第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ

第二章函数的概念与基本初等函数I

第一节

函数及其表示

本节主要包括3个知识点:

1.函数的定义域；2.函数的表示方法；3.分段函数.

突破点(一)函数的定义域

基础联通抓牛干知识的“源”与“流”

1.函数与映射的概念

函数映射

两集合4B设45是两个非空的数集设45是两个非空的集合

如果按照某种确定的对应关系了,使如果按某一个确定的对应关系f,使对

对应关系对于集合力中的任意一个数X,在于集合A中的任意一个元素x,在集

AfB集合B中都有唯一确定的数加0和合8中都有唯一确定的元素1，与之对

它对应应

称丘上史为从集合A到集合B的称对应匚上星为从集合彳到集合B

名称

•—个函数的一个映射

记法y=fix),xeA对应/：Z-5

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y=/(x),xeA中，x叫做自变量，x的取值范围力叫

做函数的定义域；与x的值相对应的匕直叫做函数值，函数值的集合如)打€/1｝叫做函数的

值域.显然，值域是集合5的子集.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等，这是判

断两函数相等的依据.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

考点一求给定解析式的函数的定义域

常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4»=x°的定义域是｛x|x#0｝.

(5)j=a'(a>0且a#l),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.

(6)y=Io鳍(。>0且“W1)的定义域为(0,+°°).

(7)j=tanx的定义域为｛xXWATT+E，.

[例1]y=^^一1/2(4—*2)的定义域是()

A.(-2,0)U(1,2)B.(-2,0]U(1,2)

C.(-2,0)U11,2)D.|-2,0|U|l,2|

|解析|要使函数有意义，必须jxwo

、4一/>0,

AxS(-2,0)U[1,2).

即函数的定义域是(一2,0)U[l,2).

[答案IC

[易错提醒]

…(1)元宴争拜标耗存花隔爰舷，…以冤至又城爰豆花…

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各

个基本初等函数定义域的交集.

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该

用并集符号“U”连接.

考点二求抽象函数的定义域

对于抽象函数定义域的求解

(1)若已知函数/(x)的定义域为®b\,则复合函数德(x))的定义域由不等式力

求出；

(2)若已知函数虑(x))的定义域为®h\,则於)的定义域为第*)在xG[a,回上的值域.

[例2]若函数的定义域是他2],则函数g(x)=^的定义域为.

*—1#0,

［解析］由题意得，解得OWxVl,即g(x)的定义域是［0,1).

0W2xW2,

［答案］［0,1)

［易错提醒］

函数九?(X)］的定义域指的是X的取值范围，而不是g(x)的取值范围.

考点三已知函数定义域求参数

［例3］(2017•杭州模拟)若函数加:)=4"/+"+1的定义域为一切实数,则实数，”的

取值范围是()

A.［0,4)B.(0,4)

C.［4,+8)D.［0,4］

［解析］由题意可得，”./+”a+120恒成立.

当机=0时，120恒成立；

m>0,

当/"WO时，则彳2/解得0V阳W4.

A=m—4〃iW0,

综上可得：0式股44.

［答案］D

［方法技巧］

；..................函函版及毓薇前恿痂法................:

：已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思:

；想方法.转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已：

II

:经解决或者比较容易解决的问题，从而获解.

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1.［考点一］函数7=也111(2—X)的定义域为()

A.(0,2)B.［0,2)

C.(0,1］D.|0,2|

解析：选B由题意知，x20且2—x>0,解得0<xV2,故其定义域是［0,2).

2.［考点一］(2017•青岛模拟)函数J=2，_3X_2的定义域为()

A.（一8,1|B.

c.[1,2)U(2,+8)

l-x2^0,

解析：选D由题意得，

,2X2-3X~2^0,

一IWXWI,

解得《1即一IWXWI且x#—J,

所以函数的定义域为［—1,—T)u(~；，1.故选D.

3.［考点一|函数於)="方U(">°且”#1)的定义域为

1—Lv—11^0,(0Wx42,

解析：由题意得、.〃解得—即OW<2,故所求函数的定义域为

［/-IWO,［x#0,

(0,2］.

