高中数学《弧度制》导学案

1.1.2弧度制

卜课前自主预习

1.角的单位制

臼长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号

rad表示，读作里弧度，通常略去不写.囱以弧度作为单位来度量角

的单位制叫做弧度制.

弧度数的计算：

2.角度与弧度的换算

(1)角度制与弧度制的换算

(角度化弧度卜［弧度化角度〔

(560°--------------

1°=j^rad==0.01745rad1rad=(■^■丫=57.30°

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

弧度⑻0呜呜回专O*O畤鸣

3.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为r,弧长为/,。(0＜。＜2兀)为其圆心角的弧度数,

〃为圆心角的角度数，则扇形的弧长：/=回簿=回”，扇形的面

积：S=叵］=国\lr=四1^a-r2.

3oUzZ

R自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大.()

(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.()

(3)用弧度表示的角都是正角.()

(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

2.做一做

2

(1)(教材改编P9T5)在半径为5cm的圆中，圆心角为周角的Q的角

所对的圆弧长为()

兀兀

A4cmBc.-20cm

10兀50兀

cmcm

答案B

247r20TI

解析记r=5,圆心角。=1*2兀=丁，.,.l=\a\r=—^~.

11JT

(2)—135。化为弧度为,亍化为角度为.

答案一竽660°

7T3711Ijr11

解析一135°=—135义南=一1，-=yX180°=660°.

卜课堂互动探究

探究1弧度制的概念

例1下列命题中，假命题是()

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.一度的角是周角的心，一弧度的角是周角的《

JOU271

C.弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系

D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长

短有关

解析根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制,

角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以

D是假命题.选项A,B,C均为真命题.

答案D

拓展提升

角度制和弧度制的比较

(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是

以“度”为单位来度量角的单位制.

(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是

指圆周角的击的角，大小显然不同.

(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小

都是一个与“半径”大小无关的值.

(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“。”)不能省略，而用

“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.但

两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法.

【跟踪训练1】下列叙述中正确的是()

A.1弧度是1度的圆心角所对的弧

B.1弧度是长度为半径的弧

C.1弧度是1度的弧与1度的角之和

D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角

的一种度量单位

答案D

解析弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径

的圆弧所对圆心角的大小.故选D.

探究2角度和弧度的换算

例2把下列各角用另一种度量制表示出来：112。30'；36°；-

5兀

[2；DJ•

解112°30/=-X-=—

用牛iiz21808,

717T

36。=36义而

5-

5兀5兀、,180

=-X°=-75°.

1212n

180

3.5=3.5义。心3.5*57.3。=200.55。（或200。33'）.

71

拓展提升

用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示

角时要特别注意单位“。”不能丢，因为1。与1是完全不同的两个角.

【跟踪训练2】（1）一300°化为弧度是（）

4兀-5兀-7兀-77r

A.-yB.-yc.-TD.-y

（2型4IF化为度数是（）

A.278°B.280°C.288°D.318°

答案（1）B（2）C

jr571

解析（]）—3000=—300><^^=—1.

8兀8

(2)y=^X180°=288°.

探究3用弧度制表示角的集合

例3已知角a=2005。.

⑴将a改写成S+2E(Z£Z,0WH＜2兀)的形式，并指出a是第儿象

限的角；

(2)在［―5兀，0)内找出与a终边相同的角.

jr40ITI(417

角星(1)2005°=2005XJ^i'ad=riad=15X27r+市-rrad,

_41兀3兀

又兀＜人＜不

.•.角a与4鄂17r冬边相同，是第三象限的角.

4171

⑵与«终边相同的角为2E+而(故Z),

41兀

由一5兀＜2析kGZ知k=-1,—2,—3.

了.在［-5%0)内与a终边相同的角是

31兀103兀1757r

一跖~^6~J~^6~'

拓展提升

用弧度制表示终边相同的角2E+a(Z£Z)时，其中2E是兀的偶

数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.

【跟踪训练3】⑴将一1125。表示成2br+a,OWaCmkGZ的

形式为;

(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

答案（1）—8兀+1（2）见解析

解析（1）:一1125。=—11125义制=一等，

而一^^=一8兀+与，，-1125。=-8兀+子.

5兀

（2）因为终边落在QA处的角9=2E+直，kQZ,终边落在03处

的角6=2k7i-l，kGZ,所以终边落在阴影部分的角的集合为

九八।5九

<02k7t—z<e（2E+7^,Zr.

。12

探究4扇形的弧长及面积公式的应用

例4（1）已知扇形的周长为8cm,圆心角为2,则扇形的面积为

_______cm2；

（2）已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么

扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？

解析（1）设扇形的半径为rem,弧长为/cm,由圆心角为2rad,

依据弧长公式可得/=2r,从而扇形的周长为/+2r=4r=8,解得r=

2,则/=4.

故扇形的面积S=^/r=2><4X2=4cm2.

（2）设扇形的弧长为/,由题意得2TIR=2R+1,所以/=2（兀-1）凡

所以扇形的圆心角是，=2（兀-1）,扇形的面积是界=（九一1）心

答案（1）4（2）见解析

拓展提升

弧度制下涉及扇形问题的解题策略

（1）明确弧度制下扇形的面积公式是5=少r=彳旬'（其中/是扇形

的弧长，r是扇形的半径，a（0<a<2兀）是扇形的圆心角）.

（2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分

析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式

直接求解或列方程(组)求解.

