数学建模-基于层次分析法的学科评价体系

基于层次分析法的学科评价体系摘要：一所高校各学科的评价反映了该高校的学术和教学水平。而学科的评价却是由许多因素决定的，这些因素又互相影响，使得科学地评价各学科水平及学科间差异成为了一个比较复杂的课题。而且这也是目前各高校研究的一个热点领域。所以，建立一个较为完善的学科评价体系是十分必要的。对于问题一，使用层次分析法，将学科的各项因素根据实际情况分为五层，根据重要性给出每一部分的成对比较阵，得出权重，再将各项数值转化为百分制的分数，分别乘以对应的权重，并求和，即为总分。我们通过以上步骤计算各学科的分数如下表：a1a12a8a9a2a11a766.1809155.2588654.1670751.2113650.3545249.3669248.88003a10a5a4a13a3a643.3151740.3122532.9004732.149231.0313323.472对于问题二，我们算出了每个最底层准则的权重，其他学科的数据直接用此权重计算即可。，无论是科研型还是教学型的高校都适用。对于问题三，对于教学型高校和科研型高校，只需调整教学和科研的权重即可。本模型运用了层次分析法，较为准确的描述了各学科的发展状况；文理分科计算分数，有助于科学的评价各个学科的发展水平；教学和科研的权重可以随实际情况加以调整，对于不同类型的高校均适用。关键词：学科评价，权重，层次分析法1问题重述学科的水平、地位是高等学校的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科(与其他学科相比较)的地位及不足之处，可以更好的促进该学科的发展。因此，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展研究的热点问题。现有某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在一段时期内的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。1.根据已给数据建立学科评价模型，要求必要的数据分析及建模过程。2.模型分析，给出建立模型的适用性、合理性分析。3.假设数据来自于某科研型或教学型高校，请给出相应的学科评价模型。2模型假设假设科研经费全部投入科研之中；假设国家级科研经费全部投入国家级项目，省部级、其他和横向科研经费全部投入省部级项目；假设教学和科研之间没有联系；假设各个教学奖和科研成果均为各自学科单独完成，不存在跨学科合作的情况；各学科的教学科研条件基本相同，不存在某学科的发展受限制的情况。3符号说明 第n项的权重CI 一致性程度RI 平均随机一致性指标CR 随机一致性比率4模型分析4.1层次分析法层次分析法(AnalyticHierarchyProcess简称AHP)是美国运筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。层次分析法的基本思路是先分解后综合的系统思想。首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。运用AHP法进行决策时，需要经历以下4个步骤：

1、建立系统的递阶层次结构；

2、构造两两比较判断矩阵（正互反矩阵）；

3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；

4、计算当前一层元素关于总目标的排序权重。

5、进行一致性检验。

该方法用于确定各指标的相对重要性。通过两两比较得到相应的重要性判断矩阵，判断的标准可以从下面的表中看出：w135792,4,6,8Rij同样重要稍微重要明显重要强烈重要绝对重要重要程度介于各等级之间W表示各个等级，Rij是第i个指标与第j个指标相比的重要程度，同时第j个指标与第i个指标的相比的重要程度是Rij=1/Rij。对两两因素进行比较，得比较判断矩阵算出矩阵的最大特征根λmax，对应于λmax的标准化特征向量即为各指标在目标中的权重。然后检验判断矩阵的一致性程度：根据，RI则为平均随即一致性指标，经过大量的试试比较和理论分析，专家对于n=1,2,…,8,给出了RI的值，如表：N12345678RI000.541.321.41CR称为随即一致性比率，.当CR≤0.1时，可以认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应该重新调整。4.2模型分层通过查找资料和分析，我们将该模型分层如下：目标层：总分；准则层1：前期投入，教学，科研；准则层2：学科建设，教学奖，队伍建设，人才培养，科研成果奖，科研成果；准则层3：一级学科国家重点学科，二级学科国家重点学科，博士学位授权点，硕士学位授权点，国家级，省级，教师，学者，博士，硕士，博士后，国家级，其他级别，SCI/SSCI，EI，ISTP，CSSCI，政府报告，专利，专著；准则层4：教授，副教授，b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8。4.3各项指标转换为分数本模型的分数采用百分制。由于该模型的各项指标大部分为数量值，并且均没有上限，所以我们采用如下方法计算每项指标的分数：找出所有数据中的最大值Dmax，将其分数定为100。