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文档简介
单元质量评估
(120分钟150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(l,i2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是()
A.-1B.-C.1D.--
44.
2.若a,b,c是空间任意三个向量,入£R,下列关系中,不成立的是()
A.a+b=b+aB.人(a+b)=入a+入b
C.(a+b)+c=a+(b+c)D.b=入a
3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则京+三丽等于
22
A.ADB.FAC.AFD.EF
4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),^JAABC的形状是()
A.不等边锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
5.已知平面&的一个法向量为111=(-1,-2,-1),平面8的一个法向量112=(2,4,2),
则不重合的平面a与平面B(
A.平行B.垂直
C.相交但不垂直D.不确定
6.若a=ei+e2+e3,b=ei+e2e3,c=ei-e2+e3,d=ei+2e2+3e3,d=aa+8b+yc,贝!Ja,B,Y
分别为()
A.T,--B.1,-
2222
C.1,--D.1,--
2222
7.(2013•吉安高二检测)已知直线/i的方向向量a=(2,4,x),直线人的方向向量
b=(2,y,2),若a|=6,且a,b,则x+y的值是()
A.1或-3B.-1或3
C.-3D.1
8.已知2),B(2,3,-l),C(-l,0,0),则4ABC的面积是()
A.V70B.V35C.—D.—
22
9.下列命题正确的是()
A.若国,(£\+:ok则P,A,B三点共线
23
B.若{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,b+c,a+c}构成空间的另一个基底
C.(a,b)•c=|a,|b•c
D.AABC为直角三角形的充要条件是京AC=0
10.如图所示,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EF〃BC且AE=2EB,G为BC的中点,K
为4ADF的夕卜心.沿EF将矩形折成一个120°的二面角A-EF-B,则此时KG的长是
A.1B.3C.—D.V3
2
11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,E,F
分别为棱AAi,BBi的中点,G为棱AB上的一点,且AG=入
(0<入W1),则点G到平面DEF的距离为()
A.V3B.-C.-D.-
235
12.如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=2,AAH,则BG与平面BBDD所成角的
正弦值为(
A.造
3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线
上)
13.已知向量a=(入+1,0,2人),b=(6,2口-1,2),若a//b,则人与□的值分别
是、.
14.若A(0,2,与,B(1,-1;),C(-2,1,-)是平面a内的三点,设平面a的法向量为
888
n=(x,y,z),贝ljx:y:z=.
15.平面a,B,Y两两相互垂直,且它们相交于一点O,P点到三个面的距离分别
是1cm,2cm,3cm,贝ljPO的长为cm.
16.如图,平面PAD,平面ABCD,四边形ABCD为正方形,Z
PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面
直线EF与BD所成角的余弦值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),
C(l,-1,5),
⑴求以向量京,辰为一组邻边的平行四边形的面积S.
⑵若向量a分别与向量京,后垂直,且Ia|求向量a的坐标.
18.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-ABG中,底面是等腰直角三角形,ZACB=
90°,侧棱AAN,CA=2,D是CG的中点,试问在线段A】B上是否存在一点E(不与端
点重合)使得点4到平面AED的距离为孚?
19.(12分)在长方体ABCD—AiBCDi中,AAFAD=1,E为CD的中点.
⑴求证:BiE_LADi.
(2)在棱AAi上是否存在一点P,使得DP〃平面BAE?若存在,求AP的长;若不存在,
说明理由.
20.(12分)如图所示,在棱长为1的正方体
ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是D'D,DB的中点,G在棱
CD上,CG』CD,H为C'G的中点.
4.
⑴求证:EFJ_B'C.
(2)求EF,C,G所成角的余弦值.
(3)求FH的长.
21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB
BC,AB=BC—PA.点0,D分别是AC,PC的中点,(^_1_底面
ABC.
(1)求证:0D〃平面PAB.
⑵求直线0D与平面PBC所成角的正弦值.
22.(12分)(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD中,PAL
平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,ZCDA=
ZBAD=90°,AB=2,CD=1,AD=、2M,N分别是PD,PB
的中点.
⑴求证:MQ〃平面PCB.
(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小.
⑶求点A到平面MCN的距离.
答案解析
1.【解析】选D.a・b=2--+2k=0,.-.k=--.
24.
2.【解析】选D.由向量的运算律知,A,B,C均正确,对于D,当a=0,bH0时,不成
3.【解析】itC.AB+-BC+-BD=AB+BE+EF=AF.
22
4.【解析】选A.晶二(3,4,2),R=(5,1,3),
BC=(2,-3,1).由AB・AOO,得A为锐角;
由CA・CB>0,得C为锐角;
由昌・品>0,得B为锐角,且|R|H
所以AABC为不等边锐角三角形.
5.【解析】选A.*.*n2=-2ni,.*.n2/7ni,故a〃B.
