新教材苏教版必修第一册8 .1 二分法与求方程近似解

第8章函数应用

8.1二分法与求方程近似解

8.1.1函数的零点

基础过关练

题组一函数的零点与方程的根

1.(2020广东珠海高三上学期期末)已知函数f(x)的图象是连续的，且

f(x)=x2+bx+c,b.ceR,则“c<0”是“函数f(x)有零点”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2

2.函数f(x)=log2(X-4X+5)的零点为.

3.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.

(l)f(x)=-X2-4X-4;

⑵f(X)=(『l)(x2-4x+3)；

x-3

(3)f(x)=4x+5;

⑷f(x)=log：；(x+l);

题组二函数零点(方程的根)所在的区间

4.(2019江苏徐州高一上学期期中考试)函数f(x)=2"3x的零点所在的区间是

()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

5.(2019江苏启东中学高一上学期期中考试)函数f(x)S-log2X的零点所在的区间

X

是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,+8)

6.(2020江苏南通高一上学期教学质量调研)若函数f(x)=2'-3x2(x(0)的零点为x。,

且x0G(a,a+1),aeZ,则a的值为()

题组三确定函数的零点个数

l,x>0,

7.(2019江苏如皋中学高一上学期期中考试)已知符号函数sgnx=0,x=0,则函数

,-l,x<0,

f(x)=sgn(lnx)Tnx的零点个数为()

8.函数f(x)=3'Tog2(-x)有个零点.

9.函数f(x)=log2(x-x2+2)的零点个数为.

10.已知0<a<l,则函数f(x)=a'Tlogjd的零点个数为.

11.(2020江西南昌新建一中高一上学期第二次月考)已知函数

f(x)=3x2+a,g(x)=2ax+l,aeR.证明：函数H(x)=f(x)-g(x)恒有两个不同的零点.

题组四根据零点（方程根）情况求参数值或范围

2x,x<0,

12.（2020江苏淮安高中校协作体高一上学期期中）设f（x）=

|log2x|,x>0,

f（x）-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是（）

A.0<a<l

C.0<a<l<a<l

13.（多选）（2020山东临沂罗庄高一上学期期中）若关于x的方程ax2-|x|+a=0有4

个不同的实数解,则实数a的值可能是（）

1111

14.（2020江苏连云港高一上学期期中）已知关于x的方程3x2-（m+2）x-m+3=0的一

个根在区间（0,1）上,另一个根在区间（1,2）上,则实数m的取值范围是

15.已知函数f（x）=ax"+2ax+3a-4在区间（T,1）上只有一个零点，求实数a的取值范

围.

能力提升练

题组一函数零点(方程的根)的个数及应用

1.(#7)已知函数f(X)在定义域(-8,0),(0,+8)上的图象是不间断的，若f(X)是偶

函数，且在(0,+8)上是减函数，f(2)=0,则函数f(x)的零点()

A.有一个B.有两个

C.至少有两个D.无法判断

2.(2019江苏宿迁高一上学期期末，")已知函数f(x)=||,若关于x的方程

[f(x)]2+af(x)=0(aeR)有n个不同的实数根，则n的值不可能是()

3.(多选)(2020江苏陆慕高级中学高一上学期月考,已知集合

A={x|(a2-l)x2+(a+l)x+l=0)中有且仅有一个元素,则实数a的值为()

C-

3

4.(2018上海交通大学附属中学高一期末,*：)已知定义在R上的偶函数y=f(x)的

图象是不间断的,当x>0时，f(x)=lg(x2+3x+2),则函数f(x)在R上的零点个数

为

题组二根据零点(方程根)情况求参数范围

5.(*)已知定义在(-8,0)0(0,+8)上的函数f㈤始,。，若

f(x)+f(-x)=0在定义域上有两个不同的实数解,则实数a的取值范围为()

C"(

6.(2020四川绵阳高中高三第二次诊断性测试,水)若函数

f(x)=(2ax-l)2-l0gli(ax+2)在区间［0*］上恰有一个零点，则实数a的取值范围是

()

C.[2,3]D.[2,3)

答+Lxe[-2,0],

7.(2020江西上饶重点中学高三六校联考，")已知函数f(x)=

2/(x-2),%€(0,+项

若函数g(x)=f(x)-x-2m+l在区间［-2,4］内有3个零点，则实数m的取值范围是

()

A.

