高中数学新课程培训问题答疑（一）

高中数学新课程培训资料

专题一：怎样整体把握高中数学新课程

—:高中新课程的主要问题

A老师：新课程它的内容和以往的这个教材内容相比增加了很多。但是教学时间并

没有增加。那么这是一个矛盾，该怎么来解决这种矛盾。

B老师：新增内容，很多老师以前在实践中也没有涉及过。那在教学中怎么办？

C老师：以后新课程都是以模块形式展现出来的。那这些各模块之间有什么联系？

它与我们原来在教学过程当中的一些通性通法，在这些各模块之间，应该怎么去贯通渗

透？

D老师：关注整个对新课程这个教材，老师该如何驾御如何把握？

E老师：新课程知识的体系的出现过程与以前的是不同的。那么对于新的教材当中

的这种安排，老师应该如何去把握？

F老师：新课程已经实施「多年。我们觉得在这个新课程实施中间，教师要面临五

个问题：

第一个问题，就是初高中衔接问题。我们现在教的学生已经不是以前我们教老教材

时所面临的学生。它的这个课程学生的学习习惯、它的能力都发生了些变化。

第二个，是课时偏紧的问题。新课程的内容在我们一年半的教学下来，普遍感觉到

课时偏紧。

第三个，就是新旧教材的差异问题。新旧教材的差异使得我们教师在教学中间，需

要注意一个删减增留的问题，又如何来处理。

第四个问题，就是教师的自我学习的问题。因为新教材有一些新增内容，需要我们

教师去学习。同时，新教材还需要我们教师广泛的使用信息技术。那么对很多老师来讲，

也需要学习。

第五个问题，就是高考方案不明朗的问题。老教材的高考，我们很多老师试卷都做

过好几遍。可能高三复习班也带了好几次。但新课程的高考我们心里没底。

G老师：对学生而言，不会存在一个新教材和老教材的问题。而对于老师而言，如

何从老的教学理念下，尽快的适应我们的新课程？

H老师：在新的课程标准当中，老师们怎么样来实现这个信息技术对这个新教学的

促进?」

I老师：现在这个新教材，更主张让学生参与教学，或者是说参与课堂学习。怎么

让学生真正参与进来？这个和课时分配的时间肯定是一个矛盾体。到底怎样把这个矛盾

解决得更好一些？

答疑参考：提到很多问题归根到底，就是我们要落实到如何从整体上，来认识高中

新课程。

在这个专题中，我们主要的话题有这样几个：

第一个，是为什么要整体把握高中数学新课程。

第二个，就是对于老师来说，如何做到在教学中整体把握高中数学新课程。

第三个，我们要就具体的课程标准，给我们的要求，来分析一下高中数学新课程的

主线是什么，各个模块的主线是什么？

问题：在教学实践当中，老师们提的最多的，就应该是课时不够的问题。比如说我

们的入门课——集合这一章，那么在课程标准当中，好像规定的是四课时。在这四课时

当中，就是老师们讲课的时候，多数都用到了八课时，甚至有的老师讲到了十二课时。

那么你看看这个问题怎么解决？

答疑参考1:以集合作为一个单元的案例来分析一下。对于集合内容，怎么整体把

握才能够把这个课时的东西？

我们进入高中新课程，第一个内容就是集合。如何把握好这个内容呢？我觉得是不

是能起到一个，能给高中课程开一个好头的问题。老师普遍反应课时不够。我们也和实

验区的老师进行了面对面的、很深入的进行研讨。我就把我们研讨的一些想法，给大家

提供一个参考。

首先，我们给大家展示一个集合单元基本结构框图。可以让这个老师参考一下。搞

好一个单元设计，有哪些基本的步骤，我们可以参考一下。

我就不详细解释这个框图。那么设计的时候有几个主题词：整体理解、实践、合作、

效率。那么这有一个参考的设计流程图。那么我们对于这样的一个设计的一个基本思路,

有一个了解以后，我们建议老师主要考虑这么几个问题：

第一个，就是内容的定位。

集合在高中课程中的定位，在标准中写的比较清楚。标准是这样说的，集合语言是

现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁准确的表达数学中的一些内容。这里强调

的数学中的一些内容，而不是全部内容。我们任何一种语言，只有利于表达某些东西。

那么高中数学只将集合作为一种语言来学习，它把集合是作为一种语言，来描述和表达

问题的一种语言来学习的。学生学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展

运用语言进行交流的能力。我觉得这一段话，就给了我们这个集合内容的一个基本的定

位。

第二个问题，就要考虑集合内容的一个目标。

集合在实现目标中的作用。提高数学的表达和交流的能力，是集合的一个基本的目

标。我们数学里有自然语言，有符号语言，有图形语言，还有图表语言等等。集合就是

一种特殊的符号语言。集合在实现这个目标中，是起了一个作用的。

第二个，我们希望老师进一步的理解：集合作为一个数学的概念，对于数学中的分

类思想，起了一个促进的作用。集合主要是要把各种不同的事物能刻划清楚。在我们中

学所使用、所体现出来的具体集合，都是非常清楚的元素和集合之间的关系，是非常清

楚的。无论是中学，还是大学，都不必要去追究这个元素与集合的数学关系。那些不清

楚的关系，在我们中学是不讨论的，甚至在大学也是不讨论的。比如说我们老师花了很

大时间去讨论集合的三性，我们觉得是没有必要的。

为了搞清楚集合在整个课程中的一个定位，我们应该搞清楚课程中的一个基本脉络。

首先应该考虑与集合有联系的，学过的内容到底有哪些。比如说，我们学过生活中的一

类事物，我们教室里的男同学，教室里的女同学。我们还学过数，这也是表达集合的一

个重要的载体，自然数、整数、分数、小数等等。我们用这些来对•数进行分类。另外呢，

数轴上的点集，比如说我们在讲不等式的点集、不等式的解集、方程的解。我们总希望

用数形结合，它反映在这个是一个点集。另外量的范围，比如我跟隋老师要约见。隋老

师七点到八点有空，我要六点半到七点半有空。那么这些都是表达集合的一个生动的实

例。另外还有直角坐标系中的点集、方程的根、不等式的解集、函数的定义域等等，这

都是我们学过的知识。这些学过的知识，我们应该做一个分析，哪些知识可以作为我们

在介绍集合概念的时候的一个载体，那我们就做一个分析。

那么另外我觉得还有必要去考虑，集合和将要学习的内容的一个联系。我们知道，

除了我们讲完集合以后，在必修里头还要学函数的定义域、单调区间，函数这个单调的

区间，还要学习图形，图形上的一些特殊点。在应用中，我们也需要集合，作为一种支

撑的一个语言。在必修二中，比如说点与直线的关系，我们常常说某一个点是属于一个

集合的。直线与平面的关系，我们常常说直线L是含于某一个平面的等等。那么，到了

我们学解析几何的时候，我们又要使用集合的语言来帮助我们去刻划平面直角坐标系中

的某些特殊点，等等。在必修三中，我们要对数据进行分类，我们用了直方图、扇形图，

这些都是集合的比较好的一个载体。那么到了必修四，三角函数的周期刻划、零点的刻

划、最值的刻划、单调区间的刻划、向量与平面点集的刻划等等。那么在学到必修五，

一元二次不等式、目标函数的可行域，在我们线性规划问题里数列的特殊点。所以当我

们学完这个集合的内容，在我们后续的课程中，有很多的内容可以帮助我们不断的加深

对于集合作为一种语言的认识。在选修一、选修二、选修三、选修四中都有这样的载体。