6.[解析]选A.由d=aa+Bb+Yc
_
-a(ei+e2+e3)+3(ei+e2e3)+Y(ei-e2+e3)
(a+P+y=1,
+-+-+
=(a+3Y)ei+(a+3Y)e2(a3Y)e3-ei+2e2+3e3.•e•Aa+p—y=2,解得
(a-p+Y=3,
a=~,B=7,Y=---
22
7.【解析】选A.根据|a|=6,可得x=±4,当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,所以x+y=1
或-3.
8.【解析】选C.易知矗二(1,4,-3),/=(-2,1,-2),.,.向二俄|辰|=3,
cos<AB,AC>=^—Z.sin<AB,AC>=11-(^)2=匡,
V26X32Q7'39/7117
.,.SAABC~|AB|•|AC|sin<AB,AC>=—.
9.【解析】选B.P,A,B三点共面不一定共线,故A错误;由数量积公式知C错误;
△ABC为直角三角形时可能京•辰=0,也可能AB・BC=0,或辰・BC=0,故D错误.
10.【解析】选D.由题意知K为AF的中点,取EF的中点H,连接KH,GH易证明
NKHG即为二面角A-EF-B的平面角,在△KHG中,由KH=HG=1,ZKHG=120°,可解
得KG=V3.
11.[解题指南]可以根据几何的有关性质转化为点A,到直线6E的距离,利用三
角形的面积可求;或建立空间直角坐标系,利用平面的法向量来求.
【解析】选D.方法一:•「AB〃EF,G在AB上,
AG到平面6EF的距离即为A,到平面》EF的距离,也就是A至|D,E的距离.
2
由三角形面积可得h=^=—.
*5
2
方法二:以11,疝,瓦1的方向作为x轴,V轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则E(0,0」),F(1,0「),匕(0,1,1),G(入,0,1),
.••4=(1,0,0),E*(0,1,5,G3F(-入,1,0),
(n,EF=j-=O,rY_n
设平面EFDi的一个法向量是n=(x,y,z),则一,解得x
|/7-EI91=J/+yZ=0,(Z=-2y,
取y=1,则n=(0,1,-2).
.•.点G到平面EFD1的距离是:h二3"•"二,1一一
InIvo+i+4
12.【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,则
B(2,2,0),D(0,0,1),0,(0,2,1),
/.DD,=(0,0,1),DB=(2,2,0),Bg=(-2,0,1).
设平面BBiDiD的一个法向量n=(x,y,z),
心竺,可得?x+2y=0,
〃,丽lz=0,
...可取n=(1,-1,0).
〃•BCi_2_一旧
cos<n,BC]>=
In|,|BCi|五■的s'
,BG与平面BBDD所成角的正弦值为卫.
13.【解析】•.“〃!),.•.存在实数k,使得a二kb,
即(入+1,0,2入)=k(6,2口7,2),
入+1=6k,
*0•0=k(2p—1),解得k二人-1,U—■
、2人=2k,
答案,-
57
14•【解析】AB=(1,-3,,AC=(-2,-1,,
4.4.
(n•AB=O,(x=-y,
I
...x:y:z=-y:y:(一士y)=2:3:(-4).
33
答案:2:3:(-4)
15.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,不妨设0(0,0,0),P(1,2,3),
/.IOP|=V12+22+32=V14(cm).
答案:WN
16.【解析】VBD=AD-AB,EF=-AE+AD+DF=--AP+AD+-AB,ABD•EF=
22
(AD-AB)•(--AP+AIH-AB)=4-2=2.
22
IEFI-(--AP+AD+-AB)2=6,|EFl=V6,|BD1=272,cos<BD,EF>=
22
—>—>
BD-EF_2
|BD||EF|2V*7XV66'
即异面直线EF与BD所成角的余弦值为丫.
6
答案:立
6
【一题多解】如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,
z
p
...E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),
,EF=(1,2,-1),BD=(-2,2,0),
17.【解析】(1)VAB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),
|AB||AC|
AZBAC=60°,.-.S=|AB||AC|sin60°=7\W
(2)设a=(x,y,z),则a_LAB0-2x-y+3z=0,
a±AOx-3y+2z=0,|a|=V3^x2+y2+z2=3,
解得x=y=z=1或x=y=z=-1,
a=(1,1,1),a=(-1,-1,-1).
18.【解析】存在.以CA,CB,CCi所在的直线为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的
空间直角坐标系,ZA
则A(2,0,0),A1(2,0,2),
D(0,0,1),B(0,2,0),
设B十入BA1,入e(0,1),
则E(2入,2(1-入),2人).
又AD=(-2,0,1),
足(2(入-1),2(1-入),2入),
设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,
n•AD=0,—2x+z=0,
则一即
(入-)(入)
n•AE=0,2lx+21-y+2Az=0,
取x=1,贝Iy=—,z=2,即n=(1,—,2).
1—入1—入
由于d=4"=空,
In|a
,4又入£(0,1),解得入
?
,15+管
当点E为AB的中点时,A到平面AED的距离为平.
