2024年内蒙古包头市九原区九年级中考数学三模试卷

2024年内蒙古包头市九原区中考数学三模试卷一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）1．（3分）下列计算中，结果等于a2n的是（）A．an+an B．（an）2 C．（an）n D．an•a22．（3分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A．2 B． C． D．﹣33．（3分）如图，AB，CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG平分∠FEB，过点G作GH⊥EF，若∠FGH＝34°，则∠BEG的度数为（）A．63° B．62° C．58° D．57°4．（3分）如图是甲、乙两人手中的扑克牌，两人随机出一张牌，记甲、乙牌中的数分别为m，n，使得﹣2≤m﹣n≤2的概率为（）A． B． C． D．5．（3分）如图，正方形网格中，点A，O，B、E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则tan∠CDE＝（）A． B．2 C． D．6．（3分）将四块相同的小长方形纸片和两块相同的大长方形纸片如图1、图2所示摆放，若小长方形的长和宽分别为y，x（x＜y），则y﹣x＝（）A．m﹣n B． C． D．7．（3分）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2且m≠﹣3 B．m＜2且m≠﹣3 C．m＞﹣3且m≠﹣2 D．m＞﹣3且m≠28．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为（0，3），连接AC，以AC为边，∠ACD为直角，在AC右侧作等腰直角三角形ACD，则点D的坐标为（）A．（3，﹣1） B．（2，﹣1） C．（3，﹣2） D．（2，﹣）9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m﹣1，n）、B（﹣m﹣1，n）、C（1，p），且p＜2，则该抛物线的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（3分）如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′．OE为半径，⊙O与CD相切，则的值是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：3x3﹣6x2+3x＝．12．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是．13．（3分）如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC＝75°，BC＝4cm，则弦AB的长为cm．14．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝4，则BF的长为．15．（3分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点D为OB的三等分点（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边AB、AD上运动，且满足BE＝AF，连接EF，过点O作OG⊥EF交AB点G，则下列结论：①连接FG，则△AFG的周长不变；②若BE＝1，则；③连接OF，则；④DF•FG＝OF2.其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共有7小题，共72分）17．（8分）（1）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+；（2）化简：．18．（8分）某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x＜90为网络安全意识比较强，x＜80为网络安全意识一般）．收集整理的数据制成了如下统计图表：平均数中位数众数甲组a8080乙组83bc根据以上信息回答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）已知该校九年级有500人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？（3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．19．（8分）三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①C→E，②C→A→D→E．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西30°方向米处，且位于C的北偏西53°方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．（参考数据：，，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）（1）求A与C之间的距离（结果保留整数）；（2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）20．（11分）繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示；（1）求出当0≤x≤60和x＞60时，y与x的函数关系；（2）若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？21．（12分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝10，CD是⊙O直径，且平分∠ACB，BC交⊙O于点E，BD是⊙O的切线．