效率寒假高三数学（详解）答案

高三数学

参考答案与解析

第1天集合、常用逻辑用语

一、单选题

1.D解析：因为A={x[—2<xW2},B={x|—lWx<3},所以4口8=(-2,3).故选D.

2.C解析：因为A={x|『一3x—10W0}={x|-2WxW5},所以4nB={1,2,4}.故选C.

3.B解析：由(l-x)(x+2)>0得一2a<1,故4。8={-1,0},其子集个数为2?=4.故选B.

4.A解析：因为ACB={1},所以1GA,又dWt?,所以“WO且aWl,所以层=],所以。=—1(。=1已舍),

此时满足ACB={1}.故选A.

5.A解析：由U=R及B={x|x>2}可得CuB={*W2},所以An((uB)="|l<rW2},故选A.

6.A解析：表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，可能只是普通感冒等；而新型冠状

病毒感染者早期症状表现为发热、干咳、浑身乏力等外部表征，因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“该

人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件.故选A.

7.A解析：因为lg(M>)>0,所以必>1,">0,h>0,显然“，〃中至少有一个大于1,如果都小于或等于1,根

据不等式的性质可知：乘积也小于或等于1,与乘积大于1不符.由Ig(a+6)>0,可得。+比>1,a,匕与1的关系不

2

确定，显然由“lg(aZ>)>0”可以推出lg(a+〃)>0,但是由lg(a+6)>0推不出lg(M)>0,可以举特例：如a=6=不符合

a+h>l,但是不符合而>1,因此“取")>0"是"lg(a+6)>0”的充分不必要条件，故选A.

8.B解析：设甲为正方体，其棱长为2,体积为8,乙为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8,显然甲、

乙在等高处的截面面积不相等，p不能推出q；若甲、乙的体积不相等，则甲、乙在等高处的截面积不恒相等，q

能推出p,所以p是q的必要不充分条件.故选B.

二、多选题

9.AC解析：由题意可知：原命题为特称命题且为假命题.选项A,原命题为特称命题，

所以原命题为假命题，所以选项A满足条件.选项B,原命题是全称命题，所以选项B不满足条件.选项C,原命

题为特称命题，在方程/+2%+2=0中，1=4-4X2<0,所以方程无实数根，所以原命题为假命题，所以选项C

满足条件.选项D,当x=-1时，命题成立，所以原命题为真命题，所以选项D不满足条件.故选AC.

10.AB解析：A-{x|sin2x=1}={x[x=E+£,kGz}=[很=.:'，%ez[,B={y|y=£+祭卜

2^71-I-7T

—，zezj,显然集合“廿=4&兀+兀，&ez}±{x|x=2E+7t,后ez},所以AUB，则AUB=B成立，所以

选项A正确.成立，所以选项B正确，选项D不正确.AQB=A,所以选项C不正确.故选AB.

11.BD解析:关于x的不等式/-2"+”>0对任意R恒成立,贝必=4层一4〃<0,解得0<a<l.A选项,

是“关于x的不等式f-2"+”>0对任意xeR恒成立”的充要条件；B选项，“OWaWl”是“关于x的不等式

*一2仪+〃>0对任意x£R恒成立”的必要不充分条件；C选项，是“关于x的不等式^-2ax+a>0对

任意xCR恒成立”的充分不必要条件；D选项，是“关于x的不等式『一2G+g)对任意xCR恒成立”

必要不充分条件.故选BD.

12.AB解析：，a<2,可能取一3,1.故选AB.

三、填空题

13.-1或-2解析：由lr+5x<0,解得一1a<0,由xGZ,得知={-2,-1},又％={0,a},且MCNH0,

所以“=-1或“=—2,故答案为一1或一2.

14.乙解析：四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，

甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则

甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话，可知犯罪的是乙.

15.5解析：若①正确,②③错误，则c=0,。=1,a=2,矛盾，不成立；若②正确，①③错误，则。=2,c

=0,a=1,矛盾，不成立；若③正确，①②错误，则a=2,c=1,b=0,成立，a+2b+3c=5.综上所述：a-\-2b

+3c=5.故答案为5.