B.|-1<m<|

C.|-1<m<；或m=1}

D.卜；VmV；或m=1}

8.(2020江苏盐城中学高一上学期月考,*：)已知函数f(x)¥"m'若函数

g(x)=2f(x)-mx恰有2个不同的零点，则实数m的取值范围是.

9.(2020江苏盐城射阳中学高一上学期联合测试,*?)若关于x的函数

f(x)=x2+(m-2)x+2m-l在区间(0,1)内有且仅有一个零点，则实数m的取值范围

是.

10.(2019江苏江阴四校高一上学期期中考试，*已知函数f(x)=log工等为奇函

数.

(1)求实数k的值；

(2)设h(x)=^，证明：函数y=h(x)在(2,+8)上是减函数；

⑶若函数g(x)=f(x)+2x+m,且g(x)在区间［3,4］上没有零点,求实数皿的取值范围.

11.(2020江苏南通如皋高一上学期教学质量调研,*?)已知函数f(x)噌渠:'<0

其中m>L且力(引号

(1)求实数m的值；

(2)若函数g(x)=f(x)-a有两个不同的零点x“X2(xKx2),其中a七,竿］，求

Xi+log.1X2的取值范围.

答案全解全析

第8章函数应用

8.1二分法与求方程近似解

8.1.1函数的零点

基础过关练

1.A若c<0,则△=b2-4c〉0,此时函数f(x)有零点,则“c〈O”n"函数f(x)有零点”;

若c>0,取b=2,c=l,则f(x)=x+2x+l=(x+l)2,此时函数f(x)有零点，则“函数f(x)有

零点"n/"c〈O”.故“c<0”是“函数f(x)有零点”的充分不必要条件.

2.答案2

2

解析函数f(x)=log2(x2-4x+5)的零点即为方程log2(x-4x+5)=0的根，即方程

X2-4X+5=1的根,解得XLX2=2,故函数的零点为2.

3.解析(1)令-X2-4X-4=0,解得XI=X2=-2,所以函数f(x)存在零点,且零点为-2.

⑵令⑴1)(x2-4X+3)=O,解得X=1

x-3

所以函数f(x)存在零点,且零点为1.

(3)令4'+5=0,显然方程4x+5=0无实数根,所以函数f(x)不存在零点.

(4)令log3(x+l)=0,解得x=0,

所以函数f(x)存在零点,且零点为0.

(5)当x<l时，令2x-2=0,解得x=l;

当x>l时,令2+log2x=0,解得x=；(舍去)，所以函数f(x)存在零点，且零点为1.

4.B因为f(-l)=1-3=-芸0,f(0)=l>0,且函数f(x)在R上单调递增，其图象在

E-1,0］上是不间断的,所以函数f(X)的零点在区间(-1,o)±.

5.C因为f(3)=2-log23>0,f(4)=|—2=-夫0,且函数f(x)在(0,+8)上单调递

减,其在区间［3,4］上的图象是不间断的,所以函数f(x)的零点所在的区间为

(3,4).

6.C当x<0时,f(T)=2£x(-1)2=t>0J(-2)=2—2一/x(-2)2=：-

g1>0,/(—3)=2-3—寺x(-3)2=[-1=-亲0,所以x代(-3,-2),所以

a=-3.故选C.

7.C当lnx>0,

即x>l时，f(x)=l-lnx,存在零点，零点为e;当Inx=0,即x=l时,f(x)=0,即1是f(x)

的零点；当Inx<0,即0〈x〈l时,f(x)=-l-lnx,存在零点,零点为士

e

故函数f(x)有3个零点.

