3.2勾股定理的逆定理课件苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理3.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股数小明找来了长度分别为12cm,40cm的两根线,利用这两根线采用固定三边的办法画出了如图所示的两个图形,他画的是直角三角形吗1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.2.利用边的关系判定直角三角形的步骤(1)“找”：找出三角形三边中的最长边；(2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方；(3)“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.知识点勾股定理的逆定理13.勾股定理与其逆定理的关系定理勾股定理勾股定理的逆定理区别(1)勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边长的关系，即a2＋b2＝c2(c为斜边长)；(2)勾股定理是根据直角三角形探求边的关系，体现了由形到数的转化(1)勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形为直角三角形；(2)勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化续表定理勾股定理勾股定理的逆定理联系勾股定理和勾股定理的逆定理的条件和结论相反，勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关特别提醒1.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一种方法，在没有确定是直角三角形时，不能说斜边或者直角边，只能说三角形的边；2.a2＋b2＝c2只是一种表示形式，满足a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边.例1判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一个三角形的三边长a、b、c满足a∶b∶c＝3∶4∶5.解题秘方：紧扣“直角三角形的定义”和“勾股定理的逆定理”进行判断.解：在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝25°，∠C＝65°，∴∠B＝180°－25°－65°＝90°，∴△ABC是直角三角形.(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一个三角形的三边长a、b、c满足a∶b∶c＝3∶4∶5.解：在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，∴△ABC是直角三角形.设a＝3x，则b＝4x，c＝5x.∵(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.解法提醒判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：1.如果已知条件与角度有关，那么可借助三角形的内角和定理判断是否有一个内角是直角；2.如果已知条件与边有关，一般利用勾股定理的逆定理，通过计算得出三边的数量关系，判断三角形的形状.[易错题]已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.解题秘方：先将等式两边同时分解因式，然后通过对分解后的式子的讨论，得出△ABC的形状.例2解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.(1)当a2－b2≠0时，则有c2＝a2＋b2.∴△ABC是直角三角形.(2)当a2－b2＝0，即a＝b时，若a2＋b2－c2≠0，则△ABC是等腰三角形；若a2＋b2－c2＝0，则△ABC是等腰直角三角形.综上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.易错提醒两个因式的积为0，则有一个因式为0和两个因式都为0两种情况；判断三角形形状时，不仅要考虑是否为直角三角形，还要考虑是否为等腰三角形.本题易丢掉情况(2)，在化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数，从而导致了错误.例3[模拟·北京]某住宅小区有一块草坪如图3.2-1所示，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是________平方米．解题秘方：连接AC，紧扣AB⊥BC这一条件，将四边形ABCD分割成Rt△ABC和△ACD，利用勾股定理将分散的条件集中到△ADC中进行解答.36

思路点拨当已知条件比较分散且无法直接使用时，往往通过作辅助线将有用条件集中到一个图形中，再利用相关知识进行计算或证明.如本题连接AC，把草坪分割成Rt△ABC和△ACD，利用勾股定理及其逆定理，确定△ACD为直角三角形，则这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．1.勾股数满足关系a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数.勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.知识点勾股数22.判断一组数是否为勾股数的一般步骤(1)“看”：看是不是三个正整数；(2)“找”：找最大数；(3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和；(4)“判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数.特别提醒1.勾股数有无数组；2.如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数.[月考·天津]下列四组数据，不是勾股数的是(

)A.3，4，5

B.5，6，7

C.6，8，10

D.9，40，41例4解题秘方：紧扣“勾股数定义中的两个条件”进行判断.答案：B解：根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数.因为32＋42＝52，属于勾股数，故A不符合题意；因为52＋62≠72，不属于勾股数，故B符合题意；因为62＋82＝102，属于勾股数，故C不符合题意；因为92＋402＝412，属于勾股数，故D不符合题意．解法提醒确定勾股数的方法：首