生产与销售的协调数学建模考试小论文(大学开放性作业)

从生产与存贮的协调谈起——用变分法建立动态优化模型作者05级班级学号目录目录 2摘要 3一、引言 3二、模型 3（一）问题的化简和假设 3（二）模型的建立 3三、分析 4（一）泛函极值问题 4（二）最优解及生产率与贮存量之间的关系 4四、结论 5（一）变分法的基本概念 5（二）泛函的变分 5（三）泛函的极值 5五、进一步的探讨 6（一）模型推广——生产计划模型 6（二）假设 6（三）建模 7五、参考文献 7摘要本文将从分析生产和销售的关系出发，研究如何能使生产率和存贮量都尽量稳定在预先设定的水平上。这个模型是用变分法建立的动态优化模型。本文先从一个实例开始讨论，以在一定时间T内生产率和存贮量与设定值误差的（加权）平方和最小为目标，给出了泛函极值问题。在设销售量为常数的条件下，求出了最优解，并在T很大的情况下给出了生产率和存贮量之间的关系。本文最后推广出了生产计划制定的一般模型。关键词：动态优化模型、变分法、生产量、存贮量、生产计划制定一、引言如今，国家工业化和商业化的步伐越来越快，在市场经济的浪潮下，如何以最小的成本获得最大的经济的利润无疑是人们现在最关注的问题。公司的负责人都希望生产出的产品能够达到预期最好的销售业绩，不要在货仓里过多的积压，但也不希望产品会脱销，这就要求人们考虑如何协调好生产和销售这两个商品流通的环节。制定一个科学合理的生产计划是解决这个问题的最好办法。二、模型（一）问题的化简和假设本文先讨论一个简单的实例。一家集生产、销售于一体的公司，希望生产率和存贮量都尽量稳定在预先设定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要制定一个根据存贮量控制生产率的策略。（二）模型的建立可以用变分法建立这个实例的动态优化模型。这个数学模型的主要符号说明如下：x（t）——t时刻的存贮量u（t）——单位时间产量（即生产率）v（t）——单位时间销量u0——预先给定的生产率x0——预先给定的存贮量J(u(t))——在时间T内u（t）和x（t）与u0和x0误差的（加权α）平方和最小的泛函极值三、分析（一）泛函极值问题记时刻t的存贮量x（t），单位时间产量（即生产率）和销售量分别为u（t）和v（t），则x（t）=u（t）-v（t）（1）式设预先给定的生产率和存贮量分别为u0和x0，则在时间T内u（t）和x（t）与u0和x0误差的（加权α）平方和最小的泛函极值为J（u（t））=（2）式若设t=0和T=0时存贮量为0，则x（0）=x（T）=0(3)式将（1）式代入（2）式得J（u（t））=(4)式(3)式和（4）式构成一个固定端点的泛函数极值问题。（二）最优解及生产率与贮存量之间的关系当销售量v（t）=v0（常数）时，（4）式的欧拉方程为x-（x-）=0（5）式（5）式在条件（3）下的解为x（t）=-（6）式代入（1）式得u（t）=-（7）式由（6）式和（7）式可得u（t）=+（-x（t））-（8）式在T很大的情况下（8）式最后一项可忽略，于是u=+（-x）即生产率u可以由存贮量x直接确定四、结论对于动态优化模型，其优化目标仍然是一个数值，而最优策略是函数。对于连续过程可归结为求泛函的极值，常用的方法有变分法。（一）变分法的基本概念泛函：设S为一函数集合，若对S中的每一函数都有一个确定的数J与之相对应，则称J为定义在S上的一个泛函，记作J[y(x)]。S称为泛函J[y(x)]的定义域。最简泛函：设定义一个泛函J:S®R，对任意yÎS，设（二）泛函的变分函数的变分:函数在的增量其中L是y的线性项，而是y的高阶项泛函J在的变分：最简泛函的变分为：（三）泛函的极值泛函的极值：泛函取得极小值(极大值)是指：对于任意一个与接近的都有变分与极值的关系：泛函数极值的必要条件：定理：泛函J[y(x)]在上达到极小值（或极大值）的必要条件是＝０类比：连续光滑函数极值存在的必要条件：在极值点的导数为零。最简泛函取得极值的必要条件：-=0或--y-此式为欧拉方程此最简泛函极值的必要条件可以推广到含有两个及两个以上未知函数欧拉方程组五、进一步的探讨根据以上这个实例，我们可以推广出生产计划制定的一般模型。（一）模型推广——生产计划模型工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品的合同，在制定生产计划时要考虑生产和存贮两种费用。生产费用通常取决于生产率（单位时间的产量），生产率越高费用越大。所谓生产计划这里简单地看作是到每一时刻为止的累积产量，它与每单位时间（如每天）的产量可以互相推算。建模的目的是寻求最优的生产计划，使完成合同所需的总费用（生产与贮存费用之和）最小。（二）假设开始生产时刻记为t=0，按照合同应在t=T提交数量为Q的产品。到时刻t为止的产量记作x（t），x(t)即生产计划。因为时刻t的生产率表示为x（t），所以单位时间的生产费用可以一般地记作f（x（t）），而单位时间的贮存费用则应记为g（x（t））。于是从t=0到t=T的总费用C（x（t））是C（x(t)）=eq\o\ac(○,1)式为了确定f和g的具体形式作如下假设。1、单位时间内生产率提高一个单位所需的生产费用与这时的生产率成正比。在需求饱满、生产率很高的工厂里这个假设是合理的。2、存贮费与存贮量（即累积产量）成正比。这是关于存贮费的最常用的假设。假设1表明，生产费f对生产率的变化率与成正比，即于是f（（t））=（t）eq\o\ac(○,2)式是比例系数，由假设2则可以直接写出g（x（t））=x（t）eq\o\ac(○,3)式是单位数量产品单位时间的存贮费。（三）建模将eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)代入eq\o\ac(○,1)式并注意到x（t）在t=0和t=T时的值，我们有C(x(t))=eq\o\ac(○,4)式x（0）=0，x(T)=Qeq\o\ac(○,5)式制定最优生产计划归结为在固定端点条件eq\o\ac(○,5)下，求x（t）使eq\o\ac(○,4)式定义的泛函C（x（t））取得最小值用变分法求解，记F（t，x，）=，根据欧拉方程可得(t,x,)-(t,x,)=0eq\o\ac(○,6)式方程eq\o\ac(○,6)在端点条件eq\o\ac(○,5)下的解为x（t）=