2024届重庆市乌江新高考协作体高三上学期第一次联合调研数学试题及答案

2023-2024学年高考第一次联合调研抽测高三数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.121a2a1.“”是“”的（）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.已知复数z满足：A.2z1，则z1i的最大值为（）B.21D.3C.21（单位：分贝）来Lpp3.大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级p定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：LpLpapa，其中为常数,且常数00pppp2为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压001分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的3倍若住Lp的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为L1.2p宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（）1p10102p10102a20，pa10，p11A.a20，B.D.101C.a10，104fxsin2x4.函数22sin2x的最小正周期为（）πππD.2πA.B.C.24第1页/共6页2xy10上一点P作圆x22的两条切线5.过直线坐标为（13y24PAPBPAPBP的横）13515A.B.C.D.335，yZ，f(xy)f(x)f(y)2xy1成立，且f(1，则6.已知函数f(x)满足：xf2nnN（）*A.4n6B.8n1C.4n22n1D.8n22n5x22y221(ab0､F,F,P为双曲线上的一点，I的为△PF1F27.已知双曲线)的左右焦点分别为12ab内心，且222PI，则的离心率为（C）152A.3B.C.3D.2x22y228.已知点是双曲线C:的左､Ax,yF,F分别为Cab0)上位于第一象限内的一点，1002ab1右焦点，C2Alx的离心率和实轴长都为，过点的直线交轴于点M,0y，交轴于点，过作直NF1x0线AM的垂线，垂足为H，则下列说法错误的是（）y2A.C的方程为x2131B.点N坐标为y0C.OH的长度为1，其中O为坐标原点AF1NFD.四边形面积的最小值为432二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰n子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出次骰子后，下列结论正确的是（A.第二次扔骰子后，小球位于原点0）12第2页/共6页32B.第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是1C.第一次扔完骰子小球位于1且第五次位于1的概率4D.第五次扔完骰子，小球位于1的概率大于小球位于3概率2x2xfxlog110.已知函数，则下列说法正确的是（）3A.函数值域为RfxB.函数是增函数fx1263f3x1f3x0C.不等式,的解集为1202312022121212023ffff1f0f1ff0D.1πysin2x11.将函数的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的3yfx的图象，则（个单位长度，得到）ππA.C.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称fxxfx,06ππ的图象关于直线fxx对称D.的图象关于点对称fx,0366ABCD12.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内的一动点1111）A1E，C的平面截正方体所得的截面周长为3225A.过点，1A11B.存在点F，使得平面第3页/共6页1F//A，则动点F轨迹长度为211C.若平面F1ECF11外接球的表面积为πD.当三棱锥的体积最大时，三棱锥1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.A,9aA10aA，13.设非空集合满足，则这样的A的个数为________．3πππ43fxcos(x)0,14.已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是____.20ax2bxc2a0x1x，则ab2cx15.若关于的不等式的解集为的取值范围是__________．x22y2211ab0的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是F1F，16.已知椭圆C：，M是22abCMF与CN的另一个交点为．若2//AN△ANFa，在第一象限上的一点，直线，且的周长为218MN________．则直线的斜率为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15%转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采nan和b用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为，不考虑其他因素的影响．n，并求使数列是等比数列的实数．anaan1（1）用表示n（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60%以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．2b2c2bcsinA18.