古典概型(第1课时)高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1随机事件与概率10.1.3

古典概型第1课时回顾与引入

我们上一节学习了随机试验和随机事件，你还能想起下列知识吗？

1.什么是样本点和样本空间？样本点：随机试验E

的每个可能的基本结果.一般用

ω

表示.样本空间：全体样本点的集合.

一般用Ω

表示样本空间.2.随机事件的关系和运算有哪一些，如何理解？事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或

AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ且AUB=Ω

研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)

称为事件的概率，事件A

的概率用

P(A)

表示.

我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计.但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.

那么我们能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢?

接下来我们就来学习这方面的知识。概率的定义和意义知识探究(一)

问题1：上一节,我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验.还记得它们的样本点和样本空间吗？它们的共同特征有哪些?试验1:抛掷一枚质地均匀的硬币.样本点：正面向上，反面向上样本空间：Ω={正面向上，反面向上}.试验2:掷一枚质地均匀骰子.样本点：1点,2点,3点,4点,5点,6点样本空间：Ω={1,2,3,4,5,6}.(1)有限性：(2)等可能性：样本空间的样本点只有有限个;每个样本点发生的可能性相等.

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.古典概型的定义

如果一个随机试验的样本点和样本空间具有以下两个特征：(1)有限性：(2)等可能性：样本空间的样本点只有有限个;每个样本点发生的可能性相等.

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.练习

判断下列概率模型是否是古典概型：(1)从1~10中任取一个整数，求取到1的概率；(2)从数集N中任取一个数，求取到1的概率；(3)在一次掷骰子的试验中，求事件“出现的点数是2的倍数”的概率.(4)某同学随机向一靶进行射击，这一试验的结果有命中10环，9环，8环,

7环，6环，5环，4环，3环，2环，1环和不中.求命中命中7环以上的概率；(5)瞄准一个圆的圆心内向这个圆内投石子.求石子落在圆的某个内接三角形内的概率.不是，是有限性和等可能性都不满足是不是，不满足有限性不是，不满足等可能性返回知识探究(二)

问题2：考虑下列的随机试验，如何度量事件A

和B

发生的可能性大小？

(1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式,

从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；

(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次,

事件B=“恰好一次正面朝上”.(1)∵班级中共有40名学生,∴从中选1名学生，即样本点是有限个；

又∵是采用抽签的方式随机选取，

∴选到每个学生的可能性都相等；

故这是一个古典概型。∵抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小．∴可以用男生数与班级学生数的比值来度量．即18与事件A包含个样本点个数相等40与样本空间中的个样本点个数相等

问题2：考虑下列的随机试验，如何度量事件A

和B

发生的可能性大小？

(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次,

事件B=“恰好一次正面朝上”.

(2)假设用1表示硬币“正面朝上”，0表示“反面朝上”，则试验的样本空间为Ω={(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，

(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)}

∵共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的.

∴这是一个古典概型.

∵事件B

发生的可能性大小，取决于事件B包含的样本点在样本空间的样本点中所占的比例大小，

∴可用事件B

包含的样本点数与样本空间的样本点数的比值来度量．

∵B={(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}

∴事件B发生的可能性大小为

问题:由此，你能得古典概型中随机事件概率的计算公式吗？古典概型的概率计算公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω

包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数。

判断下面的解答是否正确，并说明理由：某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y

表示命中，用n

表示没有命中，那么试验的样本空间为Ω={yy,yn,ny,nn}，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25.练习

不正确.∵虽然

样本空间所包含的样本点个数为4，但每一个样本点的可能性不一定相等.

∴这不一定是古典概型.

故不能用古典概型的概率计算公式得出返回例析

例1.

单项选择题是标准化考试中常用的题型,一般是从A、B、C、D

四个选项中选择一个正确答案，如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案

.

假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少?

∵

试验有四种可能的结果：选A、选B、选C、选D共，

∴

试验的样本空间为

Ω

={A,B,C,D}.

∵

考生是随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，

∴

这是一个古典概型.

