椭圆数字滤波器的设计

毕业设计专业：通信工程班级学号：学生姓名：指导教师：二○一一年六月天津职业技术师范大学本科生毕业设计椭圆数字滤波器的设计DesignofEllipticDigitalFilter2011年6月摘要本论文的主要研究内容是数字滤波器的根本原理及设计理论，并探讨了椭圆数字滤波器的设计过程。数字滤波器的设计理论中，重点介绍了数字滤波器间接法设计过程以及典型的三种滤波器设计数学模型，分别是巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器。椭圆数字滤波器的设计过程，需要将给定的数字滤波器技术指标转换为相应模拟滤波器的技术指标，并通过频率变换转换为模拟低通滤波器的技术指标，构建模拟低通滤波器原型，再通过频率变换及双线性变换法或脉冲响应不变法得到所希望设计的椭圆数字滤波器。论文的最后局部，运用MATLAB仿真软件对椭圆数字滤波器进行了仿真。采用间接法得到了椭圆数字低通滤波器的频率响应特性曲线；采用直接法得到了椭圆数字带阻滤波器和椭圆数字带通滤波器的频率响应曲线，以及信号通过椭圆数字带通滤波器后滤除无用频率成分的滤波效果示意图。关键词：数字滤波器；椭圆滤波器；MATLABABSTRACTThemaincontentsofthispaperisthebasicprincipleandthedesigntheoryofdigitalfilter,anditalsocontainsthedesignofellipticdigitalfilterprocess.Digitalfilterdesigntheoryfocusesontheindirectmethodofdigitalfilterdesignprocessandthetypicalmathematicalmodelsoffilter,theyarebutterworthfilter,chebyshevfilterandelipticfilter.Designingaellipticdigitalfilter,firstly,changethegivendigitalfilterspecificationsintothesametypeofanalogfilter’sspecifications;secondly,converttolow-passfilterspecifications,thirdly,buildaprototypeanaloglow-passfilter,finally,throughthefrequencytransformationandbilineartransformationmethodorthesameimpulseresponsemethoddesignthedesireddigitalfilter.Inlastofthispaper,IusedMATLABsimulationsoftwaresimulatingtheellipticdigitalfilter.Indirectmethodhadbeenusedinellipticdigitallowpassfilter’sdesignandgotitsfrequencyresponsecurve.Ialsousedthedirectmethoddesignedellipticdigitalbandstopfilterandellipticdigitalbandpassfilter,gottheirfrequencyresponsecurveandtheeffectdiagramofsignalsafterellipticdigitalband-passfilter.KeyWords：Digitalfilter;Ellipticfilter;MATLAB目录MACROBUTTONInsertCrossReference1绪论11.1滤波器的开展1早期开展阶段1逐步开展阶段2快速开展阶段21.2数字滤波器概述3数字滤波器的研究背景与意义3数字滤波器的应用现状32数字滤波器根本理论62.1数字滤波器的根本工作原理62.2数字滤波器的分类82.3数字滤波器的特点103数字滤波器的设计113.1数字滤波器的技术指标113.2模拟滤波器根本原理13模拟滤波器的技术指标13巴特沃斯滤波器13切比雪夫滤波器16椭圆滤波器18模拟滤波器频率变换213.3模拟滤波器与数字滤波器的转换关系23脉冲响应不变法23双线性变换法254椭圆数字滤波器设计及仿真274.1椭圆数字滤波器的设计步骤274.2椭圆数字滤波器的MATLAB仿真27重要函数调用方式28椭圆数字滤波器设计仿真实例30结论39参考文献错误！未定义书签。致谢错误！未定义书签。绪论滤波器的开展随着计算机和信息科学的极大开展，信号处理已经逐步开展成为一门独立的学科，是信息科学的重要组成局部，在语音处理、图像处理、雷达、航空航天、地质勘探、通信、生物医学等众多领域得到了广泛的应用。