高中数学选修第一册：章节综合训练第三课时

单元质量评估

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知向量a=(l,i2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是()

A.-1B.-C.1D.--

44.

2.若a,b,c是空间任意三个向量，入£R，下列关系中，不成立的是()

A.a+b=b+aB.人(a+b)=入a+入b

C.(a+b)+c=a+(b+c)D.b=入a

3如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，则京+三丽等于

22

A.ADB.FAC.AFD.EF

4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),^JAABC的形状是()

A.不等边锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

5.已知平面&的一个法向量为111=(-1,-2,-1),平面8的一个法向量112=(2,4,2),

则不重合的平面a与平面B(

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.不确定

6.若a=ei+e2+e3,b=ei+e2e3,c=ei-e2+e3,d=ei+2e2+3e3,d=aa+8b+yc,贝!Ja,B,Y

分别为（）

A.T,--B.1,-

2222

C.1,--D.1,--

2222

7.(2013•吉安高二检测)已知直线/i的方向向量a=(2,4,x),直线人的方向向量

b=(2,y,2),若a|=6,且a，b,则x+y的值是()

A.1或-3B.-1或3

C.-3D.1

8.已知2),B(2,3,-l),C(-l,0,0),则4ABC的面积是()

A.V70B.V35C.—D.—

22

9.下列命题正确的是()

A.若国，(£\+:ok则P,A,B三点共线

23

B.若｛a,b,c｝是空间的一个基底,则｛a+b,b+c,a+c｝构成空间的另一个基底

C.(a,b)•c=|a,|b•c

D.AABC为直角三角形的充要条件是京­AC=0

10.如图所示，四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EF〃BC且AE=2EB,G为BC的中点,K

为4ADF的夕卜心.沿EF将矩形折成一个120°的二面角A-EF-B,则此时KG的长是

A.1B.3C.—D.V3

2

11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,E,F

分别为棱AAi,BBi的中点,G为棱AB上的一点,且AG=入

（0＜入W1）,则点G到平面DEF的距离为（）

A.V3B.-C.-D.-

235

12.如图，在长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=2,AAH,则BG与平面BBDD所成角的

正弦值为（

A.造

3

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线

上）

13.已知向量a=（入+1,0,2人），b=（6,2口-1,2）,若a//b,则人与□的值分别

是、.

14.若A（0,2,与，B（1,-1；）,C（-2,1,-）是平面a内的三点，设平面a的法向量为

888

n=（x,y,z）,贝ljx：y：z=.

15.平面a,B,Y两两相互垂直，且它们相交于一点O,P点到三个面的距离分别

是1cm,2cm,3cm,贝ljPO的长为cm.

16.如图，平面PAD,平面ABCD,四边形ABCD为正方形，Z

PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面

直线EF与BD所成角的余弦值为.

三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的

文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知空间三点A（0,2,3）,B（-2,1,6）,

C（l,-1,5）,

⑴求以向量京,辰为一组邻边的平行四边形的面积S.

⑵若向量a分别与向量京,后垂直,且Ia|求向量a的坐标.

18.（12分）如图所示,在直三棱柱ABC-ABG中，底面是等腰直角三角形，ZACB=

90°,侧棱AAN,CA=2,D是CG的中点,试问在线段A】B上是否存在一点E（不与端

点重合）使得点4到平面AED的距离为孚？

19.（12分）在长方体ABCD—AiBCDi中,AAFAD=1,E为CD的中点.

⑴求证:BiE_LADi.

（2）在棱AAi上是否存在一点P,使得DP〃平面BAE?若存在,求AP的长;若不存在,

说明理由.

20.（12分）如图所示，在棱长为1的正方体

ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是D'D,DB的中点,G在棱

CD上,CG』CD,H为C'G的中点.

4.

⑴求证：EFJ_B'C.

(2)求EF,C，G所成角的余弦值.

(3)求FH的长.

21.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB

BC,AB=BC—PA.点0,D分别是AC,PC的中点,(^_1_底面

ABC.

(1)求证:0D〃平面PAB.

⑵求直线0D与平面PBC所成角的正弦值.

22.(12分)(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD中,PAL

平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形，ZCDA=

ZBAD=90°,AB=2,CD=1,AD=、2M,N分别是PD,PB

的中点.

⑴求证:MQ〃平面PCB.

(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小.

⑶求点A到平面MCN的距离.

答案解析

1.【解析】选D.a・b=2--+2k=0,.-.k=--.

24.

2.【解析】选D.由向量的运算律知,A,B,C均正确，对于D,当a=0,bH0时，不成

3.【解析】itC.AB+-BC+-BD=AB+BE+EF=AF.

22

4.【解析】选A.晶二(3,4,2),R=(5,1,3),

BC=(2,-3,1).由AB・AOO,得A为锐角；

由CA・CB>0,得C为锐角；

由昌・品>0,得B为锐角，且|R|H

所以AABC为不等边锐角三角形.

5.【解析】选A.*.*n2=-2ni,.*.n2/7ni,故a〃B.