―m2—1,

16.14解析：由(加>0)得一加WxW加，p是q的充分条件今J.台0〈机W1,・•.〃？的最大值为

今加24,,••根的最小值为4.

四、解答题

17.解析：(1)当〃2=5时，一=同44<6},8={川一14/5},：.AC\B={x\4^x^5].

(2)VAUB=B,：.AQB.

①A=0,令/<0,无解.

②AW0,A={x|m—11},

tn—12—11

・•[.)・・・0WZ4.

m+1W5,

18.解析：(1)当。=1时，4={4^-4工+3<0}="|1令<3},集合3={M2WxW3},所以AG8={x|2Wx<3},A

U3={x|laW3}.

(2)因为。>0,所以4={川〃4<3〃},8={尤|2<尤W3},因为是“xGB”的必要不充分条件，所以84,

a<2,

所以cC解得ko<2.

[3*3,

Q

19.解析：(1)若A是空集，则方程以2—3x+2=0无解，此时。WO,/=9—8a<0,即。>d.

(2)若A中只有一个元素，则方程以2—31+2=0有且只有一个实数根.

当。=0时，方程为一元一次方程，满足条件.

9

当〃时，需解得〃='

W04=9—84=0,O

综上，若a=0,则有A=身；若.=5，则有A=《}.

(3)若A中至多有一个元素，则A为空集或有且只有一个元素.

9

由⑴和⑵得，满足条件的a的取值范围是。=0或

O

20.解析：⑴由题设知本l)min》g(X2)max.

：於)在［-1,0］上递减，在(0,3)上递增，.•.於l)min=A0)=0.

又；g(x)在。2］上递减，.♦.g(X2)max=g(0)=1—九

...021一机，.•.机的取值范围为［1,+°°).

(2)由题设知y(X|)max》g(X2)max，二有13)》g(0),即921一小二切的取值范围为［-8,+~).

第2天函数及其综合问题

一、单选题

1.B解析：函数氏^=/+3彳的定义域为R,/(-x)=(-x)3+3><(-x)=-x3-3x=—/(x),函数y=/(x)为奇函

数，则人。)=一1一〃)=—2.故选：B.

2.C解析：当x>0时，式》)=1一2=\-x<0,所以/(-x)=2r-l,于是述一x)=-/(x)；当x<0时，式x)=2*

—1,—x>0,所以八一1)=1-2”,于是负一幻=一/(x).又人0)=0,故函数段)是奇函数.因为当x>0时，於)=1一2

r单调递增，当x<0时，1》)=2，-1也单调递增，所以火x)单调递增.故选C.

3.D解析：•."(X)为奇函数，.\A-x)=-«r).•./1)=一1,(一1)=一八1)=1.故由一lWy(x-2)Wl,得式l)W/(x

一2)W式一1).又4x)在(-8,+8)上单调递减，.•.一iWx-2Wl,；.1WXW3.故选D.

4.D解析：因为实数x,y满足所以x>y.根据函数的对称性和单调性，可知f,y2的大

小不确定，故选项A,B中的不等式不恒成立；根据正弦函数的单调性，可知选项C中的不等式也不恒成立；由于

函数外)=V在R上单调递增，所以2>y3,所以选项D中的不等式恒成立.故选D.

flog2(x+1),X20,flOg2(x+2),X2一1,

5.B解析：由题意，y(x)=，,——所以火x+l)=1I------------

［yPx,x<0,I，一(x+1),x<-］.

①当x》一I时，/+1)<2,即log2(x+2)<2,解得x<2,所以一lWx<2；

②当x<—1时，y(x+l)<2,即，一(x+1)<2,解得工>一5,所以一

综上，於+1)<2时》的取值范围为(一5,2).故选B.

6.C解析：因为y(x+2)的图象是由7(x)的图象向左平移2个单位长度得到的，而兀c+2)的图象关于y轴对称，

所以<x)的图象关于直线x=2对称.由火x)在(2,+8)上单调递减,可得人的在(-8,2)上单调递增,故川11曾一/(1)<0,

即/(Inx)勺(1),亦即|lnx—2|>|2-1|=1,所以Inx<l或Inx>3,解得0<v<e或x〉/,故选C.

