高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (30)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(30)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.已知向量$=(百sin:1),元=(cos：cos2；),id/(x)=m-n.

⑴若f(a)=|,求cos得-a)的值;

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移与个单位得到y=g(x)的图象，若函数y=5(x)-k在［o,r］上有

零点，求实数%的取值范围.

2.(1)已知|五|=4,向=3，(2a-3b)-(2a+b)=61，求五与B的夹角。；

(2)设立？=(2,5)，0B=(3,1)，0C=(6,3)，在元上是否存在点M,使若存在，

求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

3.如图所示,A、B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上240P=0(0<0<兀),

点C坐标为(一2,0),四边形OAQP为平行四边形.

(1)若1=耐•丽，求r的取值范围;

(2)若CB_LOP,求l+sin26-cos20的值.

l+sin26+cos20

4.如图，在AOAB中，已知P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB.

(1)若丽=PK求x，y的值；

(2)若加=2证，|0A|=4，|而|=2，且就与丽的夹角为60。时，求丽•丽的值.

5.已知向量鬲石的夹角为120。，且国=4,|石|=2,求:

(l)(a-26)-(a+K);

⑵|弓+方|;

(3)|3a-4d|.

6.如图，在△ABC中，^BAC=60°,AB=AC=3,点。在线段8c上，且前=［反.

求：(1)4。的长；

(2)cosNZMC的值.

7.已知向量2=(1,2),7=(-3,/c).(1)若1〃亦求了的值;

(2)若日10+23)，求实数石的值；

(3)若方与五的夹角是锐角，求实数3的取值范围.

8.已知向量沆=(cos%sinx),n=(cosx,V3cosx),xER,设函数f(%)=布•五+：.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)设a,b,c别为△ABC内角A,B,C的对边，若/(A)=2,h+c=2>/2.AABC的面积为：，

求a的值.

9.已知双曲线C：圣一，=1经过点(2,3),两条渐近线的夹角为60。，直线/交双曲线于A、8两点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若/过原点，P为双曲线上异于A,B的一点，且直线PA、PB的斜率翱/加8均存在，求证:必•kPB

为定值；

(3)若/过双曲线的右焦点招，是否存在x轴上的点M(TH,0),使得直线/绕点后无论怎样转动，都有

祈2•丽=0成立？若存在，求出”的坐标；若不存在，请说明理由.

10.已知平面向量为=(3,4),b=(9,x)>c=(4,y).且苍〃方，7i±~c.

(1)求方和人

(2)若沅=22-3,n=a+c,求向量沅与向量记的夹角的大小.

11.己知向量a=(2后sin(；+x),cos(^+x)),向量工=(cos(；-x),2cos(；-x)),且函数/⑶=H

(1)求函数f。)的单调递增区间及其对称中心；

(2)在ZL48c中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且角A满足/'⑷=遮+1,若a=3,BC

边上的中线长为3,求zL4BC的面积S；

(3)将函数的图像向左平移J个长度单位，向下平移百个长度单位，再横坐标不变，纵坐标

6

缩短为原来的拒得到函数g(x)的图像，令函数/i(x)=g(x)-4/lcosx在xe[O,g的最小值为一|,

求正实数;I的值.

12.已知向量联=(2,0),，=(1,4)

⑴若向量式+办与标2办平行，求女的值；

(2)若向量左京.,与*+2/；的夹角为锐角，求％的取值范围.

13.已知日=(国,—1),b=G号)，且存在实数％和r,使得j?=1+«2—3)另，方=—kZi+tB，且

三j.%试求斗^的最小值.

14.已知向量丘=(sin%,cos%),b=(V3,-l),/(%)=a-b-

(1)若1€[j,7],求函数f(x)的最小值；

«5O

(2)已知a为锐角，.3W(0,/),/(c+:)=：,sin(c.力12

,求sin(2a+0)的值.

1*5

15.如图，在AABC中，AQ=QCZAR=|AB,BQ与CR相交于点/,A/的延长线与边BC交于点P.

A

R,

B'C

(1)用前和就分别表示风和京；

(2)如果由=而+4及=前+〃原，求实数2和四的值；

(3)确定点尸在边8c上的位置.

16.如图，点C是点8关于点A的对称点，点D是线段0B的一个靠近点B的三等分点，设方=3,

OB^b.

