专题04 绝对值（原卷版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

专题04绝对值1.从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）；2.会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数；体会分类讨论思想；3.运用绝对值的非负性解决问题；4.能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想。题型探究题型1、求已知数的绝对值 3题型2、已知绝对值求数或未知数 4题型3、绝对值的概念与意义辨析 6题型4、绝对值的非负性 7题型5、绝对值的化简求值1 9题型6、绝对值的化简求值2 10题型7、绝对值的实际应用 11题型8、绝对值的几何意义求最值 14培优精练A组（能力提升） 18B组（培优拓展） 23【思考1】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系?【历史起源】提起绝对值的起源，就需要从“现代分析学之父”的德国大数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）说起，他于1841年提出绝对值的定义，距今不到200年的历史。当然，你可能觉得这个时间已经够久远了吧，但是我可以告诉你，我们所崇拜的欧拉，生于1707年，逝于1783年，就是说，那个把无穷级数玩得贼溜，写出了数学史上最多论文的大神，一辈子都没有接触过绝对值。比照这些年份可以看出来，绝对值算是一个出现得非常晚的数学概念了。1.绝对值1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．可整理为：，或，或。4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。3.归纳：=1\*GB3①绝对值等于它本身的数是：非负数；=2\*GB3②绝对值大于它本身的数是：负数；=3\*GB3③绝对值等于它的相反数的数是：非正数；=4\*GB3④绝对值最小的有理数是：0；=5\*GB3⑤绝对值最小的正整数是：1；=6\*GB3⑥绝对值最小的负整数是：-1。引入绝对值这个概念，是为以后的数学转化思想做准备，通过绝对值，将负数转化为正数，这样有理数加法计算问题就可用小学时学的加法进行运算了。题型1、求已知数的绝对值【解题技巧】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，。例1．（2024·广西钦州·一模）的绝对值是（

）A．2 B． C． D．例2．（2024·江苏连云港·二模）2024相反数的绝对值是（

）A． B． C．2024 D．例3．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）若，则．变式1．（2024·湖北武汉·一模）的相反数是（

）A． B． C． D．变式2．（2024·西藏·一模）的绝对值是（

）A．3 B． C． D．题型2、已知绝对值求数或未知数【解题技巧】若，当时，；当时，。根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。例1．（2024·河南郑州·模拟预测）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（）A．3 B． C． D．例2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则．例3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则x的值为．变式1．（2024·辽宁·模拟预测）绝对值等于的数是（

）A． B． C．或 D．以上都不对变式2．（22-23七年级上·云南昆明·阶段练习）如果，则．变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知，则．题型3、绝对值的概念与意义辨析【解题技巧】绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。例1．（2023·福建莆田·七年级统考期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上（）A．原点两旁B．任何一点C．原点右边D．原点或其右边例2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，则是（

）A．非负数 B．负数 C．正数 D．非正数例3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则．变式1．（2023·河北保定·校考模拟预测）下列说法错误的是（

）A．相反数是它本身的数是 B．绝对值是它本身的数是正数C．的绝对值是它本身 D．有理数的相反数仍是有理数变式2．（2022秋·甘肃庆阳·七年级统考期中）下列说法正确的是（

）A．有理数的绝对值一定比0大B．有理数的相反数一定比0小C．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等D．互为相反数的两个数的绝对值相等变式3．（2022·河南驻马店·七年级校考期末）如果，下列的取值不能使这个式子成立的是（

）A． B．0 C．1 D．取任何负数题型4、绝对值的非负性【解题技巧】（1）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a=0且b=0．（2例1．（23-24七年级·浙江·期中）若，则，．例2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为．例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是．变式2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最值是，此题型5、绝对值的化简求值1【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。例1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，互为相反数，则；．例2．（23-24七年级·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简：．变式1．（23-24七年级·湖北孝感·阶段练习）若，则．变式2．（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（

）A． B． C． D．变式3．（2023·河南·七年级校考阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图：(1)比较大小（填“”或“”号）．①______；②______；③______；(2)化简：．题型6、绝对值的化简求值2【解题技巧】当a＞0时，则；当a＜0时，则。例1．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）若，则的值为．变式1．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（

）A．或3 B．或3 C．1或3 D．或变式2．（22-23七年级上·江西上饶·期中）若，则．题型7、绝对值的实际应用【解题技巧】常见三种应用：1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准；2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关；3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。例1．（2023·浙江金华·七年级校考期中）小杨同学检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（

）A． B． C． D．例2．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米），问：(1)小虫是否回到原点0？(2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？变式1．（2024·吉林四平·二模）从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（

）编号1234检查结果A．1号汤圆 B．2号汤圆 C．3号汤圆 D．4号汤圆变式2．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，．(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？(2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？(3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？题型8、绝对值的几何意义求最值【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时，x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。例1.（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______．例2.（2022·湖南邵阳·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时：（1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则（2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则（3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________．(2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________．(3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离_________．如果，则x的值为________．(4)若代数式有最小值，则最小值为_______________．变式1.（2023•广西七年级月考）同学们都知道，|3﹣（﹣1）|表示3与﹣1之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，这样的整数是．变式2．（2023·江苏南京·七年级校考阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒为一常数，则此值为_________.变式3．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值．例如：（1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和．解：因为，所以，或．（1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和．解：因为，所以，或，解得：或．知识应用：（1）求出下列未知数的值．；．（2）知识探究：直接写出的最小值．A组（能力提升）1．（2024·广西南宁·二模）2024的绝对值是（

）A．2024 B． C． D．2．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（

）A． B． C． D．3．（22-23七年级下·上海闵行·阶段练习）如果，那么的取值范围是（

）A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数4．（23-24七年级·上海普陀·期中）如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是（

）A．1 B．0 C．正数 D．非负数5．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）相反数与绝对值相等的数是（

）A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数6．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（

）

A． B． C． D．7．（2023·重庆七年级期中）下列命题正确的是（）A．绝对值等于本身的数是正数B．绝对值等于相反数的数是负数C．互为相反数的两个数的绝对值相等D．绝对值相等的两个数互为相反数8．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）若，则a的值可以是（）A．5 B．3 C．1 D．9．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）绝对值小于的所有整数有个．10．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝，b＝，c＝．11．（23-24七年级上·山东济宁·期末）实数，在数轴上的位置如图，则．12．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若，则的值为．13．（23-24七年级上·广东佛山·期中）如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有．（保留）

14．（23-24七年级上·广东深圳·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负（单位：千米）．(1)李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？(2)这时间段李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？B组（培优拓展）1．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）为有理数，若，那么是（

）A．非正数 B．非负数 C．负数 D．不为0的数2．（2023秋·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且，则（

）A． B． C．4 D．-23．（2023秋·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）若，则和的关系为（

）A．和相等B．和互为相反数C．和相等或互为相反数D．以上答案都不对4．（2024·江苏南京·七年级校考阶段练习）若是有理数，则的值（）A．是负数 B．是非负数 C．必是正数 D．无法确定5．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（

）A． B．或 C．或 D．或6．（2024七年级·广东·培优）使成立的条件是（

）．A．为任意数 B． C． D．7．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）当时，的值最小．8．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则．9．（23-24七年级·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．(2)