2024届新疆乌鲁木齐市六十八中高三上学期1月月考数学试题及答案

乌鲁木齐市第六十八中学高三1月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Ax,yxy10,Bx,yx2y1，则AB21.已知集合A.01011B.C.D.D.，则1iz1（）2.若iz满足2z3A.3B.5C.6712，a1b3.已知向量，，则（）abcA.a//bB.C.abcD.c5ab4.下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ꢀꢀ）f(x)x3B.f(x)x1f(x)log2|x|f(x)log2xD.A.C.22y22bcxab0）的半焦距，则5.已知c是椭圆取最大值时椭圆的离心率是（）aba22231A.B.C.D.233123，则sin6.已知,)，若sin2sin（）2225757533535A.或-B.C.-D.5π3πtanAsinA0，且”的（7.角A是ABC的内角，则“A”是“sinAcosA0）24A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件202120211a2b2c28.在中，已知，则（）tanAtanBtanCA.2021B.2022C.4042D.4043二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.9.下列命题中正确的是（）A.已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8P20.21，则B.若随机变量N2P40.79服从正态分布，C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，则m4m,2.8y0.3xm，若样本中心点为，且，则EX20DX12X~BpD.若随机变量10.（多选题）已知3ab515，则a，b满足下列关系的是（）A.ab(a4B.ab422C.ab4D.2(b216fxx33x1，则（）11.已知函数A.函数有两个极值点fxB.函数有三个零点fx，则是偶函数gxfxgxC.若D.点是函数yfx1的对称中心12.四棱锥的四个侧面都是腰长为7，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（）6A.2B.C.3D.52三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是________．(用分数表示)14.已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是，那么这个正三棱台的体积等于___________.1215.已知关于x的方程2x2范围为___________.,3上有两个不相等的实数根，则实数a的取值ax1在区间12x2x22y21ab0的左、右焦点分别为F1F，过的直线与C的右支交于2F16.已知双曲线C:，2ab2FAFAFFFB2FA，则C的离心率为______.A，B两点，若，122122四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.2,,Aa,2a,Bb,3b17.它们的终边分别与单位圆相交于(1)求；sin3)(2)求的值.18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，1PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD．3（1）求证：PB∥平面AEF；2（2）若，求三棱锥﹣PAD的体积．E412f(x)x2(axax.19.已知函数（1）当a1时，求函数f(x)的单调增区间；11f(x)(axx2xa1exea成立，求正实数的取值范围.（2）若不等式对于任意2e，是的前项和，，是6的等比中项.20.已知公差d0的等差数列anSnanna28S211和S4（1）求的通项公式；an11（2）设数列满足bn，且，求证Tn.bbn的前项和为Tnnnn1n1521.某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年的数据得知，每季由产量为的概率为0.4.亩产量为800kg的概率为0.6，市场销售价格(单位：cp0.3cp元/kg)与其概率的关系满足.p0.7（1）设X表示此果农某季所获得的利润，求X的分布列和数学期望；（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.122.已知函数f(x)lnxaxx．22（1）若f0，求函数f(x)的单调减区间；51f(1)f(x)xx0，证明：xx满足2112（2）若a2，正实数x，x．1222乌鲁木齐市第六十八中学高三1月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Ax,yxy10,Bx,yx2y1，则AB21.已知集合A.10D.101B.C.