【拓展提升】探索性问题的解法
在立体几何中,经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立,或某一结论成
立时需要具备什么条件,或某一结论在某一条件下,某个元素在某个位置时是否
成立等类似的问题.这些问题都属探索性问题,解决这些问题仅凭几何手段有时
会十分困难,我们借助向量将“形”转化为“数”,把点、线、面的位置数量化,
通过对代数式的运算就可得出相应的结论.这样可以使许多几何问题进行类化,
公式化,使问题的解决变得有“法”可依,有路可寻.
19.【解析】以A为原点,AB,AD,AAi的方向分别
为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),0(0,1,1),
E(±1,0),Bi(a,0,1),
2
⑴ADF(O,1,1),B|E=(—:,1,7),
・/AD]・B;E=—:X0+1X1+(—1)X1=0,
Z.B1E±AD1.
⑵假设在棱AAi上存在一点P(0,0,z。),使得DP〃平面BAE,此时而二(0,-1,z0),
又设平面BiAE的法向量为n=(x,y,z).
•「nJ■平面BAE,AB1=(a,0,1),AE二(±1,0),
2
一一fax4-z=0,
.,.n_LAB】,n_LAE,得(ax,”n
---ry=u,
12J
取x=1,得平面BiAE的一个法向量a),要使DP〃平面BAE,
2
只需n_L6k有Laz°=0,解得:z0=-.
27
.•.AP=3.•.在棱AAl上存在点P,使得DP〃平面BiAE,且P为AA1的中点.
20.[解题指南]要证明EF_LB'C,只需要证明EF-ETC=O;要求EF,C'G所成角的
余弦值,只要求出国,.G所成角的余弦值;要求FH的长,只要求出|就「即可.
【解析】(1)设AB=a,AD二b,AX'=C,
贝"c,b=b•a=c•a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.
EF=ED+DF=--c+i(a-b)
=-(a-b-c),
BzC=BC-BB-b-c,
/.EF•B^—Ca-b-c)•(b-c)~(c2-b2)
=-X(1-1)=0..,.EF±B'C.
(2)E(a-b-c),C'G=C'C+CG=-c-a,
24.
—>—>
二・EF•C'G」(a-b-c)•(_c--a)
24.
——_ik/--a2+cd)一,
24.8
IEF12=-(a-b-c)2=-(a2+b2+c2)
44.4.
|CzG|2=(-c-ia)2=c2^a2=^
4.1616
/.IEFI—,IC7GI=—,
24.
cos<EF,C7G>==—,
|EF||QG|17
...EF,C,G所成角的余弦值为学
(3)FH=FB+BC+CC^C^—(a-b)+b+c+-CzG=-(a-b)+b+c+-(-c--a)=-a+-b+-c,
22224.822
/.|FH|-(-a+-b+-c)2
872
=―2+*+七*
6444.64
AFH的长为手.
21•【解析】方法一:⑴TO,D分别为AC,PC的中点,
.,.0D/7PA.
又PAu平面PAB,
0D。平面PAB,
.二0D〃平面PAB.
(2)设PA=2a,VAB±BC,OA=OC,
.,.OA=OB=OC=—a.
2
又•.•OP_L平面ABC,.*.PA=PB=PC=2a.
取BC中点E,连接PE,则BC_L平面POE.
作OF_LPE于F,连接DF,则OFJ■平面PBC.
NODF是OD与平面PBC所成的角.
PA=2a,OA二二a,,0P=—a.
XV0E=-,.\0F=—a.
2NC
在RtAODF中,sinNODF二*箸,_
.,.0D与平面PBC所成角的正弦值为上空.
方法二:丁OP_L平面ABC,OA=OC,AB=BC,
.*.OA±OB,OA±OP,OB±OP.
以0为原点,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),
设AB=a,则A(—a,0,0),
B(0,—a,0),C(-—a,0,0).
设OP=h,则P(0,0,h).
⑴YD为PC的中点,
OD=(-匚a,04h).
42
XPA=(-a,0,-h),AOD=--PA.
22
.\OD〃PA,又PAu平面PAB,0D。平面PAB,
.•.0D〃平面PAB.
(2)PA=2a,h=—a,
.,.OD=(--a,0,包a).
44
可求得平面PBC的一个法向量n=(7,1,二),
7
空.〃二同
cos<OD,n>=
|ODII/7I30
设0D与平面PBC所成的角为e,
则sin0=Icos<OD,n>|=—.
.,.0D与平面PBC所成角的正弦值为卫.
22.【解析】方法一:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线
分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,由
C
x
AB=2,CD=1,AD=\,2PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点,可得A(0,0,0),
B(0,2,0),C(V2,1,0),
D(V2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(立,0,2),N(0,1,2).
(1)讪=(a,-1,0),晶=(0,2,-4),丽=(-三,0,1).设平面PBC的法向量为
n(F(x,y,z),
则有:no_LBCn(x,y,z)•(«2-1,0)=0^V2x-y=0,n0±PB^(x,y,z)•(0,2,-4)=
0=>2y-4z=0,
令z=1,则x=\^2,y=2nno=(\耳,2,1).
MQ-n0=0,1)•(422,1)=0,
又MQ。平面PCB,,MQ〃平面PCB.
⑵设平
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