第七章随机变量及其分布章末综合达标卷新高一数学宝典（人教A版选修第二册）

第七章随机变量及其分布章末综合达标卷班级___姓名________组号_____单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知，，则（

）A．0.75 B．0.5 C．0.45 D．0.25【答案】A【分析】根据条件概率公式，结合已知，即可得出答案.【详解】根据条件概率公式可得，.故选：A.2．设随机变量．若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.【详解】∵随机变量服从标准正态分布，∴正态曲线关于直线对称．∵，，∴．故选：D．3．已知随机变量，则（

）A．15 B．20 C．5 D．10【答案】D【分析】根据题意，利用二项分布的方差的计算公式以及方差的性质，即可求解.【详解】由随机变量，可得，则.故选：D.4．已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正态分布的性质可得，即可根据二项分布的期望公式求解.【详解】由以及可得，由于，故，，故选：D5．某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全概率公式计算可得；【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用莲花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件，依题意可得，，，，，，所以.故选：C6．某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得，又，则，利用二项分布的概率公式计算可得.【详解】依题意，因为个投保人中，活过岁的人数为，所以没活过岁的人数为，因此，即，所以.故选：A7．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：①，；②，；③，；根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为故选：C8．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知可取，然后利用超几何分布公式求出相应的概率，从而求解出期望.【详解】由题意知，则，，．所以．故A正确.故选：A.多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）9．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（

）A． B．C．互斥 D．【答案】BCD【分析】利用条件概率和全概率公式可求答案.【详解】由题意，，所以，A不正确；从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱有5个白球和2个黑球，所以，B正确；由互斥事件的概念可知，互斥，C正确；，D正确.故选：BCD10．下列命题中，正确的命题是（

）A．已知随机变量服从二项分布，若，则B．某人在10次射击中，击中目标的次数为，当时概率最大C．设随机变量服从正态分布，若，则D．已知，则【答案】BCD【分析】A选项，由二项分布的期望和方差公式，列方程组求解；B选项，由二项分布的概率公式求解；C选项，由正态分布的对称性求解；D选项，由全概率公式求解.【详解】随机变量服从二项分布，若，则，解得，即，A选项错误；，则，设当时概率最大，则有,即，解得，由，所以当时概率最大，B选项正确；随机变量服从正态分布，正态密度曲线的对称轴为，有，若，则，C选项正确；已知，则，由全概率公式，，即，解得，D选项正确.故选：BCD.11．坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确的是（

）参考数据：，A．配重的平均数为B．C．D．1000个使用该器材的人中，配重超过的有135人【答案】BC【分析】根据配重（单位：）符合的正态分布易得配重的平均数为，；利用正态分布图的对称性特征易求得和，计算即可判断B,D两项.【详解】对于A项，由配重（单位：）符合正态分布可知，配重的平均数为，故A项错误；对于B项，由配重（单位：）符合正态分布可知，故,故B项正确；对于C项，显然正确；对于D项，因,故1000个使用该器材的人中，配重超过的约有人，故D项错误.故选：BC.填空题（每小题3分，共计15分）12．箱子中装有6个大小相同的小球，其中4个红球、2个白球，从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，2个球都是红球的概率为.【答案】【分析】记事件A：随机抽到2个球中有红球，记事件B：随机抽到的个球都是红球，利用条件概率公式可求得的值.【详解】记事件A：随机抽到2个球中有红球，记事件B：随机抽到的个球都是红球，，所以，故答案为：13．某大学生将参加知识竞赛，答题环节有6道题目，每答对一道题得3分，答错一题扣1分，已知该学生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互独立，表示该生得分，则．【答案】10【分析】根据题意可知该生答对问题的个数服从二项分布，利用二项分布求得，再由与的关系求得即可.【详解】依题意，设表示该生答对问题的个数，则服从二项分布，即，所以，又因为，所以.故答案为：10.14．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为.（若，则，，）【答案】【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果.【详解】技术改造前，易知，则其优品率为；技术改造后，其中，则其优品率为；所以优品率之差为.故答案为：四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共77分）15．掷两次质地均匀的骰子(1)若其中有一次点数是偶数，则在此情况下另一次也是偶数的概率.(2)设事件第一次的点数为4，事件两次点数和为6，事件两次点数和为7，判断事件和事件是否独立，事件和事件是否独立？【详解】（1）每一次点数是偶数或奇数的概率都是，若其中有一次点数是偶数，则在此情况下另一次也是偶数的概率是，其中代表两次都是偶数的概率，代表至少有一次是偶数的概率.（2）第一次的点数可能为：1，2，3，4，5，6，所以对于事件而言，它发生的概率为，记两枚骰子的点数组成的有序数组为，则共有种可能，其中两次点数和为6的有：，共有5种可能，其中两次点数和为7的有：，共有6种可能，所以，事件和事件同时发生对应的有序数组为：，共有1种可能，事件和事件同时发生对应的有序数组为：，共有1种可能，所以，而，所以事件和事件不独立，事件和事件独立.16．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等．(1)求小张在三类中各选1个项目的概率；(2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列．【详解】（1）记事件M为“在三类中各选1个项目”，则，所以小张在三类中各选1个项目的概率为．（2）由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9，则，，，，，．所以X的分布列为X456789P17．会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；(2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望．【详解】（1）记事件：会员为男会员，：会员为女会员，事件：对服务质量满意，则由题可知，，，，所以；（2）由题设及（1）知：服从分布，，，0123所以：.18．某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.(1)若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；(2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；(3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由.【详解】（1）由频率分布直方图估计消费额不少于800元的客户人数约为，即约有405人；（2）由频率分布直方图抽取的6人中，有4人消费金额在区间上，有2人不少于1000元，因此再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率为；（3）按方案1，小王实付款；按方案2，小王抽奖3次，中1次奖的概率为，中2次奖的概率为，中3次奖的概率为，一次都不中的概率为，因此本次购物小王付款的期望值为，又，因此选取方案2较合适．19．某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布．(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在