第12讲 用因式分解法求解一元二次方程（解析版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第12讲用因式分解法求解一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2．因式分解法解一元二次方方程的应用；知识点一.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.知识点二.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考点一：用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可；（2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可．【详解】（1）解：①②∴．（2）解：①②∴．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键．【变式1-1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：．【答案】，【分析】采用因式分解法即可求解．【详解】移项得，，提取公因式得，．故或，解得，．【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键．【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：．【答案】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴或，解得．【变式1-3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：，因式分解得，即或，解得，．（2）解：，移项得，因式分解得，即或，解得，．考点二：用十字相乘法求解一元二次方程例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式①竖分二次项与常数项：②交叉相乘，验中项：

③横向写出两因式：（2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解：方程左边因式分解得或试用上述这种十字相乘法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可；（3）利用十字相乘法解方程即可；（4）利用十字相乘法解方程即可．【详解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，；（3）或∴，；（4）或∴，．【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键．【变式2-1】（2024·广东广州·二模）解方程：．【答案】，．【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．【详解】解：，，或，∴，．【变式2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式①竖分二次项与常数项：，②交叉相乘，验中项：③横向写出两因式：（2）若，则或，所以方程可以这样求解：方程左边分解因式得∴或∴，上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，．【变式2-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答：解：①坚分二次项与常数项：．②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：

③横向写出两因式：．我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根据乘法原理：若，则或．试用上述方法和原理解下列方程：①；②；③；④．【答案】①，

②，

③，

④，【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可．【详解】解：①由题知，，，∴原方程可化为，∴或，∴，；②由题知，，，∴原方程可化为，∴或，∴，；③由题知，，，∴原方程可化为，∴或，∴，；④由题知，，，∴原方程可化为，∴或，∴，．【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键．考点三：用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题例3.（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程：解：方程两边因式分解，得，①方程两边同除以，得，②∴原方程的解为．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】（1）根据等式的性质作答即可；（2）先移项，然后用因式分解法求解．【详解】（1）解：∵可能为0，∴不能除以，∴第②步出现了错误故答案为②．（2）解：方程两边因式分解，得，移项，得，∴，∴，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．【变式3-1】（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下：解法一：或或解法二：，，此方程无实数根．(1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．(2)请选择合适的方法求解此方程．【答案】(1)两位同学均错(2)，【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程．（1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断；（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程．【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确．（2），，或，所以，．【变式3-2】（23-24八年级下·浙江·期中）甲、乙两位同学解方程的过程如下框：甲：两边同除以得：则（

）乙：移项得提公因式则或（

）你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．【答案】×；×，见解析【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．根据因式分解法解一元二次方程．【详解】解：根据题意得：甲：两边同除以得：则（×）乙：移项得提公因式则或（×）解：或．【变式3-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下：小涵的解题过程：第1步：两边同时除以得，第2步：移项，得，第3步：解得．小彤的解题过程：第1步：移项，得，第2步：提取公因式，得．第3步：则或，第4步：解得，．(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步；(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．【答案】(1)1，2(2)正确的解法见解析，，．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0)【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．（1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案；（2）利用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：小涵的解法中，因为可能为0，所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步；小彤的解法中，第1步移项没错，第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步；故答案为：1；2；（2）解：正确的解法是：，移项，得，提取公因式，得，则或，解得，注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解．考点四：用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题例4.（2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（

）A．1 B．11和13 C．11或8 D．13【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可．【详解】解方程得或，当时，，不能构成三角形；当时，这个三角形的周长是，故选D．【变式4-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（

）A． B． C．10 D．【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得，再根据勾股定理求得，从而计算出的周长即可．【详解】解：是一元二次方程的根，，即，解得，或（不合题意，舍去）．∴，，在中，，，的周长．故选：A．【变式4-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（）A．或 B． C． D．或【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理，先解方程，勾股定理的逆定理得出第三边为，即可求解．【详解】解：∴解得：由∴，解得：或依题意，这个直角三角形的三边分别为，∴这个直角三角形的周长为，故选：C．【变式4-3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，，则方程的一个根是线段（

）的长度A．或或 B．或 C． D．【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，勾股定理的应用，先求解，再解方程，从而可得答案．【详解】解：∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，解得：，，线段，，的长是方程的一个根；故选A考点五：新定义型用因式分解法解一元二次方程问题例5.（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可．本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键．【详解】∵，，∴，整理，得，解得或，故选C．【变式5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（

