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文档简介
回扣5数列
IT基础回归--------------------
1.牢记概念与公式
等差数列、等比数列
等差数列等比数列
=x
通项公式dn3.1(Z7-1)dan=a\(j~(oWO)
Ga」一心
(1)1,Sn—1
心1+a)1—,
S"一2
前〃项和a\—anq
_氏n—l),一1一°;
一Z751「।2d
(2)0=1,Sn=na\
2.活用定理与结论
(1)等差、等比数列{a}的常用性质
等差数列等比数列
①若如n,p,q£N*,且R+〃=夕+q,①若加,77,p,q£N*,且加+〃=夕
则为+&=劣+%;+Q,则am•an=ap•/;
性质②&?=&+(7?-m)d:②&=amq~'\
③£,Sim—Sm,SR—£而,…仍成等差数③Sm,Sim—Sm,SinLSim,…仍成等
列比数列(SHO)
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法
a5—a尸d(常数)(AGN*)。、}是等差数列.
②通项公式法
a0=pn+q(p,<7为常数,={aj是等差数列.
③中项公式法
2a„+i=an-\-an+2(〃GN*)o{aj是等差数列.
④前〃项和公式法
S产短+Bn(A,6为常数,”eN*)Q{a〃}是等差数列.
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法
—=Q2是不为0的常数,〃6")=回}是等比数列.
②通项公式法
n
an=cq(c,g均是不为0的常数,〃GN*)o{a〃}是等比数列.
③中项公式法
a:+i=a〃•a”+2(a〃•an+i•a0+2^0,〃eN*)o{a〃}是等比数列.
3.数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和,直接利用公式求和.
⑵形如{a•4}(其中{&}为等差数列,伍}为等比数列)的数列,利用错位相减法求和.
(3)通项公式形如当=’(其中a,瓦,&,c为常数)用裂项相消法求和.
(a〃十。i)(a〃十友)
(4)通项公式形如为=(一•〃或a〃=a・(一1)〃(其中a为常数,〃GN*)等正负项交叉的数
列求和一般用并项法.并项时应注意分〃为奇数、偶数两种情况讨论.
(5)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成以=4+4形式的数列求和问题的方
法,其中—}与伉}是等差仕匕)数列或一些可以直接求和的数列.
(6)并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求S.
Ef易错提醒------------------------
1.已知数列的前〃项和求为,易忽视〃=1的情形,直接用S—S—1表示.事实上,当〃=1
时,4=S;当77三2时,an=Sn—Sn-l.
2.易混淆几何平均数与等比中项,正数a,6的等比中项是土,£.
3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,灵活整体代换进行基本运算.如等
差数列回}与伍}的前〃项和分别为S和北,已知2=**,求年时,无法正确赋值求解.
T„2/?+3bn
4.易忽视等比数列中公比gWO导致增解,易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成
增解.
5.运用等比数列的前〃项和公式时,易忘记分类讨论.一定分°=1和gWl两种情况进行
讨论.
6.利用错位相减法求和时,要注意寻找规律,不要漏掉第一项和最后一项.
7.裂项相消法求和时,分裂前后的值要相等,
11111<11A
如贝〃+2产]—而7^而百二万色一滔刁.
8.通项中含有(-1)"的数列求和时,要把结果写成〃为奇数和〃为偶数两种情况的分段形
式.
m回归训练
1.设等差数列{2}的前〃项和为S,已知S13>O,Si4<0,若8-8+1V0,则A等于()
A.6B.7C.13D.14
答案B
解析因为{a}为等差数列,S3=132,Si4=7(&+a),
所以&>0,aVO,&所以k=7.
2.已知在等比数歹(J{4}中,a+&=3,&+a=12,则乃5+a等于()
A.3B.15C.48D.63
答案C
解析晶='=4,所以为+a=(&+&)•/=48.
为十女2
3.设等差数列{2}的前〃项和为S,且田>0,&+为0>0,a&VO,则满足S>0的最大自
然数〃的值为()
A.6B.7
C.12D.13
答案C
解析V5i>0,乃64<0,
・・・法>0,与V0,等差数列的公差小于零,
H3+510=3,iH-42>0,a+ai3=2a7<0,
「・Si2>0,Si3V0,
・•・满足S>0的最大自然数n的值为12.
4.已知数列{a}满足3%=9・3%(刀£的且&+a+a=9,则logi(〃5+%+%)等于()
3
1
A.——B.3
U
1
C.—3D.―
o
答案c
解析由已知3%=9・3""=3°"+2,所以a〃+i=a.+2,所以数列{aj是公差为2的等差数
列,
含+司7+己9=(&+3由+(2+3扮+(含+3中
—(石2+a+&)+9d=9+9X2=27,
所以logi(〃5+%+。9)=l°gi27=一3.故选C.
33
5.已知正数组成的等比数列{a},若&・&°=100,那么与+如的最小值为()
A.20B.25
C.50D.不存在
答案A
解析在正数组成的等比数列{a}中,因为a•心=100,由等比数列的性质可得演•的)
2•517=100,那么a十4•&4=24100=20,当且仅当&=劭4=10时取等号,所以
乡+&4的最小值为20.