这样梳理以后，老师清楚我们在这四个课时要讲的内容中，在我们整个高中课程中，所

处的一个位置。

我们还希望老师对于学生进行一个分析，哪一些载体是学生比较容易掌握的，哪一

些载体是学生不容易掌握的。在讲集合的时候，我们建议最好选用一维的载体，比如说

数、数轴、不等式的解集、数量的范围等等。这些都是一维的载体。但是平面点集的定

量刻划，就比较困难了。不仅在中学是一个比较困难的地方，在我们大学数学系的学习

中，我们也需要多次反复的去介绍这个点集和它的意义。在分析里要讲，实变里要讲，

代数里也要讲，所以这一点需要有一个比较长的过程，才能帮助学生去了解平面点集的

定量刻划。那么另外一点，就是有限点集学生比较容易。我们常常也把这个开区间，虽

然也是无限的，但是学生有一个有限的范围的感觉。那么比这个射线相比之下，就要容

易一点。另外，比如我们四个人，这些都属于有限点集。那么对于无限的来说，常常有

时会有一定的难度。那么对于学生理解上，有一个分析以后，我们就知道在讲集合的开

始阶段，我们选用什么样的载体来支持学生学习集合的语言。我想这样的分析都使得我

们能够更好的把握课程的定位，更好的理解集合所发挥的作用。

那么根据上面的这样的分析，实际上是我们对于整个课程做一个分析，我们就可以

来进行我们的教学设计。所以我想这是一个参考的设计，比如说第一个课时，我们讲一

下集合的含义和表示。第二个课时，我们讲一下集合的基本关系。第三、第四课时，我

们讲一下集合的基本运算。那么在以后的课程中，是不是我们继续来加深对这些问题的

认识。那么第五节，我们搞一次复习，这次复习可以梳理一下在集合以前所学过的所有

数学内容，我们如何来使用集合语言来进行刻划？我们提供这样一个参考建议供老师来

思考，我们如何来决定集合内容的教学和集合内容的定位。我们希望老师能够发现、能

够发明更多的一些经验，来更好的开好我们新课程的这个头。

答疑参考2：备课的时候我们面对的常常是一个又一个具体的知识点。所以我们也

特别想知道，面对一个具体知识点的时候，怎么样来整体把握这个知识点？

下面介绍一个您感受比较深的案例好吗？

就拿斜率这个概念来说，它从义务教育阶段孩子们就有接触。所以在讲斜率的时候,

就应该要注意先去思考他前面学过什么，后面这些概念还在什么样的阶段出现。比如说,

在义务教育阶段，同学们学习过有关的速度、路程，以及时间之间的关系。在这个关系

当中，我们说没有出现斜率这样的词。可是实际上，他已经就是有斜率的概念在隐含在

其中。再比如说，我们在小学阶段学习，两个量的比是一个常数。这里其实也蕴藏斜率

的这样的概念，就是正比例关系的那个系数。到了初中以后，实际上就学到正比例。在

学这个过程当中，又提到二元一次方程。不断地看到这个斜率的概念不断的出现。到了

必修二的时候，引进了斜率的概念。首先，教材刻划的是直线和X轴的正方向所成的这

个角。在这个过程中，首先是这样研究它的：

从原点（0,（））到P点（1,K）,这样的点的变化的时候，来描述横坐标从。变化

到1,然后纵坐标由这个0变化到K。用这样的一个变化的过程，来定义斜率K。接着

利用了三角形的相似来提到有关纵坐标的变化率，以及横坐标的变化率的这种比值来刻

划斜率。这样的概念在不断的递进的过程当中，我们看到到必修四的时候，我们又学习

三角函数，斜角的正切值来刻划斜率。其实，在必修四后边，我们还学到通过向量学习

到直线和X轴正方向的夹角。到了微积分，再次出现斜率的概念。也就是说通过在不同

的学段，一个概念不断的递进，出现的层次越来越近它的一个本质性的一个刻划。那么

也就是说，如果在一个数学概念当中，在不同的学段不断的出现的话，那么我们想这个

概念应该就是一个很重要的概念。再有，如果我们老师在讲这个概念之前，去思考了前

边我们学过了哪些，后边还有在什么样的位置出现这个概念。那么这样的概念讲出来，

它味道就会不一样。

所以，在实施新课程的过程当，教师也要应该注意思考这样的几个问题：一个是怎

样将一个概念置于一个整个课程当中，就是说在讲这个概念之前，要前思后想，要有这

样的一个联系。另外，应该注意怎样挖掘一个概念的一个深度，也就是说从不同的维度

去想这个概念。另外，就是通过概念的学习的过程，我们要注意来怎样梳理整个高中课

程，对高中课程的这样的认识。

问题：斜率这个概念，很多老师觉得是一个很清楚的概念，他应该是放在三角函数

学习之后，有了正切，这样来说引入起来，很多老师都认为先有倾斜角，然后用倾斜角

的正切，来定义斜率。

我想讨论的是第一个，在新课程的这个课程标准里头，如果按照这个顺序做下来的

话，那么模块五里才会涉及，就是三角函数在后面。模块二里就涉及到了。必修四就有

直线和圆的关系了。那这个怎么处理它？能不能把这个斜率的概念让学生接受，这是第

一个想问的。

第二个问题是斜率这个概念，您刚才介绍的是从初中就有，是吧？一直到微积分都

有这样的概念。那么像这样的概念，做概念教学，整体上把握的时候，是一次要把它讲

到最高境界呢？还是怎么做铺垫？怎么样来把握这个概念发展的度？

答疑参考：我觉得我们在认识斜率的时候，可以用不同的方式来引入斜率，在高中

阶段。当然我非常赞成上面刚才的一个分析，就是在我们理解斜率，不论用哪种方式引

入斜率之前，我们一定要考虑在我们义务教育阶段，究竟对这样一个概念做过哪些讨论，

这是我觉得非常重要的第一点。第二点，我觉得我们引入斜率的方式，可以是多种多样

的。根据教材的不同的安排，教学的不同安排，可以采取不同的方式引入斜率。

如果你的教材的处理或者教学的处理，是按照必修一、必修二、必修三、必修四、

必修五这么个顺序，我想上面刚才讲的就是一种很好的处理方式。很多教材都采用了这

样一种处理方式。它反应了斜率的本质。它本质上说是微积分思想的一个体现。那么如

果你采取另外一种顺序，必修一上完了以后，上必修四，再去上必修二。比如说是这样

一个顺序，或者把必修二放在必修四的后面，那么就是说我们已经讲了三角函数的正切，

讲了任意角，任意角的正切函数的概念。那么我们也可以用三角函数、正切函数的概念，

来引入斜率。当我们学习了必修四的时候，我们学了向量，我想我们也可以用向量的方

法，引入斜率的概念。因为任何一个直线都有一个方向向量，那么这个方向向量是X轴

正向的一个关系。就反应了这样的一个夹角，也反应了它们的一个数量关系。那么所以

引入斜率可以从不同的角度来引入斜率。

就是我们的教学是个线性序。一天一天的教学，但是数学本身并不是个线性序，我

们可以根据我们教学的需要，按照不同的顺序，或者按照不同的需求，我们选择不同的

方式来引入这样一个概念。什么是重要的数学概念呢？它会多次的出现，在我们数学的

内容中，这是重要的数学概念。所以在教学中应该强化这一点。比如说，如果通过三角

函数引入了斜率的概念，那么当你讲到向量的时候，一定应该用向量的思想再一次从另

外一个维度去描述斜率的概念。让学生对于斜率有一个更宽的看法。当学完微积分的时

候，又应该帮助学生通过对于坡度、梯度等等概念的理解，再一次强化对斜率概念的认

识。又换了一个顺序，也应该采用同样的办法，就是对于一个重要的概念，是需要通过

不同的维度、不同的角度来加深对这个概念的认识。

