2024年黑龙江省虎林市实验中学中考四模数学试题（解析版）

2024年初中生学业水平考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每题3分，满分30分）1.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式以及幂的乘方和积的乘方法则分别判断．解：（a-b）（-a-b）=b2-a2，故选项A错误；2a3+3a3=5a3，故选项B错误；6x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确；（-2x2）3=-8x6，故选项D错误；故选：C．【点睛】本题考查平方差公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法．2.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用轴对称图形的定义逐一判断即可．解：A是轴对称图形，对称轴有1条；B不是轴对称图形；C不是轴对称图形；D是轴对称图形，对称轴有2条；故选：D．【点睛】本题考查识别轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．3.如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边的1列最高有1行，中间的1列最高有1行，右边的1列最高有2行，结合四个选项选出答案．解：从正面看去，一共三列，左边的1列最高有1行，中间的1列最高有1行，右边的1列最高有2行，故主视图是：．故选．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．4.已知一组数据：6，8，8，7，7，8，9，7，8，9，中位数和众数分别是()A.7.5，7 B.7.5，8 C.8.7 D.8，8【答案】D【解析】【分析】分别计算该组数据的众数、中位数后找到正确答案即可．解：根据题意这组数据按从小到大排列为：6，7，7，7，8，8，8，8，9，9；第5、6个都是8，中位数为：8；众数为：8；故选：D【点睛】本题考查了中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．5.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（

）A.9人 B.10人 C.11人 D.12人【答案】C【解析】【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.设参加酒会的人数为x人，依题可得：

x（x-1）=55，

化简得：x2-x-110=0，

解得：x1=11，x2=-10（舍去），

故答案为C.【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.6.已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A. B.C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】先把分式方程转化为整式方程求出用含有a代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．解：原分式方程可化为，方程两边同乘得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，∵原分式方程的解为非负数，∴，即，解得且，故选：C．【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意这个隐含条件．7.一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团15人准备同时租用这三种客房共5间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A.4种 B.3种 C.2种 D.1种【答案】C【解析】解：设二人间x间，三人间y间，四人间（5﹣x﹣y）间．根据题意得：2x+3y+4（5﹣x﹣y）=15，整理得：2x+y=5．当y=1时，x=2，5﹣x﹣y=5﹣2﹣1=2；当y=3时，x=1，5﹣x﹣y=5﹣1﹣3=1；当y=5时，x=0，5﹣x﹣y=5﹣0﹣5=0．因为同时租用这三种客房共5间，则x＞0，y＞0，所以有二种租房方案：①租二人间2间、三人间1间、四人间2间；②租二人间1间，三人间3间，四人间1间．故选C．【点睛】本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根据x，y是整数求解，注意分类讨论思想的应用，另外本题也可以列三元一次方程组．8.如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，D均在x轴上，与y轴交于点E，若，则k的值为（）A.8 B.10 C.12 D.9【答案】C【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、反比例函数系数k的几何意义，作轴于F，易得矩形的面积等于平行四边形的面积，等于三角形面积的2倍等于16，再利用等于矩形的面积即可求解．解：如图，作轴于F，可得矩形，∵，∴，∵，∴，∴，∵反比例函数图象在第一象限，∴，故选C．9.如图在中，，，点C关于AD的对称点为E，连接交于点，点为的中点，．则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．构建计算即可．解：如图，取中点，连接交于，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，，，故选：．【点睛】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．10.如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF＝EF②BF＝；③AF＝；④中正确的是（）A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF、AF的长，再利用相似三角形的性质求出即可．∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝，∴BF＝，，故②、③正确，∴，∵△AFE≌△AFG，∴，故④错误．故选C．【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．二、填空题（每题3分，满分30分）11.在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为，则“飞刃”的直径（）用科学记数法表示为______．【答案】【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．解：“飞刃”的直径,故答案为：．12.函数中，自变量x的取值范围是________．【答案】x≥－1且x≠1【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件可知，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求出自变量x的取值范围．根据题意得：x+1≥0且x-1≠0，解得：x≥-1且x≠1．故答案：x≥-1且x≠1【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13.如图，点在等边三角形内部，，要使，还需添加的一个条件是：______（填一个即可）．【答案】或或或（答案不唯一）【解析】【分析】根据全等三角形的判定，即可求得．∵等边三角形∴∵当时，∴当时，，∴当时，，∴当时，∴故答案为：或或或（答案不唯一）．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．14.在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．【答案】【解析】【分析】利用概率公式计算即可．∵不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，∴摸到红球的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．15.不等式组最大整数解为______．【答案】3【解析】【分析】分别求出不等式的解集，得到不等式组的解集，得到整数解.解不等式得，解不等式得，∴不等式组的解集是，故不等式组的整数解为0，1，2，3，故答案为：3.【点睛】此题考查解不等式组，求不等式组的整数解，正确解不等式是解题的关键.16.如图，点A，B，C，D，E都在上，，，则__________．【答案】##90度【解析】【分析】首先连接，由圆周角定理即可得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数即可解答．解：连接，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，准确作出辅助线和熟练掌握圆周角定理和圆心角定理是解题的关键．17.圆锥的底面圆半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的母线长是___________．【答案】4【解析】【分析】利用弧长等于底面圆的周长方程求解即可．解：设圆锥的母线长为R，由题意得：解得：，故答案为：4．【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握弧长公式各字母代表的含义正确代入计算，解此题的关键是掌握圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长．18.如图，在矩形ABCD中，AB=3a，BC=4a，若点E是边AD上一点，点F是矩形内一点，∠BCF=30°，则EF+CF的最小值是_____．【答案】3a【解析】【分析】作辅助线，先根据直角三角形30度角的性质可知CF=FH，得GH的长是EF+CF的最小值，从而得结论．解：过F作GH∥CD，交AD于G，BC于H，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，AD∥BC，∴GH⊥AD，∠CHF=90°，∵∠BCF=30°，∴FH=CF，∵点E是边AD上一点，∴EF+CF=EF+FH，即EF+CF的最小值是GH，∵∠GHC=∠BCD=∠D=90°，∴四边形DGHC是矩形，∴GH=CD=AB=3a，即EF+CF的最小值是3a；故答案为：3a．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题关键是确定EF+CF的最小值是GH．19.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D，则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时，FD的长是_____．【答案】4﹣2或3【解析】【分析】存在两种情况：当A′D=DC，连接ED，勾股定理求得ED的长，可判断E，A′，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当A′D=A′C，证明AEA′F是正方形，于是得到结论．解：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，

∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4，四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4，∠A=90°，

∴DE==6，

∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，

∴A′E=AE=2，

∵A′D=DC=AB=4，

∴DE=A′E+A′D=6，

∴点E，A′，D三点共线，

∵∠A=90°，

∴∠FA′E=∠FA′D=90°，

设AF=x，则A′F=x，FD=4-x，

在Rt△FA′D中，42+x2=（4-x）2，

解得：x=，

∴FD=3；

②当A′D=A′C时，如图2，

∵A′D=A′C，

∴点A′在线段CD的垂直平分线上，

∴点A′在线段AB的垂直平分线上，

∵点E是AB的中点，

∴EA′是AB的垂直平分线，

∴∠AEA′=90°，

∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，

∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，

∴四边形AEA′F是正方形，

∴AF=AE=2，

∴DF=4-2，

故答案为：4-2或3．【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．20.如图，已知：，点在射线上，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，……，若，则的长为______．【答案】【解析】【分析】根据直角三角形的性质以及锐角三角函数，分别计算出，，，，由此得到计算规律，进而得出答案．在直角中，∵，∴，∴，∵，∴在直角三角形中，∵，∴，，同理，直角三角形中，∵，∴，∴，，…，∴，故答案为．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质以及锐角三角函数，根据已知得出规律并应用规律解决问题是解题关键．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：，其中．【答案】，原式=【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，正确的计算是解题的关键．先根据分式的混合运算化简，再根据特殊角的三角函数值的混合运算求得的值，代入化简结果进行计算即可求解．解：当时，，将代入，22.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，．（1）将关于轴对称得到，画出；（2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积．【答案】（1）见解析（2）见解析，（3）【解析】【分析】本题考查了作图—轴对称变换、作图—旋转变换，求扇形面积，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解此题的关键．（1）根据关于轴对称的特征得出的坐标，顺次连接即可；（2）根据旋转的性质得出的坐标，再顺次连接即可；（3）根据计算即可得出答案．【小问1】解：如图，即为所求．【小问2】解：如图，即为所求，点坐标为；【小问3】解：，，取，，连接，，，．故．．23.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点．注：抛物线的对称轴是，顶点坐标是．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点是x轴上的一个动点，当的值是最小时，请计算此时m的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再根据顶点坐标即可求解；（2）作点关于x轴的对称点，连接，可知与x轴交点即为的值最小时，利用待定系数法求得解析式为，令，即可求解．【小问1】解：∵抛物线过点，，∴，∴抛物线的解析式为．∵顶点坐标，∴．【小问2】作点关于x轴的对称点，连接，则，∴与x轴交点即为的值最小时，设解析式为，代入，，，∴，，令，解得，即．24.我校开展了“美丽校园”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：校园安全，D：卫生保洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量是；并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，，“D”主题对应扇形的圆心角为度；（3）我该校共有3000名学生，请根据上述调查结果，估计学校参与“校园安全”主题的学生人数．