【答案】A【解析】，B【分析】联立中的方程组成方程组，求出解即可确定出两集合的交集xy10x0x1y1y0，B或【详解】联立集合可得：，解得x2y21AB10则故选A【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．，则1iz12z3（）2.若i是虚数单位，复数z满足A.B.35C.6D.7【答案】B【解析】2z3【分析】先化简复数，再代入，由复数的模长公式即可求出答案.11i1iz【详解】由已知，，22225.2z31i3i2故选：B.12，a1b3.已知向量，，则（）abcA.a//bB.C.abcD.c5ab【答案】B【解析】【分析】根据向量加减法、向量垂直和平行的坐标表示依次验证各个选项即可.，a,b不平行，A错误；2213【详解】对于A，ab111110abc，B正确；abc对于B，，，abc对于C，，C错误；5ab5116c对于D，故选：B.，D错误.4.下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ꢀꢀ）f(x)x3B.f(x)x1f(x)log2|x|f(x)log2xD.A.C.【答案】A【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于B，对于C，f(x)x3，为幂函数，既是奇函数，又是增函数，符合题意；f(x)x1，为一次函数，不是奇函数，不符合题意；f(x)log2|x|，为偶函数，不符合题意；ylog2x对于D，故选A．，为对数函数，不是奇函数，不符合题意；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性，属于基础题．22y22bcxab0）的半焦距，则5.已知c是椭圆取最大值时椭圆的离心率是（）aba22231A.B.C.D.233【答案】C【解析】bcbbcbab2a1()为变量的aaa函数的最值问题，可利用换元法求解.bcbacbac22baa2b2bab1()2，【详解】aaaa2abab01．∴因为abπbcπcos,)2sin2设，则cos1coscos)a2a4bcba2cb2∴当e1()2.，即时，取最大值，此时离心率4aaa22故选：C1236.已知,)，若sin2sin，则sin（）22257575353535A.或-B.C.-D.【答案】B【解析】2325【分析】由正弦的二倍角公式得sinsincos，再根据同角三角函数的关系可得2)1sincos，令sincost，建立方程解之可得选项.21232325【详解】由sin2sin，可得sincossincos，2252)1所以sincos，223t21令sincost，所以t，22573即t2t0，解得t或-又,)，所以(2,3)，所以sin20，5524252723当t时，时，sin2(t)0，符合题意；5325237516当tsin2(t)0，不符合题意，所以t，52525故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查三角函数给值求值问题，注意根据需角的范围取值.π3πAtanAsinA0，且”的（7.角A是ABC的内角，则“”是“sinAcosA0）24A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】CB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】利用三角函数的性质分析即可.0Aπ，【详解】因为角A是的内角，所以π3π22A，根据三角函数的性质可得sinA,A,0tanA,，，当，2422π3πAtanAsinA0”，所以由“”能推出“sinAA0，且24π3π当0Aπ，sinAA0，可得A，此时tanAsinA0也成立，24π3π所以由“sinAA0，且tanAsinA0”能推出“A”．24故选：C．202120211a2b2c28.在中，已知，则（）tanAtanBtanCA.2021B.2022C.4042D.4043【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系将切化弦，再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到sinCC2021，再利用正弦定理将角化边，结合余弦定理计算可得；sinAsinBsinC202120211ABC【详解】解：由得ABCtanAtanBtanCAsinBBsinAsinAsinBsinABsinCC所以202120212021，sinAsinBsinAsinBsinC2021sin2Cc2故C，sinAsinBabaa2b2cc22，即a2b2c2，即故2abab2b24043.c2故选：D.二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.9.下列命题中正确的是（）A.已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8P20.21B.若随机变量N2P40.79，则服从正态分布，C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，则m4m,2.8y0.3xm，若样本中心点为，且，则EX20DX12X~BpD.