(1)用向量五花表示灵，而；

(2)若赤=(函,求证：C,D,E三点共线.

17.若向量冒=(3,4),K=(9,x)>c>=(4,y),且育〃石，±c*.

(1)求后和它的坐标；

(2)若ffi2a*-b-na+r,求向量iH,记的夹角.

18.己知匕b，3是一个平面内的三个向量，其中为=(1,2).

(1)若用|=2遮,c//a,求不及小常

(2)若|方|=誓，且五+2加与3N-B垂直，求4与3的夹角的余弦值.

19.已知A、8、C为锐角三角形ABC的三个内角，若向量万=(2-2sin4cos4+$也4)与向量,=

(sinA-cosA,1+sinA)是共线向量.

(1)求角A；

(2)求函数y=2sin2B+cos与"的最大值.

20.如图,M为△ABC的重心，过点M的直线分别交AB,AC于尸,。两点，设方=xAB,AQ=yAC,

记y=f(x).

(1)求一+'的值；

xy

(2)设函数g(x)=sinx+cosx—sinxcosx+m,若对任意x[e[|<总存在eR，使得/'(/)=

g(>2)成立，求，"的取值范围.

21.已知两个不共线的向量值,3的夹角为。，且|初=3,住|=1，x为正实数.

(1)若往+2日与方一43垂直，求tan。；

(2)若。=今求|x3-石|的最小值及对应的x的值.

22.对于一个向量组石•，石，码…乐(n>3,neN*),令图=可+码+…+布，如果存在

耳(pe/v*),使得同》瓦-可那么称可是该向量组的“长向量”

(1)若同是向量组近，而，试的“长向量”，且就=(n,x+n),求实数x的取值范围;

(2)已知或近尾均是向量组而，记，码的“长向量”，试探究万，右后的等量关系并加以证明.

23.如下图所示，在矩形ABCQ中，点E在边AB上，且荏=2前，M是线段CE上一动点.

(1)若而=m区?+n丽，求m+2n的值；

(2)若|荏|=6,EC-CA=-17.求(拓？+2丽)•雨的最小值.

24.在△ABC中，内角A,8,C的对边分别为a,h,c,已知向量铉=(2a+c,b),五=(cosB,cosC),

且沅-n=0.

(/)求B的大小；

(〃)若b=2,求^ABC面积的最大值.

25.在A25c中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知向量TH=(cos含sin当，n=(cos3,sing),

且满足|记+n|=V3«

(1)求角A的大小；

(2)若b+c=V5a，试判断△4BC的形状。

26.已知向量的夹角为60°,且同=1,由=2,设示=3/育=面+29.

(1)试用，来表示nvir的值；

(2)若E与方的夹角为钝角，试求实数r的取值范围.

27.已知向量1=(一，,亨)，b=(2cos0,2sin0)>0<0<TT.

(1)若为〃B，求cos。的值；

(2)若|方+川=|同，求sin(。+§的值.

28.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆条+，=l(a>b>0)的离心率是e,定义直线y=±三为椭

圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=±4g,长轴长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)。为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线/交椭圆C于E,尸两不同点(点E,尸与点A不重

合)，且满足4E_LAF,若点尸满足2赤=笳+次，求直线AP的斜率的取值范围.

29.已知：①函数/(%)=cos3xsin(3x+2)->0)；

②向量沅=(V3sina)x,cos2cox)，n=(|COSOJX,i),且3>0,/(x)=m-n；

③函数f(x)=1sin(2((jx+w)(3>0,\(p\<])的图象经过点(第)

请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

己知,且函数/(乃的图象相邻两条对称轴之间的距离为;.

(1)若0<。<全且sin。=点求的值;

（n）求函数/（X）在［0,2种上的单调递减区间.

30.如图，在AOAB中，点尸为线段A8上的一个动点（不包含端点），且满足9=4两.

（1）若；1=：,用向量为，而表示前:

（2）若|瓦？|=4,|而|=3，且乙40B=60°,求赤.四的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：解：/(%)=m-n=V3sin-cos-+cos2-=-sin-+-cos-4-i=sin(-4--)+-

J-44422222v2672

(1)由/(a)=I得sinG+g)+：=5，于是a=4k7T+?,kEZ,

ZZOZZo

・••COS(Y-Q)=cos(y—4fc7T一拳)=1.