答疑参考：第二个问题。在具体的教学实践当中，在处理斜率这个概念的时候，如

果一股脑的把这个对斜率的刻划全都交给学生，这个是不妥的。还是要依据学生对数学

的概念的认识，以及他不同的学段，对这个问题的理解，然后根据自己选择的教材的不

同的出场的这种情况，就像刚才提到，就是你选择的教材所运用的这种课程的顺序是什

么样子的，然后从他对概念的把握上再去讲，可能会更好。

问题：关于数学思想方法的教学，很重要的。面对一个数学的方法，或者是•个数

学的技能，怎么样从整体上去把握它。

答疑参考：刚才讨论到概念，但实际上就是说，很多老师特别是高中老师，特别关

注数学思想方法。以待定系数法为例子来说明一下我们的观点。初一看这个名字，它不

像前面讨论的集合，或者说斜率。它不是一个概念，或者说不是一个具体的一个在某一

章出现的，它会反复的出现。这种反复性也像某些重要的概念一样，会多次在整个课程

中出现。比如说，他可以在初中，可以在高中，当然还可以在后续的高等教育中出现。

那么就待定系数法来说，我们可以从初中的角度来看，它经历了哪些主要过程，这样以

便于我们反过去再看一看他是从哪一个地方发展过来的。那么要想分析一下初中的待定

系数法的学习内容，或者学习的主要的这个范围。那么我们现在看一看初中主要的学习

内容，我说的是如果说代数的话，那么它主要是有什么呢？方程、不等式和一些比较简

单的函数。这些简单的函数包括一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数。这些

都是他主要的内容。在这个过程中，方程也好，不等式也好，函数也好，都存在着大量

的系数。那么你在运用这些模型来解决问题的时候，那么就必然需要确定这些系数。

另外一个，从课程标准来说，在初中也是在义务课程标准阶段，也是明确的规定了

待定系数法是两个重要的方法之一。所以从理论的层面和实践的层面来看，在初中就已

经大量的，或者说经常需要使用待定系数法来解决问题。第二个呢，我们看一看，如果

刚才同意了待定系数法是确定重要的数学模型里面系数的一个很好的方法，一个重要的

方法的话，那么，在这个模型里面，又把它分解一下，到底它什么重要的模型呢？

我们可以举一个例子来说。比如说代数和算术的区别。那么代数和算数的区别是什

么？算术基本上可以说不需要用到待定系数法，就是说它这个数基本上都确定的。你只

要去计算就可以了。而代数呢？这里面就需要有一些字母。

也就是说代数里面就需要大量的来确定这种参数。这种模型的参数所以这是代数和

算术的一个重要的区别。因此，我们就看一看它在高中阶段还有什么可能的发展。那么

高中阶段同样的还是有那三个方面：方程、不等式、函数。只不过在方程、不等式、函

数上面，他会需要进一步学习，比如说函数。他就要学习新的函数，三角函数、指数函

数、对数函数等等。不等式也是一样，可能要学习一元二次、不等式等等。方程也是，

我们要学习更多的方程。在高中阶段仍然需要对待定系数法进行很好的学习和应用。因

此，我觉得待定系数法，既是一种重要的这个基本技能，又是一个很重要的数学思想和

方法。这就是一个基本的例子。当然还有其他的，包括数形结合等等的其他的思想方法。

问题：整体把握的意义和操作步骤大概有哪些？

答疑参考：整体把握课程是我们新课程发展中的一个非常关键的一个词。我们强调

双基，双基要与时俱进。整体的把握课程，是打好数学基础一个不容回避的一个问题。

那么如何来理解整体把握课程呢？我想从这么几个维度供老师作为一个参考。

首先，应该整体把握课程的目标。在我们这个课程标准里提出了六个课程目标。我

们希望老师能够完整的理解这六个课程目标。我们过去通常说是三维目标：知识技能、

过程方法、情感态度价值观。这三个目标是一个整体，它渗透在我们数学高中课程标准

里的这六个课程目标里。这六个课程目标，不是两两不交的，它们有着密切的联系，它

们体现着我们整体高中数学课程的一个追求和一个价值取向。

第二个，我想应该整体的把握我们数学的素养和能力。比如说刚才讲到通性通法非

常重要。那么哪些是通性通法呢？如待定系数法。它是一个几乎贯穿在我们课程始终的

一个思想方法。它是可操作的，它是有内涵的。因为我们越来越重视模型在数学教学中

的作用，也重视模型的日常生活和在其他学科中应用的作用。所以全面的理解我们在高

中阶段想要帮助学生形成的数学素养和基本能力，或者说基本的数学思想方法，这是老

师应该关注的一个问题。

第三个问题，我想应该整体的来理解我们数学课程的内容。那么如何整体的理解数

学课程内容呢？我们建议老师从两个维度去理解。一个就是贯穿在我们高中课程中的一

些基本脉络，或者叫做主线，这件事情到底有哪些主线。不同的人有不同的看法，我觉

得这没有关系，但是我们应该认真的思考，有哪些东西是高中课程的基本脉络。这个对

于我们整体的把握课程是有好处的。等一会儿我们用一些具体的实例来说明。第二个呢,

就是我们应该整体的了解整个高中课程的知识结构。每一个老师的脑子里都应该有一个

必修课程的结构框图。应该有一个必修课程与选修一课程的结构框图。如果你是在文科

教学的老师，你应该有一个必修一、必修与选修二的结构框图。如果你是理科教学的老

师，那还应该有一个对于选修三和选修四的一个基本框架的理解。这对于我们提高老师

自身的素养、提高教学效率都是非常重要的。

第四个方面，也是我们这次高中课程要强调的，我们要以学生为主体。在学生为主

体这个基本的思路下，在高中课程中，应该帮助学生养成好的学习数学的习惯。整体的

理解如何帮助学生养成好的学习数学的习惯，是学生成为主体的必不可少的组成部分。

我们通常都说终身发展能力就是一种学习的能力，而学习能力是需要靠学习习惯来支撑

的。

问题：在教学实际过程中，整体把握对于老师来说，对于备课，对于提高教学质量

有着什么样的作用？

答疑参考：在教学实践中，就觉得过去我们备课可能只是备知识点，就是我这一节

课有多少个知识点，我把它备到了，然后拿例题去演算。这是我们平时上课容易操作的

形式。通过刚才谈到从不同的维度去来整体把握这个课程，我想对我们老师的备课有一

个启发的一个改变，就是说我们过去是一节课一节课备，顶多就是备一章。现在要单元

备课，这个知识点就是它的前后联系学生的情况，以及知识的前后的这种联系，还有学

生到底有什么样的这种知识水平。在这种情况下，还要备一些的方法。我觉得这样的整

体把握课程可能备课会好，更有效。

有时候光看一个知识点，有时看不清楚。你把它搁在整个课程的这个大的范畴里头,

你可以更清楚的理解这个知识点的作用。

二、什么是高中新课程里头的主要脉络

一线老师的讨论发言：

A老师：我认为是函数可以称为主线。为什么？因为函数是作为一个最大的代数模型。

学习数列它是一个特殊的函数，然后紧跟着有三角函数，然后解析几何里边有很多内容都可

以跟函数相关。

B老师：我觉得一些重要的概念，是始终贯穿这个课程当中的。一些关键的，尤其是数

学学科，像角这个概念，还有距离这个概念。角这个概念，我们在小学阶段就接触过，到了

初中学平面几何也有，到了高中我们学立体几何、解析几何的时候，又再次出现这些概念。

这些概念小学阶段、初中阶段、高中阶段之间的联系是什么？我们从哪方面多角度的去关注