若随机变量【答案】BC【解析】A的数据由小到大排列后可求该组数据的中位数，从而可判断A的正误，利用正态分布的对称性可判断B的正误，根据样本中心点必在回归直线上可判断C的正误，根据公式可求二项分布的期望和方差，从而可判断D的正误.【详解】对于选项A，5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，所以A不正确；对于选项B，因为随机变量服从正态分布N2，所以正态曲线关于x1对称，P2P410.790.21所以，所以B正确；2.8mm0.7m对于选项C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以即m4，所以C正确；，，且，所以X~BpEX20，即，100pp0.2对于选项D，因为所以DX1000.20.816，所以D不正确．故选：BC．10.（多选题）已知3ab515，则a，b满足下列关系的是（）A.ab(a4B.ab422C.ab4D.2(b216【答案】ABD【解析】【分析】a1515b1513abab，依据基本不等式即可知由已知可得，，有3355ab4b(a2b2，进而可知、a22、的范围.a1515b1513【详解】由题意知：，，3355ab11351，即abab∴，abab11ab2log35abab4，22log354，∵∴log35log35a2b2(ab)22ab(ab)22ab(ab218，(a2b2ab2(ab)2(ab)22221816，故选：ABD【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题.fxx33x1，则（）11.已知函数A.函数有两个极值点fxB.函数有三个零点fx，则是偶函数gxfxgxC.若D.点是函数fx1的对称中心y【答案】ABC【解析】【分析】A选项：求导，分析单调性，即可得到极值点的情况；B选项：根据单调性和零点存在性定理即可得到零点的情况；C选项：根据奇偶性的定义判断即可；D选项：根据对称性的性质和图象的平移即可得到对称中心.【详解】A选项：fx3x233x1x1，当x1或x1时，f(x)>0，当1x1时，fx上单调递减，所以有两个极值点，xfx,上单调递增，1f0，所以故A正确；B选项：结合A中函数单调性，又在，，，所以上存在一个零点，f21030f11，所以上存在一个零点，，所以上存在一个零点，所以函数f110f2302有三个零点，故B正确；fxgx3x2，定义域为，关于原点对称，且3x23gx，所以gx为偶函3gxC选项：R数，故C正确；x33x1x3x12，所以关于对称，根据的单调性fxfx3fxfxD选项：可知，只有一个对称中心，的图象向左平移一个单位得到的图象，所以的fxfxfx1fx1对称中心是1，故D错.故选：ABC.12.四棱锥的四个侧面都是腰长为7，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（）6A.2B.C.3D.52【答案】ACD【解析】【分析】满足要求的四棱锥有三种情形，对三种情况进行讨论求出结果.【详解】满足要求的四棱锥有如下三种情形.（1）如图，四条侧棱长均为7，则四棱锥为正四棱锥，连接、BD交于点E，连接，则OE平面ABCD，是四棱锥的高，11则CE2，CE2，22所以2CE5，2四棱锥的高为5；（2）如图，有两条侧棱长为7，yx，作OE平面ABCD，记AE，是四棱锥的高，x2y72于是，，4x7y2.2且解得x2，y5.四棱锥的高为2；（3）如图，三条侧棱（、、7，2，）长为，一条侧棱27，设AD与由等腰三角形三线合一可得：DE、OEBC,EBCEBEx.交于点.记平面AOD，OE平面AOD，，则平面AOD，BCABCDABCD因为平面，所以平面平面AOD，过O作ABCDAODAD,，因为平面ABCD，OM平面是四棱锥的高，所以OM平面则有24x2，OE27x2，AE7x2.2因为coscos，2ED222EA22于是，.EDEA将前面的结果代入上式，解得x3或22.显然x22，故x3.2，在中，7,AD22AO227由余弦定理得,2AD0D7217sin12，ODsin3，四棱锥的高为3.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是________．(用分数表示)3【答案】##5【解析】【分析】在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，这是排列问题，三位数是奇数，只要个位上的数字是1或3即可，这样可以求出有多少个三位数，最后根据古典概型的概率计算公式求解即可.【详解】在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，A3554360C13A2434336，因此组成的三共可组成个三位数，组在三位数是奇数的共有35位数是奇数的概率是.3故答案为：514.