【答案】（1）60，见解析（2）30，（3）900人【解析】【分析】（1）由题意知，（人），（人），然后作答并补图即可；（2）由题意知，根据，根据“D”主题对应扇形的圆心角为，计算求解即可；（3）根据，计算求解即可．【小问1】解：由题意知，（人），（人），∴样本容量为60，补全统计图如下：【小问2】解：由题意知，，，故答案为：30，；【小问3】解：由题意知，（人），∴估计学校参与“校园安全”主题的学生人数为900人．【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．25.已知甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，设乙行驶的时间为（小时），甲、乙两车之间的距离（千米）与（小时）之间的函数关系如图所示．根据图象回答下列问题．（1）两地之间的距离为______千米，甲车的速度为每小时______千米；（2）求甲、乙两车相遇后与之间的函数解析式；（3）直接写出乙车出发多长时间时两车相距560千米．【答案】（1）800，160（2）（3）1小时或7小时【解析】【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．（1）由函数图象即可得出答案；（2）求出、的坐标，再利用待定系数法求解即可；（3）根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案．【小问1】解：由图可得：两地之间的距离为千米，甲车的速度为每小时千米；【小问2】解：由图可得：乙车的速度为每小时千米，∴的横坐标为，∴，∴点的纵坐标为，∴，设的函数解析式为，∴，解得：，∴的函数解析式为；设的函数解析式为，∴，解得：，∴的函数解析式为，∴甲、乙两车相遇后与之间的函数解析式为；小问3】解：当相遇之前相距米：解得：；当相遇之后相距米，由（2）可得，∴，解得：，∴乙车出发小时或小时两车相距560千米．26.已知，四边形中，交于点E，若．（1）如图1，求证：是的角平分线．（2）如图2，在线段上有一点F，连接交于点P，连接交于点Q，若，探究与的数量关系．（3）在（2）的条件下，如图3，作的角平分线与的延长线交于点M，，点B到直线的距离为，求线段的长度．【答案】（1）见解析（2），见解析（3）5【解析】【分析】（1）证点A、B、C、D四点共圆，由圆的性质得出，则，即可得出结论；（2）由（1）得点A、B、C、D四点共圆，得出，再证垂直平分，得出，即可得出结果；（3）过点B作交DC延长线于点G，连接，则，，由（1）得点A、B、C、D四点共圆，得出，由（2）得垂直平分，先证，推出，得出点A、M、B、D四点共圆，得出，再由勾股定理求出，由垂直平分，求出，然后证，得，求出，由勾股定理求出，最后证，得出，即可求的长．【小问1】证明：如图1，图1∵，∴点A，B，C，D四点共圆，，，∴，∴AC是的角平分线；【小问2】解：如图2，由（1）得点A，B，C，D四点共圆，图2∴，∵，∴,∴，∵，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴；【小问3】解：如图3，过点B作交DC延长线于点G，连接，图3则，由（1）得点A，B，C，D四点共圆，∴，由（2）得垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵DM是的角平分线，∴，∴，∴点A，M，B，D四点共圆，∴，，，，∴，∴，即，在中，由勾股定理得，∵CF垂直平分BD，∴，∴，∵，∴，，即，解得，在中，由勾股定理得，∵，，∴，，即，解得，∴线段的长度为5．【点睛】本题是四边形综合题，考查了四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握四点共圆和相似三角形的判定与性质是解题的关键．27.某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．【答案】（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生；（2）①方案一：小客车20车、大客车0辆；方案二：小客车11辆，大客车4辆；方案三：小客车2辆，大客车8辆；②方案三租金最少，最少租金为3440元．【解析】【分析】（1）每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；

（2）①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=400，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金380元分别计算出租金即可．解：（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生

根据题意