设M=“选中正确答案”

∵正确答案是唯一的，

∴n(M)=1.

∴考生随机选择一个答案，答对的概率为解：

思考(1)：在标准化考试中也有多选题,多选题是从A、B、C、D

四个选项中选出所有正确的答案

(四个选项中至少有两个选项是正确的).

若随机选择，你认为与刚才讲的单选题相比较，多选题和是否更难做对?

为什么?

正确答案的所有可能的结果如下：

①若有2个对，可能为:AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种

②若有3个对，可能为:ABC，ABD，ACD，BCD共4种

③若4个都对，只有ABCD1种

∴试验的样本空间可以表示为

Ω={AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD},含11个样本点

设M=“选中正确答案”，

∵正确答案是唯一的，

∴n(M)=1.

∵假设该考生不会做，在他答对任何答案是等可能的，

∴考生随机选择一个答案，答对的概率

∴比单选题答对的概率1/4小得多，即多选题更难答对

思考(2)：新高考数学试题增加了多项选择题,要求为:“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.”已知某多项选择题的正确答案是AC，某同学不会做该题，他只想得2分，就按单项选择题处理，随机填写了一个答案，求他得2分的概率.∵

该同学是按单项选择题来处理，∴

可能的结果有4种：A，B，C，D

，即试验的样本空间为

Ω={A，B，C，D

}

设M=“得2分”，

由为正确为“AC”得，

N={A，C

},n(N)=2.

又

∵该同学是随机填的答案

∴在他选项任何一项是等可能的，

∴他得2分的概率为分析：∴比单选题答对的概率1/4小得多，即多选题更难答对

例2.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出此试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型;

(2)求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；

B=“两个点数相等”；C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.

(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果,且Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.

如下表：解：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,

5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

例2.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出此试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型;

(2)求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；

B=“两个点数相等”；C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.

若设数字m

表示

I号骰子出现的点数,n

表和Ⅱ号骰子出现的点数,

则

有序数组(m,n)表示这个试验的一个样本点

∴该试验的样本空间为Ω={(m,n)|

m,

n∈{1,2,3,4,5,6}},

共36个样本点.

∵骰子质地均匀，

∴各个样本点出现的可能性相等，

∴这个试验是古典概型.

例2.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.

(2)求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；

B=“两个点数相等”；C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.(2)

例2.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出此试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型;

(2)求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；

B=“两个点数相等”；C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.

思考(1)：在本例中，为什么要把两枚骰子标上记号?如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?

如果不标上记号，类似于无序数组(1,2)和(2,1)的结果将没有区别。我们不妨记为“1-2”，这时，样本空间为

Ω={1-1,1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,2-2,2-3,2-4,2-5,2-6,3-3,3-4,3-5,3-6,4-4,4-5,4-6,5-5,5-6,6-6}

∴n(Ω)=21

A={1-4,2-3}∴n(A)=2

思考(2)：这个概率和刚才的相同吗？同一事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？这种计算方法对吗？

给两枚骰子标上记号时，得到的36个结果都是等可能的；

如果不给两枚骰子标上记号时，得到的21个结果不全是等可能的.

如1-1和1-2发生的可能性大小就不相等，

这不符合古典概型特征的“等可能性”，所以不能用古典概型公式计算概率.

因此，后面一种解法是错误的.思考(3)：由此你能得到什么启示？

(1)在解决类似问题的时候，无论是同时掷还是先后掷几个器具(如骰子、硬币等），一般都应首先对各个投掷物进行标记(即便是问题中没有明确提出)，以便对不同情况和先后进行顺序区分，从而保证每个样本点的等可能性.(2)在应用概率公式(如古典概型的概率计算公式)计算概率时，一定要事先判定该试验是否满足公式应用的条件(比如是否满足古典概型的每件)

思考(4)：根据以上经历，你能归纳出求解古典概型问题的一般思路吗？返回

求解古典概型问题的一般思路要点

(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号

(字母、数字、数组等)表示试验的可能结