对于其他数据，套用公式：这样就将数据转换成了分数。4.4文理科的判定根据附表，可以看出：a1学科在SCI/SSCI、EI、ISTP和专利这几项上的数据很高，而在CSSCI、政府报告和专著这几项上的数据很低，甚至为零；a10学科在SCI/SSCI、EI、ISTP和专利这几项上的数据比较低，而在CSSCI、政府报告和专著这几项上的数据较高。根据在百度百科上查到的资料，列出表格：SCI(ScienceCitationIndex,SCI)是由美国科学信息研究所(ISI)1961年创办出版的引文数据库，其覆盖生命科学、临床医学、物理化学、农业、生物、兽医学、工程技术等方面的综合性检索刊物，尤其能反映自然科学研究的学术水平，是目前国际上三大检索系统中最著名的一种，其中以生命科学及医学、化学、物理所占比例最大,收录范围是当年国际上的重要期刊,尤其是它的引文索引表现出独特的科学参考价值，在学术界占有重要地位。根据SCI收录及被引证情况，可以从一个侧面反映学术水平的发展情况。SSCI社会科学引文索引(SocialScienceCitationIndex，简称SSCI)为美国科学情报研究所建立的综合性社科文献数据库，涉及经济、法律、管理、心理学、区域研究、社会学、信息科学等。收录50个语种的1700多种重要的国际性期刊，累计约350万条记录。EI工程索引(TheEngineeringIndex，简称EI)创刊于1884年，是美国工程信息公司（EngineeringinformationInc.）出版的著名工程技术类综合性检索工具。收录文献几乎涉及工程技术各个领域。例如：动力、电工、电子、自动控制、矿冶、金属工艺、机械制造、土建、水利等。它具有综合性强、资料来源广、地理覆盖面广、报道量大、报道质量高、权威性强等特点。ISTP科技会议录索引(IndextoScientific&TechnicalProceedings，简称ISTP)创刊于1978年，由美国科学情报研究所编辑出版。该索引收录生命科学、物理与化学科学、农业、生物和环境科学、工程技术和应用科学等学科的会议文献，包括一般性会议、座谈会、研究会、讨论会、发表会等。其中工程技术与应用科学类文献约占35%，其他涉及学科基本与SCI相同。CSSCI中文社会科学引文索引(ChineseSocialScienceCitationIndex)，是由南京大学研制成功的、我国人文社会科学评价领域的标志性工程。专利专利是受法律规范保护的发明创造，它是指一项发明创造向国家审批机关提出专利申请，经依法审查合格后向专利申请人授予的在规定的时间内对该项发明创造享有的专有权。政府报告一般指政府发布的对政府一年来工作的总结和对未来工作的计划的文章。专著指学术著作。由此看出，SCI/SSCI收录文章包括自然科学和社会科学，CSSCI、政府报告和专著多为社会科学领域内容，EI、ISTP和专利多为自然科学内容。因此，若CSSCI、政府报告和专著的数量较多，该学科很可能是文史类学科；若EI、ISTP和专利的数量较多，该学科很可能是理工类学科。我们设EI、ISTP、CSSCI、政府报告、专利、专著数量分别为E、I、C、ZF、ZL、ZZ，t为阈值，定义以下公式：规定若分母等于0，t=∞。若t＜1，认为该学科为文史类学科；t＞1，认为该学科为理工类学科。对题中13个学科计算如下：ta1336a220.71429a387a4∞a52.072727a6∞a75.287879a829.08333a90.090296a100.031724a110a120.240234a130由此可确定a1-a8为理工类学科，a9-a13为文史类学科。因为文理科在教学和研究中的实际情况存在差异性，在计算分数时，需要将文理科分开，分别计算最高分，再分别求出各科分数。5模型建立与求解5.1问题15.1.1准则层3：学科建设以学科建设为例，应用层次分析法，求出每个指标的权重。学科建设下，分为四个指标：一级学科国家重点学科、二级学科国家重点学科、博士学位授权点、硕士学位授权点。查询相关资料，我们将它们的重要性进行排序：一级学科国家重点学科＞二级学科国家重点学科＞博士学位授权点＞硕士学位授权点。可以列出成对比较阵：利用Mathematica计算特征根与特征向量，输入命令N[Eigensystem[M]]，可得λmax=4.10737，对应的特征向量为{7.6555,2.85793,1.44294,1}。计算CI，代入公式得CI=0.03579。RI的值通过查表得RI=0.9。计算CR，代入公式：得CR=0.0397667＜0.1，可以认为该成对比较阵具有较为满意的一致性。