6.［解析］选A.由d=aa+Bb+Yc

_

-a(ei+e2+e3)+3(ei+e2e3)+Y(ei-e2+e3)

(a+P+y=1,

+-+-+

=(a+3Y)ei+(a+3Y)e2(a3Y)e3-ei+2e2+3e3.•e•Aa+p—y=2,解得

(a-p+Y=3,

a=~,B=7,Y=---

22

7.【解析】选A.根据|a|=6,可得x=±4,当x=4时，y=-3,当x=-4时，y=1,所以x+y=1

或-3.

8.【解析】选C.易知矗二(1,4,-3),/=(-2,1,-2),.,.向二俄|辰|=3,

cos<AB,AC>=^—Z.sin<AB,AC>=11-(^)2=匡,

V26X32Q7'39/7117

.,.SAABC~|AB|•|AC|sin<AB,AC>=—.

9.【解析】选B.P,A,B三点共面不一定共线，故A错误；由数量积公式知C错误;

△ABC为直角三角形时可能京•辰=0,也可能AB・BC=0,或辰・BC=0,故D错误.

10.【解析】选D.由题意知K为AF的中点，取EF的中点H,连接KH,GH易证明

NKHG即为二面角A-EF-B的平面角，在△KHG中，由KH=HG=1,ZKHG=120°,可解

得KG=V3.

11.［解题指南］可以根据几何的有关性质转化为点A,到直线6E的距离，利用三

角形的面积可求；或建立空间直角坐标系，利用平面的法向量来求.

【解析】选D.方法一：•「AB〃EF,G在AB上，

AG到平面6EF的距离即为A,到平面》EF的距离，也就是A至|D,E的距离.

2

由三角形面积可得h=^=—.

*5

2

方法二：以11,疝,瓦1的方向作为x轴，V轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则E(0,0」)，F(1,0「)，匕(0,1,1),G(入，0,1),

.••4=(1,0,0),E*(0,1,5,G3F(-入,1,0),

(n,EF=j-=O,rY_n

设平面EFDi的一个法向量是n=(x,y,z),则一,解得x

|/7-EI91=J/+yZ=0,(Z=-2y,

取y=1,则n=(0,1,-2).

.•.点G到平面EFD1的距离是:h二3"•"二，1一一

InIvo+i+4

12.【解析】选D.如图建立空间直角坐标系，则

B(2,2,0),D(0,0,1),0,(0,2,1),

/.DD,=(0,0,1),DB=(2,2,0),Bg=(-2,0,1).

设平面BBiDiD的一个法向量n=(x,y,z),

心竺，可得?x+2y=0,

〃，丽lz=0,

...可取n=(1,-1,0).

〃•BCi_2_一旧

cos<n,BC]>=

In|,|BCi|五■的s'

，BG与平面BBDD所成角的正弦值为卫.

13.【解析】•.“〃!），.•.存在实数k,使得a二kb,

即(入+1,0,2入)=k(6,2口7,2),

入+1=6k,

*0•0=k(2p—1),解得k二人-1,U—■

、2人=2k,

答案，-

57

14•【解析】AB=(1,-3,,AC=(-2,-1,,

4.4.

(n•AB=O,(x=-y,

I

...x：y：z=-y：y：(一士y)=2：3：(-4).

33

答案：2：3：(-4)

15.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设0(0,0,0),P(1,2,3),

/.IOP|=V12+22+32=V14(cm).

答案:WN

16.【解析】VBD=AD-AB,EF=-AE+AD+DF=--AP+AD+-AB,ABD•EF=

22

(AD-AB)•(--AP+AIH-AB)=4-2=2.

22

IEFI-(--AP+AD+-AB)2=6,|EFl=V6,|BD1=272,cos<BD,EF>=

22

—>—>

BD-EF_2

|BD||EF|2V*7XV66'

即异面直线EF与BD所成角的余弦值为丫.

6

答案:立

6

【一题多解】如图所示，建立空间直角坐标系Axyz,

z

p

...E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),

，EF=(1,2,-1),BD=(-2,2,0),

17.【解析】(1)VAB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

|AB||AC|

AZBAC=60°,.-.S=|AB||AC|sin60°=7\W

(2)设a=(x,y,z),则a_LAB0-2x-y+3z=0,

a±AOx-3y+2z=0,|a|=V3^x2+y2+z2=3,

解得x=y=z=1或x=y=z=-1,

a=(1,1,1),a=(-1,-1,-1).

18.【解析】存在.以CA,CB,CCi所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，ZA

则A(2,0,0),A1(2,0,2),

D(0,0,1),B(0,2,0),

设B十入BA1，入e(0,1),

则E(2入，2(1-入)，2人).

又AD=（-2,0,1）,

足（2（入-1）,2（1-入）,2入），

设n=（x,y,z）为平面AED的法向量,

n•AD=0,—2x+z=0,

则一即

（入-）（入）

n•AE=0,2lx+21-y+2Az=0,

取x=1,贝Iy=—,z=2,即n=（1,—,2）.

1—入1—入

由于d=4"=空，

In|a

,4又入£(0,1),解得入

?

,15+管

当点E为AB的中点时,A到平面AED的距离为平.

