备战2024高考数学二轮复习讲义第2讲 函数与方程思想在解析几何中（选填）的应用

第2讲函数与方程思想在解析几何中（选填）的应用函数的思想就是运用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像性质去分析问题，转化问题，测试问题，获得解决。函数思想是对函数概念本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识。或函数观点观察分析解决问题。方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。函数与方程思想，简单的说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。对函数和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函数和方程思想指导解题？一般情况下，凡是涉及到未知数，未知数问题都可以都可能用到函数与方程的思想。函数与方程思想方法的考察一直是高考的重点内容之一。也是圆锥曲线中体现最多的一种思想方法。无论是选填还是解答题都是必考查的问题。【应用一】函数与方程思想在研究圆中的应用与圆有关的知识点：圆的方程，包括标准方程，一般方程圆的问题，画图是重点，圆的切线，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系是常考知识点；直线与圆相切常用结论：圆心到直线距离等于半径；直线与圆相交，弦长两圆相交，公共弦方程，用两圆方程作差，得到的就是公共弦方程；（6）与圆有关的最值问题，圆心是核心；【例1.1】【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．【思维提升】圆中的函数与方程思想主要就是体现在设圆的半径或者圆心以及圆的一般是所涉及的参数，根据题目中给出的条件建立方程或者方程组。分别解出方程或者方程组。【变式1.1】（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．【变式1.2】（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（）．A. B. C. D.【变式1.3】（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程____________．【应用二】函数与方程思想在研究圆锥曲线的基本量的问题一、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2y2a2+x2图形性质范围-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;

短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F2|=2c

离心率e=ca∈a,b,c的关系a2=b2+c2

二、抛物线的定义抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)

对称轴直线y=0直线x=0焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2离心率e=1准线方程x=-px=py=-py=p范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半径(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）双曲线点集:.（2）椭圆点集.（3）等轴双曲线（，）当时称双曲线为等轴双曲线①；②离心率；③两渐近线互相垂直，分别为；④等轴双曲线的方程，；（4）双曲线与渐近线的关系①若双曲线方程为渐近线方程：②若双曲线方程为（，）渐近线方程：③若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，④若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）【例2.1】【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，AA．x218+y216=1 B．【例2.2】【2021年新高考2卷】抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．4【例2.3】【2020年新课标3卷理科】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（

）A．1 B．2 C．4 D．8【思维提升】椭圆、双曲线中涉及的基本量为a,b,c;抛物线中涉及到p等基本量。根据题目所给的条件分别建立方程或者方程组。【变式2.1】（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（

）A． B． C． D．【变式2.2】（2023·江苏南通·统考一模）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（

）A． B．C． D．【变式2.3】（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.【应用三】函数与方程思想在研究圆锥曲线的离心率的问题圆锥曲线中的离心率是这几年高考的热点，常考查离心率的值和范围等问题。【例3.1】（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．【例3.2】【2021年乙卷理科】设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【思维提升】求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。体现方程的思想。求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。此类问题转化为函数，求函数的最值问题【变式3.1】．【2022年全国甲卷】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在A．32 B．22 C．12【变式3.2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【变式3.3】（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为______．【应用四】函数与方程思想在研究圆锥曲线最值的问题平面解析几何是高考解答题必考题型之一，常考椭圆和抛物线，第一问主要考查圆锥曲线方程；第二问考查直线与圆锥曲线的位置关系，常涉及到面积问题，定值，定点，定直线问题；一般以压轴题出现；【例4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______．【思维提升】圆锥曲线中的最值及范围问题，则是通过建立对于的目标函数，求这个函数的最值问题。若函数是一元二次函数，根据具体的范围求最值，若不是一元二次函数则可能用到基本不等式或者求导，求最值或者范围。【变式4.1】【2021年乙卷文科】设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【变式4.2】（2023·吉林·统考三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点的直线l与椭圆C相交于两点，椭圆C在两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为______，若的垂心为点H，则的最小值是______．【变式4.3】（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（