(2)将函数y=f(%)的图象向右平移等个单位得到y=g(x)=sin(1x的图象，

则y=g(x)-k=sin(|x-a+3-匕

因为一£三打一BW"，所以一?4sin(，一£)W1,

626226

所以0<sin(ix-^)+1<I，

若函数y=5(x)-k在［0,争上有零点，则函数y=g(x)的图象与直线y=k在［0,争上有交点，

所以实数上的取值范围是［0,|］.

解析：(1)先化简求得/(x)的解析式，由已知可求得a的值，从而可求cos(g-a)的值；

(2)先求得y=g(x)-k的解析式，从而可求g(x)的值域，由函数y=g(x)的图象与直线y=k在［0,g］

上有交点，可得实数上的取值范围.

本题主要考查了向量的数量积，三角函数的图象与性质，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知

识的考查.

2.答案：解：(1)•••(2丘—3万)•(2方+石)=61

4a2-4a-K-362=61

又|五|=4,|至|=3

Aa-b=-6-

・・zj，i，

•cosO=\a\l\b\=—2

・・・向量夹角。e[0,180°]

:.0=120°.

(2)设存在点M,且而=AOC=(6A,3A)(0<A<1)

・・・加=(2-6尢5-3/1),丽=(3-6尢1-3A).

V~MA1MB

，雨•旃=0

・・・(2-62)(3-6A)+(5-32)(1-3A)=0,

111

・・・45M-482+11=0,解得：入=§或入=元

—>一一,2211

・・・OM=(2,1)或OM=(可，可)

・・・存在M(2,l)或M《白满足题意.

解析：(1)根据(2五—3K)-(2a+b)=61求出方•b=—6然后再利用向量的夹角公式cos<a,b>=

编再结合〈区石>€[0,扪即可求出乙与石的夹角。.

(2)假设存在点M符合题意则可设而=AOC=(64,34)(0<A<1)即M(64,34)从而求出拓5,而再

根据利1而利用向量数量积的坐标计算再结合0</IS1即可求出4进而求出点M.

本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易.解题的关键是熟记向量的夹角公式cos<

a.b>=噩同时要注意<a,b>€[0,兀]这一隐含条件以及初1丽的等价条件为？-MB=0.

3.答案:解：(1)由已知，得4(1,0)、8(0,1)、P(cos0,sin0),

因为四边形OAQP是平行四边形，故的=瓦5+丽=(1+cos&sin0)，

-OQ=1+cos9

因为0<9<TT,则一1<COS8<1,故f的取值范围是(0,2).

(2)由题意，知下=(2,1)，OP=(cos0,sin0).因为CB_LOP,所以「工.。下=()

・•・2cos0+sin©=0,

又0<9<7i,结合siM。+cos20=1得sin。=—,cos。=——,

5s

4

・•・sin20=2sin0cos0=--

cos20=2cos2。—1=­I，

t4,3

所以l+sin2"326=阜=_2.

l+sin204-cos201----

5s

解析：本题考查平面向量的数量积和坐标运算以及二倍角公式

(1)由已知得出A,B,P的坐标，进而根据四边形OAQP是平行四边形，得到的=瓦？+诃=(1+

cos。,sin9),然后由平面向量的数量积运算得出面.丽=l+cos。，进而可求；

(2)由已知可得「X.乔=(),进而得到2cg0+siu00,再有同角三角函数的平方关系求

出sinO=2,cos。=-更，然后再结合二倍角公式进行计算即可.

55

4.答案：解：(1)由乔=同，得而-丽=雨-而,

所以而=：(引+而)=：a+：砺，

所以x=［，y=］；

(2)由前=2可，得丽_丽=2画-研，

所以诃=|成+1而；

又|函|=4，|而|=2，且函与布的夹角为60。，

则前-AB=(|o7H-iOB)-(OB-OA)

2—>21——>21—►——»

=--0A+§。84--0/1-0B

2o191

=--X424--X22+-X4X2XCOS600

解析：本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题.

(1)由前=万得丽-布=瓦？-前，用瓦?、曲表示亦即可；

(2)由肝=2瓦?得而一丽=207-而)，求出而，再计算丽.荏的值.

