大学生数学建模,B题上海世博会对上海市GDP影响的定量分析

上海世博会对上海市GDP影响的定量分析摘要本文运用层次分析法和最小二乘法，建立了一个以GDP预测值和实际值的比值为衡量指标的数学模型，定量分析了上海世博会的影响力。本文分两部分，第一部分为了解决上海GDP增长问题，首先对上海GDP进行了宏观分析研究，运用层次分析法，分别对GDP的第一、二、三产业进行加权分析，给出了三大产业对上海的影响力的数学模型。第二部分，文章通过对从互联网获取的信息进行整理,重点针对上海市GDP贡献最大的第三产业进行分析,利用旅游长途运输总额、旅游住宿消费总额、旅游购物消费总额、旅游餐饮消费总额对第三产业GDP的衡量指标又进行了具体分析并加权，最终得到GDP评价指标，增大了该评价体系的准确度。最后，给出模型的优缺点。关键词：定量评估、世博会、影响力、层次分析法、GDP、数学模型问题重述2010年世博会在中国上海举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。问题：请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响。具体通过下述步骤进行定量分析。上海世博会对上海经济有很大的影响，我们从经济方面对上海世博会进行分析，而GDP是上海市经济建设的主要决定方面，所以我们用GDP来定量上海世博会的影响力。我们通过对上海世博会举办期间的重要经济指标GDP的分析，得知GDP可以分成三个大的方面:第一产业的GDP，第二产业的GDP，第三产业的GDP，（1）运用层次分析法，确定三大产业对上海的影响力的权重，进而建立模型，讨论上海世博会的影响力。（2）同样利用层次分析法，确定国内旅游长途交通费用，国内旅游住宿费用，购物费用，餐饮费用对上海的影响力的数学模型。在以上两层的基础上我们定量评估2010年世博会对上海的影响力。2.模型假设与符号说明2.1模型假设1、假定从互联网上得到的数据可靠。2、由于世博会尚未结束，假定世博会期间游客流量没有较大波动。3、假定2010年下半年各产业生产总值与上半年持平。2.2符号说明GDP评价指标QUOTE第一产业评价指标 第二产业评价指标 第三产业评价指标 旅游长途消费评价指标旅游住宿消费评价指标旅游购物消费评价指标旅游餐饮消费评价指标相应于评价指标的权重相应于评价指标的权重生产总值第一产业（农业）生产总值第二产业（工业）生产总值第三产业（服务业）生产总值总产值统计年限第一产业（农业）统计年限第二产业（工业）统计年限第三产业（服务业）统计年限旅游长途消费统计年限上海住宿消费统计年限上海购物消费统计年限上海餐饮消费统计年限旅游人均长途消费额（元）旅游人均住宿消费额（元）旅游人均购物消费额（元）旅游人均餐饮消费额（元）全年旅游人次旅游长途消费总额（万元）旅游住宿消费总额（万元）旅游购物消费总额（万元）旅游餐饮消费总额（万元）表示误差统计中的相应统计量是数据点的平均值3.问题分析世博会对地区经济的发展都有大促进作用，本届上海世博会就对上海的经济起到了促进作用。为了定量评估上海世博会对上海经济的影响力，我们从经济方面对上海世博会进行分析。而GDP是经济建设评估的主要决定方面。所以我们用GDP来定量评估上海世博会的影响力。利用GDP的增长指标（GDP的实际值比预测值）作为评价世博会对经济的影响力的衡量指标。我们分析过程中运用层次分析法，首先通过对经济指标GDP的分析，将GDP分成三个大的方面（第一层）:第一产业（以农业为主）的GDP，第二产业（以工业为主）的GDP以及第三产业（服务业为主）的GDP。再将第三产业（第二层）分为国内旅游长途交通费，国内旅游住宿费，购物费用，餐饮费用四层。在第一层中，采用最小二乘法进行数据拟合得到各层中GDP增长的变化趋势，进而可以通过对2010年GDP的实际值比预测值得到各层的衡量指标，利用层次分析方法，得出各产业的指标对经济影响力的比例权重，进而确定三大产业反映世博会的影响力的指标。在第二层中，我用又利用同样的分析方法，给出旅游长途交通费，国内旅游住宿费，购物费用，餐饮费用对第三产业影响的指标的权重，确定以上四项反映世博会对第三产业的影响力的指标。4.问题的建模和求解4.1评价指标体系的确立GDP评价指标体系GDP评价指标体系第一产业占上海市GDP的比重指标第二产业占上海市GDP的比重指标第三产业占上海市GDP的比重指标国内旅游长途交通费用国内旅游住宿费用国内旅游购物费用国内旅游餐饮费用图1：GDP评价指标体系层次结构图、4.1.1第一层评价指标的确定世博会影响力表现方面繁多，但我们只选取其中能够较好体现影响力的四个方面进行分析，进一步对2010年世博会的影响力进行定量评估。