）A．都为 B．都为 C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算可得，即为，即，，，则方程的根为或．故选：．【变式5-2】（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可．【详解】解：根据题意可得：，，∵，∴，整理得：，解得：，，故选：B．【变式5-3】（2024·甘肃天水·一模）在正数范围内定义一种运算：，如，若，则的值为（

）A．1 B． C．5或 D．5【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义，得到，解出即可求解．【详解】解：由题意得：，即解得：或，故选：C．考点六：换元法解一元二次方程例6.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(1)方程的解为________．(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．【答案】(1)，(2)，；【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．（1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可；（2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可．【详解】（1）解：设，则原方程变为，解得：，，当时，，解得；当时，，方程无解；故原方程的解为：，，故答案为：，．（2）解：设，则原方程变为，解得：，，当时，，解得：，；当时，，即，，方程无解；故原方程的解为：，．【变式6-1】（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．(1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________．(2)求方程的解．【答案】(1)，；(2)【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键；（1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可．（2）根据，转化为方程，，解方程即可．【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为，解得，故答案为：，；．（2）解：根据题意，得，方程转化为，，故，解得；当时，此时，方程无解，故原方程的解为．【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题：(1)若，则的值为___________；(2)解方程：．【答案】(1)2(2)或或或【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整．（1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可；（2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程．【详解】（1）解：设，原方程为：，即，，，或，，，，故答案为：2；（2）解：设，原方程为：，即，，或，当时，，，或；当时，，，或；综上，或或或．【变式6-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，当时，，，∴；当时，，，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．运用上述方法解答下列问题：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键．（1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值；（2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案．【详解】（1）解：，设，则原方程化为，∴，∴或（舍去），即，∴，；（2）解：，设，则原方程化为，∴，∴或，当时，可有，解得，，当时，可有，∵，∴该方程无解，∴原方程的解为，．一、单选题1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程，选择相对合适的方法是（）A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法【答案】D【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项变形，再提取公因式即可求解．【详解】解：，，，即，∴最合适的方法是因式分解法，故选：D．2．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了因式分解法方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．【详解】∵，∴，解得．故选C．3．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（

）A． B．4 C．25 D．5【答案】A【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质．先求出方程的解，即可得出，，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出即可．【详解】解：解方程得：，．即，，四边形是菱形，，，，由勾股定理得：，故选：A．4．（23-24九年级上·河南南阳·期末）关于方程的描述，下列说法错误的是（

）A．它是一元二次方程 B．解方程时，方程两边先同时除以C．它有两个不相等的实数根 D．用因式分解法解此方程最适宜【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键．【详解】解：、方程整理得为，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解，故该说法错误，符合题意；、由得：，故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；故选：．5．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（

）A．或 B．或7 C．或7 D．或【答案】B【分析】本题考查新定义运算解方程，理解新运算，根据新定义的运算，分两种情况：①；②，解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：由题意得：分两种情况：①，，即，，解得：，当时，，即，符合题意；当时，，即，不符合题意；；②，，即，，解得：，当时，，即，不符合题意；当时，，即，符合题意；；综上，的值是或7，故选：B．二、填空题6．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是．【答案】，【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【详解】解：移项，得，提公因式得，，或，，．故答案为：，．7．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为．【答案】16【分析】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．【详解】解：∵，∴，则或，解得，①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，所以该等腰三角形的周长为，故答案为：16．8．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解．【详解】解：∵方程有一个解为，∴∴即∴解得：故答案为：．9．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知，则的值等于．【答案】4【分析】本题考查解一元二次方程，首先把当作一个整体，设，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即的值．此题注意把看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍．【详解】解：设，∴，∴，即，∴或，∵的值一定是非负数，∴．故答案为：410．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）方程(选填“是”或“不是”)“倍根方程”．（2）若是“倍根方程”，则【答案】是或【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义：（1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；（2）先解方程得到，再根据“倍根方程”的定义求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，解得，∴，∴方程是“倍根方程”．故答案为：是；（2）解方程得，∵是“倍根方程”，∴或，故答案为：或．三、解答题11．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）运用因式分解法解方程即可；（2）运用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：或；（2）解：或．12．（23-24八年级下·浙江