这个概念？我觉得这些概念性的东西在整个课程当中也是很关键的。当然还有一些其他像距

离等等。这些作为老师来说应该从整体上去关注这样一些概念，对我们教学，对学生的认知,

我觉得都会更好一些。

C老师：还有一个是运算，不管是从小学、初中、还是高中，运算贯穿到数学的始终。

数学里面很重要的一部分代数恒等变形，那么这个变形里面就涉及到了一些符号的运算问

题，包括后面立体凡何、解析几何、推理里面也带着运算。所以运算也是一个主线之一。

D老师：我认为在高中数学里面，这个集合与简易逻辑也是一条主线之一。为什么这么

说呢？高一可能一上来我们学习集合，但是以后的每一个模块里面，其实都可以用集合的语

言来描述，这是第一个。第二个，在简易逻辑里面我们也可以用集合的语言，或者与集合相

关的这些性质，就是它们有关系。到后面这个简易逻辑，其实就是研究了命题、条件之间的

关系。对于以后我们在每一个学习的部分里都有助于我们来理解定义概念更加深入。比如说

在布尔代数这个专题里面，其中有一节就是完全用集合的这种运算，还有用命题的运算来体

现的。那么比前面的模块有深入的这种趋势。所以它也是一个主线。

E老师：我觉得高中数学主线应该说挺多，大致我个人感觉有这么几条：一条就是函数

主线，函数这条主线它包括基本初等函数、数列、导数、不等式。都应该算作函数这一块的

主线。因为我们前面更多的强调的是函数的初等性质：单调性、奇偶性。那么到导数那，我

们研究函数的可导性、连续性。那么到大学，这条主线还要继续，可微性、可积性等等。另

外数列作为一种特殊的函数，还有不等式，我们知道函数方程和不等式是密不可分的。所以

函数应该算作高中的一条最主要的主线。

第二条主线，就是向量坐标主线。向量是作为一种工具，已经应用到数学的各个领域。

另外从坐标来说，笛卡尔坐标系的出现是数学的转折点，从此运动进入了数学，变化进入了

数学。所以从高中新教材来看，这条主线比较清晰。比如说向量的内容、平面向量、解析与

平面解析几何，还有这个空间向量，特别是立体几何，把空间向量的角和距离的这个定量计

算的问题纳入了空间向量的这一部分。这样就突出了向量和坐标的这条主线。

那么第三条主线，我感觉到新教材加进框图和算法这一条主线，这也很重要。因为框图

和算法不仅仅是计算机的内容，它是我们决策的内容。我们可以利用框图来指导学生小结，

可以利用框图指导学生去决策，去分析这个题怎么做，这个知识怎么去理解，去怎么去考虑。

所以说框图和算法是应该贯穿于整个高中数学的始终，这也算作一条主线。

还有一条就是离散数学的组合数学的主线。就是排列组合，还有概率统计这一条主线。

我个人理解高中数学应该有这么几条主线。

F老师：我觉得在高中数学阶段里面除了知识主线以外，还有数学思想方法的主线，比

如说数形结合思想。数形结合思想，它在实际解题中间也是一个非常有效的方法。同时数形

结合思想还体现在它联系了数学的不同板块。比如说向量、解析几何、三角，它都很好地体

现了数形结合的思想。

问题：什么叫主线？或者有了什么样的条件才能成为主线？

答疑参考：用函数作为一个例子来说。说是豳艇主线，还是函数思想是主线，我觉得

这没有关系。不同的人，不同的专家，会有不同的说法。但是我们可以理解函数这个内容应

该是贯穿高中课程的一个基本主线。我想不仅是高中课程是整个数学课程的一个主线。那么

我想先说一下背景。在20世纪初英国数学家贝利和德国数学家克莱茵等人的大力倡导和推

动下，函数进行了中学数学课程。克莱茵提出了一个重要的思想，这个思想就是以函数概念

和思想统一数学教育的内容。具体是这么说的：函数概念应该成为数学教育的灵魂，以函数

概念为中心，将全部数学教材集中在它的周围。进行充分的综合。我觉得克莱茵这个思想是

很重要的。我们不要形式的来理解克莱茵的这个话。但是我同意克莱茵的这样的一个分析，

函数是贯穿我们整个数学课程的一个基本的脉络。

先说义务教育阶段，再说大学阶段，再回到我们高中。在义务教育阶段，把孩子带入数

学的殿堂，数图形都是吸引我们孩子进入数学殿堂的重要的载体。另外还有一个就是量。因

为我们的孩子日常生活中会碰到大量的不同的量。钱、时间、重量、质量、高度、长度等等。

那么这些量是引发学生对数学进行思考的一个重要的一个动力。在义务教育阶段，我们不仅

要认识各种各样的量，还要认识量与量之间的关系。首先建立的这个量与量之间的关系，是

最基本的一个模型。比如说是路程、速度和时间的关系，是我们的孩子大概在三年级、四年

级就开始了解。当速度一定的时候，时间的变化可以引起路程的变化。通常我们的公式是

s=vt。虽然当时没有说函数，但是我们通过这样的具体的实例，已经在孩子的心目中种下了

函数的种子。

第二个跳跃应该是学习正比例关系和反比例关系。它强化了量与量之间的一种特殊的关

系。那么这样是我们对函数认识的又一个飞跃。在这个基础上，到了初中阶段又开始认识，

形成了一个函数的基本的一个概念。我们了解了比如说特殊的一些函数，比如说线性函数

Y=KX+B,我们又学习了其他的一元二次函数和分段函数这样的一些概念。除了对函数的认

识之外，我们也帮助孩子去了解函数与方程、函数与不等式之间的关系，成为了我们对函数

认识的基础。我想这是在义务教育阶段大家可以看出，无论是内容、作用，那么函数和函数

的思想已经成为我们义务教育阶段数学课程的一个基本的脉络。

那么再说到大学。那么大学我们现在都要学数学课程。无论是文科、工课、理科。那么

在所有这些课程中，以函数作为主要研究对象的课程内容是非常丰富的。我们以大学数学系

为例。我们要学习的数学课程中，有数学分析，它就是以函数为基本研究对象的课程。

有实变函数、复变函数是以一个更广泛的，不同的深度的函数的理解作为出发点。所以

我们就可以看出，无论在义务教育阶段，还是在大学阶段，函数都是我们学习数学的主要研

究对象和主要研究思想。

在高中阶段，我想也是一样。在高中阶段可以分作四个维度来看待高中阶段的函数的作

用。

第一个维度，首先我们要对函数的概念进行深入的理解。在高中我们一定要形成学生对

函数三个角度的认识。第一个角度，是我们在初中的基础上进一步的深化认识变量与变量之

间的依赖关系。一个变量的变化将引起另外一个变量的变化，这是认识函数的一个角度。第

二个维度，就是我们耍把它看作一个映射。一个实数集合，另外一个实数集合，它们之间存

在着一个桥梁。这个桥梁就是在一个实数集合里的一个数，按照这种对应关系唯一的确定另

外一个集合中的一个唯一的数。那么这是我们对函数的另外一个认识的角度。第三个角度用

我们通俗的话来说，就是函数图象。一个函数有唯一的图象和它对应，同样一个函数图象将

唯一的决定一个函数。这样的认识会使我们对于函数在高中阶段有一个完整的理解。

第二个维度，就是在高中阶段我们将要帮助学生理解一批函数的模型。在义务教育阶段

的基础上我们要加深对于线性函数Y=KX+B的认识。我们要进一步的深化对一元二次函数

的认识，同样我们要理解简单的基函数。比如说Y等于X三次方，Y等于X负一次方，Y

等于X二分之一次方。这样的函数是基本的。我们还要帮助孩子建立起指数函数的模型、

对数函数的模型、三角函数的模型。数列作为特殊函数的模型，我们还要强化学生对于这个