【拓展提升】探索性问题的解法

在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成

立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否

成立等类似的问题.这些问题都属探索性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时

会十分困难，我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，

通过对代数式的运算就可得出相应的结论.这样可以使许多几何问题进行类化，

公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻.

19.【解析】以A为原点,AB,AD,AAi的方向分别

为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),0(0,1,1),

E(±1,0),Bi(a,0,1),

2

⑴ADF(O,1,1),B|E=(—：,1,7),

・/AD］・B；E=—：X0+1X1+(—1)X1=0,

Z.B1E±AD1.

⑵假设在棱AAi上存在一点P(0,0,z。)，使得DP〃平面BAE,此时而二(0,-1,z0),

又设平面BiAE的法向量为n=(x,y,z).

•「nJ■平面BAE,AB1=(a,0,1),AE二(±1,0),

2

一一fax4-z=0,

.,.n_LAB】，n_LAE,得(ax,”n

---ry=u,

12J

取x=1,得平面BiAE的一个法向量a),要使DP〃平面BAE,

2

只需n_L6k有Laz°=0,解得：z0=-.

27

.•.AP=3.•.在棱AAl上存在点P,使得DP〃平面BiAE,且P为AA1的中点.

20.［解题指南］要证明EF_LB'C,只需要证明EF-ETC=O；要求EF,C'G所成角的

余弦值,只要求出国,.G所成角的余弦值;要求FH的长，只要求出|就「即可.

【解析】(1)设AB=a,AD二b,AX'=C,

贝"c,b=b•a=c•a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.

EF=ED+DF=--c+i(a-b)

=-(a-b-c),

BzC=BC-BB-b-c,

/.EF•B^—Ca-b-c)•(b-c)~(c2-b2)

=-X(1-1)=0..,.EF±B'C.

(2)E(a-b-c),C'G=C'C+CG=-c-a,

24.

—>—>

二・EF•C'G」(a-b-c)•(_c--a)

24.

——_ik/--a2+cd)一,

24.8

IEF12=-(a-b-c)2=-(a2+b2+c2)

44.4.

|CzG|2=(-c-ia)2=c2^a2=^

4.1616

/.IEFI—,IC7GI=—,

24.

cos<EF,C7G>==—,

|EF||QG|17

...EF,C,G所成角的余弦值为学

(3)FH=FB+BC+CC^C^—(a-b)+b+c+-CzG=-(a-b)+b+c+-(-c--a)=-a+-b+-c,

22224.822

/.|FH|-(-a+-b+-c)2

872

=―2+*+七*

6444.64

AFH的长为手.

21•【解析】方法一：⑴TO,D分别为AC,PC的中点,

.,.0D/7PA.

又PAu平面PAB,

0D。平面PAB,

.二0D〃平面PAB.

(2)设PA=2a,VAB±BC,OA=OC,

.,.OA=OB=OC=—a.

2

又•.•OP_L平面ABC,.*.PA=PB=PC=2a.

取BC中点E,连接PE,则BC_L平面POE.

作OF_LPE于F,连接DF,则OFJ■平面PBC.

NODF是OD与平面PBC所成的角.

PA=2a,OA二二a,，0P=—a.

XV0E=-,.\0F=—a.

2NC

在RtAODF中，sinNODF二*箸，_

.,.0D与平面PBC所成角的正弦值为上空.

方法二：丁OP_L平面ABC,OA=OC,AB=BC,

.*.OA±OB,OA±OP,OB±OP.

以0为原点，建立空间直角坐标系Oxyz(如图),

设AB=a,则A(—a,0,0),

B(0,—a,0),C(-—a,0,0).

设OP=h,则P(0,0,h).

⑴YD为PC的中点，

OD=(-匚a,04h).

42

XPA=(-a,0,-h),AOD=--PA.

22

.\OD〃PA,又PAu平面PAB,0D。平面PAB,

.•.0D〃平面PAB.

(2)PA=2a,h=—a,

.,.OD=(--a,0,包a).

44

可求得平面PBC的一个法向量n=(7,1,二),

7

空.〃二同

cos<OD,n>=

|ODII/7I30

设0D与平面PBC所成的角为e,

则sin0=Icos<OD,n>|=—.

.,.0D与平面PBC所成角的正弦值为卫.

22.【解析】方法一：以A为原点，以AD,AB,AP所在直线

分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz,由

C

x

AB=2,CD=1,AD=\，2PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点，可得A(0,0,0),

B(0,2,0),C(V2,1,0),

D(V2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(立,0,2),N(0,1,2).

(1)讪=(a,-1,0),晶=(0,2,-4),丽=(-三，0,1).设平面PBC的法向量为

n(F(x,y,z),

则有：no_LBCn(x,y,z)•(«2-1,0)=0^V2x-y=0,n0±PB^(x,y,z)•(0,2,-4)=

0=>2y-4z=0,

令z=1,则x=\^2,y=2nno=(\耳,2,1).

MQ-n0=0,1)•(422,1)=0,

又MQ。平面PCB,，MQ〃平面PCB.

⑵设平