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a.（1）求角C；（2）求sin2AB的取值范围.219.品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排第4页/共6页na,a,a,…,aXia，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两i序时的序号为，并令123ni1次排序的偏离度的高低为其评分.n3时，若a,a,a（1）当等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；123（2）当n4时，a,a,a,a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算X2的概率；①若123②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有X2何，请说明理由.my1和圆C:x2xy20相交于P，Q20.设为实数，直线两点.2m，求的值；（1）若（2）若点O2为直径的圆外（其中Om的取值范围.在以21.正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚abcde集的棱的条数都相等，这样的多面体就叫做正多面体.可以验证一共只有五种多面体.令a,b,c,d,e（a合，例如正面体的所有顶点可以与正b面体的某些顶点重合，正b面体的所有顶点可以与正d面体的所有顶点重合，等等.abab（1）当正面体的所有顶点可以与正面体的某些顶点重合时，求正面体的棱与正面体的面所成线面角的最大值；ccc（2）当正面体在棱长为1的正面体内，且正面体的所有顶点均为正面体各面的中心时，求正面bb体某一面所在平面截正b面体所得截面面积；（3）已知正d面体的每个面均为正五边形，正e面体的每个面均为正三角形.考生可在以下2问中选做1问.（第一问答对得2分，第二问满分8分，两题均作答，以第一问结果给分）第一问：求棱长为1的正e面体的表面积；第二问：求棱长为1的正d面体的体积.p(0p．如果投资成功，会获得bb0)；22.一类项目若投资1元，投资成功的概率为元的回报如果投资失败，则会亏掉1元本金．为了规避风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的x(0x，1956年约翰·拉里·凯利计算得出，多次投资的平均回报率函数为第5页/共6页f(x)bx)x)p，并提出了凯利公式．ppbp)pb1x时，使得平均回报率f(x)最高的投资比例满足凯利公式x（1）证明：当；b11（2）若b1，p，求函数x(0,π)在上的零点个数．g(x)e2xfx)2第6页/共6页2023-2024学年高考第一次联合调研抽测高三数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.121a2a1.“”是“”的（）A.充分不必要条件C.充要条件【答案】AB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.1111112a2a12，而2aa1满足2a，但【详解】因为推不出，例如不成2aa2a立，11a2”的充分不必要条件，所以“”是“2a故选：A2.已知复数z满足：A.2z1，则z1i的最大值为（）B.21C.21D.3【答案】B【解析】【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离，计算即可.zabia,bRz1iabi，【详解】设，其中，则∵z1，第1页/共27页a,b的轨迹是以0,0为圆心，为半径的圆，1∴a2b21，即点a12b1即为圆上动点到定点2的距离，1∴z1iz1i201221.∴的最大值为011故选：B.（单位：分贝）来Lpp3.大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级p定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：LpLpapa，其中为常数,且常数00pppp2为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压001LpLp的倍若住2的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级3.1p宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（）1p10102p10102a20，pa10，p11A.a20，B.D.101C.a10，10【答案】A【解析】LpLp40【分析】由，可得出aLpL220结合对数运算可求得的值，由于121、，结合对数函数的单调性可出结论.LpLp30LpLp1021pL1L2a1a2a602040，得a【详解】由题意，2ppLpLp50则，因此，00pLpLp502030p1010p，则，222p10605010，则pLpLp1p.1p110故选：A.4fxsin2x4.函数22sinx的最小正周期为（2）第2页/共27页πππD.2πA.B.C.24【答案】B【解析】2π的形式，利用公式T求函数的最小正周期.yAsinx【分析】把函数化成422fxsin2x【详解】因为22sin2x212xsin2x2x22π4222x2sin2x2.sin2x222π所以，函数的最小正周期为：Tπ.2故选：B2xy10上一点P作圆x22的两条切线5.过直线坐标为（13y24PAPBPAPBP的横）13515AB.C.D.335【答案】D【解析】【分析】令已知圆的圆心C(2,0)，由题设易知四边形为正方形且边长为r2，进而求得直线62xy10夹角余弦值为cosDP(x,2x并设与直线4坐标表示列方程求P的横坐标.