5.答案:解：•.•同=4,0|=2,且五花的夹角为120。,

.-.a-b=\a\-\b|cosl20°=4x2x(-j)=-4,

(l)(a-2b~)•(a+b)=a2—a-b-2bz=42—(—4)—2x22=12-

(2)|a+K|2=|a|2+2a-K+|K|2=16-8+4=12，

TT—

AQ+b=2v3.

(3)|3a-4h|2=9|a|2-24a-K+16|b|2=9X42-24X(-4)+16x22=304，

|3a-4b|=V304=4V19.

解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题.

(1)先求出五不=-4,再根据向量的数量积性质计算即可；

(2)先平方，再根据向量的数量积运算即可；

(3)先平方，再根据向量的数量积运算即可.

6.答案：解：(1)设彳^=有，AC—b>

则而=荏+丽=荏+三就=通+2(%?一四)=-AB+-AC=-a+-K,

33、73333

所以|而『=（犯+翔2=ia2+2x^a-K+j62

421

=-x9+2x-x3x3xCOs600+-x9=7,

故AD=y/7•

(2)设4n4。=仇则。为向量而与前的夹角.

ggjg_/互+］方）石_芝+资方=19+2X3X：_2V7

因为cos。=

\AD\\AC\-V7X3—3月—3V?一7

即COSH4C=M

解析：本题主要考查了向量的运算、数量积、夹角等知识，属于中档题.

(1)根据向量运算得到初=|五+转,两边平方再利用向量的数量积即可求解;

(2)根据向量的夹角公式即可求解.

7.答案：解：⑴••,向量方=(1,2)5=(一3,外，且五〃3，

1xfc-2x(-3)=0,解得k=-6,

•••\b\=J(-3)2+(-6)2=3展,

(2)：五+2石=(-5,2+2/0)，且日1值+2石)，

解得

•••1x(-5)+2x(2+2k)=0,k=4

(3)、•石与五的夹角是锐角，

则五•b>0且不与至不共线，

即1x(-3)+2xfc>0且k*-6,

2

解析：本题考查的是平面向量的坐标运算，平面向量平行和垂直的性质，平面向量的数量积，平面

向量的模.

(1)由五〃石,可得lx/c-2x(—3)=0,即可解得鼠从而得出石的模；

(2)因为五+2加=(―5,2+2k)，且五_1•值+29)，所以1x(-5)+2x(2+2k)=0,即可得出怎

(3)因为形与力的夹角是锐角，则为小>0且弓与形不共线，由平面向量数量积运算即可得出答案.

8.答案：解：(1)由题意可得函数：/(x)=m-n+1=cos2x+^sinxcosx+1

=+叵sin2x+i=sin(2x+-)+1>

2226

令2x4--6[——+2kji,—+2/CTT],/cEZ,

622

解得；x&[-^+kn^+kn],kez；

3o

所以函数f(x)的单调递增区间为[一三+kn,^+kn],kez；

(2)△ABC中，；f(A)=sin(24+》+1=2,f(A)=2,

sin(2>4+-)=1.

6

八“兀一c“，九一137r

•Jo<av7T,，-v2A+-v—,

666

••.24+g=g即4=g

oZo

由S=|bcsinA=:得be=2,

又b+c=2V2>

二由余弦定理得a?=b2+c2—2bccosA=(b+c)2—2hc(l+cosA),

解得a=V3-1.

解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理的应用，

属于中档题.

(1)利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简/'(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求

得函数/(X)的单调递增区间.

(2)由条件求得A以及防得知，再利用余弦定理求得〃的值.

49

---------=1

22

9.答案：(1)解：由题意得,ab

-=V3

I。

解得a=1,b=V3,

•••双曲线c的方程为=1；

3

(2)证明：设AO。,小)，由双曲线的对称性，可得B(—Xo，—yo).

22

设P(%,y),贝！JkpA-kPB=艮

•・•yl=3就-3,y2=3x2-3,

22

所以-kPB=岩|=3;

(3)解:由(1)得点&为(2,0),

当直线/的斜率存在时，设直线/方程y=k(x-2),A(xr,y^,B(x2,y2),

将方程y=fc(x-2)与双曲线方程联立消去)，得：(/-3)/_4k2x+4fc2+3=0,

4k24k2+3

1/k2-31/k2-3

假设X轴上存在定点使稔•丽=0恒成立，

则近？"MB=(xx—m)(x2—m)+

R(尤1-2)]依。2-2)]

222

=(fc+1)%1%2—(2fc+m)(xx+x2)+环+4fc

=k^3=。’

故得：(nr?—4m—5)/c2—3(m2—1)=0对任意的1>3恒成立，

・♦・{1]也5=°，解得m7，

二当点M为(一1,0)时，MA1MB恒成立；

当直线/的斜率不存在时，由4(2,3),8(2,-3)知点”(一1,0)使得加.丽=0也成立.

