.N（2Z2,2/l）

.•.M2V=（22-1,1,2A）

MN-n.62

sin0-~T

.62_6繇徂1_1

..—p]=角单得：A=——

V6-A/822-4A+222

：.CN--CD

2

存在点N,当N为CD中点时，直线MN与平面EMC所成的角为60

例9：如图，在四棱锥P-ABCD中，24A底面ABC。，ADAAB,ABI/DC,

AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

（1）证明：BELDC

（2）求直线BE与平面PBO所成角的正弦值

（3）若尸为棱PC上一点，满足5R_LAC,求二面角

厂一A3-尸的余弦值

解：底面ABCD

：.PA±AD,PA±AB

,PA,AD,A8两两垂直，如图建系：

P（0,0,2）,B（l,0,0）,D（0,2,0）,C（2,2,0）,E（l,l,l）

（1）丽=（0,1,1）,加=（2,0,0）

：.BEDC=0=>BErDC

：.BE±DC

（2）设平面PBD的法向量为7=（x,y,z）

Pe=(l,0,-2),BD=(-l,2,0)

x-2z=0

=>n=(2,l,l)

-x+2y=0

设直线BE与平面尸皿所成角为e

(3)设F(x,y,z)PF=(x,y,z-2),PC=(2,2,-2)

・・・P,£C三点共线.\PF=APC=(242%—2X)

x=22

­y=22/.F(22,22,2-2^)

z—2-2A

.-.BF=(2/1-1,2^,2-2/1)AC=(2,2,0)

-------,、1

-,-BF1AC=—1)+2・2/1=0解得：2=-

■印」，八

(222)

设平面E4B的法向量为五=（x,y,z）

AB=(1,0,0),AF=2,2,2)

x=0

->113八=五=(0,3,-1)

—x+—y+—z=0

1222

平面ABP的法向量为n=(0,1,0)

./——\m-n33rrr

..COS\(J72,72/)=同-i—小;~~;~~r=-V-i^o==-i--o-，1()

.•・二面角F—AB-P的余弦值为之布

10

例10：如图，在三棱柱ABC—A4G，”是正方形A443的中心，A4,=272,C,W1

平面且。用=有

(1)求异面直线AC与A百所成角的余弦值

(2)求二面角A-A,C,-B1的正弦值

(3)设N为棱4G的中点，点M在平面

内，且平面ABC，求线段3M的长

解：连结4法4旦，因为“是正方形44,耳B的中心

.•.48人与交于”，且“AJ•”与

平面

二如图建系：A(2,0,0),B,(0,2,0),A(0,-2,0),B(-2,0,0),C,(0,0,75)

设C(x,y,z).".qC=^A=(-2,-2,0)

x=-2

'y—2cf—2,—2,\/5j

Z-A/5=0

(1)AC=(-2,0,^),A^=(-2,2,0)

—国，病”言=当

（2）设平面AAG的法向量为元=（x，y，z）

M=(-2,-2,0)“=卜2,0阴

-2x-2y=0x=-y

.•.3=(后—62)

-2x+V5z=02x=V5z

设平面的法向量为/w=(x,y,z)

隔=(-2,0,向即=倒,-2阴

-lx+A/5Z-02x-非z

,-2y+屈=0[2y=45z

/----\m-n42

cos(m,n)=II〉=77=—

'/同147

2

设二面角A—AG-用的平面角为凡则cos。=亍

sin0-J1-cos'。=

7

（3）N0,1,—,因为M在底面上，所以设M（x,y,0）

平面A4G的法向量为m=（V5,V5,2）

・.・MN_L平面Age,\MN//m

.•』则=启+21+'£|=乎

三、历年好题精选

1、如图，在四棱锥S-A6c。中，底面A8CD是直角梯形，侧棱S4J•底面ABC。，A8垂

直于AO和BC,SA=A8=8C=2,AZ)=1,"是棱S3的中点.

(1)求证：AM〃平面SCO

(2)求平面SC。与平面S46所成的二面角的余弦值

(3)设点N是直线CO上的动点，MN与平面S43所成的角为8,求sin。的最大值

2、(2015,北京)如图，在四棱锥A-中，AAE尸为等边三角形，平面AER_L平面

EFCB,EF//BC,BC=4,EF=2a/EBC=ZFCB=60,0为\

M的中点

⑴求证：AO1BE/!\\f\

(2)求二面角R—AE—8的余弦值悌"

(3)若BE,平面AOC,求。的值\/

3、(2015,山东)如图，在三棱台OEE—45C中，AB=2DE,G,H

分别为AC,8c的中点.