【详解】由题设，已知圆的圆心C(2,0)，四边形r2为正方形且边长为，2xy10所以|PC|22，而到直线C的距离d5，如下图，第3页/共27页8562xy10夹角为，则cos令直线又直线与直线，2242xy10过D，令P(x,2x，则PD(x,2xPC(2x,2x，PCPD5x2x26cos|||所以，|PC||PD|222145x(x2)(2xxxx23155x23x.则x2185故选：D6.已知函数f(x)满足：x，yZ，f(xy)f(x)f(y)2xy1成立，且f(1，则f2nnN（）*A.4n6B.8n1C.4n22n1D.8n22n5【答案】C【解析】xy0，令，求出，令，求出，再令f0xy1f1xy1f1【分析】令，求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解.xn,ynN*，可求出fn1,fnnxy0，所以，f0f0f01f01【详解】令，则xy1，则f，2f1f1212f131令所以f1，，所以，f121f121f11xy1f0f1令令，则，fnf12n1fn2n2xn,ynN*，则fn1fn1fn2n2，所以则当n2时，fnfn12n，fnfnfn1fn1fn2f2f1f1则2n4n12n2n2411n2n1，2当n1时，上式也成立，第4页/共27页，fnn所以2n1nN*.f2n4n所以22n1nN*故选：C.x22y221(ab0､F,F,P为双曲线上的一点，I的为△PF1F27.已知双曲线)的左右焦点分别为12ab内心，且222PI，则的离心率为（C）152A.3B.C.3D.2【答案】D【解析】【分析】延长IP到A且||PA|，延长IF到B且||FB|，结合向量的线性关系知I是ABF的1222||FF2||重心，根据重心和内心的性质，进而得到，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离1122心率.【详解】如下图示，延长IP到A且||PA|，延长IF到B且||FB|，222所以22PI，即0，121SS故I是△ABF的重心，即S，111S2S,S2S12,S4S又，2111SS12S，而I是△PF1F||FF2||的内心，则，1122所以2122c|PF||PF2a,|FF2c，则|22a2c4ae2，即.由，故1212a故选：D【点睛】关键点睛：利用向量的线性关系构造重心，结合重心和内心的性质得到第5页/共27页||FF2||，再根据双曲线定义得到双曲线参数的齐次方程.1122x22y228.已知点是双曲线C:的左､Ax,yF,F分别为Cab0)上位于第一象限内的一点，0012ab1右焦点，C2Alx的离心率和实轴长都为，过点的直线交轴于点M,0y，交轴于点，过作直NF1x0线AM的垂线，垂足为H，则下列说法错误的是（）y2A.C的方程为x2131B.点N的坐标为y0C.OH的长度为1，其中O为坐标原点AF1NFD.四边形面积的最小值为432【答案】B【解析】x0y，求得其与轴的交点【分析】对A，根据条件列式计算可得解；对B，求出直线AM的方程，令FH1OH可判断；对可判断；对C，求出直线的方程与直线AM的方程联立解得点H的坐标，并求出3112AF1NF12yAyNFFy利用基本不等式求解判断.D，四边形的面积21202y0a2b2y2e2，解得ab3x21，故A正确；【详解】对于A，因为a，所以其方程为32a200y0130k3x112y0x对于B，x0，所以AM的方程为，000x003x0y轴于点，故B错误；所以令得直线l交y00302x01对于C，直线的方程为x2，与直线AM的方程联立解得FH1yH0,，2012x022200所以1，故C正确；201201第6页/共27页1233AF1NFFFy2y43y3，当且仅当时等号成0对于D，四边形的面积为21200y0y0立，故D正确.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点0出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰n子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出次骰子后，下列结论正确的是（A.第二次扔骰子后，小球位于原点0的概率为）1232B.第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是1C.第一次扔完骰子小球位于1且第五次位于1的概率4D.第五次扔完骰子，小球位于13概率【答案】AD【解析】【分析】计算出小球每次向左向右的概率后，结合概率公式与期望算法逐个计算即可得.112【详解】扔出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为；2对A：若两次运动后，小球位于原点，小球在两次运动之中一定一次向左一次向右，21212C12，故A正确；故其概率为对B，设这个随机变量为X，则X的可能取值为3、1、1、，3PX3PX3PX其中，1PX，故其期望EX3PX33PX3PX1PX第7页/共27页3PX3PX3PX1PX10，故B错误；对C：第一次扔完骰子小球位于1，即第一次向右移动，且第五次位于1，412118则后续中小球向右3次，向左1次，故其概率为故C错误；C342，515pC135对D：第五次扔完骰子，小球位于1，即两次向左，三次向右，故其概率216，515pp12C45小球位于3，则四次向右，一次向左，故其概率232，有，故D正确.2故选：AD.2x2xfxlog110.已知函数，则下列说法正确的是（）3A.函数值域为RfxB.函数是增函数fx1263f3x1f3x0C.