综上所述，在x轴上存在点M(-1,0)满足题意.

解析：本题考查点的轨迹方程的求法，考查斜率的计算，考查存在性问题，综合性强.

(1)利用双曲线C[=1经过点(2,3),两条渐近线的夹角为60。，建立方程，即可求双曲线C

的方程；

(2)设4(0,y°),由双曲线的对称性，可得B的坐标，设P(x,y),结合题意，又由A、P在双曲线上,

可得诏=3以一3,y2=3x2-3,将其坐标代入而4•加-中，计算可得答案•

(3)先假设存在定点M,使祈彳.丽=0恒成立，设出M点坐标，根据数量积为0,求得结论.

10.答案:解：(l)va//6，-3%—36=0.A%=12.

vale,A3x4+4y=0.

：•y——3.・•.b=(9,12),c=(4,-3).

(2)m=2a-b=(6,8)—(9,12)=(-3,—4)，

n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).

设记，记的夹角为仇

Hlllrcs。=沆.=-3X7+(-4)X1=-25__V2

人J一|m||n|-7(-3)2+(-4)2xV72+i2-25g.2*

•.•0G[O,TT],■-6=^-,即沆，元的夹角为空

解析：本题考查平面向量共线的充要条件，向量的数量积，考查向量的坐标运算和求两向量的夹角,

属于中档题.

(1)根据向量平行和向量垂直对应的坐标关系，可得结果；

(2)首先求得沆，元的坐标，代入公式cos。=累计算即可.

11.答案：解：(1)因为/(%)=祝•方代入向量五=(2bsin《+%),cos©+%)),

向量石=(cosC—%),2cos(E—x)),

结合诱导公式及正余弦的二倍角公式化简可得

/(%)=2V3sin2(^+%)+2sin(£+%)cos(£+%)

所以f(%)=V3[l-cos+2%)]+sin(|+2%)

=V3sin2x+cos2x4-V3

7Tf-

-2sin(2%+-)+V3

函数/(x)的单调递增区间满足9+2kTT42x+：(：+2k7T,

解得一：j+k;r4x4：+k?r

所以函数/'(x)的单调递增区间为-：+kk.：+k-](k€Z：i

令2x+/=k7T,解得x=--S+£

o122

则对称中心(一记4■~-,\/3)(k€Z)；

(2)/(/)=V34-1,得sin(2/+1)=(

则24+巴=望，

66

71

-,-A=3

又|宿=\AC-AB\=3①，

BC上的中线长为3,则|而+方|=6②

由①②知：AB-AC=^

即|而|•|而|cosg=弓，

所以|四|•|而|=孑，

Saw=(I池I•1^;sin彳=；

⑶由题意将函数f(x)的图像向左平移汐长度单位可得2sin[2。+》+柴+百=2sin⑶+柒+

V3=2cos2x+V3,

向下平移8个长度单位，可得28s2%,

再横坐标不变，纵坐标缩短为原来的:后得到函数g"),则g(x)=cos2x,

则h(x)=g(%)—4Acosx=2cos2x—4Acos%—1,

所以/i(x)=2(cosx—A)2—1—2A2,cosxG[0,1],

①当0<4<l时，当COST=a时，九(%)有最小值-1-2"=-|,解得2=1.

②当4》1时，当cosx=l时，h(x)有最小值1-44=一条解得;1=|(舍去)，

综上可得；I=1.

解析：本题主要考查平面向量的数量积，诱导公式，二倍角公式，函数、=心也(3%+0)的图像与

性质.

(1)利用平面向量的数量积，诱导公式，二倍角公式，可得函数y=4sin(ax+9)的图像与性质；

(2)利用平面向量的数量积，即可得三角形的面积；

(3)利用函数、=4$也(3久+0)的平移规律，利用分类讨论，二次函数的性质，余弦函数的图像与性

质，即可得.