6.已知数列{a}的前刀项和为S,若S=2a—4(〃£N*),则为等于()
A.2"+iB.2”
C.2”TD.2n~2
答案A
解析为+i=S+i—S=2a+i—4—(24-4)=a+i=2a,再令77=1,.•・S=2&-4=@=4,
・・・数列{a}是以4为首项,2为公比的等比数列,
.•.&=4•2〃T=2"+I,故选A.
a成等比数歹b则史什等于
7.已知等差数列{a}的公差和首项都不等于0,且色,1
)
A.2B.3C.5D.7
答案B
解析・・•在等差数列{&}中,改,电,,成等比数列,
国+与+3915a1
宕=/备,,(国+3d)2=(2+d)(&+7d),:・(}=aid,,:拄G,:・d=ai,:、
色+85al
=3,故选B.
8.已知S为数列{a}的前〃项和,若为(4+cos刀兀)=〃(2—cos〃兀),则曲等于()
A.31B.122
C.324D.484
答案B
解析由题意可知,因为a(4+cOS77Jl)=77(2—COS刀兀),
246
所以S1—1,32=三,刍=3,34=~金=5,…,
55f5
99
所以数列{a}的奇数项构成首项为1,公差为2的等差数列,偶数项构成首项%公差为匚的
等差数列,
所以So=(ai+&+...+49)+(石2+&+…+/0)=122,
故选B.
9.已知等差数列{&}的公差杉0,且a,改,为3成等比数列,若a=1,S是数列{2}的前
刀项和,则二^(〃£N*)的最小值为()
为十3
A.4B.3
C.2小一2D.|
答案A
解析由题意43成等比数列,可得(1+242=1+124解得4=2,故为=2〃-1,
2s+162/+16。+8(刀+i)2—2(〃+1)+99
Sn=n,因此d+3=2刀+2=刀+1=不=(7?+1)42,由基本不
9C+1Q/Q
等式知,V^=(〃+1)+F—222\/(〃+1)XF—2=4,当〃=2时取得最小值4.
为+3n+1Y'7n+1
10.已知尸(x)={x+;]—1是R上的奇函数,数列{aj满足a”=F(0)+----1-/^^+
『(l)(〃eN*),则数列{aj的通项公式为()
A.4=〃1B.4=77
C.d,n~~n~\~1D.5/7—77
答案c
解析由题意b(x)=(x+,-1是R上的奇函数,即尸(x)关于(0,0)对称,则/"(x)关于1
对称.
即f(O)+f⑴=2,
1
+…+㈠+广⑴=刀+1.
则为=广(0)+
11.在等差数列{品}中,已知2+为=10,则3a+乃7=.
答案20
解析设公差为4则为+备=2a+9d=10,
3a5+&=3(2+4初+(a+6初=4&+18d=2X10=20.
12.若等比数列数j的各项均为正数,且40&1+乃9al2=2/,则In&+lna2T--Fin&o=
答案50
解析:数列{a}为等比数列,且40为1+国&2=2e。
・・HioZii+a9al2=2aioaii=2e,••<310511~e,
/.In491+Ina2H-----bln&o=In(&&••・&())
=ln(aioan)10=ln(e5)10=lne50=50.
13.数列{a}的前刀项和为Sn.已知51=2,S+1+(—1)"5=2〃,则Sioo=.
答案198
解析当〃为偶数时,S+i+S=2〃,S+2—S+I=2/?+2,所以S+2+S=4/?+2,故S+4+S
+2=4(刀+2)+2,所以S+4—S=8,由劭=2知,S=2,又S—S=2,所以S=4,因为W
+5=4X2+2=10,所以2=6,所以反一&=8,Si2—&=8,…,Soo一&=8,所以Soo=
24X8+2=192+6=198.
14.若数列{劣}满足…>A+LA>…,则称数列{a}为“差递减”
数列.若数列{aj是“差递减”数列,且其通项2与其前〃项和S(〃GN*)满足2s=3&+2才
—1(〃GN*),则实数X的取值范围是.
答案\,+s)
解析当〃=1时,2a1=3劭+24—1,ai=l—2,当时,2S—i=3d—1+24一1,所
以2a=3&—32_1,d=3劣一1,所以a=(1—24)3"一1,劣一&_1=(1—24)3"一1一(1一24)
3"T=(2_4X)3"T,依题意(2—44)3T是一个减数列,所以2—4A<0,^>1.
15.S为等差数列{4}的前〃项和,且&=1,岳=28.记4=[1ga],其中[%]表示不超过x
的最大整数,如[0.9]=0,[1g99]=1.
⑴求A,611,加1;
(2)求数列{4}的前1000项和.
解(1)设{a}的公差为名由已知可知,
,7X(7-1),
S=7X&+-~~-X67=7+2167=28,
解得d=\,所以{&}的通项公式为a=1+(72—1)X1=72.
61=
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