7.B解析：因为1x)=A7p(),所以A不正确；函数於)=值三而不是偶函数，图象不关于y轴对称，所以C

|e11|vi|

不正确；当x>0时，<x)=3、>0,当x趋近于正无穷时，/和e*-l都趋近于正无穷，但是)，=e'-l增大的速度

大于y=*增大的速度，所以人》)=为趋近于0,故D不正确.故选B.

8.B解析：因为函数./(x)满足y(x)=/(—x),且在R上是连续函数，所以函数./(X)是偶函数，不妨令g(x)=x：/(x),

则g(x)是奇函数，且在R上是连续函数，贝Ijg'(x)=J［x)+x-f'(x),因为当xC(—8,0)时，(x)<0成立，

所以g(x)在xG(—8,0)上单调递减，又因为g(x)在R上是连续函数，且是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，则

a=g(2°$),b=g(ln2),c=g(log2：),因为2°6>1,0<in2<1,k>g2==—3<0,所以logz/cOVn2<1<2叫所以c>b>a,

故选B.

二、多选题

9.ABC解析：由/(x)=2'-log1x=2r+k>gM，可知函数/W在区间(0,+8)上单调递增.因为实数a,6,c(a>b>c>0)

满足火G/(位Ac)<0,所以人〃)，人力，犬。)可能都小于0或有1个小于0,2个大于0,如图.故A,B,C可能成立，D

不可能成立.

10.ABD解析：对于A,_/U)=5,当定义域分别为(一1,0)与(0,1)时，值域均为(1,+8),所以段)=%可被用

来构造同族函数，所以A符合；对于B,_/(x)=|x|,当定义域分别为［—1,0］与［0,1］时，值域均为［0,1］,所以火x)=|x|

为同族函数，所以B符合；对于C,贝x)=：的定义域为(-8,0)U(0,+8),函数图象在第一象限内单调递减，在

第三象限内单调递减，不满足定义域不同时，值域相同，所以C符合；对于D,/(x)=x+；的定义域为(一8,o)U

「「

(0,+8),当定义域分别为仁1，1与［1,2］时，值域均为［2,成51，所以D符合；故选ABD.

11.ABD解析：A.由函数的图象可知函数丁=58成幻是奇函数，所以该选项正确；B.因为Q1,所以lnx>0,

所以对任意的x>l,sgn(lnx)=L所以该选项正确;C.当％>0时，sgn(—x)=—1,因为此时e*>L所以y=e"sgn(一

x)的值域为(-8,—1)；当x=0时，sgn(—x)=0,因为此时e“=l,所以y=e<sgn(一尤)的值域为｛0｝；当x<0时，

sgn(—x)=l,因为此时0<e*vl,所以y=e£sgn(—x)的值域为(0,1),所以函数y=e"sgn(—x)的值域为(一8,一i)u［0』),

所以该选项错误;D.当x>0时，*sgn(x)=»1=x=|x|；当x=0时，玉sgna)=0・l=0=|x|；当x<0时，》sgn(x)=»(一

\)=-x=\x\,所以对任意的xWR,|x|=xsgn(x),所以该选项正确.故选ABD.

-3-2-I~_2-

12.BCD解析：因为«x)+A—x)=O,即人一x)=一4r),所以函数为奇函数，故A选项错误；因为y(x+6)=

一而x)=—/u),所以yu+6)=y(—x),所以函数图象的对称轴为x=W=3,故c选项正确；因为/u+

6)=一式工)，所以/U+12)=-/U+6)=yU),即yu+12)=/a)，所以40的最小正周期是12,故D选项正确；因为

Vxi，X2^［—3,0］,当时.，都有刈/(沏)+也/1应)4伏必)+工水>1)，HP(X］—X2)-(fix］)—/(X2))<O,所以—3,0］时，

/(工)为减函数.因为函数为奇函数，所以xe［0,3］时，/(X)为减函数，又因为函数40的图象关于x=3对称，所以工

£［3,6］时，/U)为增函数.因为加0的最小正周期是12,所以9,—6］的单调性与x£［3,6］的单调性相同.故x

e［-9,—6］时，«r)单调递增，故B选项正确.故选BCD.