答案：(0,2］

4.［考点二］已知函数夕=斤2-1)的定义域为［一小，小|,则函数y=/(x)的定义域为

解析：：产=/(/-1)的定义域为［一方，巾］,：.xe［-y［3,巾］,X2-1G|-1,2］,：.y

=/(x)的定义域为［-1,2］.

答案：［-1,2］

5.［考点三］若函数Hx)=y+岫:+分的定义域为国［&<2},则a+b的值为.

解析：函数/(x)的定义域是不等式ax^+aAx+b2。的解集.不等式ar2+aftx+6^0的

7<0,

3

°=­彳，

解集为{x|l<xW2},所以<1+2=一瓦解得j2所以39

1X2=~,力=-3,

Ia

答案：一3

突破点(二)函数的表示方法

能力练通抓应用体验的“得”与“失”_____________________________________

1.函数的表示方法

函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法.同一个函数可以用不同的方

法表示.

2.应用三种方法表示函数的注意事项

(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

（2）列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

（3）图象法：注意定义域对图象的影响.与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.

3.函数的三种表示方法的优缺点

优点缺点

（1）有些函数关系很难或不能用解析式表示；

解析法简明扼要，规范准确（2）求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁

杂

能鲜明地显示自变量与函数只能列出部分自变量及其对应的函数值,难以反

列表法

值之间的数量关系映函数变化的全貌

形象直观，能清晰地呈现函数

作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定

图象法的增减变化、点的对称关系、

的函数值往往有误差

最大（小）值等性质

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

考点求函数的解析式

求函数解析式的四种方法

后百而家存7（7乙:5:77#5；可花m豆：

法一；写成关于gG）的表达式，然后以与替代g（4）j

配溃法・便得/（与）的解析式

、---------------------------------1

3需于形Jny=/（gG））后函数解诉式，金；

法二t=g（z）.从中求出H=。"），然后代入表达式!

!换元法求出/（，），再将，换成叫得到/G）的解析式，?

要注意新元的取值范围

5

;先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式：

法三；的性质,或将已知条件代入,建立方程（组）/

|待定系数法［

;通过解方程（组）求出相应的待定系数

丁、.........................................}

已知关于/（%）与/0）或/（r）的表达式，!

法四

|解方程组法［可根据已知条件再构造出另外一个等式组成1

;方程组，通过解方程求出,（工）

［典例I（1）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已

知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）

〃千米

A.尸g-x

^=|x3+|x2—2x

(2)定义在R上的函数"v)满足於+1)=2/).若当0琶xWl时，於)=*(1一x),则当一

IWXWO时，外)=.

(3)(2017•合肥模拟)已知本)的定义域为{x|xW0},满足凯r)+yQ)=3+l,则函数及)

的解析式为.

［解析］(1)设该函数解析式为42="*3+公2+4+”，则，(X)=3«X2+2AX+C,

y(o)=d=o,

H2)=8a+4〃+2c+〃=0,

由题意知＜解得<b=-2>

f(0)=c=T,

、f(2)=12«+4Z»+c=3,

3=0,

A/(x)=jx3-pc2-x.

(2)・・・一l/x/0,・・・OWx+lWl,

l)=1(x+1)|1-(x+1)1=-1x(x+1).故当一IWXWO时，/(x)=-1x(x+

(3)用;代替3人2+或=?+1中的x,得痣)+y(x)=3x+l,

加*)+武)=(+1，①

、痣+yw=3x+i,②

IS91

①义3—②X5得.")=6一赤+g(xWO).

I答案I(DA(2)—1r(x+l)(3)/(x)=|1x—急+；(xK0)

［易错提醒I

…卷条露需受证「二舅意至至g爰，而套亩:忌藐瓦瓦父薪「而己媪藤口;石「翥卤

数外)的解析式，通过换元的方法可得HX)=X2+1,函数/(X)的定义域是［0,+8),而不是(一

0°,+0°)

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.已知函数/(x)的定义域为(0,+8),且人幻=〃侏&-1，则/(x)=.

解析：在大2=2/。1&-1中，用士代替x,得.70)=2八%)比一1,将./0)=2於)戈

代入/(x)=2痕》后一1中，求得/(x)=1\&+；(x>0).

