自习教室开放的优化管理 数学建模

安徽工程大学数学建模（选修课）课程论文 题目：自习教室开放的优化管理摘要：本文在合理的假设之下，针对三个问题建立了合适的模型。在求解方面，我们充分利用计算机模拟顺利求得结果。对于各个问题，既能达到省电的目的，又能使同学们的满意程度在合理范围内。问题一：针对其要求，要使用电量达到最省，并且又要更好的满足同学们的需要。我们把用电量最省作为目标函数，其它条件（如上自习的学生人数、同学的满足程度、教室满座率）作为约束条件建立了一个0-1规划模型，并利用VisualC++6.0模拟蚁群算法，逐步搜索最优解，最终得到了应该开放36个教室的最佳方案。问题二：对于如何安排教室既达到节约用电的目的又能提高学生的满意度的问题，先考虑到学生的满意度与教室的满座率和宿舍区到自习区这两个因素有关，我们运用模糊数学建立满意度函数，最后再运用最优规划模型，并用MATLAB进行计算得到开放39个教室为既能达到省电的目的又能提高学生的满意程度使得满意度达到0.9717.问题三：我们先假设开放全部教室，很显然，不能满足要求，所以我们先计算出了还所需的座位数，从而得出了至少要再建二个以上的教室的结果。然后，利用灰局势决策，严格按照步骤要求，得到了在第二区、第五区和第七区各建立一个教室的方案。在分析所得结果的基础上，我们指出了这几个模型的优缺点。通过以上几个方案，以及提出的关于如何合理利用学校教室资源的方法，能够有效加强学校教室资源管理使节约资源的做法有了科学依据与科学方法。关键词：非线性规划、蚁群算法、最优解、模糊数学、灰决策。队员1：王猛（材料1023100102204）队员2:刘福伦（材料1023100102209）指导老师：周金明成绩：完成日期：2012.11.7 一、问题重述近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。某学校收集的部分数据（相关数据见附录1附表一），请完成以下问题。管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：00---10：00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。现在有以下问题：1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的.2．假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…，41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度.表2学生区(标号为A)到自习区(标号为B)的距离(单位:米)（注：见附录2）二、问题的假设2.1问题的基本假设1.假设同学们上自习的概率不受天气影响，即概率不变；2.假设该校在晚上没有安排任何课程，即晚上由学生自由活动；3.因为每天开放的时间是相同的，所以把时间假设为一个整体1；4.问题一中同学们的满足程度与到自习室的距离无关；即同学们会自动的找到符合要求的教室；5.问题二中假设每个宿舍区住有相同数量的同学，即每个宿舍区住有8000/10=800名同学；6.每个宿舍区的同学都是理想化同一个概率；7.在问题二和问题三中，为了满足题中给出的尽量安排开放同区的教室这一条件，假设10个学生区的学生至多只会去两个区且是等量的；8.假设距离与座位数对满意度的影响一样；9.问题三中学生选择老教室和临时教室上自习是等可能的，即不存在对临时教室的厌恶情况，也不存在对老教室的排斥情况。三、符号的约定表示第i个教室；表示第个教室的灯管数量；QUOTEPi表示相应教室的灯管的功率表示去相应教室上自习的学生人数；表示相应教室的座位数；表示总用电量；QUOTEEi表示第个区的总用电量；表示总人数；QUOTEABij表示第i个宿舍区到第j个自习区的满意度；表示事件；QUOTEbi表示相应的分区；表示在相应的区域的教室开放与不开放；表示第区的学生是否到第区的自习室上自习；表示第区的座位数；四、建模前的准备在第二问中，模糊综合评价模型基本步骤：（1）确定评价指标；（2）求每一个指标的评语的隶属度，得到模糊评价矩阵；（3）给出指标的权重，，其中；（4）用权重乘以模糊评价矩阵得到综合模糊评价向量，.在问题三,我们引入了灰局势决策论,下面就灰局势决策论的相关内容描述如下:灰局势决策的要素:称事件、对策、样本为灰局势决策的四要素；变称局势、目标、样本为灰局势决策的三要素。效果测试算式：令为事件为对策，有局势。设局势在目标下的效果样本为，.称为目标下的效果样本矩阵令为变换，为目标下局势的效果样本，QUOTErijp为QUOTEuijp在下的像当其满足1、QUOTErijp具有正极性；2、,称为效果测试变换，或效果变换，称为局势在目标下的效果测度。当为正极性时，称QUOTEMeff为上限效果测度变换；为负极性时，称为下限效果测度变换；为中极性时，称为适中效果测度变换。极大值目标变换算式（上限效果测度算式）令QUOTEMeff为效果变换，QUOTEuijp为正极性效果样本，QUOTErijp为QUOTEuijp在QUOTEMeff下的像，则极大值目标下的效果变换算式为，极小目标变换算式（下效果测度算式）令QUOTEMeff为效果变换，QUOTEuijp为极性负果样本，QUOTErijp为QUOTEuijp在QUOTEMeff下的像，则极大值目标下的效果变换算式为，令QUOTEMeff为效果变换，QUOTEuijp为中性效果样本，QUOTErijp为QUOTEuijp在QUOTEMeff下的像，则极大值目标下的效果变换算式为，统一测度令为局势在目标下的效果测度，当则称为的统一效果测度，或统一测度，即令及分别为事件的局面与统一测度空间，若有，则称为的满意局势，为的满意对策。