基于离散采样型的分数阶傅里叶变换的算法研究应用与实现

西南交通大学毕业论文基于离散采样型分数阶FOURIER变换算法研究与实现年级：学号：2627姓名：方威专业：自动化(交通信息工程及控制方向)指引教师：汪晓宁二零一五年六月院系专业年级姓名题目指引教师评语指引教师(签章)评阅人评语评阅人(签章)成绩答辩委员会主任(签章)年月日(此页为空白)毕业设计（论文）任务书班级学生姓名学号发题日期：年12月1日完毕日期：6月15日题目基于离散采样型分数阶Fourier变换算法研究与实现1、本论文目、意义近年来,分数阶Fourier变换因其在光学、量子力学、模式辨认、时频分析、信号解决等领广泛应用得到了越来越多关注。分数阶Fourier变换可以看作是时频平面旋转,并且与其她时频分布具备密切联系。分数阶Fourier变换是老式Fourier变换推广,不但继承了老式傅里叶变换基本性质，还具备其她诸多长处。可以在介于时域和频域之间分数域上分析信号，可以展示出信号从时域逐渐变化到频域所有特性，从而突出问题某些方面本质特性。由于分数阶Fourier变换离散算法不像离散Fourier变换那样可以简朴地通过在时域直接离散化采样得到，因而分数阶Fourier变换离散算法成为近年来研究重点。分数阶Fourier变换离散算法重要有三种类型：离散采样型、线性组合型和特性分解型，本设计重要针对离散采样型算法进行研究和算法实现。2、学生应完毕任务1、理解分数阶Fourier变换应用及离散化算法发展动态；2、学习和掌握分数阶Fourier变换机理及离散化算法基本类型，重点研究和掌握离散采样型算法。3、基于MATLAB编程实现分数阶Fourier变换离散采样型离散算法。4、通过对一种典型非平稳信号进行分数阶Fourier变换分析，研究信号特性，并验证程序可行性和对的性。3、论文各某些内容及时间分派：（共17周）第一某些查阅资料，理解分数阶Fourier变换应用及离散化算法发呈现状(1周)第二某些学习和掌握分数阶Fourier变换原理及离散化算法，重点研究离散采样型算法 (3周)第三某些采用MATLAB编程实现离散采样型离散化算法(4周)第四某些调试程序实现算法，并对一典型非平稳信号进行分析，验证算法及程序可行性和对的性,并与线性组合型算法进行比较(6周)第五某些整顿数据、撰写论文 (2周)评阅及答辩 (1周)备注指引教师： 汪晓宁 年12月1日审批人： 年月日摘要自从法国科学家傅里叶提出Fourier变换以来，Fourier变换被广泛地运用在科学研究与工程技术领域。随着研究进一步，研究对象和研究范畴也不断扩展，Fourier变换局限性也被逐渐地暴露出来。这种局限性重要体当前Fourier变换是一种从时域到频域全局变换，无法表达出信号时域局部特性，而这种时域局部特性正是非平稳信号最主线和最核心性质。作为傅里叶变换推广，从分数阶Fourier域与时域、频域间关系可以看出分数阶Fourier变换实质上是一种统一时频变换，它可以同步反映信号在时域和频域信息，没有交叉项困扰，在解决非平稳信号时具备无可比拟优势。并且由于分数阶傅里叶变换具备较为成熟迅速离散化算法，因而在解决非平稳信号时，分数阶Fourier变换受到了广大科研人员青睐。本文重点研究了分数阶Fourier变换基本理论与离散化算法实现。在简朴地回顾了分数阶Fourier变换国内外研究进展基本上，进一步分析了分数阶Fourier变换基本原理，详细研究了分数阶Fourier变换离散化算法，特别是对离散采样型分数阶Fourier变换算法给出了详细分解环节。基于以上所做工作，通过MATLAB编程实现了分数阶Fourier变换采样型离散化算法。并对各种类型chirp信号进行分析，研究信号特性，并验证程序可行性和对的性。核心词：分数阶Fourier变换；离散化办法；离散采样型算法；chirp信号

AbstractSincetheFrenchscientistFourierputforwardFouriertransform,Fouriertransformiswidelyusedinthefieldofscientificresearchandengineeringtechnology.Withfurtherresearch,objectandscopehasalsobeenexpanded,limitationsofFourierTransformhavebeenexposed.thislimitationismainlyreflectedbythatFouriertransformisaglobaltransformationfromtimedomaintothefrequencydomain,itcannotshowthesignal’stimedomainlocalproperties,butthistimedomainlocalcharacteristicsisthemostfundamentalandcriticalnatureofthenon-stationarysignals.AsthepromotionoftheFouriertransform,fromtherelationshipofFractionalFourierdomainandtimefrequencydomain,wecanseethatthefractionalFouriertransformisessentiallyauniformtime-frequencyconversion,itcansimultaneouslyreflectedsignalinformationinthetimedomainandfrequencydomain,anditcanavoidcrossterms,sofractionalFouriertransformhasunparalleledadvantagesindealingwithnon-stationarysignals.AndbecausethefractionalFouriertransformhasmaturefastdiscretealgorithm,therefore，whendealingwithnon-stationarysignals,fractionalFouriertransformisfavoredbythemajorityofresearchers.ThethesisisfocusedonthefractionalFouriertransformbasictheoryandtherealizationofitsdiscretealgorithms.InabriefreviewoftheresearchprogressoffractionalFouriertransform,thebasicprinciplesofFractionalFourierTransformisanalyzeddeeply,detailedstudyofthediscretefractionalFouriertransformalgorithm，especiallygivesdetaileddecompositionstepsforthediscretesamplingalgorithmtypeFractionalFourierTransform.Basedontheworkdonebytheabove,throughMATLABsoftwaresimulatingdiscretesamplingFractionalFourierTransformalgorithm.Onthisbasis,analyzedthevarioustypesofchirpsignal,researchingcharacteristicsofsignals,andvalidatingthefeasibilityandcorrectnessoftheprogram.Keywords：fractionalFouriertransform；discrete；discretesamplingtypealgorithm；chirpsignal

目录17569摘要 II：当新变换阶次超过时，由分数阶傅里叶性质（q为整数），将新变换阶次限定在范畴内。当余数时，信号反转；当余数时，信号做傅里叶变换；当余数时，信号做反转Fourier变换。程序流程图3.4本章小结本章重要讨论了离散采样型分数阶Fourier变换分解办法及其数值计算。其中涉及量纲归一化理论以及2倍插值与抽取应用，并依照离散采样型离散化算法给出相应程序流程图。第4章分数阶Fourier变换实例分析本章基于MATLAB7.0环境，采用第三章离散化办法获得DRFRFT算法，针对几种典型平稳和非平稳信号，进行分析解决。4.1方波信号方波信号为：其中，方波信号取样长度为，其中，，别的均为零，见图4-1。方波信号DFRFT分析成果如图4-2所示。图4-2中实线表达DFRFT实部，虚线表达DFRFT虚部，横坐标表达信号取样点个数，纵坐标表达变换值幅值。由计算成果可知，当旋转角度时，分数阶Fourier变换将收敛为方波信号；当时，收敛为函数。依照第三章中所讨论分数阶傅里叶变换基本性质，对一种详细信号做分数阶傅里叶变换时，当分数阶次p为0时，输出成果为信号自身；当分数阶次p为1时，相称于对信号做普通傅里叶变换。