）A．-1 B． C．a D．3a巩固练习1、（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（

）A．1 B． C．1或 D．或2、【2019年新课标1卷理科】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A． B． C． D．3、【2020年新课标1卷理科】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．4、（2022·江苏如皋·高三期末）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．25、（2023·江苏南通·三模）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆交轴于两点，为坐标原点，则的内切圆直径最小值为(

).A． B． C． D．6、（2022·湖南常德·高三期末）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则______．7、（2023·云南红河·统考一模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，若E上存在点P，满足，（O为坐标原点），且的内切圆的半径等于a，则E的离心率为____________．8、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知直线与圆相离，则整数的一个取值可以是______．9、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系中，已知点，点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心，若直线与圆M相交于D，G两点，且，则____________．10、（2023·安徽·统考一模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是__________.第2讲函数与方程思想在解析几何中（选填）的应用函数的思想就是运用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像性质去分析问题，转化问题，测试问题，获得解决。函数思想是对函数概念本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识。或函数观点观察分析解决问题。方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。函数与方程思想，简单的说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。对函数和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函数和方程思想指导解题？一般情况下，凡是涉及到未知数，未知数问题都可以都可能用到函数与方程的思想。函数与方程思想方法的考察一直是高考的重点内容之一。也是圆锥曲线中体现最多的一种思想方法。无论是选填还是解答题都是必考查的问题。【应用一】函数与方程思想在研究圆中的应用与圆有关的知识点：圆的方程，包括标准方程，一般方程圆的问题，画图是重点，圆的切线，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系是常考知识点；直线与圆相切常用结论：圆心到直线距离等于半径；直线与圆相交，弦长两圆相交，公共弦方程，用两圆方程作差，得到的就是公共弦方程；（6）与圆有关的最值问题，圆心是核心；【例1.1】【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】x−22+y−32=13或x−2【解析】【分析】设圆的方程为x2【详解】解：依题意设圆的方程为x2若过0,0，4,0，−1,1，则F=016+4D+F=01+1−D+E+F=0，解得所以圆的方程为x2+y若过0,0，4,0，4,2，则F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得所以圆的方程为x2+y若过0,0，4,2，−1,1，则F=01+1−D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得所以圆的方程为x2+y若过−1,1，4,0，4,2，则1+1−D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得所以圆的方程为x2+y故答案为：x−22+y−32=13或x−2【思维提升】圆中的函数与方程思想主要就是体现在设圆的半径或者圆心以及圆的一般是所涉及的参数，根据题目中给出的条件建立方程或者方程组。分别解出方程或者方程组。【变式1.1】（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．【答案】（中任意一个皆可以）【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）【变式1.2】（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于方程，解出即可.【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.【变式1.3】（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程____________．【答案】或中任何一个答案均可【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，所以两圆外离，由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线方程为，即，则有，解得或或或所以公切线方程为或.故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）【应用二】函数与方程思想在研究圆锥曲线的基本量的问题一、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2y2a2+x2图形性质范围-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;

短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F2|=2c

离心率e=ca∈a,b,c的关系a2=b2+c2

二、抛物线的定义抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)