答案：!\/x+|(x>0)

2.函数作)满足2")+八-x)=2x,则｛x)=.

2f(x)+fi-x)=2x,

解析：由题意知,

2f1-x)+fix)=-2x,

解得用)=2工

答案：lx

3.已知/(、6+1)=%+2正，求/(X)的解析式.

解：设£=五+1,则X=(f—1)2,121,代入原式有

人。=«—1)2+2«-1)=/-2，+1+2，­2=/—1.

故y(x)=f—1,x2i.

4.已知/(x)是二次函数，且/(0)=0,/(x+l)=/a)+x+l,求/(*)的解析式.

解：设f(x)=ax2+bx+c(〃W0),

由/(0)=0,知c=0,f(x)=ax+bx,

又由./(x+l)=Ax)+x+l,

得a(x+\)2+b(x+\)=ax2+bx+x+1,

22

即ax+(2a+h)x+a+h=ax+(b+l)x+l9

2a+b=b+l9

所以，

a+b=A9

解得a=b=^.

所以/(x)=1x2+jx,xER.

5.已知求於)的解析式.

解：由于4+3=/+4=&+02—2,

所以/(x)=x2—2,x22或2,

故/(x)的解析式是风丫)=/—2,x22或x《一2.

突破点(三)分段函数

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的函

数通常叫做分段函数.

2.分段函数的相关结论

(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”___________________________________

考点一分段函数求值

1一五，x20,

[例1]⑴设&)=2、，x<。，贝如—2))=()

A.-1

C.|D.1

(2)(2017•张掖高三模•拟)已知函数/(x)=<G)'则/(l+log25)的值为()

於+1),x<4,

［解析］⑴因为人_2)=2-2=：,所以加―2))=局=1-故选C.

(2)因为2<log25<3,所以3〈l+log25<4,贝寸4<2+log25<5,则/U+log25)=/(l+log25+

1)=42+1哂5)=(；)2+啕5=兴。啕5=；《=点故选D.

［答案］(1)C(2)D

［方法技巧］

一分或函数求值的解题思路

求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析:

式求值，当出现/(A。))的形式时，应从内到外依次求值.

考点二求参数或自变量的值或范围

logix,x>0,

［例2|(1)(2017・西安模拟)已知函数外)=2—若/(4)="(“)，则实数a的值

x9xWO,

为()

A.-1或2B.2

C.-1D.-2

尸，x<l,

(2)设函数9)=(1、则使得於)42成立的x的取值范围是________.

q,x^\,

［解析］(iy(4)=10g24=2,因而"(a)=2,即/(a)=l,当。>0时，/(a)=log2a=1,因而

a=2,当aWO时，｛。)=/=1,因而a=-1,故选A.

⑵当Ml时，由广仁2得x4+ln2,，xvl;当xdl时，由得A<8,1&<8.

综上，符合题意的x的取值范围是*48.

［答案］(1)A(2)(-oo,8|

［方法技巧］

.................莱豆葭函及百菱董庙宿函运国而潴...............

求某条件下自变量的值或范围，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，

然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应

各段自变量的取值范围.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1-2',xWO,

1.［考点一］已知函数於)=2°贝U加-1))=()

x,x>0,

A.2B.1

1

C1D

L・4”2

解析：选C由题意得八一1)=1-27=3，则加―1))=局=(；)2="

、

CX3siTnm)+e,LxWQO。,，则r向2的值为()

1

AB

i2

C.1D.-1

解析：选B痣)={-；)+1=/加(一；)+1=一；.

［log^r,x>0,

3.［考点一］已知小)=々八且{0)=2,火―1)=3,则加—3))=()

［a+b,xWO,

A.-2B.2

C.3D.-3

解析：选B由题意得/(0)=a°+b=l+b=2,

解得b=l.f{—l)=a~'+b=a^i+l=3,解得

,og#,x>0,

则所收H，-

故火—3)=Q)T+I=9,

从而加―3))=W9)=log39=2.

——iYVI

4.［考点二I设函数外)=；''则满足加。))=/)的a的取值范围是()

Z9Xd9

A

(iIB.|0,11

C

(?+8)D.［1,+~)

解析：选C由"("))=/')得，加)21.