三、填空题

13.-2解析：因为幕函数y(x)=K的图象过点(2,；),所以1=2。，即2一三2。，解得a=-2,故答案为一2.

14.-1解析：由于定义在R上的奇函数y=/(x)满足人x+4)=/(x),则该函数是周期为4的周期函数，且负1)

=1，则式8)=火0)=0，47)=八-1)=-/(1)=-1,16)=加-2)=/(2)，又|-2)=一<2)，.•.12)=0,则火6)=0,因

止匕，犬6)+,穴7)+18)=—1.故答案为一1.

15.(—8,1JU［2,+8)解析：•.•函数)，=/-2ar—3在区间［1,2］上具有单调性，函数)=/一2如一3图象

的对称轴为X=d或故〃的取值范围为{a|aW1或422}.故答案为(-8,+°°).

ex,xW0,

16.0(-8,-e)解析：因为段)=।'，欢0))=川)=0.・・,函数g(x)=/U)一"存在3个零点，J

Inx,x>0,

方程y(x)=也存在3个根，即丫=丘与、=人工)的图象存在3个交点，设丁="与#幻=屋也<0)相切于点(沏，e—xo)，

e—xo—0

则k=_「——f(xo)=-e—x()f解得无o=-1,:・k=-e.如图,

%0v

由图可知，当k<-e时，)，=日与尸=兀0的图象存在3个交点，故答案为0；(—8,-e).

四、解答题

17.解析：⑴当a=l时，fix)=2-4x~2x~1=2(2')2-2'-1,令f=2',xG[—3,0],则道1,1,故丫=25一f

一i=2(r—9一y1,故值域为一W,0.

(2)关于x的方程2a(2*)2—2*—1=0有解，等价于方程2加一*—1=0在(0,+8)上有解.记g(x)=2加一x—

1.当a=0时，X=—1<0,不成立；当a<0时，图象开口向下，对称轴x=*<0,过点(0,—1),不成立；当a>0时，

图象开口向上，对称轴x=*>0,过点(0,-1),必有一个根为正，所以a>0.

—1—I—b—2"r+1

18.解析：⑴因为式x)是R上的奇函数，所以及))=0,即〃=0,解得四=1.从而有形)=”1*.又由川)

，I14，IC<-

—2+]2—2'+1

=一代—1)知4+.=-]+〃'解得。=2.经检验，当/x)=2刀+1+2时，犬—")=一加0，病足题意.

—2'+]11

(2)由(1)知式x)=।°=—卜+至上，由上式易知式x)在R上为减函数，又因为#x)是奇函数，所以不等式式产

乙I乙乙乙I1

一2。+八2户一人)<0等价于_/(产一2。<一式2产一%)=/(—2於+&).所以於一ZA-ZA+h即对一切fGR,有Bp-Zf-QO

成立，从而/=4+12k<0,解得A<一

19.解析：⑴：/)为R上的奇函数，.•30)=0,；.〃=1.又大-1)=一火1),••.4=1.经检验，a=l,6=1符

合题意.

1—2x11-2也(1—2XI)(2X2—1)—(1-2X2)(2XL1)

(2)证明：任取Xl，X2£R，且Xl<¥2»则/(X1)—/(X2)=2—\

X]2x2—1(2xi—1)(2x2—1)

(2乃:；)(2心;1)二”|42,・・・2如一功<0,又・・・(2汨+1)(2无2+1)>0，・；/UI)一於2)>0，，./(幻为R上的减函数.

(3)VreR,不等式式/2—2。+大2/2—%)<0恒成立，・・・犬尸一2「)<一共2尸一江・・・加:)为奇函数，・・小尸一2。勺出一2户),

为减函数，•\t2—2t>k—2t1,即左<3尸一2r恒成立，而3»—2r=3(L；>一;2一；，

20.解析：(l)7(x)=—(x—/，2一彳，则最大值为一"?+彳=0,即〃?2—4m=0,解得巾=0或m=4.

(2)函数於)图象的对称轴是尤=?，要使於)在［-1,0］上单调递减，应满足3W—1,解得机W—2.