（1）求BE的长；（2）求⊙O直径CD和tan∠ACD的值．22．（12分）已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E、F分别在矩形ABCD的边AB、AD上．（1）如图1，当点G在CD上时，①求证：△AEF≌△DFG；②当AB＝8，AD＝6，E是AB的中点时，求EG的长；（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE+DN；（3）如图3，若AE＝AD，EG、FG分别交CD于点M、N，求证：MG2＝MN•MD．23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP，当，求点P的坐标；（3）如图2，过点A作AN∥BC交抛物线于点N，连接BN，点M是x轴上点B左侧一动点，若△MBC与△ABN相似，求点M的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）1．（3分）下列计算中，结果等于a2n的是（）A．an+an B．（an）2 C．（an）n D．an•a2【解答】解：A、an+an＝2an，故A不符合题意；B、（an）2＝a2n，故B符合题意；C、（an）n＝，故C不符合题意；D、an•a2＝an+2，故D不符合题意；故选：B．2．（3分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A．2 B． C． D．﹣3【解答】解：由数轴可知1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵1＜2＜4，∴，∴，∴四个选项中只有B选项符合题意，故选：B．3．（3分）如图，AB，CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG平分∠FEB，过点G作GH⊥EF，若∠FGH＝34°，则∠BEG的度数为（）A．63° B．62° C．58° D．57°【解答】解：∵GH⊥EF，∠FGH＝34°，∴∠EFG＝180°﹣90°﹣34°＝56°，∵AB∥CD，∴∠FEB+∠EFG＝180°，∴∠FEB＝124°，∵EG平分∠FEB，∴．故选：B．4．（3分）如图是甲、乙两人手中的扑克牌，两人随机出一张牌，记甲、乙牌中的数分别为m，n，使得﹣2≤m﹣n≤2的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：树状图如下：所有可能的结果有12种，甲获胜的情况有5种，∴甲获胜的概率都是，故选：B．5．（3分）如图，正方形网格中，点A，O，B、E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则tan∠CDE＝（）A． B．2 C． D．【解答】解：∵∠BAE＝∠CDE，∴tan∠BAE＝tan∠CDE，∵tan∠BAE＝＝＝，∴∠tan∠CDE＝．故选：A．6．（3分）将四块相同的小长方形纸片和两块相同的大长方形纸片如图1、图2所示摆放，若小长方形的长和宽分别为y，x（x＜y），则y﹣x＝（）A．m﹣n B． C． D．【解答】解：∵有两块相同的大长方形纸片，∴两块大长方形的长是一样的，设大长方形的长为h，∵小长方形的宽为x，∴在图1中，大长方形的长h＝m+2x，∵小长方形的长为y，∴在图2中，大长方形的长h＝n+2y，∴m+2x＝n+2y，移项可得：m﹣n＝2y﹣2x，提公因式可得：m﹣n＝2（y﹣x），两边同时除以2可得：，∴，故选：B．7．（3分）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2且m≠﹣3 B．m＜2且m≠﹣3 C．m＞﹣3且m≠﹣2 D．m＞﹣3且m≠2【解答】解：去分母得：2x﹣3（x﹣1）＝﹣m，解得：x＝m+3，∵关于x的分式方程的解为正数，且x≠1，∴m+3＞0且m+3≠1，解得：m＞﹣3且m≠﹣2，故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为（0，3），连接AC，以AC为边，∠ACD为直角，在AC右侧作等腰直角三角形ACD，则点D的坐标为（）A．（3，﹣1） B．（2，﹣1） C．（3，﹣2） D．（2，﹣）【解答】解：对于y＝x+4，当y＝0时，x＝﹣4，则点A（﹣4，0），又∵点C的坐标为（0，3），∴OA＝4，OC＝3，过点D作DE⊥y轴于点E，如图所示：∴∠CED＝90°，∴∠DCE+∠CDE＝90°，又∵∠ACD为直角，∴∠DCE+∠ACO＝90°，∴∠CDE＝∠ACO，在△CDE和△ACO中，，∴△CDE≌△ACO（AAS），∴DE＝OC＝3，CE＝OA＝4，∴OE＝CE﹣OC＝1，∴点D的坐标为（3，﹣1）．故选：A．9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m﹣1，n）、B（﹣m﹣1，n）、C（1，p），且p＜2，则该抛物线的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m﹣1，n）、B（﹣m﹣1，n），∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点C（1，p），且p＜2，∴a+b+2＜2，∴a+b＜0，∴a+2a＜0，∴a＜0，∴b＝2a＜0，∴该抛物线的对称轴在y轴左侧，开口向下，又∵x＝0时y＝3，∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，故选：B．10．（3分）如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′．