各指标的权值即为特征向量的四个分量，可以求出权重：各指标的数据如下：建设成效学科学科建设（个）一级学科国家重点学科二级学科国家重点学科博士学位授权点硕士学位授权点a12222a2121220a32246a42221a5131013a60157a7242233a8131215a9011527a101369a11011113a1213912a130159根据我们给定的分数规则，求得各项分数如下表：一级国家重点学科二级国家重点学科博士点硕士点a1100509.0909090916.060606061a2505054.5454545560.60606061a31005018.1818181818.18181818a4100509.0909090913.03030303a5507545.4545454539.39393939a602522.7272727321.21212121a7100100100100a8507554.5454545545.45454545a9033.33333333100100a101001004033.33333333a11033.3333333373.3333333348.14814815a121001006044.44444444a13033.3333333333.3333333333.33333333根据求分数公式得各学科的学科建设分数为：分数a171.59586a251.32471a373.54385a471.36198a554.1896a69.68283a799.99979a855.66982a926.20779a1088.17219a1119.23593a1291.25715a1313.6377教学奖对于所获教学奖，其元素分别为国家级和省级，我们给出的成对比较阵为：得其权重分别为：各指标的数据如下：国家级省级a116a213a301a400a515a603a7011a818a901a1004a1100a1228a1322根据我们给定的分数规则，求得各项分数如下表：国家级省级a110054.54545a210027.27273a309.090909a400a510045.45455a6027.27273a70100a810072.72727a9012.5a10050a1100a12100100a1310025根据求分数公式得各学科的教学奖分数为：总分a188.63636a281.81818a32.272727a40a586.36364a66.818182a725a893.18182a93.125a1012.5a110a12100a13.3队伍建设对于队伍建设，由于教授副教授与国务院学位委员会委员国务院学位委员会学科评议组成员等之间的可比性较弱，因此将教授副教授相互权重，b1到b8相互权重，再将前两个项目与后八个再进行权重，以保证权重相对科学。对于教授与副教授两个职称，我们给出的重要程度比是2：1，即得成对比较阵。求得对于b1到b8我们亦采用类似方法，他们的重要性从大到小依次排列为：国家“973”项目首席科学家、长江学者特聘教授、国家杰出青年基金获得者、国家教学名师奖获得者、国家有突出贡献的中青年专家、教育部新世纪（原跨世纪）优秀人才、国务院学位委员会学科评议组成员、国务院学位委员会委员。得其成对比较阵：利用Mathematica计算得其最大特征值为：，代入公式得，查表得RI=1.41，所以由公式得CR=0.00482358＜0.1所以一致性较为满意。求得权重为：关于教授副教授的数据如下：教授副教授a110090a211139a36016a42022a53935a63621a7150109a83643a95720a102616a112212a12309a132420根据评分标准计算得出各学科教师的得分如下：a1教授得分副教授得分a291.7431282.56881a37435.77982a44014.6789a513.3333320.18349a62632.11009a7100100a82419.26606a9100100a1045.6140480a1138.5964960a1252.6315845a1342.10526100根据求分数公式得各学科的队伍建设分数为：总分1a185.62691a248.51988a323.11927a417.9001a530.07339a620.84404a7100a834.29969a9100a1068.53801a1152.8655a1247.54386a1380.70175关于b1到b8的数据如下：b1b2b3b4b5b6b7b8a1125513215a2014701017a321321215a400101005a511220102a6011130010a702200003a800223009a901030013a1021000104a1100100003a1212000109a1300002004根据评分标准计算得出各学者的得分如下：b1得分b2得分b3得分b4得分b5得分b6得分b7得分b8得分4285733.3333310010088.23529a205080100033.333330100a3100506028.5714333.3333366.666675029.41176a40020033.333330029.41176a550504028.57143033.33333011.76471a60502014.285711000058.82353a7010040000017.64706a8004028.571431000052.94118a905001000010033.33333a1010050000100044.44444a1100100000033.33333a12501000001000100a1300001000044.44444根据求分数公式得各学科的队伍建设分数为：总分2a185.59648008a246.003735a350.6516455a410.73869765a523.96540492a