22

当“VI时，有3。一121,二4》？，二产aVL

当时，有2"d1,.\a20,

综上，0考,故选C.

［2x+l,x20,

5.［考点二］已知函数於)=,2c且火*0)=3,则实数Xo的值为_________.

［3x,x<0,

解析：由条件可知，当与川时，-0)=5+1=3,所以x°=l；当Xo<O时，_Axo)=3x：

=3,所以x0=—1.所以实数xo的值为-1或1.

答案：一1或1

—r+1,x<0,

6.［考点二］已知/(x)=使7(x)2—1成立的x的取值范围是

1―(X—1)2,X>0,

xWO,

x>0,

解析：由题意知<或

-1、一住一1)2、一1,

解得一4WxW0或0VxW2,故x的取值范围是[-4,2].

答案：|-4,2]

I全国卷5年真题集中演练一明规律[

1.(2016•全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10旧、的定义域和值域

相同的是()

A.y=xB.j=lgx

Cy=2'D.产古

解析：选D函数歹=10叱的定义域与值域均为(0,+8).

函数J=X的定义域与值域均为(-8,4-00).

函数y=lgx的定义域为(0,+°°),值域为(一8,4-oo).

函数7=2、的定义域为(-8,4-00),值域为(0,十8).

函数的定义域与值域均为(0,+8).故选D.

在

l+log2(2—x),x<1,

2.(2015•新课标全国卷U)设函数/(x)=1则八-2)+/(k)g212)=

()

A.3B.6C.9D.12

解析：选CV-2<1,/./(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3.Vlog212>1,:.

/<k)g212)=21og212—1=¥=6.-2)+/(log212)=3+6=9.

2X,—2,xWl,

3.(2015・新课标全国卷I)已知函数,且/(〃)=一3,则/(6—

—10g2(x+l),X>1,

。)=()

A」B—£

4D,4

c-3_1

j4Du*4

解析：选A由于/(“)=一3,①若aWl,则2a~'-2=-3,整理得2"T=-1.由于2、>0,

所以2"T=-I无解；②若0>1,则一k)g2(a+l)=—3,解得a=7,所以负6—。)=/(-1)=2

77

TT_2=_j综上所述，

f—X2+2X,XWO,

4.(2013・新课标全国卷I)已知函数/(x)=，一、c若则”的取值

[ln(x+l),x>0.

范围是()

解析：选Dj=|/(x)|的图象如图所示，y=«x为过原点的一条直线，当|/(x)|N«x时，必

有AWaWO,其中A是y=f—2x(xW0)在原点处的切线的斜率，显然，〃=-2.所以a的取值

范围是[-2,0].

I课时达标检测I重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考

I练基础小题——强化运算能力|

1.下列图象可以表示以M=｛x|0WxWl｝为定义域，以N=｛y|OWjWl｝为值域的函数的

是()

解析：选CA选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象,

由函数的定义可知选项C正确.

2.若函数加+1)的定义域为[0,1],则大2'—2)的定义域为()

A.|0,1]B.[Iog23,2]

C.[1,log23]D.[1,2]

解析：选B；/(x+l)的定义域为[0,1],即OWxWl,.,.14*+1・2.；/比+1)与/(2"一

2)是同一个对应关系/,.*.2*—2与x+1的取值范围相同，即1W2"-2W2,也就是3W2*/4,

解得Iog23WxW2....函数/(2'—2)的定义域为[log23,2].

3.若二次函数g(x)满足g(l)=Lg(-l)=5,且图象过原点，则g(x)的解析式为()

A.g(x)=2%2—3xB.g(x)=3x2—2x

C.g(x)=3x2+2xD.g(x)=~3x2—2x

解析：选B设g(x)=ax2+bx+c(aW0),Vg(l)=l,g(—1)=5,且图象过原点，

a+b+c=l,«=3,

•a—b+c=5,解得，b=~2,：.g(x)=3x-2x.

«=0,<=0,

4.若函数｛x)=<2^+2依一“一1的定义域为R,则a的取值范围为.

解析：因为函数火刈的定义域为R,所以2^+20¥—“一120对xGR恒成立，即2x?+

2or—〃22°,x?+Zar-恒成立，因此有/=(2〃)2+4〃《0,解得一lWaW0.

