(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练第3章空间向量及其应用单元综合提优专练(原卷版+解析)

第3章空间向量及其应用单元综合提优专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市松江二中高二期中）已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，2．(2023·上海市延安中学高二期中）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（）A．1 B．2 C．4 D．83．(2023·上海·高三月考）长方体，，，在左侧面上，已知到､的距离均为5，则过点且与垂直的长方体截面的形状为（）A．六边形 B．五边形C．四边形 D．三角形4．(2023·上海·高二期中）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（）A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为5．(2023·上海·曹杨二中高三期中）已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（）A． B． C． D．6．(2023·上海·高三月考）如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（）①平面的法向量与平面的法向量垂直；②异面直线与所成的角为；③四面体有外接球；④直线与平面所成的角为.A．②④ B．③ C．③④ D．①②③④二、填空题7．(2023·上海·复旦附中高二期末）点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．8．(2023·上海交大附中闵行分校高二月考）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.9．(2023·上海市青浦区第一中学高二期中）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则____10．(2023·上海·曹杨二中高二期末）已知非零向量及平面向量是平面的一个法向量,则是“向量所在直线在平面内”的____________条件.11．(2023·上海·复旦附中青浦分校高三月考）在斜三棱柱中，的中点为M，，，，则可用、、表示为______.12．(2023·上海·模拟预测）在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.13．(2023·上海·高三月考）正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．14．(2023·上海交大附中高二期中）已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是__________．15．(2023·上海市张堰中学高二月考）如图,已知正方体的棱长为4,点E、F分别是线段上的动点,点P是上底面内一动点,且满足点P到点F的距离等于点P到平面的距离,则当点P运动时,PE的最小值是__________.16．(2023·上海·高三月考）在空间直角坐标系中，点满足：，平面过点，且平面的一个法向量，则点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于__________.三、解答题17．(2023·上海市复旦中学高三月考）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，是的中点，是上的动点.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的大小.18．(2023·上海·高二月考）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线与交于点，且.点在线段上，设.（1）若，求直线与所成角的余弦值；（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.19．(2023·上海·高二月考）如图，正方形所在平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，.（1）求证：平面；（2）设线段的中点分别为，求证：平面；（3）求二面角的余弦值.20．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD所成角的大小为（1）求证∶平面APB⊥平面CPB；（2）求直线PA与平面PBC所成角的大小．21．(2023·上海·曹杨二中高三期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2正方形.(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.22．(2023·上海市行知中学高二期中）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1CC1为长方形，AA1＝1，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，AM＝CM．(1)求证：平面平面；(2)求直线A1B和平面所成角的正弦值．23．(2023·上海市大同中学高三月考）如图，在正方体中.(1)求异面直线和所成角的大小；(2)求二面角的大小.24．(2023·上海市南洋模范中学高二期中）在正三角形ABC中，E､F､P分别是AB､AC､BC边上的点，满足（如图1）.将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接A1B､A1P（如图2）(1)求证：平面BEP；(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；(3)求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值.25．(2023·上海市宝山中学高二期中）如图所示，已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，分别为的中点.(1)证明：；(2)求与平面所成角的大小.26．(2023·上海普陀·模拟预测）已知三棱柱中，底面，，，，．(1)求证：；(2)设、分别为棱、的中点，求直线与所成的角．