由图4-2可知，解决后方波信号与这一性质吻合。图4-1方波信号，横坐标表达取样点数，纵坐标表达幅值（）（b）（c）（d）图4-2矩形信号不同变换角度分数阶变换域值图4-2所示是方波信号通过度数阶傅里叶变换后matlab图像，4-2（）表达变换角度为时，经分数阶傅里叶变换后得到实部虚部图像，横坐标表达取样点数，纵坐标表达幅度。明显看出，当趋向于零时，信号分数阶傅里叶变换趋向于信号自身。4-2（b）变换角度，4-2（c）变换角度为，4-2（d）变换角度为，由图（d）可以看出，当变换角度趋向于时，信号分数阶傅里叶变换等于普通傅里叶变换。4.2chirp信号分数阶傅里叶变换分析Chirp信号在雷达、声纳中应用比较广泛，但是由于它非平稳性特点，在时、频域均有较大展宽，采用解决平稳信号办法对其解决往往得不到较好效果。4.2.1chirp信号产生Chirp信号普通分为线性chirp信号和非线性chirp信号，区别在于调频斜率不同。举例阐明，chirp信号表达式如下：（4-1）（4-1）式中和k分别为chirp信号初始频率和调频斜率。chirp信号瞬时频率随时间呈线性变化；图4-3为一种，线性chirp信号。图4-3线性调频信号4.2.2chirp信号分数阶傅里叶变换最优阶次p分析Chirp信号表达式为，在与chirp信号Wigner分布斜直线相垂直分数阶域上求chirp信号分数阶傅里叶变换时，该域某点将会浮现明显峰值。f0t图4-4chirp信号Wigner-Ville分布因此，当该chirp信号做旋转角度为（）时分数阶傅里叶变换时，在该域某点将浮现明显峰值。依照得到，当。则称p最优阶次。当chirp信号取到最优阶次时，在分数阶域浮现能量汇集，体现为良好冲激。通过matlab多次解决发现，chirp信号最优阶次与信号调频斜率k值有关，还与采样点数，采样间隔有一定关系。而在实际解决过程中，可以通过选用一系列特定p值，观测解决图像变换，逐渐逼近最优阶次。如信号，调频斜率k=0.5，信号频率w=0HZ。分析得到最优阶次为p=-0.7048。取p值为-0.7048在matlab中进行解决，得到良好冲激，见图4-5所示。当调频斜率为k=0.8时，通过计算得到最优阶次为p=-0.5704，取p值为-0.5704，计算图形如图4-6所示，得到成果和预期一致。图4-5图4-64.2.3单分量chirp信号分数阶傅里叶变换由第三章懂得，分数阶傅里叶变换可以理解为chirp信号基分解，分数阶傅里叶变换核算质上是一组调频率为chirp信号，其初始频率为。用该组完备正交基来表征分数阶傅里叶域，通过变化旋转角度，可以得到不同频率基。当旋转角度等于时，分数阶傅里叶变换变为普通傅里叶变换，分解基也由chirp函数变成了正交完备三角函数系。就像单频正弦信号通过傅里叶变换必然会在某个单频基上形成冲激函数，一旦chirp信号与某组基调频率吻合，那么该信号也就必然在该组基中某个基上形成一种函数，而在别基上则为零。这阐明chirp信号在分数阶傅里叶变换域上具备较好时频聚焦性，同步它又是个线性变换。信号和噪声叠加后分数阶傅里叶变换等于各自分别进行分数阶傅里叶变换叠加，运用以上两点便可以对chirp信号在分数阶傅里叶变换域上进行解决。图4-4是对一种参数为chirp信号进行分数阶傅里叶变换得到图像。线性调频信号取样为，取样长度为N=21，其中，，该线性调频率信号DFRFT成果如图4-3所示。图4-3（a）表达分数阶次p=0.01时，该信号通过度数阶傅里叶变换后实部与虚部，由图4-3（a）可以看出当变换角度时，分数阶傅里叶变换之后信号收敛为本来信号；图（f）表达该信号取最优阶次p=0.9979时，chirp信号在分数阶域体现为一种冲激信号，这与前面讨论结论相符合。图4-4（a）中，图4-4（b）中,p=0.3，图4-4（c）中，图4-4（d）中，图4-4（e），图4-4（f）中。从图（a）到图（f）变换可以看出分数阶傅里叶变换从时域到频域变化规律。（）(b)（）（）（）（）图4-4线性调频信号不同变换角度时分数阶域幅值图4-4中实线表达DFRFT实部，虚线表达DFRFT虚部，横坐标表达信号取样点个数，纵坐标表达变换值幅值。4.2.4多分量chirp信号解决多分量chirp信号检测与参数预计中，必要考虑各分量之间互相影响。工程应用中，各信号分量强度相差很大，强信号分量会覆盖弱信号分量，这使得在多分量信号检测过程中，强信号分量存在也许会影响对弱信号分量检测与参数预计，因而，在多分量信号检测与预计算法中必要抑制强信号对弱信号影响。运用分数阶Fourier变换，各chirp信号分量在不同分数阶Fourier域有不同能量汇集，以实现对各chirp信号分量分离，达到对强信号分量抑制。