五、问题的分析5.1问题一的分析题中要求在满足同学们的需求的同时达到用电量最省，自然而然把我们引到了规划问题上。考虑到众多的数据，难以求解。我们需要在以下几个约束条件下建立模型：第一，上自习的人数方面，我们要满足两个条件，第一个是每个同学去上自习的概率为0.7，第二个则是同学满足程序不能低于95%，有如下约束：第二，要求被开放的教室的满座率不能低于4/5，同时不超过90%，即有以下约束：运用0-1规划建立最优化模型，再引入了现代智能算法中的蚁群算法，面向对象编程。从而很好地求得结果。4.2问题二的分析在现实生活中，对我们每个人而言，我们肯定会选择靠近宿舍的教室上自习，如果靠近的教室得不到满足，我们选择较远教室时同时满意程度就相应下降，距离越远，则越不满意，在确定学生只是自习区距离对满意度的影响时，可以用模糊分布函数来描述。结合实际情况，所选择的目标模糊分布函数应满足以下要求：1、在300—400米，满意度接近为1；2、函数是单调递减的；3、当距离增加时，函数应该趋近为0.而第二问中，不仅只有自习区距离影响满意度，还有教室的满座率会影响。若只考虑教室的满座率即总共的座位数对满意度的影响，结合实际情况，所选择的目标模糊分布函数应满足以下要求：1、由第一题所说，开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过90%时，满间程度就不低于95%。在第二题中如果一个区的学生去一个自习区，若要使满意度为95%，则座位数不低于约600，不超过700，即当一个自习区的的座位数达到600—700时，满意度为95%；2、函数是单调递增的；3、当座位数增加时，函数应该趋近为1.给出函数并画出曲线图，以区间为单位，分别给了相应的满意度。结合距离与座位数分别的满意度，对附表1和附表2进行分析，分别写出所有学生区到所有自习区距离和距离的满意度，利用模糊综合评价模型，分为10个模糊评价矩阵，得到10个学生区综合模糊评价向量，再由假设和题中所给的信息应用0-1规划模型得到最大满意度函数，进而安排教室。对于在适当的位置搭建教室既达到节约用电的目的又能提高学生的满意程度的问题，我们首先考虑根据临近期末每个同学上自习的可能性增大为且要使需要上自习的同学的满足程度不低于，然后通过计算得到应该搭建几个教室。然后我们要进一步地确定要在哪些自习区搭建教室，我们考虑运用会决策模型去确定，根据用电量应该是越低越好我们对用电量进行了下限效果处理，然而满意度是越高越好因此我们对满意度进行了上限效果处理，最后进行统一测度最终确定在哪些自习区搭建教室。六、模型的建立与求解6.1模型一的建立与求解然后，我们再来分析我们的目标，我们要使用电量最少，即要使用电量E达到最小，于是，有：问题一，我们应用了VisualC++6.0采用面向对象编程，模拟蚁群算法（相关程序及结果见附录），得出了在最省电的情况下，应该开放3,4,5，6，7，8，9，10，11，12，13,14,17,18，19，20,22,23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39,40和43，总共36个教室，共计5927个座位。同时，我们计算出了最少用电量，因为每开放三个小时，所以，每天的最少用电量是E=74.525*3=223.575kw时。6.2模型二的建立与求解1、只考虑自习区距离对满意度根据问题二的分析，综合目标模糊分布函数要求，同时参考学生的实际心理角度，最终选择偏大型的正态分布函数为满意函数，表达式为：其函数曲线如图1.2、只考虑教室的满座率即总共的座位数对满意度的影响与1相同，得到满意函数，表达式为：其函数曲线如图2.3、利用模糊综合评价模型算其满意度约为：距离指标距离满意度300-4001400-5000.95500-6000.9600-7000.8座位数指标座位数满意度>8001.00700-8000.98600-7000.95500-6000.90然后我们以10个区分别讨论，这里以区为例：上个矩阵是学生区分别到分别关于距离（第一行）、座位数（第二行）的满意度的评价矩阵。由假设可知距离与座位的权重为它的综合模糊评价向量就是分别到的满意度。由以上的方法可以分别得到的满意度：满意度函数其中；可以解得满意度达到最大时，开放的教室分别是，一共39个教室。6.3模型三的建立与求解根据要求，我们先确定要建几个教室，假设建好的教室的总座位为，则因为又因为所以我们确定，搭建一个教室是肯定不够的，要搭建的教室一定是两个以上的，在建模前的准备中，我们已经给出了灰局势决策的各个定义，下面，我们将用这种方法来解决问题三，请见下面步骤：1.确定事件、对策、局势：按照灰局势的步骤，我们可以得到以下内容：步骤一确定事件、对策、局势.令学生选择教室上自习为事件，方案QUOTEbi，i=1,2,…,9为对策，有局势式中表示学生可以选择九个区中的任意一个区上自习，每个区有五间教室，故有九种局势。步骤二确认目标及其极性目标1，总用电量E最少，极小值极性；目标2，学生上自习的满意程度QUOTEABij最高，极大值极性.步骤三给出局势效果样本，作效果测度变换（1）目标1（总用电量E最少），极小值目标.1.效果样本各个区的总用电量2.