627.35670172a719.88516059a827.41571462a940.252415a1026.35336167a1123.9722a1234.10027a1315.31096667由于不同学科间的特性差异，我们考虑由权重来平衡a1到a8于a9到a13之间的差异，具体方法为求出各块数据的平均值，如下表所示：总分1总分2a1到a8平均分45.0015336.45169a9到a13平均分62.8596527.99784设总分1的权重为x,总分2的权重为y，即可得方程：解得：根据求分数公式得各学科的队伍建设总分为：a181.21755a250.90545a344.51752a412.30597a525.27348a625.77122a745.6255a827.97288a959.4489a1036.22434a1130.96315a1239.23693a1330.120人才培养关于人才培养，元素分别为博士、硕士与博士后。我们对其重要程度的排列顺序按从大到小为：博士后、博士、硕士，其成对比较阵为：计算求得λmax=3.00369,对应的特征向量为{0.531329,0.188207,1}由公式求得CI=0.0018472990318196825，查表计算得CR=0.003185＜0.1，所以矩阵具有较为满意的一致性。得出权重：各指标的数据如下：培养博士培养硕士博士后a162354332a2453136916a31101702a426734415a57426912a621931622a7460110131a8106143115a9228112714a1018938423a1116934535a1235239025a1333265113根据我们给定的分数规则，求得各项分数如下表：博士硕士博士后a110037.94549100a272.7126895.6673750a317.656511.87986.25a442.8571424.0391346.875a511.8780118.7980437.5a635.1524922.0824668.75a773.8362876.939296.875a817.0144510046.875a964.7727310040a1053.6931834.0727665.71429a1148.0113630.61224100a1210034.6051571.42857a1394.3181857.7639837.14286根据求分数公式得各学科的人才培养分数为：a193.20801a262.01651a310.39076a443.13407a527.53594a653.26065a787.57411a843.46285a954.22179a1058.53658a1176.34109a1276.22663a1357.0668科研成果奖通过对以下表格的分析：建设成效学科所获科研经费(万元）所获科研成果奖项（项）国家级省部级其他横向国家级部级省级a119596.719962323004515a21134540029635005222a354011000400400133a41940860230580023a5459050006730002621a6239067089230008a71600980922000340541612a83008118934200921321a93677062001980.62235a1029040056560.980018a1129912612122722a12401416985611116a13222200109140.990525因为所获科研成果奖项有与其相对应的科研经费，所以我们先求出相对应的比值，其中国家级=其他所有=求出比值后再分为文（a9-a13）理(a1-a8)两部分分别求出以最大者为一百分作为标准算出各科目的分数，最后将所得的分数分别乘以国家级和其他所有的权重即为该模块的总分。通过查阅资料得两者的权重为：国家级0.6其他所有0.4，所求数值如以下表格：国家级比率分数其他所有比率分数总分a10.0002041230.699030.00463070223.1130627.66464a20.0004407266.284670.00315872615.7660446.07722a30.0001851527.846680.00333333316.6375523.36303a4000.02003484399.9992239.99969a50.0004357365.533730.00334696916.7056146.00248a6000.00808897940.3742416.1497a70.0002498637.578840.00207453510.3545526.68913a80.0006648999.999940.01051980252.5071281.00281a90.0054495981.471390.0128178486.62993351.53481a10000.0176994639.154913.661964a110.006688961000.193333333100.0002100.0001a120.0024937737.28180.04736842124.5009532.16946a13000.06666814834.4835813.7934科研成果通过对所给科研成果数据的分析,a1-a8与a9-a13的数据有明显的差别，通过查阅资料，我们把科研成果分为理科和文科两大类，并求出了相应的两套权重。