8.答案1

解析因为f(-1)=|>0,/(-2)=-|<0,且函数f(x)在定义域为增函数,其在区间

上的图象是不间断的，

所以函数f(x)有且仅有1个零点.

9.答案2

解析令x-x，2=l,

Bpx2-x-l=0,因为△=1+4=5>0,

所以方程有两个实数根,所以函数f(x)有2个零点.

10.答案2

解析求函数f(x)=ax-|log„x|(0<a<l)的零点个数，即求函数y=aX(CKa〈l)和函数

y=|logaxl(0<a<l)的图象的交点个数.

画出函数y=ax(0<a<l)^y=|log.x|(0〈aG)的大致图象，如图所示,

由图象可知有2个交点，

故0<a<l时,函数f(x)=a*-|logaxl的零点个数为2.

11.证明H(x)=f(x)-g(x)=3x2-2ax+a-l.

因为A=4a-12(a-1)M(a2-3a+3)=4(a-|)2+|>0,且H(x)在R上的图象是不间断

的，

所以函数H(x)=f(x)-g(x)恒有两个不同的零点.

12.C由题意，函数f(x)的大致图象如下:

f(x)-a=0有三个不同的实数根等价于函数y=f(x)的图象与y=a有三个不同的交点,

由图可知，0<aML故选C.

13.BCD在方程ax2-|x|+a=0中，当a=0时,方程只有一个解x=0,

•方程ax2Tx|+a=0有4个不同的实数解，.,.a*。,x*0,

，方程可变为工=彳？=|x|+白

a|x|\x\

方程ax2-1x|+a=0有4个不同的实数解等价于函数y=|x|+之的图象和y」有4个不

\x\a

同的交点.

作出函数y=|x|+上和y」的大致图象,如图所示,

易知函数y=|x|+±的最小值为2,因此当工>2,即0<a<；时,

|x|a2

直线y」与函数y=|x|+9的图象有4个不同的交点，

a|x|

即原方程有4个不同的实数解,

所以满足要求的有B、C、D.故选BCD.

14.答案(2,3)

解析设函数f(x)=3x2-(m+2)x-m+3,

因为函数f(x)的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上，

f/(O)>0,(-m+3>0,

又因为该函数图象开口向上，所以｛/'(1)<04P-2m+4<0,解得2<m<3.

(/(2)>0,>0,

故实数m的取值范围是(2,3).

15.解析若a=0,则f(x)=-4,与题意不符，

所以a*0.由题意可知f(x)在(7,1)上是单调函数,且其在区间［-1,1］上的图象是

不间断的，所以f(TAf⑴=-4X(6a-4)<0,解得a>|,

故实数a的取值范围为6,+8).

能力提升练

1.B因为f(x)在(0,+8)上的图象是不间断的，且是减函数，f(2)=0,所以f(x)在

(0,+8)上有且仅有一个零点,为2.

又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-8,0)上有且仅有一个零点,为-2,

所以函数f(x)在定义域内有两个零点.

2.A令［f(x)『+af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=-a,作出函数f(x)的大致图象如图所

由图象可知方程f(x)=0的实数根的个数是2,方程f(x)=-a的实数根的个数可能是

0、2、3、4,所以n的值可能是2、4、5、6,不可能是3,故选A.

3.BC集合A={x|(a-l)x2+(a+1)x+l=

0}中有且仅有一个元素，

方程3-1)/+(a+1)x+l=0有且只有一个实数根或有两个相等的实数根.

当a2-l=0,a+l*0,即a=l时,满足题意；当a2-1=0,a+l=0,即a=-l时,不满足题意,舍

去；

当a2-1*0,即a*±l时,需满足A=(a+1)-4X(a2-1)=0,

解得a=T(舍去)或a=|.：.a-1或a=|.故选BC.

4.答案0

解析由题意知，当xNO时，f(x)=lg(x?+3x+2),

令lg(x2+3x+2)=0,即X2+3X+2=1,解得x二^(舍去).