下限效果测度算式与计算（2）目标2,极大值目标效果样本（在第二问中，我们已经假设了一个满意度，下表即为效果样本）B1B2B3B4B5B6B7B8B9A10.9500.9500.8750.9500.9250.9500.9500.9750.950A20.8500.9000.9500.9000.9250.9750.9750.9500.850A30.8500.8500.9750.9250.8500.9500.9500.9500.850A40.9500.9000.9750.9250.9250.9000.9750.9000.850A50.8500.8500.9500.9250.9500.9500.9500.9000.850A60.9250.9000.9500.9250.8500.9500.9750.9000.900A70.9500.9500.8750.8500.9000.9000.9251.0000.950A80.9250.9500.9500.9000.9501.0000.9250.9500.950A90.9500.9500.9250.9500.9250.9500.9250.9500.950A100.9250.9250.9500.9500.9000.9500.9250.9750.900上限效果测度算式及计算在此，我们选择每一行得出最大值，我们就得到了十个宿舍区到九个自习区的满意状况，即：宿舍第一区：宿舍第二区：宿舍第三区：宿舍第四区：宿舍第五区：宿舍第六区：宿舍第七区：宿舍第八区：宿舍第九区：利用测度算式可以得到以下结果:B1B2B3B4B5B6B7B8B9A10.97440.97440.89740.97440.94870.97440.97441.00000.9744A20.87180.92310.97440.92310.94871.00001.00000.97440.8718A30.87180.87181.00000.94870.87180.97440.97440.97440.8718A40.97440.92311.00000.94870.94870.92311.00000.92310.8718A50.89470.89471.00000.97371.00001.00001.00000.94740.8947A60.94870.92310.97440.94870.87180.97441.00000.92310.9231A70.95000.95000.87500.85000.90000.90000.92501.00000.9500A80.92500.95000.95000.90000.95001.00000.92500.95000.9500A91.00001.00000.97371.00000.97371.00000.97371.00001.0000A100.94870.94870.97440.97440.92310.97440.94871.00000.9231步骤四建立统一效果测度空间统一效果测度算式（2）局势0.76560.93270.68450.77041.00000.57680.76260.62860.7119（3）局势QUOTEc2=a，ABij（1）求最大r我们要求的是在哪个区域建自习教室，所以，我们用满意度的每一列和用电量之和的商作为我们求得的最大rrj（2）确定满意局势得出了每列的最佳满意局势0.87000.95350.79100.87240.97440.77560.86850.81430.84310.81870.92790.82940.84670.97440.78840.88130.80150.79180.81870.90220.84230.85960.93590.77560.86850.80150.79180.87000.92790.84230.85960.97440.74990.88130.77580.79180.83020.91370.84230.87201.00000.78840.88130.78800.80330.85720.92790.82940.85960.93590.77560.88130.77580.81750.85780.94140.77980.81020.95000.73840.84380.81430.83100.84530.94140.81730.83520.97500.78840.84380.78930.83100.88280.96640.82910.88520.98680.78840.86810.81430.85600.85720.94070.82940.87240.96150.77560.85570.81430.8175（3）确定满意对策结合要求，我们得出了，要搭建三个教室的方案，即在第二区，第五七和第七区各搭建一个教室才能满足条件。（4）确定满意方案经过我们的筛选，最终得出了两个方案：1、在第二区建立一个与第9号教室相同规格的教室（即座位数110，灯管数36，灯管功率40w）、在第五区建立一个与第23号教室相同规格的教室（即座位数110，灯管数36，灯管功率40w）和在第七区建立一个与第33号教室相同规格的教室（即座位数70，灯管数276，灯管功率40w）；2、在第二区建立一个与第9号教室相同规格的教室（即座位数110，灯管数36，灯管功率40w）、在第五区建立一个与第23号教室相同规格的教室（即座位数70，灯管数26，灯管功率40w）和在第七区建立一个与第33号教室相同规格的教室（即座位数110，灯管数36，灯管功率40w）； 七、结果分析 模型一的结果表明，开放36个教室分别为,既能达到节约用电的目的开放这些教室一个晚上的用电量为223.575度，也能使需要上自习的同学满足程度不低于95%QUOTE95%开放的教室的座位总数达到5927个.对于问题二，应用模糊数学求得满意度，利用最优化模型并用MATLAB用得答案，可以减少一些人工误差，但是为了求解的简便，我们假设了10个学生区的学生至多只会去两个区且是等量的，这样我们主观的给学生规定了只能去两个自习区，这样使答案与实际有一定的偏差。