人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：5 4 1 正弦函数、余弦函数的图象

5.4三角函数的图象与性质

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象

【学习目标】1.了解正弦函数、余弦函数的图象2会用五点法画正弦函数、余弦函数的图

象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一正弦函数的图象

1.正弦曲线的定义

正弦函数〉=&11%,xGR的图象叫正弦曲线.

2.正弦函数图象的画法

⑴几何法：

①利用单位圆上点T（xo,sinxo）画出y=sin_x,xG『0,2无』的图象；

②将图象向左、向右平行移动（每次2兀个单位长度）.

（2）五点法：

①画出正弦曲线在『0,2兀』上的图象的五个关键点（0,0）,6，1），（兀，0），（咨，一1），（2兀，

0）.用光滑的曲线连接；

②将所得图象向左、向右平行移动（每次271个单位长度）.

思考为什么把〉=51僦，xd『0,2兀』的图象向左、向右平移2兀的整数倍个单位长度后图象

形状不变？

『答案』由公式sin（x+2fat）=sinx,kGZ可得.

知识点二余弦函数的图象

1.余弦曲线的定义

余弦函数〉=。05X，xGR的图象叫余弦曲线.

-要•-要■-粤■।y=cosGR

-2Kz一一£i

-41T-3177-2IT_elIT3TT5IT7TT

2ZT于〒

2.余弦函数图象的画法

（1）要得到y=cosx的图象，只需把y=sin尤的图象向左平移胃个单位长度即可，这是由于

⑵用“五点法”：画余弦曲线y=cos尤在『0,2兀』上的图象时，所取的五个关键点分别为包

停0）,（兀，一1）,俘0），（2K,1）,再用光滑的曲线连接.

■思考辨析判断正误

1.正弦函数的图象向左右是无限伸展的.（V）

2.正弦函数了=$11«的图象在xe『2防t,2E+2兀』，/GZ）上的图象形状相同，只是位置不

同.（J）

1T

3.函数y=sinx的图象向右平移1个单位得到函数y=cosx的图象.（X）

4.函数y=cosx的图象关于x轴对称.（X）

题型探究探究重点素养提升

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一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识

例1（1）下列叙述正确的个数为（）

@y=sinx9%£『0,2兀」的图象关于点尸（兀，0）成中心对称；

@y=cosx,『0,2兀』的图象关于直线冗=兀成轴对称；

③正、余弦函数的图象不超过直线y=l和y=—1所夹的范围.

A.OB.1个C.2个D.3个

『答案』D

『解析』分别画出函数y=sinx,X£『0,2兀」和y=cosx,%£『0,2兀」的图象，由图象（略）

观察可知①②③均正确.

（2）函数y=sin|x|的图象是（）

『答案』B

[sinx,

『解析』y=sin|x|={结合选项可知选B.

S1ILX,X<0,

反思感悟解决正、余弦函数图象的注意点

对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同,

只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.

跟踪训练1关于三角函数的图象，有下列说法：

①y=sinx+l.l的图象与x轴有无限多个公共点；

②y=cos(—x)与y=cos|x|的图象相同；

③yTsiarl与y=sin(—尤)的图象关于x轴对称；

④y=cosx与y=cos(一尤)的图象关于v轴对称.

其中正确的序号是.

『答案』②④

『解析』对②，J=cos(—x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其图象相同；

对④，y=cos(—x)=cos无，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确.

二、用“五点法”作简图

例2用“五点法”作出下列函数的简图：

(l)y=siiu—1,『0,2兀』；

(2)y=2+cosx,xG『0,2兀』.

解⑴列表：

K3兀

X0712兀

2~2

sirix010-10

sinx—1-10-1-2-1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图.

(2)列表:

匹3兀

X0712兀

2~2

cosx10-101

2+cosx32123

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图.

y

O7T7T3TT27rX

~2

反思感悟作形如y=〃sinx+Z?(或y=〃cosx+。)，］£『0,2兀』的图象的三个步骤

在［O,2F］内先分别找出确定所求函数图象的五

列表一

I个关键点；在表中列出相应的五点的坐标

根据所列出的五个关键点的坐标，在坐标系中描

|描点上

出相应的点

p-J—।用平滑的曲线将所描出的五个关键点连接起来,

I连线L便得到所求函数的图象

跟踪训练2利用“五点法”作出函数y=l—sinx(04W27i)的简图.

解(1)取值列表:

更3兀

X0712兀

2~2

sinx010-10

1—sinx10121

(2)描点连线，如图所示.

三、正弦(余弦)函数图象的应用

例3利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合.

(l)sinx2吏(2)cosxWg.

解(1)作出正弦函数y=sinx,『0,2兀』的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x

71571

的集合为d+2E,不+2左兀,fcez.

(2)作出余弦函数y=cosx,xe『0,2兀』的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的

「715兀

集合为］+2%兀，丁+2E,fcGZ.

反思感悟用三角函数图象解三角不等式的步3聚

(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在『0,2兀』上的图象;

(2)写出不等式在区间『0,2兀』上的解集；

(3)根据公式一写出定义域内的解集.

跟踪训练3在『0,2兀』上，使cosxW-T成立的尤的取值集合为

』nfI2兀——4兀]

『答案』卜月4W至j

『解析』画出y=cosx在『0,2兀』上的简图，如图所示.

I127r4

由图象可知，在『0,2兀』上，使cosxW/成立的角尤的取值集合为卜号学

-核心素养之直观想象*

根据函数图象求范围

典例函数兀r)=sinx+2kiiw|,『0,2兀』的图象与直线>=上有且仅有两个不同的交点，则

k的取值范围是.

『答案』(1,3)

『解析』用数形结合法判断上的取值范围.

[3sinx,OWxWn,

fix)=\,图象如下图所示.

[―smx,27t.

结合图象可知1<R3.

『素养提升』关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图

象交点的个数问题来解决.

随堂演练基础巩固学以致用

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jr37r

1.函数〉=一sinx,xd[一可)的简图是()

『答案』D

『解析』函数y=—sinx与y=sinx的图象关于x轴对称，故选D.

2.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx,xG『0,2兀』与y=sinx,xG『2兀,47d的图象（）

A.重合

B.形状相同，位置不同

C.关于y轴对称

D.形状不同，位置不同

『答案』B

『解析』根据正弦曲线的作法可知函数y=sinr,xG『0,2兀』与y=sinx,xG『2兀，4兀』

的图象只是位置不同，形状相同.

3.用“五点法”画函数y=2-3siiw的图象时，首先应描出五点的横坐标是（）

*A兀兀3无cc713兀~

A.0,a，2'