第3章空间向量及其应用单元综合提优专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海市松江二中高二期中）已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【标准答案】C空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面【详解详析】解：，，，共面，不能构成基底，排除；，，，共面，不能构成基底，排除；，，，共面，不能构成基底，排除；若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．故选：．【名师指路】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.2．(2023·上海市延安中学高二期中）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（）A．1 B．2 C．4 D．8【标准答案】A本题首先可根据图像得出，然后将转化为，最后根据棱长为以及即可得出结果.【详解详析】由图像可知，，则，因为棱长为，，所以，，故集合中的元素个数为，故选：A.【名师指路】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.3．(2023·上海·高三月考）长方体，，，在左侧面上，已知到､的距离均为5，则过点且与垂直的长方体截面的形状为（）A．六边形 B．五边形C．四边形 D．三角形【标准答案】B以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与、和的交点，再过作交于，过作，交于，即可判断截面形状.【详解详析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设截面与交于，则，，解得，即，设截面与交于，则，，解得，即，设截面与交于，则，，解得，即，过作，交于，设，则，则存在使得，即，解得，故在线段上，过作，交于，设，则，则存在使得，即，解得，故在线段上，综上，可得过点且与垂直的长方体截面为五边形.故选：B.【名师指路】本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与、和的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.4．(2023·上海·高二期中）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（）A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为【标准答案】D在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.【详解详析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为，分别为的中点，则，，，，所以，设，则，因为，所以，，当时，；当时，；取，，，，连接，，，，则，，所以四边形为矩形，则，，即，，又，且平面，平面，所以平面，又，，所以为中点，则平面，所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，所以点的轨迹为四边形，因此点不可能是棱的中点，即A错；又，，所以，则点的轨迹不是正方形；且矩形的周长为，故C错，D正确；因为点为中点，则点为矩形的对角线交点，所以点到点和点的距离相等，且最大，所以线段的最大值为，故B错.故选：D.【名师指路】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由，求出动点轨迹图形，即可求解.5．(2023·上海·曹杨二中高三期中）已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的一个法向量的坐标，由已知条件得出，可得出、所满足的等式，求出点的轨迹与线段、的交点坐标，即可求得结果.【详解详析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设点，，，设平面的法向量为，由，取，可得，，由题意可知，平面，则，令，可得；令，可得.所以，点的轨迹交线段于点，交线段的中点，所以，点的轨迹长度为.故选：B.6．(2023·上海·高三月考）如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（）①平面的法向量与平面的法向量垂直；②异面直线与所成的角为；③四面体有外接球；④直线与平面所成的角为.A．②④ B．③ C．③④ D．①②③④【标准答案】C【思路指引】①由题设四面体相关侧面的关系即可判断正误；②过、作、的平行线且交于，连接，则就是异面直线与的夹角，设求相关边的长度，再应用余弦定理求；③由四面体的性质即可知正误；④由面面垂直确定与平面所成的角是，即知线面角的大小.【详解详析】①平面的法向量与平面的法向量垂直，而与平面的法向量不垂直，故错误；②过作的平行线，过作的平行线，两平行线交于点，联结，则就是异面直线与的夹角，过作，联结、，若，则，由，面面，面面，面，∴面，面，则，同理可证，∴，，易得，故错误；③由于所有的四面体都有外接球，故正确；④因为平面，所以与平面所成的角是，正确.故选：C二、填空题7．(2023·上海·复旦附中高二期末）点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．【标准答案】【思路指引】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出．【详解详析】1，，2，，的夹角为锐角，，且不能同向共线．解得，．则的取值范围为．故答案为．【名师指路】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．(2023·上海交大附中闵行分校高二月考）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.【标准答案】【详解详析】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.9．(2023·上海市青浦区第一中学高二期中）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则____【标准答案】【思路指引】由题意可得，根据线面平行可得，则，进而得到，解得即可.【详解详析】解：由题意可得，则解得【名师指路】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.10．(2023·上海·曹杨二中高二期末）已知非零向量及平面向量是平面的一个法向量,则是“向量所在直线在平面内”的____________条件.