【跟踪训练4]已知扇形AOB的圆心角为120°,半径为6,

求：

(1)A3的长；

(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积).

解(1):120。=不，/.AB的长/=yX6=4兀

如图所示，过点。作QDJ_4B,交A3于。点，

于是有SAOAB=3XABXOD=：X2X3事X3=9事,

...弓形的面积为S扇形AOB—Sz\AOB=12兀一9小.

1

f-------------------------1那噩升--------------

1.弧度制与角度制的区别与联系

(1)区别

①单位不同.弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”

为度量单位；

②定义不同.

⑵联系

不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆

的半径大小无关的定值.

2.角度制与弧度制换算时应注意的问题

(1)弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化

时，可牢记以下公式：焉=瑞，只要将已知数值填入相应的位

置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可.

(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不

写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应该把它理解为

名数，如sin2是指sin(2弧度)，兀=180。是指兀弧度=180。；但如果

以度为单位表示角时一，度就不能省去.

(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少兀的形式，

如无特殊要求，不必把兀写成小数，如45。=?瓜度，不必写成

45°^0.785弧度.

(4)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.

(5)角度制和弧度制表示的角不能混用.如a=2E+30。，kj

7T

p=k-90°»kGZ,都不正确.

卜课堂达标自测

1.2145。转化为弧度数为（）

163216K143K

A，TB.Kc.-r~D.-r;F

答案D

TT1437r

解析2145°=2015Xf67；rad=rad.

1OU11Z0

2.a=-2rad,则a的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析•.•lrad=57.30。，二-2rad4一114.60。.故a的终边在第三

象限.

3.在△ABC中，若A：8：C=3：5：7,则角A,B,C的弧度

数分别为.

宏安三匹办

u木5’3'15

解析A：B：C=3：5：7,

31

则A占总度数的&|«q7=不

B占总度数的石点匚7=]

JIJI/J

77

C占总度数的=^=衣.

j।JI/【J

7TIT771

三角形的内角和为兀，则A为亍B为。为正.

4.用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为

兀

答案,a2E+g<a<2E+7i,keZ,

解析若角a的终边落在第二象限，则

兀

2kn++n,%£Z.

5.(1)把310。化成弧度;

57r

⑵把五rad化成角度；

jr/兀

(3)已知a=15。，。=讪，>=1，9=105。，9=五，试比较a，B，

y,6,(p的大小.

jr3171

解(1)310°=不诉radX310=-^-rad.

1oU\o

⑵5五7r城=f匕l80义57时fl=75。.

TT7T

(3)解法一(化为弧度)：a=15°=15X—=—

1OU1z

兀7兀

。=105。=105义诉=石.

1oU1z

ITTTTT

显然正<正<1(而故a<(i<y<6=(p.

解法二(化为角度)：4=今=强义卜当°=18。，y=1^57.30o,9=

IUJLU\/

77rfl80>

i2XlVjO=105°-

显然，150<18°<57.30°<1050,a<^<y<6=(p.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.下列各式中正确的是（）

A.兀=180B.兀=3.14

71

C.90°=2radD.1rad=7t

答案C

解析A选项，兀rad=180。，故错误；B选项，兀y3.14,故错误；

C选项，90°=yad,故正确；D选项，1rad=，^},故错误.故选

C.

2.扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，

则（）

A.扇形的面积不变

B.扇形圆心角不变

C.扇形面积增大到原来的2倍

D.扇形圆心角增大到原来的2倍

答案B

解析由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧

度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到

原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.

117T

3.把一丁表示成e+2E/£Z）的形式，使|。|最小的6为（）

3兀c兀-3兀一兀

A.一1B，4C.1D.-4

答案A

5*匚..11兀c3兀.八3兀11兀，।5兀.

斛析.一丁=­2兀一彳，..e=一彳.又一丁=-4兀+1，..

兀

9=学57r.,.使助最小的8=一学3

35

4.若a=2E—普，比Z,则角a所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析-9＜一亨＜-8,—3兀＜一苧v—3加+,

35

二.一才在第三象限，故a也在第三象限.

5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心

角的弧度数的绝对值为（）

兀

A,73TBT2

C.事D.2

答案C

解析设所在圆的半径为一，圆内接正三角形的边长为2rsin60。

=小一，所以弧长于「的圆心角的弧度数为亭=小.

二、填空题

6.将一1485。化成2E+a（0Wa<2m%£Z）的形式为.

7兀

答案-107r+y

ji33兀7兀

解析一一丁=TIZ

1485°=—1485X1.o=U4-10+今.

7.扇形A03,半径为2cm,|AB|=26cm,贝MB所对的圆心角

弧度数为.

套案-

口木2

解析'：\AO\=\OB\=2,\AB\=2yf2,，/408=90。=，

8.若角a的终边与弓角的终边相同，则在［0,2瓦］上，终边与京角

的终边相同的角是.

宏安区宜臣19K

口木T*To,T,io

解析由题意，得a=等+2E,.*=普+#（故Z）.

令攵=0,123,得*=尊瑞,y，带.

三'解答题

9.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合（包括边界），并

判断2019。是不是这个集合的元素.

解V150°=y,

...终边在阴影区域内角的集合为S=

{夕信咨+2E,\wz}.

(219兀、

V2019o=219°+5X360°=|-^Q-+107rlrad,

又萍奇号••・2。19。££

10.扇形A08的周长为8cm.

(1)若这个扇形的面积为3cm2,求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长A3.

解