已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是，那么这个正三棱台的体积等于___________.14【答案】【解析】31D面得到CD45，再分别在△ABC与O求得与CO，顺便求1【分析】先由111得两者面积，从而在CD中可求得1D，即三棱台的高，由此利用三棱台的体积公式即可求得结果.ABCABC【详解】记1,O分别是C作1D//OO的中心，过，如图，11111OO1面，所以CD面，1则由正三棱台的结构特征可知CDCC1CD45所成角的平面角，故，所以为侧棱与底面Csin60124CO2△ABCCO3，即1111在中，由正弦定理得3，1113231S223，ABC1114AC48CO43sin6033，即CO，SSABC4243，在中，34222所以在CD中，CDCOCOh，即该三棱台的高为，111331121所以该三棱台的体积为VSSSSh43433313331214373.33143故答案为：..1215.已知关于x的方程2x2范围为___________.,3上有两个不相等的实数根，则实数a的取值12x2ax1在区间52【答案】【解析】【分析】观察方程结构特征，将它进行变形为2x21的(x22axax，然后构造函数ft)2t，确定t1x[,3]函数的单调性，从而将问题转化为当不等式组，求解即可得到答案．时，x21ax有两个不相等的实数根，利用根的分布列出2【详解】解：因为方程2x212xax1，2所以变形为2x21ftt，x2axax，(2令()2tf(xf(ax)，2则有因为ft)2tt在R上单调递增，所以故当f(x2f(ax)即为x21ax，1x[,3]时，x21ax有两个不相等的实数根，21a21„„3„„620240a在x21ax0中，则有11，即，1a…0f(…04229a…0f…05解得2„，252a所以实数的取值范围为．5故答案为：．2【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数单调性的应用、二次函数根的分布问题，解题的关键是将已知的方程变形为2x21(x22axax，进而构造函数分析，对于学生的思维能力有较高的要求．x22y21ab0的左、右焦点分别为F1F，过的直线与C的右支交于2F16.已知双曲线C:，2ab2FAFAFFFB2FA，则C的离心率为______.A，B两点，若，122122523【答案】【解析】##13AFFMBFAFFF2cFMAF【分析】设的定义可得的中点为M，连接，，由题意可得，，由双曲线2111121222c2a2ca24c4aBF14c2a，，，，BFFFBFFF0△1F△BF1F和中利用余弦定理表示22，，在21212121a,c出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.AFFMBF，，11【详解】解：如图：设的中点为M，连接2FAFAFFAFFF2c因为，所以，1221112AFFMAF，12因为M为的中点，所以2AFAF2a22c2a，由，得12122ca所以，22ca2cMFF在△1F中，，2211224c4aBF2aBF4c2a，12因为，所以2222216ca242ca21F22BF14c2在△BF1FcosBFF中，2212FFBF22c4ca1224c212a16ac2，16ccaBFFF因为，2121ca4c212a216acBFFF00，所以，即21212c8acc0，16cca整理可得16a216ac12c20，即5a22所以5acac0或，ac所以5ac所以离心率ec53，a5故答案为：.3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.2,,Aa,2a,Bb,3b17.它们的终边分别与单位圆相交于(1)求；sin3)(2)求的值.37210【答案】(1)【解析】；(2).4tan，tan，再利用两角和的正切公式求)，结合【分析】(1)根据三角函数的定义，求的范围求，(2)根据同角关系求，再根据二倍角公式求sin22，结合，，sin3)(1)由两角和的正弦公式求.Aa,2a,Bb,3b可得：tan3【详解】由(1)tantan1tan1,得0,由234(2)由(1)得tan323101010sincos，103101035sin22sincos2101022103101045cos22sin2103sin3)sin2故422cos2sin22232427210252518.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，1PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD．3（1）求证：PB∥平面AEF；2（2）若，求三棱锥﹣PAD的体积．E43【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】1）以O为原点，x为轴，y轴，为z为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明PB//平面；2（2）求出(0,a)，(3,0,a)，由cosBPA，求出PO1，三棱锥EPAD的体积4EP，由此能求出结果．