不等式,的解集为12023120221ff1f0f1f1212023fff0D.2【答案】ACD【解析】2x2x2x2x,x2,2Bt,At由复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由fxfx0即可求解.2x2x22xx4,x2,2在2上递增，所以【详解】对于A，令t，又因为t1x2ylog1tt，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确；32x2x4x2yt对于B，因为t1在2上递增，在上递减，由复合函数的单调性13第8页/共27页2x2xfxlog1可知，为减函数，故B错误；32x2x2x2x的定义域为2,2xfxlog1flog1对于C，因为，且,332x2x2x2xfxfx2为奇函数，且在上为减函fxfxlog1log110，所以1333数，f3x1f3x0不等式f3x1即，f3xf3x1f3x等价于3x13x1223x1223x2x，故C正确；等价于，解得63f00，所以对于D，因为fxfx0且1202312022121212023ffff1f0f1ff0，故D正确.故选：ACD.1πysin2x11.将函数的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的3yfx的图象，则（个单位长度，得到）ππA.的图象关于直线fxx对称B.的图象关于点对称fx,06ππ6C.的图象关于直线x对称D.的图象关于点对称fxfx,036【答案】BC【解析】【分析】利用给定变换求出函数f(x)的解析式，再逐项分析判断作答.ππ【详解】依题意可得f(x)sinxsin(6x)，183πππ32ππxsin6sin1，则xA，当时，不为对称轴，A错误；6636第9页/共27页πππsin00，则,0为对称中心，B正确；πB，当x时，sin61818318πππ2ππxxsin6sin1，则xC，当D，当时，为对称轴，C正确；3636336ππ4πππsin6sin0，则,0时，不是对称中心，D错误；66336故选：BCABCD中，E为棱112.如图，在棱长为2的正方体BC的中点，F为底面ABCD内的一动点111）A1EC的平面截正方体所得的截面周长为32251A.过点，，A11B.存在点F，使得平面1F//A，则动点F的轨迹长度为211C.若D.当三棱锥平面F1ECF11外接球的表面积为π的体积最大时，三棱锥1【答案】ACD【解析】【分析】取AB的中点G，然后证明截面为DFC1EACEG，求出周长即可判断A；假设存在点F，根据111MN∥平面1即可确1，分别判断点F位置即可得到矛盾，B1定动点F的轨迹，可判断C；由AC判断点F位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间两点距离公式确定球心位置，然后可判断D.【详解】A选项，如图，取AB的中点G，连接GE,G，AC∥ACGE，，1111因为E为BC的中点，所以第10页/共27页A1EC1ACEG的平面截正方体所得的截面为梯形，11所以过点，，其周长为225253225，故A选项正确；A，11B选项，假设存在点F，使得平面DFC则，得F只能在线段BD上，11E，得F只能在线段CD再由上，即F与D重合，不符合题意，故B选项错误；C选项，如图，取AD的中点M，CD的中点N，连接1，MN，ND，可得∥CEMN∥C，，1111又平面A，平面A1E，平面AAC，A平面，11111111111MD1∥平面AMN//，A平面，11所以11MD1M又，所以平面1MN∥平面11，所以动点F的轨迹为线段MN，其长度为2，故C选项正确；AGEC∥1MN，D选项，由A，C选项可得，平面平面11A的距离最大，此时C所以当F在点D时，F到平面为等边三角形，111因为平面FAC，所以三棱锥F11的外接球球心O一定在直线上，1111第11页/共27页以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则由E0)，D(2,0)，设1(x,x,x)，76OEOD2(x2x2(x2)2(x2)2x2x，解得x得，，117276627211所以R216，4114ππF1EC24R所以三棱锥外接球的表面积为，故D选项正确．14故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.A,9aA10aA，则这样的A的个数为________．，13.设非空集合满足【答案】【解析】【分析】利用非空集合子集的个数计算公式可求满足条件的A的个数.【详解】由题设可得，1,9,2,8,3,7,4,6,5这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合A中，故这样的非空集合A的个数为25131，故答案为：3πππ43fxcos(x)0,14.已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是____.231522【答案】【解析】第12页/共27页ππ43ππ,2π,2πkZ，继而解得k【分析】化简函数的解析式，根据题中条件可得，22的值，进一步计算即可.3πfxcos(x)sinx【详解】因为，2ππππ由0且x，知x，4343ππ43因为函数在区间上fx,单调递增,ππ43ππ2,2π,2πkZ,则,其中2π2π,42kZ,所以其中π2π,323解得8k26k，其中kZ,2338k26k,6k0，由22174kkZ得，又，4k0或k1所以，3因为0,所以当k0时,0;215当k1时,6，2315所以实数ω的取值范围是.22315故答案为：.22【点睛】关键点睛：本题的关键点睛是求出右边界的范围，再根据余弦函数的单调性得到不等式组，解出k的范围，再对合理赋值即可.bxc2a00ax2x1x3，则ab2cx15.若关于的不等式__________．的解集为的取值范围是第13页/共27页32,4【答案】【解析】a【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后ab2ca都表示成的形式即可.的解集为x1x，0ax2bxc2a0【详解】因为不等式所以二次函数fxax2bxc的对称轴为直线x1，2abc2f12ab且需满足f32，即9abc2，解得，ca2f1abc0011a所以abca2aa20a，所以，2232ab2ca2a6a445a,4.