因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数且其图象是不间断的,所以函数f(x)在R

上的零点个数为0.

5.A令g(x)=f(x)+f(-x),

则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),

又g(x)的定义域为(-8,o)U(0,+8),关于原点对称,

:.g(x)为偶函数.

若x>0,则-x<0,

所以g(x)=f(x)+f(-x)=x2+2ax-x+l=x2+(2a-l)x+1.

方程f(x)+f(-x)=0在定义域上有两个不同的实数解等价于g(x)=x2+(2a-l)x+1在

x>0时有两个零点，

M=(2a-l)2-4>0,

则解得a<-1.

［等>0,

6.D由题意得,函数f(x)在区间„上有零点的充分条件为f(0)fQ《0,即

(l-log,2)(l-lo43)40,

l-loga2<0,fl-loga2>0,

l-loga3>0^ll-loga3<0,

解得2^a<3.

当a=3时，f(x)=(6xT)2-log3(3x+2),

显然函数f(x)在区间„上的图象是一条不间断的曲线,且fg)=l-l=o,

f(0)=l-log32>0,

f

Q)=|-log3^=y-log37<0,

所以函数f(x)在［0,目上有两个零点,不符合题意，

故实数a的取值范围为⑵3),

故选D.

7.D当xe［-2,-l］时，f(x)=x+2;当xe(-l,O］时，f(x)=-x;当O〈x41时，-26-24-1,

此时f(x)=2f(x-2)=2x;

当I<x42时,-Kx-240,此时f(x)=2f(x-2)=-2x+4;

当2<x<3时，0<x-2<l,此时f(x)=2f(x-2)=4x-8;

当3<x44时,l<x-242,此时f(x)=2f(x-2)=-4x+16.

作出函数f(x)在［-2,4］上的图象如图所示.

函数g(x)=f(x)-x-2m+l在区间［-2,4］内有3个零点,

即函数y=f(x)的图象与y=x+2m-l的图象在区间［-2,4］内有3个不同的交点.由图

象可得l-2m=-l或0<可得<2,

解得m=l或<m<\故选D.

解析若x=0,则g(0)=0,故x=0是函数g(x)的一个零点.

若x*o,则令g(x)=o,得r=®=>m,”

2Xlx2-5,x<

即m=2时,显然g(x)有无穷多个零点,故m*2;

^y=x2-5时,有x<m,

令h(x)=x,-5成,x<m,其大致图象如图所示,

观察h(x)的图象,当x<m时,若函数只有一个零点,则m应在线段NM上,

故h(m)=m2-5-y<0,

解得-24m

当m=-2时，令h(x)=O,

则有X2-5+1=0,解得x=±2,不符合题意,

故-2*

9.答案泞或m=6-2V7

解析函数f(x)=x2+(m-2)x+2m-l在区间(0,1)内有且仅有一个零点等价于方程

f(x)=0在(0,1)内有且仅有1个实数根.

当A=0,即(m-2)2-4(2mT)=0时，解得m=6±2迎，

若m=6+2夕,方程f(x)=0的根为x尸X2瞪=号亚=-2-近空(0,1),不符合题意,

舍去；

若m=6-2-77,方程f(x)=0的根为Xi=x2=^=之七,夕=e-2e(0,1),符合题意.

当A>0,BP(m-2)2-4(2m-l)>0时,解得m<6-2b或m>6+2近，

由题意可得f(0)f(l)<0,

即(2m-l)(l+m-2+2m-l)<0,

解得:<m<l，

当f(0)=0时,此时方程的另一根为x=|空(0,1),不符合题意，舍去;

当f(l)=0时,m=|,此时方程的另一根为xqe(0,1),符合题意.

综上所述,实数m的取值范围是"m4|或m=6-2位.

10.解析(1)因为函数f(x)=loga,等为奇函数,所以f(x)+f(-x)=logi+logi

3X~23X~23

2+kx八

---二0,

-X-2

即1。虱答箸)=】翼4-k2x2