分段函数的一个认识。它的规律是通过不同段落所不同的规律组成的，一个新的规律。我们

希望在高中阶段把这样一些函数的模型印记在学生的脑海中。通过这样的一些模型的认识，

来帮助他们如何利用函数作为一种基本模型去描述自然生活、自然界和我们日常生活中的规

律。

第三个维度是函数的应用。我们可以从两个方面来看待函数的应用。一个是函数在数学

内部的应用，也就是在高中阶段我们要帮助学生学会用函数去认识方程，去认识不等式，去

认识线性规划问题，去认识算法，去认识随机过程或者随机变量。用随机变量去认识随机现

象。这些应用都体现了函数的作用。函数在高中课程中的作用。第二个方面就是在实际中的

应用。函数是我们刻划自然界和我们日常生活规律的最基本的，也是最重要的数学模型之一。

所以在我们应用的这个层面上，我们分三个层次来体现函数的应用。第一个层次，我们要帮

助学生学会用函数去描述和刻划日常生活中和其他学科中的规律。第二个层次，我们要帮助

学生学会用我们掌握的函数模型去解决现实生活中的问题。比如说我们可以用等比数列和等

差数列去刻划经济生活中的一些基本的问题。第三个层次，我们希望通过函数这个载体帮助

学生理解数学建模的一个基本的过程。如何从日常生活中发现问题，如何利用我们学过的数

学知识去描述问题,如何把它抽象成为一个数学的模型，如何去解决这个数学模型中的结果，

如何去分析这个结果是否符合实际。当我们不符合实际的数学结果，我们如何调整我们所建

立的数学模型，这样的一种思想。

第四个维度，就是我们在高中阶段将帮助学生形成研究函数的两个基本方法。第一个如

何用运算去研究函数，比如研究函数的单调性。第二个如何用导数的思想去研究函数，去反

映函数的变化规律。通过这样一个基本的分析，我们就可以认识到函数的的确确是高中课程

的一个基本脉络，是一条主线。当然在选修三、选修四的课程中，函数如何体现，我们将在

选修三、选修四的课程里再做具体的分析。所以我们提供一个参考，用这样的一个思考来理

解函数，会对我们高中课程能有一个整体的把握。

我们也想用这样的一个思考提供给老师一个参考，如何来认识贯穿在高中课程的基本脉

络。比如说老师刚才想到的这个我们能不能参考函数，去梳理一下您对于高中课程内容的基

本脉络的一个认识。

问题：整体把握或者主线分析，对老师们掌握像函数这样的概念，会起什么样的作用？

刚才以函数为例，做的一个整体观把握。整体把握的这个整体是相对于部分而言的。如

何我们在教学当中，学习某一些概念，以函数为例，在高一的时候他会出现，在高二、高三

都要出现。那么老师们在教学当中容易受一些高考评价等等的影响，容易把我们的教学目标

制定成为终极目标。那么我们整体来看函数，函数的这几个性质以及函数在不同时期，像后

续学习的数列、三角函数等等，它为我们在后面提供了指数函数、对数函数等等，以及它的

应用来说，那么不仅仅在数学学科内部，相应跨界到了物理当中，提供给我们的函数模型。

如果我们用这种联系的观点来看待，在高一教学的时候以单调性为例。在高一教学讲单调性

的时候，我们就不应该，也不宜花大量的时间停留在形式化的定义，形式化的做差比较。因

为对单调性的证明来看，可以在将来的学习当中选一或者选二，用导数的思想把单调性刻划

的更透彻。它的证明就更简洁了。不必在高一的时候，把精力花费在这，以此为例吧。

问题：很多老师在高•讲单调性的时候就用定义证明，玩儿出了很多很多的花样。再加

上好多函数性质，很多老师就会在这个地方按高考的母本，把这几个性质组合起来，使学生

在做题的时候去找相应的函数工具，和相应的那种好像不是函数知识本身的东西。花了很多

力气。从这个课程标准制定的角度来考虑，像这样的问题应该怎么样去避免？或者对老师应

该有什么样的教学建议？

这次在推进新课程的时候，一个主题词就是整体把握。这个整体把握是我们对数学一个

非常重要的一个理解的一个角度。我们不仅要抠清楚每一个概念，不仅要对每一个技能掌握

的比较的牢靠。一旦你把一个概念放在整个数学这个大的框架里去理解的话，你会对这个概

念有更多的感悟。那么一个概念它可能会出现在数学的不同的地方。你是通过对于不同地方

出现这个概念的不同理解，来加深这个概念的认识。所以有时候老师常常有一个所谓一步到

位。这件事情是分不同的内容而异的。我们并不一概的说不应该一步到位，或者应该一步到

位。不同的地方应该做不同的分析。函数的概念是需要一个很长的过程，才能对它有一个更

深的一个理解。绝不是说叙述清楚了函数的定义，这个概念就已经完全掌握了。需要通过对

于函数模型的认识，需要通过对于函数性质的了解。在这个所有的过程中，都在不断的体会

这个概念。比如说在应用中，我们为什么要对于X中的一个值，在Y中有唯一的值与之对

应？在应用中，我们会感悟到这些事情，当我们看外面跑的汽车，我们看表，每一个时刻，

汽车的速度都是有唯一的值。这是大量存在的日常生活的现象和自然规律中的现象。所以数

学只是刻划这种现象的一种工具，或者是一个模型，或者一个想法。它就是把日常生活的这

些现象，通过数学的概念，把它刻划出来。所以对于概念的认识也好，对于技能的把握也好,

那么是需要在一个过程中去理解的。

这次课程把过程当作目标，我觉得这件事是一个进步。虽然大家对这件事还有分歧，还

有不同的看法，但是我觉得这件事在很大层面达成了共识，是我们整个教育的一个进步。这

次在义务教育课程标准的修订的过程中，对这个问题达成的一致，我觉得是非常重要的一件

事情。刚才大家都说了我们在不断的加深我们对于数学课程的理解和认识，这都是非常好的

事情。

问题：怎样整体把握几何的这种思想，或者整体把握像比如说立体几何，怎样让学生能

够整体的感受到空间中线面、点线面的这些关系？

唐山一中王君老师为我们设计的这样一节课的教学。他竟然能在一节课里头让学生同时

感知了各种各样的点线面之间的关系。我们来看看他是怎么做的。

王君：各位老师好！我今天要说课的题目是立体几何的第一节课。本节课的基本思路是

跳过平面的基本性质，结合学生身边实例，让学生整体了解立体几何的知识框架。这样处理

的依据有以下几点：

一、对以前教学的反思。以前讲这一章是根据教材体系，先讲平面的基本性质，也就是

三个公理，用它们证明共线、共点共面。我们知道这部分内容在立体几何中，是既抽象又枯

燥的，如果一上来就将三个公理，就会使一些学生感到吃力，产生对立体几何的恐惧心理。

此外，把这一章的内容一节一节的顺序处理，也不利于学生整体掌握本章的内容。

二、根据布鲁纳的学科结构论的思想，无论教任何学科，都要务必使学生掌握该学科的

知识体系，使学生的知识结构和学科的知识结构统一起来，这样才能加深学生对知识的系统

理解，更好的巩固所学知识，发挥知识的整体作用。

三、按照新课程标准的要求，要以长方体为载体，直观的认识和理解空间点线面的位置

关系，再对有关平行、垂直的性质与判定，用数学语言进行严格的表述，并对某些结论加以

论证。许多立体几何问题，只要画出长方体，一切问题就迎刃而解了。

四、根据立体几何这一章的知识结构特点，可以用一、二、三、四这四个数字来概括本

章的知识结构。“二”是指平行和垂直两条主线；“三”是指三个角，也就是异面直线所成的

角，直线与平面所成的角，二面角：“四”是指四对定理，也就是线面平行，面面平行，线