答案：1-1,0]

3x—b,x<l,

5.设函数X2[若Md))：%则〃=-

555

---

622

Z>=g,不符合题意，舍去；若521,即bW',则25—b=4,解得〃=,・

答案：I

[练常考题点一检验高考能力]

一、选择题

1.函数/(*)="襄萨的定义域为()

A.[1,101B.[1,2)U(2,10)

C.(1,10]D.(1,2)U(2,10]

10+9XT\0,

解析：选D要使函数犬2有意义，则X须满足7—1>0,即

.lg(x-l)^0,

(x+l)(x-10)W0,

,x>l,

x^2,

解得17近10,且xW2,所以函数/(x)的定义域为(l,2)U(2,10].

—cos7LV,X>0,则局+•/(一的值等于(

2.已知/")=彳,,_3

加+1)+1,xMO,)

A.1B.2C.3D.-2

解析：选C-cosy=cosj=1;D=7(­3)+1=XI)+2=—cos^+2=2+

2=4故局+G9=3.

3.若/(x)对于任意实数尤恒有—x)=3x+L则犬1)=()

A.2B.0C.1D.-1

解析：选A令x=l,得〃(1)一人-1)=4,①

令*=-1,得〃(一1)一/(1)=-2,②

联立①②得/(1)=2.

4.（2017•贵阳检测）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为凡”

"C

f-，x<a>

=<:（",C为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第，件产品

广，

17a

用时15分钟，那么c和a的值分别是（）

A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16

解析：选D因为组装第。件产品用时15分钟，

所以I----15,①

所以必有4<a,且.=]=30.②

联立①②解得c=60,〃=16.

1,x>0,

5.设x£R,定义符号函数§gnx=，0,x=0,贝!J（）

、一Lx<0,

A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|

C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx

解析:选D当xVO时，|x|=-x,x|sgnx\=x,xsgn|x|=x,|x|sgnx=（-x）（-l）=x,

排除A,B,C,故选D.

6.已知具有性质：役=一%）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数:

%,0<r<l,

①尸x-5②y=x+：；③y=<0，*—L

、—XX>1.

其中满足“倒负”变换的函数是（）

A.①②B.①③C.②③D.①

解析：选B对于①，/（x）=x-士役=；-*=-/比），满足“倒负”变换；对于②，

2'

/（£）=^+x=/（x）,不满足"倒负"变换；对于③，6）=<。，]=1，即d）=

—X,^>1,

X

ri,

j?X>1，

故#:)=一外)，满足“倒负”变换.综上可知，满足“倒负”变换的函

0,x=L

、—x,0<x<L

数是①③.

二、填空题

2

7.已知函数/(x)对任意的xGR,/(x+1001)=,已知人15)=1,则以2017)=

洞+1

2

解析：根据题意，fll017)=7(1016+1001)=痂就“？夬1016)=八15+1001)=

2222

痂布'而/(15)=1,所以川0吁布=1,则八2。|7)=赤而布=布=1.

答案：1

[2x+a9x<lf

8.(2017-绵阳诊断)已知实数aWO,函数人x)=J、若人1一〃)=/(1+〃)，

—x—2“，xkl・

则。的值为.

解析：当白>0时，1—q〈l,l+a>l,此时/(I—〃)=2(1—a)+q=2—%/(l+4)=—(l+o)

—2〃=—1—3〃.由大1—〃)=/(1+〃)得2—。=—1—3%解得〃=一看不合题意,舍去.当”0

时，l-a>l9l+a<l,此时人1一。)=-(1-。)-2〃=一1一%f(l+a)=2(l+a)+a=2+3a,

由/(I—〃)=/(l+a)得一1一4=2+3%解得〃=—3•综上可知，〃的值为一点

答案：—4

9.已知函数/(x)满足对任意的xGR都有於+*)+£—*)=2成立，贝U/Q)+/(j)+…

解析:由£+x)+/g-x)=2,得6)+恁=2，X|)+/(D=2,/|)+X|)=2,又腐

=虢)+痣)]=92=1，MD+XD+T/gxB+E

答案：7

[1,x>0,

10.定义函数Hx)=Jo,x=0,

则不等式(》+1的)>2的解集是

[-1,x<0,

解析：①当x>0时，本)=1,不等式的解集为{x|x>l};②当，=0时，外)=0,不等式

无解；③当x<0时，八2=—1,不等式的解集为{xW<-3}.所以不等式(x+l>/a)>2的解集

为{x|x<—3或x>l}.