12.答案：解：(1)因为五=(2,0),b=(1,4),

所以ka+b=(2k+1,4)，3+26=(4,8).

因为向量k方+石与苍+2石平行，所以8(2k+1)=16,则/£=：.

(2)因为布=(2,0),b=(1,4)>所以k方+!=(2々+1,4)，a+2b=(4,8).

因为向量卜日+方与苍+2石的夹角为锐角，

'4(244-1)+32>0

所以,J，

叼

解得k>一;且ko也

解析：本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量的夹角及向量平行的性质，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题.

(1)先求出k五+京日+2石的坐标，然后根据向量平行的性质，可得8(2k+l)=16,解之即可；

4(2fc+l)+32>0

(2)由题意，可得《,1，解之即可.

厚5

13.答案：解：•・,a=(V3,—1)，b=$堂)，

•••I五I=J(遮)2+(-1)2=2,Ib|=J(i)2+(y)2=l-

a-K=V3xi+(-l)x—=0.

2v72

由Hl%得回+仕2—3)向,(一k五+tB)=0，

2

即一卜。2+(t3_3。/+(t-kt+3k)a-b=0.

将|五|=2,|b|=1»a-6=0代入上式，得—4k+t3-3t=0.

.t3-3t

・•・k=----,

.".^=i(t2+4t-3)=i(t+2)2-J.

故当t=-2时，竺立取得最小值一：.

t4

解析：本题考查向量的模，向量的数量积，向量的线性运算，二次函数的最值等知识，属于中档题.

先求得|五I，\b\>a-b<再由^1%得@+«2一3)向•(一k方+。)=0，

计算得k=生三，代入比，化为二次函数求最小值.

4t

14.答案:解：(1)/(%)=V3sinx—cos%=2(fsin%—|cosx)

nTi

=2(sinxcos——cosxsin—)

=2sin(x-t),

,•=/,争，.•。一江仁,扪,

•••sin(x-e[0,1],

o

则2sin(x-*)e[0,2],

・•・/(x)的最小值为0.

(2)/(a+-)=2sina=sina=

655

3

va为锐角，cosa=

又sw(0㈤，

a+0e(0,y),

sin(ct+/?)=—~<0,<z+/?G(7r,—),

"cos(a+/7)=-总

：・sin(2a+S)=sin[a+(Q+£)]

=sinacos(a+/?)+cosasin(a+0)

4,5、3,12、56

x(-i•x(—,1=—.

5、i：r5'i：r65

解析：本题主要考查了函数y=As勿(3X+0)的图象与性质，向量的数量积，三角恒等变换，同角

三角函数的基本关系及三角函数的最值，属于中档题.

(1)利用辅助角公式化简可得/(x)=2sin(x-J),从而根据正弦函数的性质可得函数/(x)的最小值;

(2)由题意，sina=：则利用同角三角函数的关系求出cosa,

cos(a+/?),进而根据sin(2a+/?)=sin[a+(a+/?)],利用两角和的正弦公式求解即可.

15.答案：解：(1)由而=：前，可得的=说+福=-南+1而，

...’1一，

ARAB

-=-39

.-.CR=CA+AR=-AC+^AB；

(2)将的=-AB+^AC,CR=-前+1近代入：

AI-AB+ABQ—AC+〃CR，

则有荏+4(-荏+：而)=前+〃(一前+：南),

即(1-4)四+旅南+(1-〃)前，

••,解伶、;

［八=1一3

(3)设丽=m月乙AP=nA/.

由(2)知可=g后+|旅，

.-.AP=BP-BA^

.,■n~Ai=mBC+AB，

•'•-nAB+—nAC——m(4C—AB)+AB——(1—nr)AB+THAC,

•・•荏与尼不共线，

(12

-n=14—mm=-

3

■■-I,解得5,

-n=mn=-

【53

丽=-'BC,

3

即更

PC=2,

.•.点P在BC的三等分点且靠近点C处.

解析：本题考查平面向量的基本定理、向量的加法、减法、数乘运算.

(1)利用数量关系和向量加法的三角形法则容易求得；

(2)利用(1)的结果，把的，次转化为荏，前即可得解；

(3)设前=小近，AP=nAl，结合9=而一瓦?，即(2)的结果，可解小，得P点位置.