【标准答案】必要不充分【思路指引】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解详析】解：若向量是平面的法向量，则，若，则，则向量所在直线平行于平面或在平面内，即充分性不成立，若向量所在直线平行于平面或在平面内，则，向量是平面的法向量，，则，即，即必要性成立，则是向量所在直线平行于平面或在平面内的必要条件，故答案为：必要不充分【名师指路】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键．11．(2023·上海·复旦附中青浦分校高三月考）在斜三棱柱中，的中点为M，，，，则可用、、表示为______.【标准答案】在斜三棱柱中,利用三角形法则转化为基底的线性运算求解.【详解详析】在中，,又的中点为,是斜三棱柱，，,在中故答案为：【名师指路】本题考查空间向量的线性运算.用已知向量表示某一向量的三个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．12．(2023·上海·模拟预测）在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.【标准答案】（或C或边上的任意一点）【思路指引】因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可.【详解详析】解：因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，因为点M和N分别是矩形ABCD和的中心，所以,连接，则,所以即为经过三点的平面与正方体的截面，故点P可以是正方体表面上的点（或C或边上的任意一点）故答案为：（或C或边上的任意一点）【名师指路】此题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，属于中档题.13．(2023·上海·高三月考）正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．【标准答案】【思路指引】由题意作出正三棱锥，设为底面的中心，过作交于点,连接，可得为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件，得出，从而得出答案.【详解详析】如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.过作交于点,连接则,又，且,所以平面则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角.在正三角形中，为中心，由条件有，可得在直角三角形中，所以故答案为：【名师指路】本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.14．(2023·上海交大附中高二期中）已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是__________．【标准答案】【思路指引】根据球面距离可求得三边长，利用正弦定理可求得所在小圆的半径；，根据平面向量基本定理可知四点共面，从而将所求问题变为的最大值；根据最小值为球心到所在平面的距离，可求得最小值，代入可求得所求的最大值.【详解详析】间的球面距离为同理可得：所在小圆的半径：设四点共面若取最大值，则需取最小值最小值为球心到所在平面的距离本题正确结果：【名师指路】本题考查球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三角形等知识；关键是能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题转化为半径与球心到小圆面距离的比值的最大值的求解的问题.15．(2023·上海市张堰中学高二月考）如图,已知正方体的棱长为4,点E、F分别是线段上的动点,点P是上底面内一动点,且满足点P到点F的距离等于点P到平面的距离,则当点P运动时,PE的最小值是__________.【标准答案】【思路指引】通过题意可知当E,F分别是AB,上的中点，P为正方形中心时，PE取最小值，利用两点间距离计算即可求出.【详解详析】如图建立空间直角坐标系：设，则，点P到F的距离等于点P到平面的距离，，整理得P点轨迹方程：，所以P到平面的距离，,所以，此时P与F共线垂直,又当E,F分别是AB,上的中点，P为正方形中心时，PE取最小值，此时，.故答案为：【名师指路】本题主要考查了利用空间向量求两点间的距离，及结合图形研究最值问题，属于难题.16．(2023·上海·高三月考）在空间直角坐标系中，点满足：，平面过点，且平面的一个法向量，则点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于__________.【标准答案】【思路指引】由题意，点在球面上，所以点P在平面上所围成的封闭图形即为平面截球面所得的截面圆，根据球的截面性质求出截面圆的半径即可求解.【详解详析】解：由题意，点在以为球心，半径为4的球面上，所以点P在平面上所围成的封闭图形即为平面截球面所得的截面圆，因为平面的方程为，即，所以球心到平面的距离为，所以截面圆的半径，截面圆的面积为，所以点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于.故答案为：.三、解答题17．(2023·上海市复旦中学高三月考）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，是的中点，是上的动点.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的大小.【标准答案】（1）证明见解析；（2）.【思路指引】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，证明即可；（2）求出平面的法向量，根据即可求出.【详解详析】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系.设，，则，，，，，于是，，，则，所以.（2）若，则，，，设平面的法向量为，由，得：，令，则，，于是，而.设与平面所成角为，所以，所以与平面所成角为.18．(2023·上海·高二月考）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线与交于点，且.点在线段上，设.（1）若，求直线与所成角的余弦值；（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.【标准答案】（1）；（2）.