(1)求证：3。//平面尸6”；

(2)若CE，平面ABC,AB1BC,CF=DE,NBAC=45",

求平面FG"与平面ACED所成角(锐角)的大小.

4、(2014,北京)如图，正方形4WDE的边长为2,B,C分别为的中点，在五棱

锥P-ABCD£中，F为棱PE的中点,平面ABF与棱P2PC分别交于点G,H

(1)求证：AB//FG1

(2)若Q4J_底面A8C0E,且B4=AE，求直线与平面ABF「

所成角的大小，并求线段PH的长\\\\<

5、(2014,江西)如图，四棱锥P—A3CD中，438为矩形，平/\

:\

面Q4D，平面ABC。

(1)求证：AB±PDp

(2)若N8PC=90,P8=夜,PC=2,问AB为何值时,

四棱锥P-A6C。的体积最大？并求此时平面6PC与平面

DPC夹角的余弦值

习题答案：

1、解析：(1)以点A为坐标原点，如图建系：

则4(0,0,0),8(0,2,0),C(2,2,0),0(1,0,0),S(0,0,2),例(0,1,1)

W=(0,0,1),50=(1,0,-2),CD=(-1,-2,0)

设平面SCO的法向量为3=(x,y,z)

5Dn=0(x-2z=0

___=><可得：3=(2,-1,1)

CD-n=0[-x-2y=0

/.AMn=0：.AM_Ln

：.AM〃平面SCO

(2)可知平面&3的法向量为)=(1,0,0),

设平面SCD与平面SAB所成的二面角为(p,可得夕e(0,工

2—底

cos夕=

・••所成的二面角余弦值为直

(3)设N(x,2x—2,0),则而河=(x,2x-3,-l),平面S钻的法向量为1=(1,0,0)

x

?.sin。

A/5X2-12^+10

当L=|即x=g时，sin6取得最大值，即3拓63*=等

2、解析：(1)户为等边三角形且。为砂的中点

:.AO±EF

平面AEFJ_平面EFCB

AO_L平面EFC8

AO±BE

(2)取BC中点。，连结00，分别以OE,QD,Q4为轴如

图建系

可得：A（0,0,V3<7）,E（«,0,0）,B（2,2V3-V3«,0）

设平面AEB的法向量为1=(x,y,z)

由AE==（2—。,26-6a,0）可得:

AEn^=Qfax-V3az=0

可得：^=（73-1,1）

EB-n,=0（2-a）x+（2>^—\[?>a）y=0

平面AEF的法向量后=(0,1,0)

V5

由二面角b-AE-B为钝二面角可知cos6=-T

(3)C(-2,2V3-V3o,0),设平面AOC的法向量为而=(x,y,z)

OA=(0,0,V3a),OC=12,26-屈,0)

屈、

OA•=0Z=°_

g+回-回y=0解得八（2殍国2,。）

OCm=0

•♦•8E_L平面AOCBE//tn,因为诙=(a—2,耳一26,0)

.•.2(4—2)=仅百—岛)(氐—2@,解得：a=2(舍),

3、解析：（1）证明：连结0G,0C,设。C,G/交于点了

在三棱台DEE—ABC中，由43=2。£可得4。=2。尸

•.•G为AC中点

:.DF//AC,即。尸〃AG且。f=AG

.•.四边形。GCE是平行四边形为。C中点且DG〃/C

在ABOC中，可得7H为中位线:.TH//DB

又BDu平面FGH,7Hu平面FGH,故3。//平面FG”；|z

（2）由CF_L平面ABC,可得。G_L平面ABC而A3,BC,N8AC=45',D

则GBLAC,于是GB,G4,GC两两垂直，/

以点G为坐标原点，GA,GB,GC所在的直线/

分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，Z.................Gz

设AB=2,则OE=CT7=1,AC=20,AG=VI,

5(0,5/2,0),C(—V2,0,0),F(—V2,0,1