16.答案:解:(1)1•,0^4=a^OB=另.点C是点B关于点A的对称点，即A为BC中点,；.0C+0B=2OX,

故元=20A-'0B=2a-b，

一，♦.....,一，♦7.....>7—>.­»，―>

CD=0D-0C=-OB-0C=-b-(2a-b}=-b-2a.

33k73

(2)VCF=OF-0C=|a-(2a-K)=-|a+K=|CD,

在与而平行，

又屈与或有公共点C,

C、D、E三点共线.

解析：本题考查向量加减法的三角形法则和向量的共线定理，后者是难点，在利用向量法证明三点

共线时，我们可利用三点构造出两个向量，先证明这两个向量共线，再说明它们有公共点，进而得

到三点共线.

(1)由点C是点B关于点A的对称点，则A为BC的中点，得沅+而=2函，结合已知条件，及向

量加减法的三角形法则，我们易得结论.

(2)通过计算得方=|而，即向量平行，有公共点C,故三点共线.

17.答案:解：(1)因为方〃弓，则3x-36=0,得x=12,

因为行_L3所以36+12y0,得y=—3,

故方=(9,12)，c=(4,-3).

(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4)，

n=5+?=(7,1),

则cos<m,n>=

'|=m工||n|,=55/502

又因为〈济”>€[0,同

所以沅，元的夹角为135。.

解析：本题考查了平面向量的基本定理、平行垂直的判断与证明、坐标运算以及向量的夹角.

(1)利用平面向量平行垂直的坐标运算即可得到答案.

(2)先根据平面向量的坐标运算求出沅和汇再根据向量夹角公式求出结果.

18.答案：解:(1)|a|=V5,

•••a//c,

=Aa=(A,2A),

，与下方向相同或相反，

X|c|=2有，

A2+(24)2=20,则4=±2,

c=(2,4)^(-2,-4),

a-c=V5x2Vs=10>

或五•c=V5x2V5xcosl80°=—10.

(2)•••五+2万与3日一片垂直,

(a+2b)1(3元一方)，

—♦一一♦.9.—

A(a+26)-(3a—b)=3a+5a-h—2b=0»

即15+51不一史=0,

.•.8S<a*>=丽=9

解析：本题考查了平面向量的数量积运算，向量共线以及向量模的计算，属于中档题.

⑴由五〃不可知滂与不方向相同或相反，根据数量积定义计算即可；

(2)令(五+2».(31一斤)=0，求出行不，代入夹角公式计算.

19.答案：解：(1)由题设知：(2—2sin4)(l+sinA)=(cosA+sinA)(sinA-cosA),

得2(1—sin2yl)=sin2i4—cos2A=2sin2A—1,即sE4=争

••・△ABC是锐角三角形，・•.A=3

2

27r

(2)由(1)及题设知：y=2sinB+cos3:-=i_cos2B+cos(^—2B)

=1+3si?i28--cos2B=14-sin(2B--),

226

B+C=7T-A——7

3[0<B<-n[0<B<-r

又因为,整理得：2"2"即1窘，

0<--B<--<B<—

0<C<-32163

I2

解得：5<B<T；贝哈<2B-

oz666

当2B-2=1时，函数y=2siMB+cosS^取得最大值，BPymax=1+1=2.

解析：此题考查了余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属

于中档题.

(1)由平面向量共线的坐标表示可求得cos??!=[，再结合角A为锐角可求得角A的值；

(2)利用三角恒等变换思想以及三角形的内角和定理化简函数解析式为y=sin(2B-+1,求出角

的取值范围，可求得的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得结果.

8O

20.答案：解：(1)设。为BC的中点，连接则过点

又...而=x荏，^Q=yAC>AM=^AD=^AB+AC~)=-^AP+-^AQ,

又「P,M,。三点共线，.4+2=1,••，+；=3.

(2)由(1)知:+；=3,.•.y=/(x)=^?

在原1]内是减函数，

A/(x)min=/⑴=],/(X)max=f(])=L

即函数/(%)的值域为原1].

•・•g(%)=sinx4-cosx-sinxcos%+m,令t=sin%4-cosx,t2=1+2sinxcosx=sinxcosx=

故g(x)=sin%+cosx—sinxcosx+m即h(t)=t—4-zn,

故h(t)=-l)2+m+1.