理科：科研成果下分为七个指标：SCI/SSCI、专利、EI、ISTP、专著、政府报告、CSSCI。通过查阅相关资料我们将它们的重要性作出如下排序：SCI/SSCI＞专利=EI=ISTP＞专著＞政府报告=CSSCI。可以列出成对比较阵：利用Mathematica计算特征根与特征向量，可得λmax=7.00803，对应的特征向量为{9.24825,4.76682,4.76682,4.76682,1.12036,1,1}。代入公式求得CI=0.00133833。RI的值通过查表得RI=1.32。代入公式计算出CR=0.00101389＜0.1，可以认为该成对比较阵具有较为满意的一致性。各指标的权值即为特征向量的四个分量，可以求出权重：各指标的数据如下：建设成效学科科研成果SCI/SSCI(篇)EI(篇)ISTP(篇)CSSCI(篇)政府报告(篇)专利(项)专著(部)a12500890350001044a2890601230210133a34502271400203a42312762000270a596155241001499a65408910900360a736078230004166a8300134000812根据我们给定的分数规则，求得各项分数如下表：SCI/SSCIEIISTPCSSCI政府报告专利专著a1100100100001006.060606061a235.667.528096.5714286010097.1153850a31825.5056240019.230774.545454545a49.2431.011245.71428570025.961540a53.8417.415736.85714291005047.1153813.63636364a621.61031.1428570034.615380a714.48.76404565.7142860039.42308100a8120.1123697.142857007.69230818.18181818根据求分公式得理科的分数为：总分a188.5541a248.79822a315.14405a414.40885a520.28884a621.03136a729.55319a823.68336文科：科研成果下分为七个指标：SCI/SSCI、专利、EI、ISTP、专著、政府报、CSSCI。通过查阅相关资料我们将它们的重要性作出如下排序：专著=CSSCI=政府报告＞SCI/SSCI=ISTP＞EI=专利。可以列出成对比较阵：利用Mathematica计算特征根与特征向量，可得λmax=7.02029，对应的特征向量为{9.75569,9.75569,9.75569,2.65259,2.65259,1,1}。代入公式求得CI=0.00338167。RI的值通过查表得RI=1.32。代入公式计算出CR=0.00256187＜0.1，可以认为该成对比较阵具有较为满意的一致性。各指标的权值即为特征向量的四个分量，可以求出权重：各指标的数据如下：SCI/SSCIEIISTPCSSCI政府报告专利专著a92101341200200084a10120023234456035a112300650150012a1210123245230037a13300450189036根据我们给定的分数规则，求得各项分数如下表：SCI/SSCIEIISTPCSSCI政府报告专利专著a917.5010010043.859650100a10100017.1641819.5100041.66667a1119.166670054.1666732.89474014.28571a120.833333091.7910420.4166750.4386044.04762a132.50037.541.44737042.85714根据求分公式得文科的分数为：总分a973.57208a1051.48929a1128.4246a1237.3685a1332.6728综合文理科的分数为：总分a188.5541a248.79822a315.14405a414.40885a520.28884a621.03136a729.55319a823.68336a973.57208a1051.48929a1128.4246a1237.3685a1332.67285.1.2准则层2：前期投入资金我们将前期投入资金取倒数，运用评分标准将其评分得：学科前期投入（万元）倒数得分a146890.00021316.8856a251230.00019515.45512a318760.00053342.20499a412340.0008164.16253a513450.00074358.86733a69870.00101380.21942a710700.00093573.99679a87920.00126399.97041a94500.00222279.9936a103600.00277899.992a113620.00276299.43956a123700.00270397.28951a134600.00217478.2546教学关于教学，其元素分别为学科建设、教学奖、队伍建设和人才培养，我们给定其成对比较阵为：计算得其