人2)=3,

(3)①当匆2,即mW4时，段)在［2,3］上递减，若存在实数%使府)在［2,刃上的值域是［2,3］,则，

犬3)=2,

［—4+2m—m=3伏2)=2,［—4+2m—m=2,

即八「一f此时无解.②当今23,即加26时，段)在［2,3］上递增，则八一即八「一

〔一9+3加一〃7=2,，|y(3)=3,［-9+3〃?一m=3,

解得切=6.③当2<f<3,即4。<6时，益)在［2,3］上先递增，再递减，所以外)在尸勺处取得最大值，则煨)=一

啰2+神号一根=3,解得旭=-2或机=6,舍去.综上，存在实数m=6,使得於)在［2,3］上的值域恰好是⑵3］.

第3天导数

一、单选题

1—InY

1.D解析：令y'=丁二<0,0；.x>e,.•.单调递减区间是(e,+8),故选D.

2.C解析：y'=cosx+e',当x=0时，y'=2,即切线的斜率为2,通过选项可看出C符合题意.故选C.

3.D解析：因为兀0=丁+江+3%—9,所以/(x)=3f+2“x+3,又函数人苫)=^+加+3工-9在x=-3时

取得极值，所以/(—3)=27—6a+3=0,解得a=5.故选D.

4.A解析：因为曲线>=炉+办+1过点(2,3),所以3=23+2a+l,所以“=-3,所以y=j?—3x+1,所以y'

=3『一3,所以曲线在点(2,3)处的切线斜率％=3X22-3=9,因此，曲线在点(2,3)处的切线方程为丫-3=9。-2),

即y=9x—15,所以/?=-15,故选A.

r1

|Ya=一,i

5.C解析：设切点为(xo，也次)，・••切线方程是y一吊刈=二。-xo)今y=1+Inxo—1,.Ixo

X。入0

Jnxo-1=0

故选C.

6.A解析：力(x)=cosx—sinx,力(x)=—sinx—cosx,—cosx+sinx,^(x)=sinx+cosx,依次类推，可

得以X)=%+4(X)：.f202(g)=府)=应

7.B解析：/(©nSf+a.由题得3小+〃》0,则a》一3/，%€(1,+8),；.a2一3.故选B.

8.C解析：从，(x)的图象可以看出，当xd(—8,0)时，/。)>0,*x)在(-8,0)上为增函数：当xG(0,2)

时，/(x)<0,人尤)在(0,2)上为减函数；当xG(2,+8)时，f(x)>o,y(x)在(2,+8)上为增函数，符合的图象是

C.故选C.

二、多选题

9.BC解析：由图象得》<一3时，f(x)<0,、>一3时，/(x)N0,故兀0在(-8,—3)上单调递减，在(-3,

+8)上单调递增，故x=-3是函数火x)的极小值点.对选项D：显然/(0)>(),故D错误.故选BC.

322

10.BC解析：设g(x)=A-6x+9x,则g'(X)=3X-12X+9=3(X-1)(X-3),故XG(-8,1)时，g'(x)>o,

函数单调递增，xG(l,3)时，g'(x)<0,函数单调递减，xG(3,+8)时，g，(》)>0,函数单调递增，取g(x)=V-6/

+9x=abc,画出函数图象,如图所示.根据图象知，贝0)<0,川)>0,冒3)<0,故人0加1)<0,40/3)>0.故选BC.

11.CD解析：设g(x)=5f^，贝Ug'(x)=’'°)©M拶④smx,因为xe(0，号时，cos"(x)+sin犹x)<0,

Wo人WoA\々/

所以XG(O,5时，g'(x)J'(x>c黑邙x>sin』,因此g(x)在(o,另上单调递减，所以g(1)>g©，g朋g。，

即袈引婚局,军名呵豺砥故选CD.

2222

12.BC解析：当x<0时，火x)=xe'V0,此时函数无零点；当x20时，式x)=3*—9,函数的零点为2,所以a

=2.当x<0时，，。)=廿+m、=6'(》+1),由/(x)<0得》<一1,由/(x)>0,得一l<x<0,所以函数在x=-l处取

得极小值，极小值点为一1,极小值为式一l)=-er：当x20时，段)=3，-9为递增函数，此时/U)无极值，也无

最大值，所以乃=T,所以a+£=2+(-l)=l.故选BC.