又t=sinx+cosx=V2sin(x+：)w[-V2,V2],

故九(t)的值域为[四二：2&,m+1],

.”(%)的值域为产产,m+l].

(2m-l-2y/21

由题设得鱼+则---

221m+1>1,

解得04m4l+VL故机的取值范围是［0,1+鱼］.

解析：本题考查平面向量的基本定理，考查函数值域的求法，考查数学转化思想和运算能力，属于

较难题.

⑴设。为BC的中点，连接AO,则由已知可得加=:初=：（荏+而）而+义而，而P,

M,。三点共线，从而可得表+点=1，进而可得结果；

（2）由（1）可得y=〃久）=含，再利用函数的单调性求出函数的值域为E，l]，再利用换元法和

二次函数的性质求出g（x）的值域为产土产,巾+1],而由已知可知=[四z产M+I],从

而可求出〃?的取值范围.

21.答案：解：⑴•.・0+2510一4石），

・•.（H+2b）•（3—4b）=0.

...j2_2a.K-8K2=0，得32-2x3x1xcos0-8xl2=0,

得cos。=

6

又。€（0,兀），故ee（o3），

因此，sin。=V1—cos20=—»

6

，tand=空^=V35.

cosd

（2）|xa-bI=yjx2a2—2xa-b4-ft2

=y/9x2-3V3x4-1=j9（x-^）2+^

故当时，|x五—另|取得最小值也

解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

（1）由0+2石）1（五一4石），可得0+25•（五一4方）=0.展开可得COS。=[,又。6（0,兀），利用

sind=Vl-cos20,tariff=左^即可得出.

COS0

（2）利用数量积运算性质可得K七一方।=m一q）2+亍故当时，|%行一石।取得最小值也

22.答案:解：⑴由“长向量”定义得|向|?|设+诟卜

因为厩=(n,x+n),所以百•=(l,x+1),芯=(2,x+2),a；=(3.x+3),

・,•码+石=（3,2%+3）,

・・・J9+（x+3尸》19+（2x+3）2,解得一24％40,

，实数x的取值范围为［-2,0］.

（2混,办］的等量关系为3+扇+扇=。・

证明：由题意可知，A是向量组贰石后的“长向量”，即满足同|二同+碣.

所以同.握+甘，即&2“E+Q）2,

展开化简可得扇22卫2+^2+26办

同理办房也是向量组A而2的“长向量”，

|71||T2T2T2tT

川g2的+g

—>2—>2―»2—>—>

f

a3N%+。2+2ax-a2

三式相加并化简得：0》42+讯2+试2+2万.记+24.而+2记.雨，

即（用*+和+记）240,|布+&+乐|《0,

・,•西+诟+诟=0•

解析：本题考查了平面向量中新定义的理解与应用，向量坐标运算及模的求法，创新性好，正确理

解题意是解决问题的关键，属于难题.（1）根据长向量的定义可知|五|>+扇|，结合条件用坐标表

示出E和温+扇，即可由向量的模长公式得关于X的不等式，解不等式即可求得X的取值范围.

⑵由“长向量”定义可得3?苍2花2的不等式组，对三组式子合并化简即可证明.

23.答案：解：（1）根据题意，在矩形ABC。中，点E在边4B上，且m=2而，

则荏=|福

111

M.....E...，=MA>+AE,=M，A♦+2^M‘B~,-M,A一,)=^1MA,+^?MB,♦

又由丽=mM4+nMM且拓5，而不共线，

则7n=pn=I，

则rn+2n=*

(2)根据题意，EC-CA=(EB+BC)-(CB+BA~)

=~(^AB+BC)(AB+BC)

=-(|XAB2+BC2)=-17,

又由|布|=6，则有|Z|=V5，

又由|四|=6，即|而|=2，则|方|=彳=3，

由(1)的结论，ME=1MA+lMB,则a+2而=3碇，

则两+2丽).祈？

=3~ME-MC=-3\ME\\MC\，

又由|而|+|祝|=3-则3|而||祝|<3X《ME出MC])2=乙

24

当且仅当I碇I=I祝I时取得等号，

变形可得(稔+2丽).觉=3碗•碗=-3|旗||祝|>

则(西？+2丽)•配的最小值为一条

解析：本题考查向量数量积