新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步微专题3二面角的常见求法学生用书新人教A版必修第二册

微专题3二面角的常见求法求二面角是常见题型，依据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常接受找点，连线或平移等手段来找出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其“无棱”而“现棱”，进一步找二面角的平面角．类型1定义法求二面角方法：如图所示，以二面角的棱a上的随意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角．【例1】如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2三垂线法求二面角方法：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角．【例2】如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3垂面法求二面角方法：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角．【例3】如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型4射影面积法方法：已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cosθ＝S射影这个方法对于无棱二面角的求解很简便．以多边形射影为三角形为例证明，其它情形可自证．证明：如图，平面β内的△ABC在平面α的射影为△A′BC，作AD⊥BC于D，连接A′D.∵AA′⊥α于A′，D∈α，∴AD在α内的射影为A′D.∵AA′⊥α，又BC⊂α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，AD∩A′A＝A，AD，A′A⊂平面AA′D，∴BC⊥平面AA′D，又A′D⊂平面AA′D，∴A′D⊥BC.∴∠ADA′为二面角α-BC-β的平面角．设△ABC和△A′BC的面积分别为S和S′，∠ADA′＝θ，则S＝12BC·AD，S′＝12BC·A′∴cosθ＝A'【例4】在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PCD所成二面角的大小．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________微专题3二面角的常见求法例1解：如图，取AB中点O，连接VO，CO.∵在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，∴VO⊥AB，CO⊥AB，∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角．∵VO＝VA2-CO＝BC2-∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形，∴∠VOC＝60°，∴二面角V-AB-C的大小为60°.例2解：(1)∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC.又AB∩AC＝A，AB、AC⊂平面ABC，∴SA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA、AB⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.(2)取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，∴AD⊥平面SBC.又SC⊂平面SBC，所以SC⊥AD.作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，因为AE∩AD＝A，AE、AD⊂平面ADE.所以SC⊥平面ADE.又DE⊂平面ADE，则DE⊥SC，则∠AED为二面角A-SC-B的平面角．设SA＝AB＝2a，则SB＝BC＝22a，AD＝2a，AC＝23a，SC＝4a.由题意得AE＝3a，在Rt△ADE中，sin∠AED＝ADAE＝2a3∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为63例3解：∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝22.∵AB⊥BC，∴AC＝23，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.例4解：如图，∵PA⊥平面ABCD，