根据问题分析部分所得结论，我们构建了评价指标体系，确定了四个主要评价指标：一是上海市第一产业占上海市GDP的比重为指标；二是上海市第二产业占上海市GDP的比重为指标；三是上海市第三产业占上海市GDP的比重为。指标分析：为了对GDP评价指标进行定量分析，我们对产业指标做了如下定义：，当时，说明产业实际增长速度大于以往增长的速度，经济增长速度加快；当时，说明预测增长速度较准确，实际产值较往年并未产生突变，紧急发展平稳；当时，说明实际增长速度较往年较往年有所放缓，连续多年则经济出现衰退趋势。模型的GDP评价指标为加权之和，所以整个评价指标体系模型如下：4.1.2第二层评价指标的确定与三大产业评价指标类似包括四个方面：一是国内旅游长途交通费用；二是国内旅游住宿费用；三是国内旅游购物费用；四是国内旅游餐饮费用；与三大产业评价指标类似的，我们对影响第三产业的四个方面进行了如下定义，当时，实际增长速度大于以往增长的速度，说明世博会对该方面具有促进作用；当时，说明预测增长速度较准确，世博会对该方面没有明显作用；当时，说明实际增长速度较往年有所放缓，说明世博会对该方面具有抑制作用。模型的评价指标为加权之和，所以第二层评价指标体系模型如下：4.1.3总体评价指标体系的建立综合上面所述GDP评价指标的函数关系为 4.2两层模型的合理的评价指标的具体确定利用层次分析法，首先确定第二层的模型，进而在第二层基础上，再次给出第一层的模型，综合两层给出评价上海世博会的影响力的总的模型。4.2.1第二层合理的评价指标体系的确定(1)第二层合理的评价指标体系。与三大产业评价指标类似包括四个方面：一是国内旅游长途交通费用；二是国内旅游住宿费用；三是国内旅游购物费用；四是国内旅游餐饮费用模型的评价指标为加权之和，所以第二层评价指标体系模型如下：(2)第二层合理的指标模型的准备。通过2005-2009年国内旅游长途交通费，国内旅游住宿费，购物费用，餐饮费用四个方面确定第三产业的评价指标，下面给出上海市各年份第三产业的详细数据表1（文献【11】），进行分析得到2010年的第三产业上述四个方面的预测值。表1上海市各年份第三产业的详细数据人均花费（万人）2005年2006年2007年2008年2009年长途交通176174171156168住宿219211209206224购物533536572609596餐饮220217221212235人次（万）36183966406441183835结合表1数据利用excel分析法得到直观的上述四个方面的人均消费比重图（图5）。图2四个方面的人均消费比重图接下来，我们通过这四个方面来确定各年第三产业GDP的发展趋势，然后判断上海世博会是否对上海第三产业产生了巨大影响，其结果作为判断上海世博会影响力的依据。1、首先我们为了研究交通运输的发展问题，需要得到人均长途交通运费数据（表2）。（即2005年，2006年，2007年，2008年分别用1，2，3，4表示），对表四加以整理，根据得表2。表2长途交通运费2005年2006年2007年2008年2009年长途交通费用（元）176174171156168人次（万人）36183966406441183835总消费（亿元）63．676864.008464.109664.240864.4280结合上述数据形象表示出长途交通总运费的直观图（图3）。图3长途交通总运费用最小二乘法确定函数模型拟合曲线，从图象可直观看出数据之间满足的规律：，其中旅游长途消费总额（万元），旅游长途消费统计年限，为参数。然后用最小二乘法准则，极小化最优的必要条件是。解方程化简得将和的全部值代入，可解出，根据公式预测得2010年长途交通花费为64.72亿元。2、我们来研究住宿收入的发展，给出2005年-2009年上海市旅游住宿费用的数据（表3）。表3：上海市旅游住宿费用2005年2006年2007年2008年2009年住宿费用(元)219211209206224人次（万）36183966409641183835总收益（万元）79.234283.682684.167284.830385.9040结合上述数据形象表示出上海市旅游住宿费用的直观图（图4）。图4上海市住宿收入费用观察走势，按照（1）方法步骤得出数据满足的模型关系：其中旅游住宿消费总额（万元），上海旅游住宿费用统计年限，根据公式预测得2010年住宿花费为88.7亿元。3、我们来研究购物收入的发展，给出2005年-2009年上海市购物收入的数据（表4）。表42005年-2009年上海市购物收入2005年2006年2007年2008年2009年购物费用（元）533536572609596人次（万）36183966406441183835总收益（亿元）192.8212.57231.46250.78228.56结合上述数据形象表示出上海市购物收入的直观图（图5）。图52005年-2009年上海市购物收入观察走势，同（1）方法，假设数据变化符合二次曲线规律，设为，其中旅游购物消费总额为待定参数。