CI=0,即CR=0，所以可以认为该成对比较阵具有较为满意的一致性，的各指标的权重：各指标的得分为：学科建设教学奖队伍建设人才培养a171.5958688.6363681.2175588.22328a251.3247181.8181850.9054559.52415a373.543852.27272744.5175210.07921a471.36198012.3059740.79747a554.189686.3636425.2734825.66667a69.682836.81818225.7712249.83364a799.999792545.625582.74516a855.6698293.1818227.9728841.12625a926.207793.12559.448943.19046a1088.1721912.536.2243450.52739a1119.23593030.9631569.17605a1291.2571510039.2369361.98092a1313.6377381.2530.1201843.04633根据求分数公式得各学科的教学分数为：a181.88728a256.21861a341.13262a434.77405a545.24346a621.24055a764.70389a850.66606a934.92324a1052.24569a1128.37448a1269.91906a1335.8932科研通过查询相关资料与分析，科研成果奖项与科研成果对科研都相当重要，所以我们得出权值：科研成果0.5，科研成果奖项0.5.分数如下图所示：科研成果奖项科研成果科研权值0.50.5a127.6646411188.5541036458.10937a246.0772169848.7982173647.43772a323.3630277915.1440498419.25354a439.9996869614.4088511627.20427a546.0024831320.2888415133.14566a616.1496955721.0313571718.59053a726.6891261229.5531868928.12116a881.0028144123.6833624752.34309a951.5348084573.5720802662.55344a103.661964251.4892874127.57563a11100.000070928.4246033564.21234a1232.1694578837.3685048834.76898a1313.7934337532.6728001923.233125.1.3准则层1：总分总分由教学，科研，和前期投入资金三个方面决定，我们定其成对比较阵为：计算得CR=RI=0，所以矩阵具有较为满意的一致性。得出权重：各指标的数据如下：教学科研前期投入a180.4144258.1093716.8856a257.6337947.4377215.45512a341.4124119.2535442.20499a434.6888827.2042764.16253a545.1594233.1456658.86733a621.2618.5905380.21942a766.4992828.1211673.99679a850.2655952.3430999.97041a936.2714662.5534479.9936a1051.9700527.5756399.992a1128.2623764.2123499.43956a1270.4948534.7689897.28951a1335.3020523.2331278.25461根据求分数公式得各学科的总分为：学科总分a166.18091a250.35452a331.03133a432.90047a540.31225a623.472a748.88003a854.16707a951.21136a1043.31517a1149.36692a1255.25886a1332.1492经过排名得：排名学科总分类型1a166.18091理2a1255.25886文3a854.16707理4a951.21136文5a250.35452理6a1149.36692文7a748.88003理8a1043.31517文9a540.31225理10a432.90047理11a1332.1492文12a331.03133理13a623.472理总排序的随机一致性比率根据总排序的随机一致性比率公式：求得 ＜0.1通过一致性检验。5.2问题二由最终排名可看出，a1和a12学科综合评价比较高，而a3、a6评价较低。整个排名是文理科互相穿插，较好的体现了模型的公平合理性。根据以上建模的结果，可以求出每个最底层准则的权重：权值前期投入资金0.0588235一级学科国家重点学科0.092595266二级学科国家重点学科0.034566323博士学位授权点0.017452169硕士学位授权点0.012094852国家级教学奖0.058941147省级教学奖0.019647049教授0.026625882副教授0.01311424b10.007161668b20.011508297b30.023906499b40.012398245b50.012398245b60.0123982