图4-6是对一组多分量chirp信号进行解决所得到成果，信号为，其中，。最优阶次为p1=-0.7048，最优阶次为p2=-0.5704。（a）（b）（c）（d）图4-6多分量chirp信号分数阶Fourier变换图4-6（a）为信号在分数阶次为最优阶次p1=-0.7048时，体现出冲激汇集；图4-6（b）为信号在分数阶次为最优阶次p2=-0.5704时，体现出冲激汇集；图（c）为、两者叠加信号分别在各自最优阶次时体现出冲激汇集，图4-6（c）为阶次为p=-0.7048时分数阶Fourier变换解决成果，图4-6（d）为阶次为p=-0.5704时分数阶傅里叶变换解决后成果。由于分数阶傅里叶变换是一种一维线性变换，与常用二次型时频分布相比它不受交叉项困扰，且可以理解成chirp基分解，具备计算量与FFT相称迅速算法，因而，运用分数阶傅里叶变换不但可以可靠地实现多分量chirp信号检测与参数预计，并且可以减少解决复杂度。4.2.5添加高斯白噪声下chirp信号进行分离解决在任何p域高斯信号均为高斯信号，而chirp信号在一定p域则会呈现谱高度汇集这一现象，以适当旋转角对该混叠信号作分数阶傅里叶变换，可在p域将两者明显分开，图(a)画是该信号未添加高斯白噪声时时域幅值。然后，如图(b)是添加了高斯白噪声后混叠线性调频信号时域幅值。图（c）则是对混叠信号进行分数阶傅里叶变换，运用线性调频信号在一定p域会呈现谱高度汇集这一事实，以适当旋转角对该混叠信号作分数阶傅里叶变换，分离出高斯白噪声信号。。(a)（b）（c）图4-5添加了高斯白噪声信号后chirp信号检测分离4.5本章总结本章重要对几种不同信号进行分数阶傅里叶变换解决，分别是方波信号与单分量线性调频信号、多分量线性调频信号，并分析了线性调频信号最优分数阶次，还对添加了高斯白噪声线性调频信号进行了分离。通过对以上信号解决，验证了分数阶傅里叶变换性质与特点。结论与展望通过一种学期努力，本人达到了最初预定毕业设计工作目的。本文以研究基于离散采样型分数阶Fourier变换算法实现为目的，在既有研究基本上，通过matlab编程实现离散采样型分数阶Fourier变换算法。总结起来重要涉及如下几种方面：（1）回顾了分数阶Fourier变换发展及应用，重点回顾了离散化算法发展动态（2）分数阶Fourier变换理论基本。从老式傅里叶变换基本概念出发，引出了分数阶Fourier变换基本定义。讨论了分数阶傅里叶变换性质，为后续分数阶Fourier变换应用做理论铺垫。分析了分数阶傅里叶离散化办法，并比较了三种离散化算法优缺陷。（3）离散分数阶Fourier变换及其数值计算。详细讨论分解办法对分数阶Fourier变换离散化，其中涉及量纲归一化理论以及2倍插值与抽取应用。（4）对某些典型信号进行分数阶傅里叶变换，分析验证算法可行性。分数阶傅里叶变换理论虽然已经获得了许多研究成果，但是仍处在不断发展、完善过程中，新时频分布形式和新理论不断涌现，涉及领域广泛。这里就本文研究重点问题分数阶Fourier变换做简要展望：（1）分数阶Fourier变换理论与应用不像Fourier变换那样成熟，它迅速算法也不完善，应用领域也有待拓展。国内外对于分数阶Fourier变换理论与应用研究时间不长，整个理论体系不十分完备，有待做更进一步研究。（2）分数阶Fourier变换是典型Fourier分析法一种改进方式，是基于坐标轴旋转思想提出，它可以同步呈现信号时间与频率特性，弥补了Fourier分析不能同步呈现时间与频率特性这一缺陷，提供了远比Fourier分析法多得多可供选取数据解决和分析办法。（3）分数阶Fourier变换是具备独特性质线性信号时－频分析办法，通过对LFM信号作用，表白它对LFM信号具备良好时频汇集性，与典型时－频分析办法中Wigner－Ville分布、Radon－Wigner变换可以互相表达。因而，要将分数阶Fourier变换真正用于非平稳信号分析与解决，需要咱们更进一步研究和摸索。致谢一方面，向我指引教师汪晓宁副专家致以衷心感谢和崇高敬意，本论文是在汪教师悉心指引下完毕，从选题、研究到论文详细研究工作，我都得到了汪教师热情协助和悉心指引。汪教师治学严谨、孜孜不倦敬业精神和崇高品格永远值得我学习。在此后工作生活中，我一定会谨记汪教师教诲，热爱生活，热爱学习，踏踏实实走好人生人每一步。此外，还要感谢吴锦程同窗和陈亮名同窗，在近半年多美好时光中，她们与我互相协助共同进步，不但使我在学术上获得进步，并且在生活上给我留下了美好回忆。最后，感谢所有曾经关怀和协助过我人们，衷心感谢评阅论文各位教师，，感谢你们在百忙之中对我论文进行指引