模型三的结果表明，由于临近期末上自习的人数增加，即使所有的教室都开放也不能是上自习的同学满足程度达到99%，于是QUOTE99%，于是需要在2，5，7自习区各搭建一个教室，根据题中要求搭建的教室与该区某教室的规格相同，因此我们得到搭建的教室的规格分别为110，110，70QUOTE110,110,70既达到节约用电目的又能提高学生的满意度.八、模型的评价与改进8.1、模型的优点：1、运用蚁群算法得出结果有科学依据；2、模型一的最优化方案的设计综合考虑了教室满座率和用电量最少，具有实用性；3、模型二中先引入了距离与座位数的满意度函数，再利用模糊综合评价模型算出了每一区的学生到每一区自习室的满意度，此模型在综合性、合理性、科学性等方面得到了改进，使定性评价与定量评价能很好地结合，并能较好地控制人为的干扰因素，远离了数据的漩涡。最后建立了最优化模型，且容易编程得到答案；8.2、模型的缺点：1、不能准确的定位模型中的参数，只能较好的靠近最佳参数范围，这将直接影响到模型的效益；2、运用灰决策确定在哪些自习区搭建教室由于没有考虑搭建教室后该自习区的用电量，存在一定的误差。8.3、模型的改进:对满意程度进行更加细致的量化，同时考虑到教室的满座率对同学上自习的满意程度的影响。可以考虑尽量开放座位数多但教室内总功率小的教室，但模型的求解对数据的依赖行很大，需要对数据进行比较分析。考虑到对满意度有影响的因素不仅仅只是距离，学生对教室的选择也有其他因素的影响，可尝试建立多元函数模型求解。参考文献[1]黄席樾等，现代智能算法理论及应用，第三部分——蚁群优化算法理论及应用。北京：科学出版社，2005[2]钱能.C++程序设计教程（第二版）.北京：清华大学出版社，2005[3]/article/1168/art1168896.asp中国电力网[4]邓聚龙.灰预测与灰决策.湖北：华中科技大学出版社，2002[5]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008 附录附录1：某学校收集的数据，表1教室相关数据教室座位数灯管数开关数一个开关控制的灯管数灯管的功率/每只1644231440w2884231440w31934841250w41935051048w51283621845w61203621845w7120364948w81203631245w91103631240w10120364945w1164273940w122477551545w131904831648w14210505105016854231440w171924841250w181955051048w191283621845w201203621845w21120364948w221203631245w231103631240w24160364945w2570273940w262567551545w271904831648w282105051050w291904831648w302055051050w311103631240w32160364945w3370273940w342567551545w351904831648w362105051050w371904831648w381904831648w392105051050w402004831648w411505051050w421504831648w431804831648w4470255550w451204531548w附录2：表2学生区(标号为A)到自习区(标号为B)的距离(单位:米)B1B2B3B4B5B6B7B8B9A1355305658380419565414488326A2695533469506434473390532604A3512556384452613572484527618A4324541320466422650306607688A5696616475499386557428684591A6465598407476673573385636552A7354383543552448530481318311A8425305454573337314545543306A9307376535323447553587577334A10482477441361570580591491522附录3：问题一的程序如下先建立一个文本文档“information.txt”，按顺序记录相应教室的座位数、灯管数和灯管的功率，把它放在C++搜索目录下，以便程序识别，如下图：6488193193128120120120110120642471902107085192195128120120120……4242485036363636363627754850424248503636363636362775485048……6488193193128120120120110120642471902107085192195128120120120……4242485036363636363627754850424248503636363636362775485048……4040504845454845404540454850404050484545484540454045485048……程序如下：#include<iostream>#include<string>#include<fstream>#defineANTS100#defineMAX5600//最大值，即8000*0.7#defineMIN5320//最小8000*0.7*0.95usingnamespacestd;classAN