OE为半径，⊙O与CD相切，则的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵点A关于BD的对称点为A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′；设⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长FO交AB于点G，如图所示，∴OF⊥CD，OF＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴，AB∥CD，AC＝BD，，∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB，∴∠GAO＝∠GBO，在△DOF和△BOG中，，∴△DOF≌△BOG（ASA），∴OG＝OF，∴OG＝OE，∵AA′⊥BD，∴∠EAO＝∠GAO，∵∠EAB+∠GBO＝90°，∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，∴3∠EAO＝90°，∴∠EAO＝30°，∵AA′⊥CA′，∴，∴，∴，故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：3x3﹣6x2+3x＝3x（x﹣1）2．【解答】解：3x3﹣6x2+3x＝3x（x2﹣2x+1）＝3x（x﹣1）2；故答案为：3x（x﹣1）2．12．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是8．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根分别是x1，x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣6，∴x1+x2﹣x1x2＝2﹣（﹣6）＝8，故答案为：8．13．（3分）如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC＝75°，BC＝4cm，则弦AB的长为4cm．【解答】解：连接OB．∵AB垂直平分半径OD，∴OE＝OD＝OB，∴∠OBE＝30°，又∵∠ABC＝75°，∴∠OBC＝45°，又∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝45°．则△OBC是等腰直角三角形．∴OB＝•BC＝4cm．∴∠OBA＝30°，∴EB＝OB×cos30°＝2，∴AB＝2EB＝4，故答案为：4．14．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝4，则BF的长为4．【解答】解：由尺规作图知BE＝BC＝4，BF平分∠CBE，∴∠CBF＝∠EBF＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F＝∠CBF，∴∠F＝∠EBF＝30°，∴BE＝FE，过点E作EH⊥BF于H，则BH＝FH，∵∠EBF＝30°，∴EH＝，∴BH＝EH＝2，∴BF＝2BH＝4，故答案为：4．15．（3分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点D为OB的三等分点（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为．【解答】解：设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，点D为OB的三等分点（DB＜OD），∴BD＝b，OD＝b，∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（a+2a）×b＝a×b+5+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边AB、AD上运动，且满足BE＝AF，连接EF，过点O作OG⊥EF交AB点G，则下列结论：①连接FG，则△AFG的周长不变；②若BE＝1，则；③连接OF，则；④DF•FG＝OF2.其中正确的结论是①②④.（填写所有正确结论的序号）【解答】解：点O是正方形的中心，连接BD，则BD经过点O，连接OA，FG，OF，∵正方形ABCD的边长为4，∴∠EBO＝∠FAO，BO＝AO，又BE＝AF，∴△EBO≌△FAO（SAS），∴∠BOE＝∠AOF，OE＝OF，∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠BOE+∠EOA＝∠AOF+∠EOA＝∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∵OG⊥EF，∴OG是线段EF的垂直平分线，∴GE＝GF，∵△AFG的周长为AF+AG+FG＝BE+AG+EG＝AB＝4，∴①△AFG的周长不变，故①正确；∵BE＝1，∴BE＝AF＝1，设FG＝a，则EG＝a，AG＝4−1−a＝3−a，在Rt△AFG中，由勾股定理得12+（3−a）2＝a2，解得a＝，即FG＝，故②正确；∵△EOF是等腰直角三角形，OG⊥EF，∴∠EOG＝∠EOF＝45°＝∠FDO，∵∠DFO＝∠AOF+∠FAO＝∠AOF+45°，∠GEO＝∠BOE+∠EBO＝∠BOE+45°，又∠BOE＝∠AOF，∴∠DFO＝∠GEO，∴△DFO∽△OEG，∴＝，∵OE＝OF，GE＝GF，∴DF•FG＝OF2，故④正确；∵△DFO∽△OEG，∴∠DOF＝∠BGO，又∠FDO＝∠OGB＝45°，∴△DOF∽△BGO，∴＝，∵DO≠DF，∴≠，故③错误；综上，①②④正确，故答案为：①②④．三、解答题（本大题共有7小题，共72分）17．（8分）（1）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+；（2）化简：．【解答】解：（1）﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+＝﹣1﹣+1+﹣3＝﹣1﹣+1+﹣3＝﹣3；（2）＝＝＝．18．