面垂直，面面垂直的判断和性质定理：“一”就是一个长方体，也可以说是正方体。二三四

的内容，都可以在长方体中找到解释。我把长方体叫做神奇的魔方。我们每天居住在长方体

里，学生每天在长方体里上课。把长方体当成载体，既体现了生活直观，又符合学生的认识

规律，让学生通过观察教室内的天花板、地板、墙壁、门日光、灯、书桌，和教室外的旗杆

电线，还有手中笔和书，把笔当线，把书作面，就不难说出空间点、直线和平面的各种位置

关系，和各种位置关系的判定及性质定理。

基于以上的考虑，把这一节立体几何的开始的这一节课，定位成整体把握本章的知识结

构。

二、教学过程

引言

按照布鲁纳的学科结构论的思想，每个知识点的出现，都应该既自然又必然，所以引言

很重要。引言我是这样设计的。“同学们，前面我们己经认识了一些几何体，如长方体、棱

柱、棱锥等。这些几何体，都是由点线面构成的，为了进一步研究这些几何体的性质，我们

必须研究空间点线面的各种位置关系。其实这些位置关系我们平时都接触过，今天咱们就一

起来归纳一下。”我先给同学举一个范例。然后让同学模仿我的范例进行归纳总结。我举的

范例是操场中升国旗用的旗杆和地面是垂直的，是和地面的关系，是直线和平面垂直的关系。

同学们模仿老师的范例，根据自己观察教室内外的实物，同学们很容易说出各种位置关系。

下面就是同学们，老师来板书。同学们根据教室的位置关系，有的同学说天花板和地面是平

面和平面平行的关系，有的同学说日光灯和地面是线面平行的关系等等。这个教师按照同学

所说的，根据线线、线面、面面三个块，把各种位置关系书写完毕。如果学生说不全，比如

有的同学没有说出线在平面内这种位置关系，老师就在黑板上画一条直线，同学就想到了线

在平面这种位置关系。有的同学只想到了线面垂直关系，想不到线面相交关系，这样老师就

让同学把笔戳在书桌上，然后进行比划，然后同学就想到了线面相交的关系。把线面垂直作

为线面相交的一种特殊情况。

三、引导学生发现一些命题。

总结出了各种位置关系以后，还可以进一步引导学生发现空间点线面的位置关系的各种

判定和性质。比如老师又给同学们举了一个范例，马路旁边的灯杆都和地面垂直。结果他们

就平行说明一个道理，就是垂直于同一个平面的两条直线互相平行。同学们根据老师所说的，

每个人都争先恐后的发言，去找身边的实例。说出一个命题，学生叙述，教师板书。老师们

把同学们叙述出的命题，就称作某某某命题，比如说是张三说的，老师就说这叫张三猜想。

李四说的命题，就叫李四猜想。这样既能帮助同学记忆，又激励学生为以后的论证打下伏笔。

四、在长方体中确认以上的位置关系和命题的真假。

这个利用多媒体教学托出一个长方体，让学生观察，把刚才大家所谈到的各种位置关系

在长方体中加以确认。教师可以叫出几个同学，就每种位置关系在长方体里面找到对应的位

置说出来即可。

五、教师小结

同学们通过身边的实例，找出了空间中的点和直线的各种位置关系。其实我们这一章的

内容就是这些。大家今天通过一节课，就把各种位置关系和各种判定都找出来了，这使同学

们很高兴，觉得今天一节课就把立体几何中的东西都学会了。这样就使得同学们对立体几何

感觉到非常亲切，没有畏难情绪，这对以后学生学好立体几何打下了基础。

六、布置作业

教师给同学布置了三方面的作业。第一在教材中找到相应的内容，看看教材中是怎样讲

的，怎样表示的，也就是把同学们所叙述的各种位置关系在课下在教材中去找对应的内容。

第二整理笔记，总结空间点直线和平面的各种位置关系，尽量写出表示方法。如果能画出直

观图，自己就试着画一画直观图。第三长期的作业，让同学研究各自的猜想，如果错误，在

长方体中给出反例，如果正确，就在以后加以证明。

教学后记

本节课：一、让学生在短时间内了解了立体几何的知识梗概，对立体几何有一个整体了

解。

二、降低了知识门槛，使学生觉得立体几何并不难。虽然俗话说万事开头难，实际如果

我们这样讲，同学们就会感觉到立体几何是身边的数学，就和他们自己的生活息息相关，就

感觉不到难度。

三、突出了生活直观和几何直观，这样有利于巩固学生所学的知识。

四、突出了学生的主体地位，激发了学生的求知欲望。在接下来的课中，我们可以说今

天我们就研究某某猜想，待证完以后，我们再给出定理的名称。这样既便于学生记忆，又能

激励学生自主探索。

五、培养学生养成利用长方体解决问题的习惯。过去同学们在做有关判断题时，学生不

知道会用长方体去找答案，比如已知AB异面，BC异面，问AC的位置关系如何？许多同

学说不清楚，也画不出图形。我和同学们开玩笑说：“你们真是不识庐山真面目，只缘身在

此山中。你们为什么不画一个长方体呢？你们生活在长方体里头，如果能画出长方体来，不

就很清楚了吗？”现在同学们都知道在长方体中找答案，不必老师再要求了。比如两边分别

垂直的两个角相等或互补吗？同学们只要画出长方体，很快就得出了结论。还有两个面分别

垂直的两个二面角相等或互补吗？同学们也是画出长方体找出答案。

教学设计想法。

这节课给我们提供了一个非常好的一个示范。这节课应该说可能很多老师不会这么上，

大多数老师都是在课堂里面上，虽然教师大多数也是讲一个立方体，但是他确实给我们提供

了一个新的视角。因此，我想主要从下面来谈。首先第一个问题是说说这节课，第二个问题

就这节课也稍微延伸一下，谈一谈到底从儿个角度来认识几何这条主线。

首先，这节课的重要性或者重要的特点，表现在它加强了几何学习的直观性。几何是什

么呢？几何到底是什么内容呢？我们可以来听一听数学家的看法？数学家阿蒂亚曾经说过，

几何是视觉思维，就是说看到的东西往往是一个最容易记的东西。这节课通过学生的这种观

察，充分体现了直观的重要性，也就是说，通过学生的观察、操作等等这些方式，达到了直

观上去认识，将来要通过形式化，通过定量化去学习的几何内容一一点线面之间的关系。不

管是它的夹角，还是面积、体积等等这些问题。

第二点，这节课基本上可以说完成了一个浓缩。因为高中学习会比义务教育阶段学习的

容量肯定是要大一点的。那我们可以尝试在国内外都大量实践的一个模型，就是范•希尔夫

妇的模型，来简单的分析一下几何学习的几个组成部分。范・希尔夫妇的几何学习的模型，

大致有这么五个阶段：第一是直观化。所谓直观化就是你看到了什么。第二是描述或者叫分

析。就是能够用自己的语言把看到的东西说出来。第三是归纳和抽象。就是能够把看到的东

西进行一些适当的归纳和抽象。比如学生能够说出来面和线垂直是什么意思，这种归纳和抽

象可能不是完全按照教科书那么样去叙述。第四是推理和论证。到了第四个阶段再来推理论

证要想证明线面垂直，或者说面面垂直。这个时候应该首先承认一些事实，也就是基本上达

到了进入公理的阶段。就是承认一些基本事实。第五就是要回答到底还有什么其他的内容。

比如说是不是承认这样一个基本事实就是唯一的一个事实。就是说能够对这些问题进行系统

化的整理。因此这一节课里面虽然没有达到后面两个阶段，但是他为后面的阶段奠定了非常

重要的基础，就是直观化。直观化的认知水平并不是仅仅在义务教育阶段，甚至在大学学习

中也是需要直观化的作为背景。只不过在不同的阶段，直观有不同的水平。因此这节课体现

了这样一个很好的一个学习阶段。