所以32,4故答案为：.【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.x22y2211ab0的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是F1F，16.已知椭圆C：，M是22abCMF与CN的另一个交点为．若2//AN△ANFa，在第一象限上的一点，直线，且的周长为218MN________．则直线的斜率为155【答案】【解析】##22cosAF1N【分析】由平行关系得出对应线段成比例，结合椭圆定义，表示出长度，利用余弦定理求出，得出结果.x22y22c1211ab0eca，则，【详解】因为椭圆C：的离心率为aba2AN∥MFAFNFFM121又因为，即，2第14页/共27页1aa112ANNFAFac2c12AN,NF则2a，可得，11211221211ANNF112a所以，①227158ANNF2acaNF2a，②又因为又因为，可得8NFNF2a，③127a9aANNF1由①②③知，，161618149a2a2a22342561256在△AF1N中，由余弦定理可得AF1N0，92aa2165可得AF1N为锐角，则sinAF1N，12AF1N3sinAF1N55tanAF1NMN所以，即的斜率为．AF1N225故答案为：.2【点睛】方法点睛：1．椭圆离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某区域市场中智能终端产品的制造全部由甲､乙两公司提供技术支持．据市场调研及预测，商用初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15%转而采用甲第15页/共27页公司技术，采用甲公司技术的产品中有转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采nan和b用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为，不考虑其他因素的影响．n，并求使数列是等比数列的实数．anaan1（1）用表示n（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60%以上？若能，则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由．3335an1a；【答案】（1）；n420（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到60%以上，理由见解析．【解析】1）根据条件得到数列的递推关系，利用数列是等比数列，求的值；anan（2）首先由（1）得数列的通项公式，再求出的范围判断不等式a60%是否有解.nanan【小问1详解】n由题意知，经过次技术更新后，ab1，nn则即，a110%a15%b110%a15%1a75%a15%n1n1nnnnn33aa．n420331an1nan1a设，则，n4441433令又，解得．511214033110%15%,1a1，2254033533an所以当时，是以为首项，为公比的等比数列．4540【小问2详解】n1n1n333333313nN由（1）可知an，则a，．5404n54045104第16页/共27页n313n所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为．5104nn1310431335对于任意nN,0，所以60%，5104即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到60%以上．【点睛】关键点睛：本题的关键是得到数列的递推关系，根据题意有ab1代入nnan110%a15%n消去b得到递推关系.nan1n2b2c2bcsinA18.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a.（1）求角C；（2）求sin2AB的取值范围.2π【答案】（1）317,（2）44【解析】1）利用余弦定理和正弦定理化边为角化简即得三角方程，解之即得；π（2）先用三角降幂公式降次，再通过（1）求得的C进行消元，化简得到余弦型函数，再利用锐角三3角形条件，求得角B的范围，最后利用余弦型函数的值域即得.【小问1详解】bcsinA3a2b2c2因为，b2abCbcsinA，3a2b2a22由余弦定理，整理得：aCcsinA，又由正弦定理，3sinACsinCsinA，而A为三角形内角，故sinA0，π故tanC3，而为锐角三角形内角，故CC3【小问2详解】π由（1）知C，312A12B112π3sin2A2B12B2A12B2B2222第17页/共27页11cos2B4π31333432B12Bsin2B12Bsin2B222243π612B，2π0B2πππ2B因为三角形为锐角三角形，故，解得：，π620B32ππ5π1743π632Bcos2Bsin2AB2则，故，所以.6662241744,.B的取值范围是故sin2A219.品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排na,a,a,…,aXia，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两i序时的序号为，并令123ni1次排序的偏离度的高低为其评分.n3时，若a,a,a（1）当等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；123（2）当n4时，a,a,a,a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算X2的概率；①若123②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有X2何，请说明理由.