三、填空题

1x—1

13.1解析：；段)=*一|11尤，.•/(x)=l-1=丁，当xC［l,e］时，/'(x)》0,.*.函数y=/(x)在区间［1,e］

上单调递增，.\/(x)min=/U)=l—In1=1.故答案为1.

14.2x—y—\=0解析：因为段)=/—Inx,所以/'(x)=3fT，又41)=1,f(1)=2,所以切线方程为y—

1=2(x—1),即2x—y—1=0.故答案为2x—y—1=0.

ZTxf'(x}—fix)

15.(2020,2022)解析:令/i(x)=f,xG(0,+8),则》(》)=：/,因为;(x)—_/(x)<0,所以〃(x)<0,

所以函数/z(x)在(0,+8)上为单调递减函数，由2/(,„-2020)>(^-20201/(2),得m-2020>0,即m>2020,所以

""一:胃‘辱~，即〃(机一2020)>〃(2),所以，"一2020<2,解得，〃<2022.综上可得，实数，"的取值范围为(2020,2

m—ZUZU乙

022).故答案为(2020,2022).

2

16.e(―°°,1］解析：当〃=0时，於尸%2/—21nx,二，(jOnZxef+Zr/ex2一,当工>1时，f(x)>0恒成

立，・・JU)在［1,2］上单调递增.・・J(x)在［1,2］上的最小值为负1)=已当£>0时，令gQ)=eX-x—l,则g'(x)=e'—l>g'(0)

=0,・・・ga)在(0,+8)上递增，g(x)>g(o)=o,/.ex>x+1,••fix)=x2ex2—21nx~ax1=e2\nx+x2—21nx~ax2^2\nx

+£+1—21nx一混=(1—a)f+121恒成立，...aWL故答案为e；(—8,i］.

四、解答题

17.解析：(1)令/(行=3/—6冗一9>0,解得xv—l或x>3；令/(力=3/一6兄一9<0,解得一1a<3.故函数段)

的单调增区间为(一8,-1),(3,+8),单调减区间为(一1,3).(2)由(1)知/㈤在［—2,—1］上单调递增，在［—1,3］

上单调递减，在［3,4］上单调递增，又五一2)=-1,x3)=—26,13)勺(一2),.\/U)min=-26,・・VU)—2a+l20对任

意xW［—2,4］恒成立，.•・«X)min32Q—1,即2。一26,...。〈一

,ccf工=1?一弓〃+6=0，a=F，

18.解析：⑴於)=尸+加+加:+0,/(工)=3/+20¥+。.由八'，93解得，2所

f(l)=3+2〃+b=0,[b=~2.

以/(x)=3f—x—2=(3x+2)(x—1)，函数7U)的单调区间如下表：

(2)2

一oo.——(1,+8)

XI'V~31

fU)+0一0+

fM极大值极小值

所以函数於)的递增区间是(一8,一穹和(1,+8),递减区间是(一多1)

(2)因为危)=V—%—2X+C,XGL1，2］，根据(1)中函数段)的单调性，得益)在(一1,一目上递增，在(一多1)

上递减，在(1,2)上递增，所以当尸一新，於)=劣+。为极大值，而负2)=2+c号+c,所以Q)=2+c为最大值.要

使危)V/对xe［—l,2］恒成立，只需c2刁(2)=2+c,解得。<一1或c>2.

19.解析：(1)式x)的定义域为(0,+8).-：f(.=("一号—吗«<0,.•.当xG(0,l)时，f(x)<0；当xd(l,

+8)时，/(x)>0....函数兀v)在(0,1)上单调递减；在(1,+8)上单调递增.

(2)当a=-1时，y(x)+(/w—/?一：｝*—x=b(x—l)e*—Inx.由题意，b(x—l)e*—lnx20在［1,+8)上恒成立.①

若bWO,当％21时,显然有仇1)廿一InxWO恒成立，不符题意.②若比>0,记/z(%)=b(x—l)e“一Inx,则今(x)

=Z?xe，-g显然I(x)在［1,+8)上单调递增，⑴当b灵,时，/?'(1)=加一l20".xG［l,+8)

时，/7(X)〉//(l)=0.