第三点，这节课充分体现了学生的主体性。因为新课程强调学生学习的主体性，那么主

体性的落实应该是通过具体的课堂教学的落实，而不是通过我们仅仅从理念上来说这件事

情。这节课应该是实践了学生主体性的这样一个理念。所以这节课从这三个方面来看，应该

说是一个具有创新性的一个实践。

关于这节课的延伸，我们高中教师应该去掌握或者分析到底什么是几何主线。义务教育

阶段的学习内容与高中学习内容联系大致有这么几条维度，可以供大家去思考几何学习：

第一是从整体到局部，再到整体，这样一个学习过程。比如说王君老师这一课，首先你

去观察这样一个长方体，或者观察一个屋子，观察一个其他的实物。这个时候，仅仅是一个

实物，那么很难细致到说这个夹角是多少，或者这个长度是多少，或者说面积是多少，体积

多少。这个时候基本上光靠看，是看不到这些东西的，也看不到这个里面的局部的东西。但

是这是一个非常重要的阶段。然后我们经历了整体的认识以后，才会去关注局部，有多少个

顶点，有多少个棱，两条棱之间什么关系，就是所谓的直线的关系。最后我们一定要得到一

个整体的认识，到底在一个几何图形中，什么是在各种运动和变化下不变的东西。这是我们

需要知道这两个整体之间并不是完全一回事情。第二个整体是需要得到一些不变的东西。这

个可能在高中学习阶段体现的并不充分。

第二个角度是从定性到定量。几何学习基本上经历了这样一个阶段从定性到定量，即使

在高中阶段仍然在重复或者说确认这件事情。学这些关系的时候，可能只是一些纯几何的描

述，要想得到定量的描述的时候，向量几何，还有其他的几何内容都可以来支持我们的坐标

系，这些都是为完成这个定量来做工作。但是这种定性的东西一定是要经历的，从定性到定

量这样一个阶段。

第三个维度就是从静止到运动。从静止到运动作为几何课程的一个主线，在高中阶段虽

然没有强调非常多这种运动的东西，那么在义务教育阶段这条线是非常明显的。我只是想把

这条线给大家提供一个思考，可能在高中学习阶段静止到运动这条线在必修课里面，或者说

再加上选修课全部放在一起来看的话，那么这个过程也是非常充分的。后面还有很多选修的

课程，充分体现了这种运动的观点。对于几何学习的重要的支持。

第四个维度是从空间到平面，再到空间。或者说这两个空间会发生一些变化，立体到平

面，再到新的这种空间，这个空间可能会上升到其他的维度，这是一条主线。如果我们把所

有的高中课程都放在一起来看的话，那么也能够体现这条主线。

还有一个维度是从直到曲。往往开始学习的内容都是直的东西，不管是直的线，直的面，

还是直的体。慢慢会延伸到弯的。我们在高中课程里面也有这种表现。所以我们把立体几何、

解析几何、向量几何放在一起来看待的话，立体几何初步、解析几何、向量几何或者说有空

间向量等等，加上后面的选修课程来看，那么它总体是涵盖在我们这儿个主线之中的。我们

再看待所有的几何课程的时候，就不会孤立的去看待它。而是把它放在一个主线的架下，去

分析这些内容，这样我们就会对为什么要把这个立体几何初步里面的判定定理放在后面，用

向量的方法去处理。为什么我们研究了这种直的这种图形，又需要研究弯的图形？比如说圆、

抛物线、双曲线，再去用定性的办法去描述它，就显得不是那么方便了，需要用定量。这个

定量既有坐标的方法，也有向量的方法。当然还有代数的方法。比如说用方程的方式去研究

它，当然这个方程或者代数几何，在高中并不是太多的涉及它。这些都是它的主线。

这就是我想对这节课做一些分析。这节课又使我联想到几何这么一体这条主线，从几个

维度去分析。

在这节课里，我们对于把握主线

有很更明确的认识。今天，我们想给老师们留的3个思考题，

第一个问题，就您的理解整体把握高中数学新课程有怎样的意义？

第二个，作为一线教师，您觉得在实际教学中如何做到整体把握课程？从操作层面应该

注意什么？

第三，在高中新课程中哪些内容和思想是贯穿高中课程的主要脉络？也就是王老师刚才

介绍的我们叫主线。大家试着挑一挑，我们在后面的讲座中将会跟大家一起讨论，怎样把握

主线？

第四，老师们根据自己的教学实践，选择一个片段来做一个主线分析。

第五，我想请老师们以我们后面要做到的，就是运算或者算法为例，自己来做一个主线

分析。我们也希望老师们把你们的分析上传给我们，一起来讨论。

三、高中新课程中的主线

问题：高中数学里运算的这个主线的分析。

如何对于运算进行分析。在高中课程标准研制的时候，我们做过一个调查.就问我们

老百姓什么是数学？老百姓提供的最多的回答数学就是算。我觉得老百姓说的很准，数学主

要就是算。运算是我们整个数学课程的一条基本的脉络。

先从义务教育阶段说起。在义务教育阶段，首先我们学习的是数的运算。从整数、正整

数的加减乘除，到分数的加减乘除，小数的加减乘除。到了初中又引入了负数。我们就学会

了有理数的混合运算。到了初中在运算层面上有一个重大的飞跃，就是我们引入了字母来替

代数。通过字母的乘法运算，就形成了单项式，再通过代数和运算，就形成了我们通常所说

的代数式，或者是多项式。通过多项式的乘和除，就得到了代数式。所有这些运算，除了运

算的封闭性以外，它们还满足一系列的运算的法则。这些规则为我们解决代数问题提供了非

常重要的支持。

我举个例子，比如求解二元一次方程组。基本思想是消元。实现消元的具体的方法，一

种是加减消元，一种是代入消元。无论是加减消元，还是代入消元，都体现了我们代数运算

法则的使用。所以在义务教育阶段，运算以及利用运算和运算规律来解决问题，构成了我们

义务教育课程的基本的脉络。甚至可以说是最重要的组成部分。他为学生进一步学习打好基

础，也为学生进入社会奠定了好的基础，可以应对我们在社会中碰到的一些问题。到了大学,

我们对运算也有不断的认识。比如说线性代数这个课，几乎是所有要学高等数学必须学的一

个内容。而线性代数主要还是讲运算，讲线性方程组，讲矩阵，讲向量，讲线性变换等等，

都是通过运算的形式展开的。后继的数学系的课程，还有抽象代数和其他的一些相关体现运

算的课程。所以运算是我们数学中的基本的脉络。

我再举一个例子。吴文俊先生和张景中院士，他们都做了非常好的数学软件。吴先生提

出了机器证明，也就是说用计算机来帮助我们证明东西。计算机为什么能帮助我们证明东西

呢？因为计算机可以算。所以说算可以帮助我们来证明一些东西。因此运算是非常重要的。

回到我们高中的课程里，运算起什么作用呢？我想从两个方面来说。

一个方面，我们对运算赋予了一些新的内容。比如说在必修一阶段，我们就学习了指数

运算、对数运算、三角。在必修四，又学了三角运算。所有这些运算都满足一定的运算规律。

而这些运算规律可以帮助我们探索相关的一些问题，比如说指数函数的最基本的规律，就是

A的X+Y次方等于A的X次方乘以A的Y次方，这样的一个基本的运算法则。可以帮助

我们探索指数函数的某些性质。其他的也是一样。这是我们对于运算认识的一个提升。

第二个重要的运算对象，在高中阶段就是向量。向量可以进行丰富的代数运算。可以做

加法，就是我们通常所说的平行四边形法则。它可以做数乘，就是通常我们理解可以延伸或

者压缩，他可以做点乘，还可以做叉乘，还可以做投影等等。所以向量提供了一个非常广泛