【答案】（1）答案见解析1（2）①；②答案见解析6【解析】1）计算每种a,a,a排序的值以及对应概率，由此可得的分布列；3XX12PX0,PX2（2）①先计算出的值，然后可求PX2；②先分析续三轮测试中，都有X2的概率，然后根据概率值的大小进行分析即可.【小问1详解】第18页/共27页a,a,a的排序共有3A336种，且每种排序等可能，12此时X可取X00,2,4，16PX0a,a,a的排序为2,3又时，，，12313X2时，a,a,a的排序为1,3,2或3，PX2，12312X4时，a,a,a的排序为2,1或或2，PX4，123所以X的分布列为：X024161312Pa,a,a,aA4424【小问2详解】①的排序共有种，且每种排序等可能，1234nn而当ia0，故中有偶数个奇数，故ia必为偶数，iiai2,3,4iii1i1X0a,a,a,a时，的排序与第一次排序无变化时，12341PX0此时仅有1种排序：2,3,4，则，24当X2时，a,a,a,a1234的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化时，3124、4、4,3PX，3此时有种排序：，2481116PX2PX20PX所以；248②因为各轮测试相互独立，3115所以“连续三轮测试中，都有X2”的概率为，621610001所以是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X2的结果的可能性很小，216所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测.【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量与概率的综合运用，着重考查学生理解问题与分析问题的能力，难度较大.解答第三问的关键在于，能通过独立事件的概率计算公式求解出目标事件的概率并能对概率值的大小进行分析，一般认为小于0.005的概率为小概率.my1和圆C:x2xy0相交于P，Q两点.220.设为实数，直线第19页/共27页2m，求的值；（1）若（2）若点O2为直径的圆外（其中O的取值范围.m在以【答案】（1）m1或m734（2）【解析】1）将圆的方程转化为标准方程，可得圆心与半径，再根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进m而可得的值；OPOQ0（2O在以m的取值范围.【小问1详解】1221将圆C:x2xy20的方程化为标准方程xy2，41212C,0r圆心，半径，22由，122PQ224C,02可知圆心到直线l得距离为r，m122，所以m214解得m1或m7；【小问2详解】第20页/共27页设，，Qx,y22Px,y112xy02x，得m21x2mx102联立，y1342Δ2m14m20，得m由且，2m11xx1xx12，，2m2m211OPOQ0，因为点O在以为直径的圆外，所以xxyyxx111mxxmxx10，12122即1212121212m1即1m2m10，m21m1234m2m，所以的取值范围是解得.21.正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚abcde集的棱的条数都相等，这样的多面体就叫做正多面体.可以验证一共只有五种多面体.令a,b,c,d,e（a合，例如正面体的所有顶点可以与正b面体的某些顶点重合，正b面体的所有顶点可以与正d面体的所有顶点重合，等等.abab（1）当正面体的所有顶点可以与正面体的某些顶点重合时，求正面体的棱与正面体的面所成线面角的最大值；ccc（2）当正面体在棱长为1的正面体内，且正面体的所有顶点均为正面体各面的中心时，求正面bb体某一面所在平面截正b面体所得截面面积；（3）已知正d面体的每个面均为正五边形，正e面体的每个面均为正三角形.考生可在以下2问中选做1问.（第一问答对得2分，第二问满分8分，两题均作答，以第一问结果给分）第21页/共27页第一问：求棱长为1的正e面体的表面积；第二问：求棱长为1的正d面体的体积.【答案】（1）43（2）21575（3）第一问：53；第二问：4【解析】abcde1）根据正面体特点得出、、、、即可求出夹角最大值；（2）得出显然截面为边长为2的正三角形即可求解；（3）第一问：根据正二十面体各面为正三角形即可求解；第二问：图形可以分为得到一个棱长相等的平行六面体和六个相同的立体图形，由此即可求解.【小问1详解】p设正面体每个端点出去的棱数相等为，q每个面的边的数量相等为，端点数量为F，面的数量为V，棱的数量为E，pF2E由于每个棱用两个端点，所以有：，qV2E由于每两个相邻的面共用一条棱，所以有：，4V22q(pq4由VEFF2，解得，22p(pq2E221pqq因为代表多边形的边数，所以q3，p3因为要得到立体图形，必须有，221，所以p6q6，，由题意易得pq第22页/共27页5所以满足条件的只有组解，V4p3q3，F4①②③④⑤，，即正四面体；，即正六面体；E6V6p3q4F8，，E12Vp3q5F，，，即正十二面体；，即正八面体；EV8p4q3，F6，E12V20p5q3，F12，，即正二十面体。E30即a4，b6c8，de20，，，为了满足题意，只需找到正六面体的四个端点，端点距离全部相等，满足题意的仅有一种，如图所示：易得线面角只有0或，所以夹角最大值为；4【小问2详解】A、B、C代表正六面体的中心，D、E、F代表截面三角形，第23页/共27页3(2)423显然截面为边长为2的正三角形，面积S；2【小问3详解】第一问：312正二十面体各面为正三角形，表面积S2053；4第二问：正十二面体各面为正五边形，图形如下：按照图示带箭头的虚线分割，得到一个棱长相等的平行六面体和六个相同的立体图形，如图AC、BC长度为1，且ACB10851，5151由36易知AB，即正六面体边长为，422515122()25，正六面体边长为，则V12沿着顶棱的两个端点，分别作关于顶棱垂直的切面，立体图形可以拆成两个四面体，一个三棱柱，1先算出