对称轴直线y=0直线x=0焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2离心率e=1准线方程x=-px=py=-py=p范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半径(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）双曲线点集:.（2）椭圆点集.（3）等轴双曲线（，）当时称双曲线为等轴双曲线①；②离心率；③两渐近线互相垂直，分别为；④等轴双曲线的方程，；（4）双曲线与渐近线的关系①若双曲线方程为渐近线方程：②若双曲线方程为（，）渐近线方程：③若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，④若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）【例2.1】【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，AA．x218+y216=1 B．【答案】B【解析】【分析】根据离心率及BA1⋅【详解】解：因为离心率e=ca=1−bA1,A2分别为B为上顶点，所以B(0,b).所以BA1所以−a2+b2故椭圆的方程为x2故选：B.【例2.2】【2021年新高考2卷】抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.【例2.3】【2020年新课标3卷理科】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选：A.【思维提升】椭圆、双曲线中涉及的基本量为a,b,c;抛物线中涉及到p等基本量。根据题目所给的条件分别建立方程或者方程组。【变式2.1】（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由抛物线定义知，所以为等边三角形，为的中点，所以，，的面积，所以的方程为.故选：A.【变式2.2】（2023·江苏南通·统考一模）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的远地点和近地点的距离可得，进而可求得，求得b，可得答案.【详解】由题意得，故，故选：D.【变式2.3】（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.【答案】【详解】法1：联立方程得，得，所以，得，所以.法2：设，则处切线，可化为，比对得，代入椭圆方程得：，得.得，所以，得，所以.【应用三】函数与方程思想在研究圆锥曲线的离心率的问题圆锥曲线中的离心率是这几年高考的热点，常考查离心率的值和范围等问题。【例3.1】（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．【命题意图】本题考查双曲线的离心率问题，综合考查了向量，正余弦定理的应用,考查数学运算的核心素养.难度：中等.【答案】/【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.【点评】圆锥曲线是每年必考知识，小题中一般考1-2题，常涉及到离心率（范围），圆锥曲线方程，焦点三角形中的问题，面积等；难度一般较大；【例3.2】【2021年乙卷理科】设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值【思维提升】求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。体现方程的思想。求离心率的值关键是找到不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦点的范围；要特别注意离心率的范围。此类问题转化为函数，求函数的最值问题【变式3.1】．【2022年全国甲卷】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在A．32 B．22 C．12【答案】A【解析】【分析】设Px1,y1，则Q−x1,【详解】解：A−a,0设Px1,则kAP故kAP又x12a所以b2a2所以椭圆C的离心率e=c故选：A【变式3.2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用数量积知识得，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率【详解】由，得，则点P是以为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图连接，令，则，，．因为，所以，即，得，又，所以，将代入，得．故选：A.【变式3.3】（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为______．【答案】【详解】设，则，.由正弦定理可得，，所以，.根据椭圆的定义可知，，所以有，所以有.因为，，所以，令，则，设，则函数在上单调递增.又，，所以，，即.故答案为：.【应用四】函数与方程思想在研究圆锥曲线最值的问题平面解析几何是高考解答题必考题型之一，常考椭圆和抛物线，第一问主要考查圆锥曲线方程；第二问考查直线与圆锥曲线的位置关系，常涉及到面积问题，定值，定点，定直线问题；一般以压轴题出现；【例4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______．【答案】【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出.在，有，进而可推出，根据的范围，即可得到结果.【详解】由已知，，.如图，设点，则，，在中，有，易知，则，则，因为，，所以当时，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范围是.故答案为：.【思维提升】圆锥曲线中的最值及范围问题，则是通过建立对于的目标函数，求这个函数的最值问题。若函数是一元二次函数，根据具体的范围求最值，若不是一元二次函数则可能用到基本不等式或者求导，求最值或者范围。【变式4.1】【2021年乙卷文科】设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点，因为，，所以，而，所以当时，的最大值为．故选：A．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.【变式4.2】（2023·吉林·统考三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点的直线l与椭圆C相交于两点，椭圆C在两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为______，若的垂心为点H，则的最小值是______．【答案】4【详解】由椭圆C：可知，，设的方程为，设，则由题意可得切线的方程为，同理切线的方程为，即，则，即，所以P点的横坐标为4；又，故的垂心为点H，则，故的方程为，的方程为，将两方程联立解得，即，故，当且仅当即时取得等号，故的最小值为，故答案为：4；【变式4.3】（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（

）A．-1 B． C．a D．3a【答案】BD【详解】因为点在椭圆上，所以，所以，若，当时，最小，若，当时，最小.故选：BD.巩固练习1、（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【详解】不妨设，由题可得无解，否则若直线和抛物线有交点时，当时，面积将趋近，故，解得.由图可知，当恰好为斜率为的直线和抛物线的切点时，的面积最小.令，不妨，则，又点到直线的距离为，则，解得（舍去）.故选：B2、【2019年新课标1卷理科】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．3、【2020年新课标1卷理科】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．【详解】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.4、（2022·江苏如皋·高三期末）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】设在渐近线上，直线的方程