的一个运算的平台。以至于向量成为数学的一个重要内容。顺便说，向量不仅具有运算的功

能，而且他本身又是一个几何的研究对象。他可以帮助我们表示点，可以帮助我们表示直线,

可以帮助我们表示平面。同样，它可以帮助我们讨论基本几何图形的位置关系和度量关系。

向量既是代数的对象，又是几何的对象，就正如上一讲王建明老师讲到的向量构成一个独立

的一个研究的一个学科，叫向量几何。它是一座构架代数和几何的一个重要的桥梁。所以向

量进入高中课程，不仅给我们的运算提供了新的面貌，而且提供了研究几何的一种重要的方

法。因为向量的每一个运算都蕴含着重要的几何背景。比如说向量的点乘为零，就意味着这

两个向量彼此相互垂直。每一个向量的运算，都提供了非常重要的几何的意义。所以作为一

个新的运算对象，在我们研究整个高中数学中发挥了重大的作用。所以我个人认为，向量和

函数进入了高中课程，是高中课程的一个重大的变化，当然还有其他的变化。从运算的内容

来说，在高中阶段丰富了义务教育阶段的运算的内容。将来我们到大学，一些运算的内容还

要不断的拓展。

运算另外一个重要的作用，在高中课程成为主要脉络的作用，就是运用运算来解决问题。

我想引用项武义教授的一句话0项武义最近写了四本书，在他的基础代数里谈到了什么

是代数问题。他是这样来描述的，运用运算和运算的规律解决的问题都可以称作代数问题。

那么实际上我们的理解比这还要广。比如说可以利用向量的运算来解决几何问题。所以这是

一种参考。利用运算来解决问题，是我们非常重要的一件事情，在高中的课程学习中。我们

千万不要认为这个多项式的运算，已经在初中就告一段落了。我想一定不是这样子的。在我

们讨论一系列高中问题的时候，多项式的运算，数的运算，依然发挥着重要的作用。把我们

义务教育和高中阶段的运算有一个整体的认识，对于我们学好高中课程是非常重要的一件事

情。

因此我们想通过这两个方面，在高中的课程中丰富了运算的内容，丰富了利用运算解决

问题的内容，这些构架成高中课程的一个基本的东西。再补充一点，在我们说到主线或者主

要脉络的同时，我们必须关注不同脉络之间的内在联系。因为在谈到运算的时候，我们应考

虑到几何。空间向量与立体几何就是展示利用运算，来解决问题的一个载体。我们在强化主

线，或者基本脉络认识的同时，我们也在强化对这些不同主线和基本脉络内在联系的思考。

这样就可以把这些基本脉络编织成为高中课程的一个基本的网络。这样一个认识对于我们整

体的把握高中课程是有作用的。

问题：在整体把握运算的这个脉络的同时，怎么样看待算理，还有计算技巧之间的关系？

怎么来看这样的度，怎么掌握才比较合适？

这个问题一直也是我们在推进新课程过程中非常关注的一个问题。因为基本的运算能力

绝对是很重要的，但是我们应该怎么来看待运算，或者叫通性通法。在考纲里面也有这么一

段话，就是要强化通性通法，淡化特殊技巧。什么是通性通法？什么是特殊技巧？比如说一

个三元一次方程组：X+Y=A,Y+Z=B,Z+X=C。

一出这个题，老师都知道做法就是把三个数字加起来，这样就变成了2(X+Y+Z)

=A+B+C。这个X+Y+Z就等于二分之A+B+C。然后分别代进去，就分别求出X,Y,Z。像这

些问题，它的针对面非常窄。只是针对所谓系数都是一的一种线性方程组，没有一般性。而

在解线性方程组里代入消元，或者加减消元是通性通法。在训练运算技能的时候，应该强化

重要的通性通法。这些通性通法不仅在高中现阶段学习中是非常重要的，而且在将来的学习

中依然是非常重要的。而那些特殊技巧的存在价值就没有这么大了。所以我想提出来一个供

老师参考的问题，就是什么是通性通法？我们怎么样来认识通性通法？

比如上一讲，讲到待定系数是通性通法。为什么待定系数是通性通法。它里头所渗透的

数学思想是什么。因为模型是非常重要的，一个数学思想在高中阶段提供给老师，提供给学

生诸多的数学模型：方程的模型，不等式的模型，函数的模型。我们要运用这些模型来解决

问题。在一个具体问题中，它常常是这个模型的一个特殊情况。于是要用到待定系数。待定

系数的重要性是伴随着模型的重要性而存在的。所以我希望我们的老师去思考通性通法的背

景是什么？他所蕴含的数学的思想是什么？数学的支撑是什么？这些事情都是希望我们老

师把它想明白的。从高考变化的趋势来说，强化通性通法一定是需要坚持的一个方向，只会

强化，不会减弱。因此作为我们老师来说，大可放心的专注的培养学生的通性通法的能力。

这个对于学生的现在和将来都经上常有好处。

案例分析：由清华附中张钦老师设计的，利用运算和算法的这种思想来解决二项式定理。

教学设计：

张钦：下面我给大家简单介绍一下二项式定理这节课的教学设计。我们这次课分为两个

部分：第一部分是作为教学的引入，我们用几个简单的问题来引出如何计算二项展开式的这

个问题。那么第二部分是具体的来计算二项展开式的每一项及它的通项。

首先，我们可以问学生几个问题，比如说A加B的平方这个展开式等于多少？由于这

个公式在初中非常熟悉，学生可以很容易的答出A加B的平方等于A的平方加二AB在加

B的平方。进一步问一下学生这个结果是如何计算出来的。学生会说可以利用乘法公式把A

加B的平方看成A加B和A加B在相乘，利用多项式展开的乘法公式可以算出我们这个结

果。

第二个问题是A加B的三次方这个式子该如何计算。学生可以利用刚才的那个结果，

算出结果A加B的三次方等于A的三次方加上三倍的A的平方乘B加上三倍的A乘B的

平方在加B的立方。同样，我们可以问问学生这个结果是怎么计算出来的。那么这个时候

可能会产生两种计算方法。第一种计算方法，有个学生会把A加B的三次方看成是A加B

乘以A加B的平方，由于刚才已经推导过A加B的平方等于A的平方和二倍AB加B的

立方，直接利用两个多项式相乘的乘法公式，就可以计算出刚才我们这个结果。而第二种方

法，我们可以把A加B的三次方看成是三个A加B的式子相乘。这个时候学生可以发现，

实际上展开式子的每一项都是从三个括号中的A加B中，挑出一个A或一个B进行相乘，

比如说第一项是三个A相乘，由三个括号中的一个取出一个A,从另外两个取出B计算出

来的结果，那么最后是三个B相乘。这样就得出了刚才的结果。

这个时候我们可以对刚才两种计算方法进行总结。方法一利用多项式的乘法运算，方法

二提到了三个因式A加B中各取出一项进行相乘，再相加的一个思维过程。有了这两个问

题做为铺垫，下面我们就可以问学生这样一个问题，如果说把上面的A加B的平方以及A

加B的三次方，扩展为A加B的N次方，这个N是正整数，他们对那项数实际上是有这样

的规律。也就是说从A的N次方开始，下一项是A的N减1次方再乘B,再下一项是A的

N减2次乘以B,一直到最后是A乘B的N减1次方。最后一项是B的N次方。很容易的

可以发现A加B的平方里的展开式里有三项，A加B的三次方的展开式里有四项，那么猜

想A加B的N次方这个展开式应该是有N加1项。这个时候我们可以把这个结果写在黑板

上，继续问学生问题每一项都是由若干个A和B乘积而得出来结论，那么每一项中到底有

多少个A,多少个B?我们能不能归纳一下它的通项？学生通过思考，经过刚才问题的归纳

猜想，可能会得出以下的结果。通项可能是A的N减R次方乘B的R次方•其实规律很简

单，就是让A的指数和B