（8分）某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x＜90为网络安全意识比较强，x＜80为网络安全意识一般）．收集整理的数据制成了如下统计图表：平均数中位数众数甲组a8080乙组83bc根据以上信息回答下列问题：（1）填空：a＝83，b＝85，c＝70；（2）已知该校九年级有500人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？（3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．【解答】解：（1）a＝（1×70+6×80+2×90+1×100）÷10＝83．将乙组学生竞赛成绩按从小到大的顺序排列，排在第5和第6位的成绩分别为8（0分）和9（0分），∴b＝（80+90）÷2＝85．由图2可知，乙组的众数为70，∴c＝70．故答案为：83；85；70．（2）500×＝200（人）．∴估计九年级网络安全意识非常强的人数一共约为200人．（3）由图1和图2可知，甲组满分人数为1人，记为A，乙组满分人数为2人，分别记为B，C，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种，∴抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为＝．19．（8分）三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①C→E，②C→A→D→E．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西30°方向米处，且位于C的北偏西53°方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．（参考数据：，，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）（1）求A与C之间的距离（结果保留整数）；（2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，则∠AHB＝90°，由题意可知，，∠ABH＝90°﹣30°＝60°，∠ACH＝90°﹣53°＝37°，∴（米），∴（米），即A与C之间的距离为500米；（2）设CH与DE的交点为M，由题意可知，∠ADM＝∠DMH＝∠AHM＝90°，∴四边形ADMH是矩形，∴DM＝AH＝300米，CH＝ACcos∠ACH＝500×0.8＝400（米），米，由题意可知，∠MCE＝45°，∠CME＝180°﹣∠DMH＝90°，∴△CME是等腰直角三角形，∴米，∴米，∴路线①的步行的时间为（分钟）路线②的步行的时间为（分钟）∵19.1＜19.8，∴走线路①用时更短．20．（11分）繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示；（1）求出当0≤x≤60和x＞60时，y与x的函数关系；（2）若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？【解答】解：（1）当0≤x≤60时，设y＝k1x，根据题意得60k1＝2640，解得k1＝44；∴y＝44x；当x＞60时，设y＝k2x+b，根据题意得，，解得，∴y＝38x+360，∴综上，y与x的函数关系为y＝；（2）设购进甲种道具a件，则购进乙种道具（120﹣a）件，∵甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，∴，解得75≤a≤85，∵a＞60，∴w＝38a+360+40（120﹣a）＝38a+360+4800﹣40a＝﹣2a+5160，∵﹣2＜0，∴当a＝85时，w最小，最小值为4990，120﹣85＝35（件），答：购进甲种道具为85件，购进乙种道具35件，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少．21．（12分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝10，CD是⊙O直径，且平分∠ACB，BC交⊙O于点E，BD是⊙O的切线．（1）求BE的长；（2）求⊙O直径CD和tan∠ACD的值．【解答】解：（1）连接DE，AD，∵CD是直径，∴∠DAC＝∠DEC＝90°，∵CD平分∠ACB，∴DA＝DE，∵CD＝CD，∴Rt△DEC≌Rt△DAC（HL），∴CE＝AC＝8，∴BE＝BC﹣CE＝10﹣8＝2；（2）∵BD是⊙O的切线，∴∠BDC＝90°，∵∠BDE+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝∠DCE，∵∠BED＝∠DEC＝90°，∴△BDE∽△DCE，∴，∴DE2＝BE•EC＝2×8＝16，∴DE＝AD＝4，∴CD2＝DE2+EC2＝42+82，∴⊙O的直CD＝4，∴tan∠ACD＝＝＝．22．（12分）已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E、F分别在矩形ABCD的边AB、AD上．（1）如图1，当点G在CD上时，①求证：△AEF≌△DFG；②当AB＝8，AD＝6，E是AB的中点时，求EG的长；（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE+DN；（3）如图3，若AE＝AD，EG、FG分别交CD于点M、N，求证：MG2＝MN•MD．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFG＝90°，∴∠DFG＝∠AEF，在△AEF和△DFG中，∴△AEF≌△DFG（AAS）；②∵AB＝8，E是AB的中点，∴AE＝4，∵△AEF≌△DFG，∴FD＝AE＝4∵AD＝6，∴AF＝2在Rt△AEF中，，∵在