(ii)当0<4，I(1)=加一1c0,h'(§=,一》“一1>0.；.存在必>1,使"'(x)=0.当xd(l,向)时，h'(x)<0,

xW(xo，+8)时，〃(x)>O:./z(x)在(1,xo)上单调递减；在(xo，+8)上单调递增..•.当xd(l,冽)时，/?(x)</?(l)=0,

不符合题意.综上所述，力的取值范围是弓，+8)

fVJ

20.解析：(1)因为人r)在x=0处的切线垂直于y轴，所以/(0)=0.因为/(x)=cosx一3不，所以，(0)=1

一机=0,则加=1.

(2)由题意可得/(x)=cosx———万，注意到了'(0)=0,xW[0,1],则/"(x)=-sinx+(则/x)=-cos

人।i(人।i)

21

•因此/'(X)单调递减，((0)=1>。，/(l)=-sinl+z<0.因此存在唯一零点xoG(O,l),使得/'(xo)=o,

1711

贝勃"(x)在(0,X0)上单调递增，在(应1)上单调递减，/(l)=cos1—5>8$]—2=0,则/(x)>0在(0,1)上恒成立.从

而可得人尤)在(0,1)上单调递增，则4X)min=A0)=0.

(3)因为『一"一lnx+eSig-l>0恒成立，所以令x=l,则।因为3"如1>a2=2,由于”为整数，所以

“W2,因此/—ox—lnx+e“nx—1》/—2x—lnx+esM£-l.下面证明g(x)=f—2x—In》+C疝*-1>0恒成立即可.①

当xW(0,l)时,由(1)可知sinx>ln(x+1),则esmx>x+1.故g&Ax2-2x—lnx+x+1—1=3—x—Inx,设〃(x)=I—x

-Inx,xG(0,l),贝(x)-2x-l--=-------------------2<0,则/?(x)在(0,1)上单调递减.从而可得力(x)>A(l)

=0,由此可得g(x)>0在x£(0,l)时恒成立.②当x>l时，下面先证明一个不等式：ex>2x+],设〃。)=9，一2X一/,

A

则"(x)=e-2,则Mx)在(-8,一In2)上单调递减，在(In2,+8)上单调递增.因此加0mhi=双乙2)=2—21n2

—^>0,那么©，亩”>2$m工+3.由此可得«—2工一111犬+已加工一1>/一2^—111%+25吊工-3=8(；0，则g'(x)=2x—2—^+

1jr

2cosx,g"(x)=2+j-2sinx>0.因此g'(x)单调递增，g'(x)>g‘⑴=2cos1—l>2cos,—1=0,则g(x)在(1,+«>)

3

上单调递增，因此g(x)>g(l)=2sin1一m0.综上所述，a的最大整数值为2.

第4天不等式

一、单选题

1.A解析：结合与不等式对应的二次函数丫=以2+版+。图象可知，不等式需满足“<0,zf<0.

k—2

2.B解析：函数负x)=f+0l—2)x的图象的对称轴为苫=一亍，且开口向上，因为加0在[1,+8)上为增函

i--2

数，所以一亍W1,解得力》0.故选B.

3.A解析：若则a+c>Z?+c,故B错，设。=3,b—\,c——1,d——2,则ac<6d,所以C、D

错，故选A.

4.C解析：•.,a>。，b>0,.'.~+^=y[ab$:2y^^,.'.ab^2,当且仅当a=b,即。=匕=也时，等号成立，...

岫24,当且仅当a=b时，等号成立，••.〃+从的最小值是4.故选C.

'2x+y>8,

An

5.A解析：设玫瑰与康乃馨的单价分别为x,y(单位：元)，则j4x+5y<22，所以x-,y-,因此

2x=A,3y—B.

A+^>8①，

①X5+②X(-l)可得A>6；①X2+②X(-l)可得8<6,因此4>B.故选A.