答案：{x|x<-3或x>l}

三、解答题

11.已知函数大幻对任意实数x均有/(x)=-Wx+l),且/(x)在区间[0,1]上有解析式y(x)

=x\

⑴求八一1)，川.5)；

(2)写出/(X)在区间[-2,2]上的解析式.

解：(1)由题意知八-1)=一4-1+1)=—初0)=0,

/(1.5)=/(1+0.5)=-^/(0.5)=-|X|=

(2)当xW[0,1]时，/(x)=x2;

当xG(l,2]时，*一1€(0,1],府)=一3"一1)=-3(*一1)2；当xG[—1,0)时，x+lG[0,l),

/(x)=-2/(x4-1)=-2(x4-1)2;当xG[-2,—1)时，x+1G[_1,0),./)=一决*+1)=_2*[_

r4(x+2)2,xS[-2,-1),

—2(x+l)2,xG|-1,0),

2(x+1+1)2]=4(X+2y.所以/(x)=Vx2,xG[0,1|,

、一1-if,xe(l,2].

12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距y

离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车32.8...................//

的刹车距离贝米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系:尸丸+小二三唳忌口

+〃(,”，"是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离M米)与汽车的车速M千米/时)

的关系图.

(1)求出J，关于X的函数解析式；

(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度.

<402

^QQ+40/K+n=8.4,

解：(1)由题意及函数图象，得J602

z^+60/K+n=18.6,

|XX

解得'”=丽，〃=°，所以7=而+和(*2°),

r2v.

(2)令赤+丽W25.2,得一72WxW70.

Vx^O,70.故行驶的最大速度是70千米/时.

第二节

函数的单调性与最值

本节主要包括2个知识点：

1.函数的单调性；2.函数的最值.

突破点（一）函数的单调性

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1.单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数/（X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个

自变量Xl，x2

定义当X1<^2时，都有血!）>3），那

当方我2时，都有/那么就说函数

么就说函数人刈在区间D上是减

/（X）在区间。上是增函数

函数

内⑺

图象描

述-kx

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是王隆的

2.单调区间的定义

若函数y=Ax）在区间D上是增函数或减函数,则称函数j，=/（x）在这一区间上具有（严格

的）单调性，区间。叫做函数j=/（x）的单调区间.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

考点一判断函数的单调性

1.复合函数单调性的规则

若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性

相反，则它们的复合函数为减函数.即“同增异减”.

2.函数单调性的性质

（1）若大2，g（x）均为区间N上的增（减）函数，则./（x）+g（x）也是区间4上的增（减）函数，

更进一步，即增+增=增，增一减=增，减+减=减，减一增=减；

⑵若A>0,则砧x)与/)单调性相同；若A<0,则砧x)与/(x)单调性相反；

(3)在公共定义域内，函数j，=/(x)(/(x)#O)与y=-/(x),单调性相反；

(4)在公共定义域内，函数y=/(x)(/(x)20)与y=4词单调性相同；

(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单

调性相反.

［例1］(1)下列四个函数中，在(0,+8)上为增函数的是()

A.J［x)=3—xB.f(x)=x2—3x

C.7(x)=—D./(*)=-国

(2)已知函数/(x)=q7五二则该函数的单调递增区间为()

A.(-8,1|B.［3,+8)

C.(一8,-1|D.［1,+8)

|解析|⑴当x>0时，/(x)=3-x为减函数；

当xG(0,号时，/(x)=x2—3x为减函数，

当+8)时，y(x)=x2-3x为增函数；

当xG(0,+8)时，如)=一去为增函数；

当xG(0,+8)时，")=一团为减函数.

(2)设f=V一左一3,由，》0,

即f—2x—3'0,解得xW—1或x23.

所以函数的定义域为(一°°,—1|U［3,+°°).

因为函数，=1—2x—3的图象的对称轴为x=l,所以函数