滤波技术是信号分析、处理技术的重要分支，无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号的平安可靠和有效灵活地传递是至关重要的。利用该技术可以从接收到的各种信号中提取所需要的信号，抑制或消除不必要的干扰信号。滤波器正是采用滤波技术的具有一定传输选择性的信号处理装置。当信号输入后，滤波器将使信号中某些需要的成分得以传输至输出端，而使其中的另一些不需要的成分受到抑制而不被传输。因此，滤波器的功能可以理解为对输入信号进行某种运算、处理并变换为人们所需要的输出信号。在现代信号处理和电子应用技术领域，滤波器作为一种必不可少的组成局部处在一个十分重要的位置，并且日益显示其巨大的应用价值。尽管滤波技术的开展到现在只有九十多年的历史，但它的发生与开展已经经历了诸多变化，作为一种信号处理技术已相当完善。早期开展阶段1917年美国和德国科学家分别创造了LC滤波器，次年美国创造了第一个多路复用系统，由此翻开了滤波器的开展进程。早期的滤波器都是一些具有选择特性的电路或系统。如串联或并联谐振回路，串联谐振时，回路中的电流到达最大值，且与电压同相；并联谐振时，回路两端的电压到达最大值，且与电压同相。利用这一特点，可以选出所需要的的特定频率的信号。当需要选择的是某个波长的播送电台信号时，由于播送电台发出的信号不是单一频率的信号，而是占据了一定的频率范围，为了清晰地收听电台播送，人们希望在这个频率范围内的信号均能等衰减的通过，而这个频率范围以外的信号将被完全滤除掉。而前述的串、并联谐振回路的通频带较窄，衰减特性也不够陡峭，所以需要寻找新的途径解决这一问题。由此出现了变压器双调谐耦合滤波器，该滤波器的通频带接近矩形，因而能够很好的满足这种特定要求。逐步开展阶段随着邮电通讯的开展，对滤波器又提出了进一步的要求：希望滤波器的话音衰减最小，相互间的连接阻抗匹配。这一要求导致了多种滤波器的设计理论的提出。最先出现的是定K式滤波器，即形网络两个支路上的阻抗和满足如下关系：〔1-1〕并且引出了特性阻抗的概念，同时指出两个或两个以上的网络相连时，假设每个网络连接点左右两侧的特性阻抗相等，这种连接就成为二端对网络的匹配连接。这种连接方式有着十分简明的关系，合成网络两侧的特性阻抗等于第一个网络的特性阻抗和最后一个网络的特性阻抗。合成网络的固有传输常数等于各分网络的固有传输常数之和，这种性质使得滤波器的设计得以简化。然而定K式滤波器也有它的缺乏之处，它在通带之内特性阻抗不太平稳，在阻带之内的衰减相当缓慢。为改善定K式滤波器的这一缺点，出现了M导出式滤波器。M导出式滤波器的特性阻抗和定K式滤波器的完全相同，然而它在阻带内衰减极快，但同时它的并联谐振点衰减不太理想。设计者为了得到更为精密、准确的结果，不断地在滤波器设计根底上改良、创新，极大地推动了滤波器的开展。在非线性器件产生后，非线性滤波器开展极快。非线性滤波器的输入与输出之间不是呈线性关系，从而使人们从原始选频模式中跳了出来，拓宽了滤波器的概念，滤波器也从线性模式拓宽到了非线性模式，扩大了其应用范围。快速开展阶段20世纪50年代无源滤波技术日趋成熟，自60年代起，由于微电子技术、信息技术、计算机技术、集成工艺和材料工业的开展，滤波器朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、高稳定性和高性价比努力。这也成为70年代以后滤波器开展的主攻方向，使得有源RC滤波器、数字滤波器、开关电容滤波器和电荷转移滤波器等各种滤波器开展极快。随着集成电路技术的进一步开展，在70年代后期，将滤波器集成于单一芯片，而目前应用普遍的集成滤波器是开关电容滤波器。80年代，主要致力于各类新型滤波器性能的研究，进一步提高滤波器性能的同时逐渐扩大滤波器应用范围。90年代至今，滤波器的开展主要致力于各类滤波器的应用，当然，滤波器的性能改良是永远不会止步的。我国在50年代以后开始广泛使用滤波器，主要用于话路滤波和报路滤波。经过半个世纪的开展，我国滤波器在研制、生产、应用方面已纳入国际开展轨道。数字滤波器概述数字滤波器的研究背景与意义当今，随着科技的日新月异，数字信号处理技术正飞速开展，它的理论与应用得到了飞跃式的进步，且形成了一门极重要的学科，并以不同形式影响和渗透到其它学科。它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连，它影响、改变着我们的生产、生活方式。同时，数字化、智能化、网络化是当代信息技术开展的大趋势，且数字化是智能化和网络化的根底，而数字信号处理又是数字化必不可少的一局部，因此数字信号处理技术受到了人们的普遍关注。在实际生活中，我们会遇到多种多样的信号，例如播送信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号、天文信号、生物医学信号、控制信号、气象信号、地震勘探信号、机械振动信号、遥感遥测信号等等。