2A+y<22@,

6.D解析：如图：令y=/m)=-/+4x—3,则式0)=-3,犬4)=一3,五2)=1.又定义域为[0,小值域为[—3,1],

所以re[2,4].故选D.

7.D解析：由x2+y2=422|xy|,知一2WxyW2,故选D.

8.D解析：当2工一丁20,即xW[0,2]时、|x—〃|一人W0恒成立，所以一<人+〃恒成立，所以

且aWb；当2x—rW0,即x£(—8,o]u[2,+8)时，|%一〃|—620恒成立，所以冗2。+/;或xWa—b恒成立，所

以且〃综上，〃+6=2.故选D.

二、多选题

9.AD解析：A：：二次函数的图象与x轴有两个交点，4ac>0,即〃>4ac,故A正确；B：•.•对称轴

为x=一5=-1,即2a—6=0,故B错误；C：由图象可知，当x=-1时，)>0,BPa-b+c>0,故C

错误；D：把x=l,》=-3代入解析式可得“+b+c=0,9a—38+c=0,两式相加整理可得5.—6=­°,又当x=0

时，y=c>0,则5a—6<0,故D正确.故选AD.

10.ABD解析：选项A,当“=—2,匕=一1时，a<b,*=2,此时*;1不成立；选项B,当a=-1,匕=1时，

"b，知=-2,此时介注2不成立；选项C,点—左=必，*幼，，焉—六<0,熹七成立；选项D，

当a=-2,Z?=—1时，a<b,a^+a=2,b2+b=0,此时〃+牛62+。不成立.故选ABD.

11.ABD解析:A.正实数皿〃满足血+〃=2,•••[+昌(利+碌+裔=豹+看+引收3+2状否)=

殁立，当且仅当]=那时，等号成立，故A正确；B.由机+〃=2且加>0,〃>0得标忘喂=1,当且仅当〃7

=〃=1时，等号成立,则不・今故B正确;C.由团+〃=2且心0,n>0得(gi)2+Mi)2=2,.•.M^+g)2W2[(V^)2

+(g)2]=4,

则故C错误；D.m2+n2^m^n^=2,故D正确.故选ABD.

12.ABC解析：由题意，当c=0时，段)=小|+灰，此时7(一九)=一%)，故於)为奇函数，A正确；当人=0,

c>0时，«r)=Mv|+c,若x20,凡。=0无解，若x<0,於)=0有一解%=—五,所以B正确；•、(犬)=小|+云为奇

函数，图象关于(0,0)对称，.\/(x)=x|R+bx+c的图象可能情况如图，关于(0,。)对称，可得C正确，D不正确.故

选ABC.

三、填空题

13.3+2也解析：由题得x+y=(x+y)0+!)=3+个+/3+2寸^|=3+26，当且仅当x=^+l,y=2

+也时取等号.故答案为3+2吸.

14.(一8,-4)U(1,4-co)解析：；不等式/一公+反0的解集为{x[l<x<2},；.x=l和x=2是方程X2—ox

+6=0的解，：.a=3,h=2,：.bx+a=2x+3.V\bx+a\>5,；.2犬+3<—5或2r+3>5,/.x<-4^x>l,，不等式|bx

+a|>5的解集为(18,—4)U(1,+°°).故答案为(一8,—4)U(1,+°°).

15.1解析：令〃=根+1,b=〃+2,贝IJ〃+力=5,且又~而!+:=1x(!+£)

3m-v\n-v2ababb\aoj

X(〃+份=拉+§+乡*(2+2)4当且仅当〃=Q|时，等号成立，故木+我的最小值为|•故答案为,.

16.41解析：由/得xy[(x+4y)+6]=x+4y,令/=x+4y,则孙且a0,又x

+4y2y]x-4y—4y[xy,当且仅当x=4y,即^=4时，等号成立，石，即匚器或言，化简得尸+6，-16=。-2)。

+8)N0,.•心2或W-8(舍去)，.•.甯丁强《故答案为4；1.

四、解答题

17.解析：犬工)=—/+2以一6—。=一(九一。)2+/一。-6,其图象开口向下，对称轴为.当〃<—1时，J(x)

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