应用非线性曲线拟合进行最小化处理：求最优化的必要条件为。其中表达式中为定值，此题等于2。经过拟合运算，以及复杂计算，得出，根据公式预测得2010年购物花费为为269.5亿元。4、我们来研究餐饮收入的发展，给出2005年-2009年上海市旅游餐饮消费的数据（表5）。表52005年2006年2007年2008年2009年餐饮费用（元）220217221212235人次（万）36183966406441183835总收益（万元）79.5986.0689.887.3690.12结合上述数据形象表示出上海市购物收入的直观图（图6）。图6上海市购物收入的直观图观察走势，应用3.2的方法计算应比较合理，按照如上方法步骤得出数据满足的模型关系：其中旅游餐饮消费总额（万元），为旅游餐饮消费额统计年限。根据公式预测得2010年餐饮花费为为96.246亿元。5、误差分析下面对以上所得结果进行统计分析，以确定其合理性：应用公式，其中表示误差平方和，表示相应的统计量，它反映了关于会直线的偏差。应用公式，其中表示总修正平方和，是数据点的平均值。可得回归平方和。与值相对于直线的偏差相比较，反映值由回归直线解释的那部分偏差，定义决定系数，它度量了回归曲线的拟合程度，的值越接近于1，用回归直线对实际数据的拟合越好。分别计算上述所得四个回归方程的并做成表6。表6四个回归方程的交通收益模型0.01080.29440.963住宿收益3.21525.8880．8758餐饮收益252.061169.360.809购物收益11.5758.350.802通过上表我们发现在合理范围内的值均接近于1，所以四种模型都较合理，可以应用。（3）第二层在评价指标的求解。（4）第二层指标权重的确定。根据2009年长途交通、住宿、购物、餐饮占人均消费比重（见图2），利用层次分析法模型，考虑各因素对第三产业指标的重要性，相对于的判断矩阵为确定权系数、、、、，由方根发计算判断矩阵每行元素乘积的次方根其中为第行每个元素。从而得到，，，，因为，所以对其进行化一计算得二级权重为，，，。这样我们确定了第二层第三产业评价指标的模型4.2．2第一层模型的合理的评价指标体系的确定（1）第一层模型的合理的评价指标体系。为了定量评估上海世博会对上海经济的影响力，我们从经济方面对上海世博会进行分析。而GDP是经济建设评估的主要决定方面。所以我们用GDP来定量评估上海世博会的影响力。利用GDP的增长量（GDP的实际值比预测值）作为评价世博会对经济的影响力的衡量指标。（2）第一层模型的指标体系准备。在问题的分析中我们已经对这个问题有了深刻的理解，我们选用了层次分析法确定权重系数，在确定权重之前，我们给出第一产业、第二产业和第三产业的GDP的发展趋势，为此我们做了一下四个方面的考虑:第一方面，生产总值的发展趋势。我们从上海地方志网站上得到了2003年到2008年上海市的国民经济主要指标它包括生产总值，第一产业产值，第二产业产值，第三产业产值等一些列重要数据。根据这些数据我们绘制了表7。从中可以看出上海市经济的构成、各产业占总产值的比重、人均生产总值等数据，数据统计不详细，固因有的年份没有统计。由于数据量不足通过对原始数据分析采用用最小二乘法确定函数模型。表7:上海市国民经济主要指标项目单位2003年2004年2005年2006年2007年2008年年末户籍人口万人1283.351321.631352.391360.261378.861391.04从业人员万人787.72745.24836.87863.32909.081053.24生产总值亿元6250.817450.278072.839164.1012188.8513698.15第一产业亿元92.9896.7183.4590.26101.84111.80第二产业亿元3130.723788.223892.124452.925678.516235.92第三产业亿元3027.113565.344097.264620.926408.507350.43人均生产总值(按户籍人口计算)万元4.675.235.996.766.6473124由于表7的数据复杂，所以我们精简出几组重要数据画出图7。图7：上海市三大产业产值及其总产值按往年经济发展规律全年经济指标可以按半年指标的两倍计算，所以通过对2010年上海上半年经济指标统计并经过计算得出表8。表8：2010年上海全年经济指标统计生产总值第一产业第二产业第三产业2010年16886亿113.78亿7754.499017.73购物费用餐饮花费国内旅游长途交通费国内旅游住宿费2010年303.198.268.893.6为了给出各产业的总体趋势我们对2003年到2008年生产总值进行整理、分析，得出表9。