上述初始信号大局部为模拟信号，模拟信号是自变量连续的函数，它的自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化〔采样〕和幅度上的离散化〔量化〕，一维模拟信号便成为一维数字信号。数字信号实际上是用数字序列表示的信号，例如，语音信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个一维离散时间序列；图像信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个二维离散空间序列。数字信号处理，就是用数值计算的方法对数字序列进行各种处理，把信号变换成符合需要的某种形式。例如，对数字信号进行滤波以限制它的频带或滤除噪音和干扰，或将它与其它信号进行别离；对信号进行频谱分析或功率谱分析以了解信号的频谱特性，进而对信号进行识别；对信号进行某种变换，使之更适合于传输、存储和应用；对信号进行编码以到达数据压缩的目的，等等。滤波器按所处理的信号类型不同，可分为模拟滤波器和数字滤波器，其中数字滤波器是数字信号处理的主要装置之一。目前已研制出多种专用数字信号处理芯片，可以很方便地实现一个数字滤波器。因为数字滤波器的数字运算方式，使其相较于模拟滤波器具有高精度、高稳定性、可采用超大规模集成电路、体积小、重量轻、实现灵活、参数调整容易且不要求阻抗匹配等优点。如果在数字滤波系统的前后加上A\D〔模拟-数字〕和D\A〔数字-模拟〕转换器，它的作用就等效于模拟滤波器，也可以用来处理模拟信号。数字滤波器的应用现状在近代电信设备和各类控制系统中，数字滤波器的应用极为广泛，这里只列举局部成功的应用领域。〔1〕语音处理语音处理是最早应用数字滤波器的领域之一，也是最早推动数字信号处理理论开展的领域之一。该领域主要包括五个方面的内容：第一，语音信号分析，即对语音信号的波形特征、统计特性、模型参数等进行分析计算；第二，语音合成，即利用专用数字硬件或在通用计算机上运行软件来产生语音；第三，语音识别，即用专用硬件或计算机识别人讲的话或识别讲话的人；第四，语音增强，即从噪音或干扰中提取被掩盖的语音信号；第五，语音编码，主要用于语音数据压缩，目前已经建立了一系列语音编码的国际标准，大量用于通信和音频处理。近年来，这五个方面都取得了丰硕的研究成果，并且在市场上出现了一些相关的软件和硬件产品。例如，盲人阅读机、口授打印机、语音应答机、各种具有语音功能的仪器和玩具以及通信和视听产品大量使用的音频压缩编码技术。〔2〕图像处理数字滤波技术已经成功地应用于静止图像和活动图像的恢复和增强、数据压缩、去噪音和干扰、图像识别以及层析X射线摄影等方面以及雷达、声纳、超声波和红外信号的可见图像成像。〔3〕通信在现代通信技术领域内，几乎没有一个分支不受到数字滤波技术的影响。信源编码、信道编码、调制解调、多路复用以及自适应信道均衡等，都广泛采用了数字滤波器，特别是在数字通信、网络通信、图像通信、多媒体通信等应用中，离开了数字滤波器几乎是寸步难行。其中，被认为是通信技术未来开展方向的无线电技术，更是以数字滤波技术为根底。〔4〕电视数字电视已经开始逐步取代模拟电视，可视和会议电视产品也不断更新换代。之所以能够如此迅速的普及、创新，视频压缩和音频压缩技术功不可没，它所取得的成就促进了电视领域产业的蓬勃开展，而数字滤波器及其相关技术正是视频压缩和音频压缩的技术的重要根底。〔5〕雷达雷达信号占有的频带非常宽，数据传输速率也很高，因而压缩数据量、降低数据传输速率是雷达信号数字处理面临的首要问题。高速数字器件的出现促进了雷达信号处理技术的进步。在现代雷达系统中，从信号的产生、滤波、加工到目标参数的估计和目标成像显示都离不开数字滤波技术。雷达信号的数字滤波器是当今十分活泼的研究领域之一。〔6〕其它领域除了以各领域应用外，数字滤波器还在其它很多领域内扮演着重要角色。例如，在声纳信号处理中，被应用于对微弱的目标回波进行检测和分析，以到达对目标进行探测、定位、跟踪、导航、成像显示等目的。在生物医学方面，可以说在大局部的现代医学仪器中，都会出现数字滤波器的身影，如对脑电波和心电图的分析处理、层析X射线摄影的计算机辅助分析、胎儿心音的自适应检测等等。在音乐方面，对音乐信号进行编辑、合成、在音乐中参加交混回响、特殊效果的制作处理，以及作曲、录音、播放、恢复音质等方面，数字滤波器都显示了强大的威力。同时，数字滤波器在军事上被大量应用于导航、制导、电子对抗、战场侦察；在电力系统中被应用于能源分布规划和自动检测；在环境保护中被应用于对空气污染和噪声干扰的自动检测；在经济领域被应用于股票市场预测和紧急效益分析等等。在将来，数字滤波器的应用领域还会不断扩大，深入我们生活的方方面面。数字滤波器根本理论所谓数字滤波是指通过一种数值运算，改变输入信号中所含频率分量的相比照例，或者滤除某些频率分量。