PABCD60ACBD是边长为的菱形，，与1）证明：四棱锥交于点O，中，底面2ABCD平面，1E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且，3以O为原点，为轴，为xy为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，轴，z31aP(0,a)0)B(3,，C0)D(3,0)E(设，则，，，，,,0)，2223aF(,0,)，33,,0)，(33233a(3,0,a)，()，223n(x,y,z)设平面的法向量，33xy0n()，得，223x3则，取233aaxyz03平面，PBn3030，PB//平面；（2）解：(0,a)，(3,0,a)，||a222cosBPA，，4|PA|||a213a24a0a11，由，解得三棱锥EPAD的体积：1112116123EPADPADESADECD2411．3326【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．1f(x)2x(axax.19.已知函数2（1）当a1时，求函数f(x)的单调增区间；121f(x)(axx2xa1exea成立，求正实数的取值范围.（2）若不等式对于任意e【答案】（12）.【解析】xax11）fx，对a分类讨论以确定函数fx的单调增区间；（2）不等式xx21exa1e对任意xe1,ex,e成立等价于对任意axxfxa1xae1成2立.设gxaxxa即可.a0gxe1，则只要，1）由题意得，函数的定义域为.fxaxx2axaxaxfxa1.xxx或0a1，则当0xax1时，fx0，此时fx单调递增，当ax1时，fx0，若此时单调递减.若a0，则当0x1时，fxfx，此时单调递减；当x1时，即fx0fx0，此时fx单调递增.a0综上所述，当时，函数fx在上单调递增，在上单调递减；当0a1时，函数在上单调递减，在和上单调递增.fxa,1ax21exa1e对任意xe1,ex,e（2）不等式fxa1x成立等价于对任意，有2axxae1成立.设gxaxxaa0gxe1即可.，则只要，axaa.gxaxa1xx令0x1；令gx0，得x1.，得gx01e所以函数在上单调递增.,1是哪个单调递减，在egx1e所以的最大值为aea与geae中的较大者.agxg1e设aea2a(a0)，hagege则haeaea22eea20a，1e所以在上单调递增，所以，所以g.hahah00ge从而geaea.所以aee1，即eaae10.gxaae设aaea0)，则ae上单调递增.a10，a所以在又0.a1，所以eaae10的解为a0a，所以正实数的取值范围为.因为【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.，是的前项和，，是6的等比中项.20.已知公差d0的等差数列anSnanna28S211和S4（1）求的通项公式；an11（2）设数列满足bn，且，求证Tn.bbn的前项和为Tnnnn1n15an2n【答案】（1）2）证明见解析.【解析】a1和da的方程组，解出和d即可求得通项公式；11）根据题意列出关于111bn（2）化简可得，由裂项相消法可求出T，进而求证.n55n25n3S6的等比中项，1S21是a和14aS6S22，即a4a6d62ad2，141111aa+d8，d0，21a3d5，则可解得，1an2n∴；1111bn（2），5n25n355n25n3111153881311111111+=n5n25n3535n31555n3，110n.55n315【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于（3）对于n结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；abnnabnn结构，利用分组求和法；a+bn11111ad（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消nanan1nn1dan1n法求和.21.某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年的数据得知，每季由产量为的概率为0.4.亩产量为800kg的概率为0.6，市场销售价格(单位：cp0.3cp元/kg)与其概率的关系满足.p0.7（1）设X表示此果农某季所获得的利润，求X的分布列和数学期望；（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.【答案】（12）0.2592.【解析】1）根据题意先求出利润X的所有可能取值，再求出对应的概率，列出分布列，得出期望.(2)由（1）得出第i年利润高于100万元的概率，从而可得出5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.【详解】解：(1)设事件A“此水果的亩产量为500”，事件B/“此水果的市场销售价格为”.PA0.4PB0.3由题知，，因为利润=产量×市场销售价格-成本.所以X的所有可能取值为100500205000500000.100503050001000000.1008002050001100000.1900000.100800305