表9：2003年道2008年上海市生产总值项目单位2003年2004年2005年2006年2007年2008年生产总值亿元6250.817450.278072.839164.1012188.8513698.15对表9数据经行分析并由表9作图8，得生产总值曲线。图8:2003年到2008年上海市生产总值折线图利用上面的数据，用最小二乘法确定生产总值函数模型拟合直线，设预期模型形式为，其中是生产总值，总产值统计年限，并决定用6个数据点来估计和。用记作的最小二乘估计，然后用最小二乘法准则，得出最优的必要条件是两个等于零。得方程：化简得将和的全部值代入，可解出。根据拟合后函数求的2010年生产总值为16226.46亿元。第二方面，2010年第一产业生产总值的预测值。首先我们给出2003年—2008年上海市第一产业产值（表10），结合表3给出上海市第一产业产值柱状图3，分析其第一产业各年份的变化规律。利用最小二乘法数据拟合，预测2010年的第一产业生产总值。表10：2003年—2008年上海市第一产业产值项目单位2003年2004年2005年2006年2007年2008年第一产业亿元92.9896.7193.4590.26101.84111.80图9：2003年—2008年上海市第一产业产值柱状图从图中我们可以看出，近几年来第一产业虽有所上升但变化不大。用求解上海世博会对生产总值的影响的方法可以求出其中第一产业（农业）生产总值，第一产业（农业）统计年限。根据上述公式预测得2010年的第一产业生产总值为111.088亿元。对第一产业的年增长率进行分析如表11，可知第一产业的生产总值占总产值不足百分之二，相对于上海市经济发展来说所占比重很小。表11：第一产业生产总值及其占GDP总额的比重2003年2004年2005年2006年2007年2008年生产总值6250.817450.278072.839164.1012188.8513698.15第一产业92.9896.7183.4590.26101.84111.80所占比率1.4%1.2%1.03%1%0.8%0.8%第三方面，2010年第二产业生产总值的预测值。通过上海年鉴数据的整理、分析，我们得到2003年—2008年上海市第二产业产值（表12），由表做第二产业的折线图（图4），同时可以利用折线图观看其大致走势以及大概数值，进而对第二产业的数据进行拟合处理，并利用最小二乘法进行分析，给出第二产业生产总值的预测值。表12：2003年—2008年上海市第二产业产值项目单位2003年2004年2005年2006年2007年2008年第二产业亿元3130.723788.223892.124452.925678.516235.92图10：2003年—2008年上海市第一产业产值折线图从图中可以看出第二产业产值，第二产业产值呈上升趋势，并在近几年增幅较大，用最小二乘法确定函数模型拟合直线，测得2010年第二产业生产总值。设预期模型形式为，其中第二产业（工业）生产总值，第二产业（工业）统计年限，拟合曲线的参数。并决定用6个数据点来要求极小化其中为参数，。解下述方程：化简得题中，将和的全部值代入，可解出、代入方程得根据公式预测得2010年第二产业生产总值为7325.54亿元第四方面，2010年第三产业生产总值的预测值。通过对上海市2003年至2008年第三产业的处理分析得第三产业成产总值（表13）由表做第三产业生产总值的直方图（图11），以方便对第二产业的数据进行拟合处理，同样利用最小二乘法进行分析，给出第三产业生产总值的预测值。表13：2003年—2008年上海市第二产业产值项目单位2003年2004年2005年2006年2007年2008年第三产业亿元3027.113565.344097.264620.926408.507350.43图11：第三产业生产总值的柱状走势图进行数据拟合，得到极小化其中第三产业（服务业）第个的生产总值，第三产业（服务业）第个统计年限，。求最优化的必要条件为其中表达式中为定值，此题中等于2。经过运算，得出根据公式预测得2010年第三产业的生产总值为8787.4亿元。4.2.2评价指标的求解1)第一产业指标()2)第二产业指标()4.2.3第一层指标权重的确定。前面分析了GDP评价指标是由第一产业占上海市GDP的比重指标、第二产业占上海市GDP的比重指标、第三产业占上海市GDP的比重指标加权组合，而且第三产业又由国内旅游长途交通费用、国内旅游住宿费用、国内旅游购物费用、国内旅游餐饮费用、国际旅游外汇收入组成。下面借助层次分析法确定、、。GDP评价指标体系的层次结构如图1。根据2009年第一、二、、三产业在上海生产总值的影响大小，利用层次分析法模型， 确定相对于的判断矩阵为由方根发计算判断矩阵每行元素乘积的次方根其中为第行每个元素。从而得到，，因为，所以对其进行化一计算得二级权重为，，。这样我们确定了第一层GDP评价指标的模型