【思路指引】(1)由题可知，平面，则以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，当时，写出各点坐标，得出，再利用空间向量法求空间异面直线的夹角，即可得出直线与所成角的余弦值；(2)设，则，进而得出点，根据空间向量求法向量的方法，求出平面的法向量，根据线面垂直的判定定理可得出平面，从而得出平面的法向量，最后利用空间向量求二面角的方法，可列出，从而可求出的值.【详解详析】解：（1）由题可知，正四棱锥且四边形是正方形，所以，平面，则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，设直线与所成角为，则，∴直线与所成角的余弦值为.（2）设，则，即，∴，∴，，设平面的法向量，则，取，得，由于，平面，可知，且，则平面，则平面的法向量，∵平面与平面所成锐二面角的余弦值为，∴，解得：.19．(2023·上海·高二月考）如图，正方形所在平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，.（1）求证：平面；（2）设线段的中点分别为，求证：平面；（3）求二面角的余弦值.【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【思路指引】（1）根据题意，由面面垂直的性质得出平面，进而得出，由等腰直角三角形的性质得出，最后根据线面垂直的判定定理，即可证明平面；（2）由题意可知，通过线面垂直的判定定理可证出平面，从而以方向分别为，，轴正方向，建立空间坐标系，令正方形的边长为2，求出各点的坐标，得出以及平面的一个法向量，利用空间向量的数量积得出，通过空间向量法即可证明平面；（3）设平面的一个法向量，通过空间向量求法向量的方法求得，为平面的一个法向量，最后根据空间向量求二面角的方法，即可求出二面角的余弦值.【详解详析】解：（1）∵平面平面，且平面平面，由于正方形，所以，∴平面，又由平面，∴，又∵是等腰直角三角形，，则，在中，，∴，即，又∵，且平面，∴平面；（2）因为是等腰直角三角形，，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面，因此，即，，两两垂直，以为坐标原点，方向分别为，，轴正方向，建立空间坐标系，令正方形的边长为2，则：，由（1）得平面，则为平面的一个法向量，又，则，，∴平面；（3）设平面的一个法向量，，则，即，令，则平面法向量，又∵平面，则为平面的一个法向量，令二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为.20．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD所成角的大小为（1）求证∶平面APB⊥平面CPB；（2）求直线PA与平面PBC所成角的大小．【标准答案】（1）证明见详解（2）【思路指引】（1）由，证明平面APB，结合平面CPB，即得证；（2）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，利用线面角的向量公式，即得解【详解详析】（1）由题意，PA⊥平面ABCD，平面ABCD又四边形ABCD是正方形，又平面APB平面APB，平面CPB平面APB⊥平面CPB（2）由题意，PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD所成角的大小为由于PA⊥平面ABCD，，如图所示建立空间直角坐标系则则设平面的法向量令不妨设直线PA与平面PBC所成角的大小为故直线PA与平面PBC所成角的大小为.21．(2023·上海·曹杨二中高三期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2正方形.(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【标准答案】(1)证明见详解(2)【思路指引】（1）先证明，，由线线垂直推线面垂直，即得证；（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用线面角的向量公式，即得解(1)四边形是正方形，，又平面，平面，且，平面平面(2)由题意，平面，以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系故设平面的法向量为，令，故不妨设直线与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为22．(2023·上海市行知中学高二期中）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1CC1为长方形，AA1＝1，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，AM＝CM．(1)求证：平面平面；(2)求直线A1B和平面所成角的正弦值．【标准答案】(1)证明见解析(2)【思路指引】（1）结合面面垂直的判定定理证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出直线和平面所成角的正弦值.(1)由于，所以，根据直三棱柱的性质可知，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.(2)设是的中点，连接，则，两两相互垂直.以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线和平面所成角为，则.23．(2023·上海市大同中学高三月考）如图，在正方体中.(1)求异面直线和所成角的大小；(2)求二面角的大小.【标准答案】(1)(2)【思路指引】（1）建立空间直角坐标系，计算可得，即得解；（2）分别求解两个平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可(1)由正方体，故两两垂直，不妨令正方体边长为1以为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：故由于，故异面直线和所成角的大小为(2)由（1），设平面的法向量为，令，故设平面的法向量为，令，故设二面角的平面角为，由图得二面角为钝角故故，即二面角的大小为24．(2023·上海市南洋模范中学高二期中）在正三角形ABC中，E､F､P分别是AB､AC､BC边上的点，满足（如图1）.将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接A1B､A1P（如图2）(1)求证：平面BEP；(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；(3)求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值.【标准答案】(1)证明见解析(2