数字滤波器的输入、输出均为数字信号，并采用数值运算的方法到达滤波的目的，它是根据给定的要求对信号频谱进行修改或整形的系统，可以采用软件方式，通过编写算法软件，利用通用计算机实现滤波；也可以按算法选用硬件组成专用计算机实现滤波。数字滤波器的根本工作原理数字滤波器的根本工作原理，就是利用其频谱特性滤除输入信号的无用频率分量。〔1〕设输入信号中包含有用信号成分为、无用信号成分为，并设它们的频谱分别为，，，并设它们分别占有不同的频带，即：〔2-1〕〔2-2〕其中：，；，；，〔为抽样角频率〕。且有，如图2-1〔a〕所示。〔2〕输入信号经过冲激抽样后的信号，其频谱应为的频谱的周期延拓，并与序列的频谱存在频率坐标的线性映射关系，即：〔2-3〕式中为抽样周期，其频谱图如图2-1〔b〕所示。〔3〕设数字滤波器系统函数在区间具有理想低通特性为：〔2-4〕其频响特性如图2-1〔c〕所示。〔4〕经过数字滤波器后，输出序列的频谱根据离散时间系统的理论得：〔2-5〕而输出冲激抽样信号的的频谱与关系为：〔2-6〕，的频谱如图2-1〔d〕。可见由于数字滤波器频率响应特性的选择作用，已经滤除了输入序列中无用信号的频率成分，只保存了有用信号的成分。1〔a〕01/T〔b〕01〔c〕01/T〔d〕0T〔e〕01〔f〕0图2-1数字滤波器的工作原理〔5〕输出抽样信号经过理想低通模拟滤波器恢复为连续信号的输出。根据抽样定理，理想低通滤波器的频率响应为：〔2-7〕故的频谱为：〔2-8〕如图2-1〔e〕〔f〕所示。因此〔2-9〕上式说明输出信号即为输入信号中有用信号，已滤除无用信号。以上是频域数字滤波的根本原理，由于滤波过程大多数是尽可能地恢复被噪声干扰的消息源，因此，在近代随机信号处理中，将从噪声中提取信号的问题也称为滤波问题。数字滤波器的分类〔1〕按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总结起来可以分成两大类：经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，可以通过一个适宜的选频滤波器滤除干扰，得到纯洁信号，到达滤波的目的。但是，如果有用信号和干扰信号的频谱互相重叠，那么经典滤波器无法有效地滤除干扰。要想最大限度的恢复原始信号，就需要使用现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最正确滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最正确准那么下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而到达最正确滤波的目的。〔2〕经典数字滤波器按其频域特性不同，可以分成低通〔LP〕、高通〔HP〕、带通〔BP〕、带阻等滤波器〔BS〕，它们的理想幅频特性如图2-2所示。这种理想滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，我们只能按照某些准那么设计滤波器，使之在误差容限内逼近理想滤波器，也就是说，理想滤波器可以作为滤波器设计逼近的标准，也可以作为判断滤波器性能的标准。另外，数字滤波器的频率响应函数都是以2为周期的，所以低通滤波器的通频带中心位于2的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心位于的奇数倍处，一般在数字频率的主值区描述数字滤波器的频率响应特性。〔3〕数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类，可以分为无限长单位脉冲响应〔IIR〕滤波器和有限长单位脉冲响应〔FIR〕滤波器。它们的系统函数分别为：〔2-10〕〔2-11〕〔2-10〕式中的称为阶IIR数字滤波器系统函数；〔2-11〕式中的称为阶FIR数字滤波器系统函数。0202〔a〕低通〔b〕高通0202〔c〕带通〔d〕带阻图2-2理想滤波器幅度特性〔4〕按照离散系统实现的结构不同，数字滤波器又可分为递归与非递归两种形式。当的，为有理分式形式时，从其对应的差分方程来看，输出不仅与输入有关，而且与输出的移序值有关。在这种系统的结构图上存在着反应环路，采用这种结构的数字滤波器称为递归滤波器。当的，为多项式形式，以它对应的差分方程来看，输出只与输入及其移序值有关，而与输出的移序值无关。这种系统的结构图不存在反应环路，采用这种结构的数字滤波器称为非递归滤波器。－＋〔a〕递归系统结构〔b〕非递归系统结构图2-3数字滤波器的系统结构一般来说，IIR系统由于它的系统函数为有理分式形式，因此易于用递归形式实现，而FIR系统由于它对应的系统函数是多项式形式，所以易于用非递归形式实现。数字滤波器的特点由于数字滤波器实际是采用数字系统实现的一种运算过程，因此它具有一般数字系统的根本特点，与模拟滤波器相比具有一系列优点。〔1〕高精度特性在模拟网络中，原件精度能到达以上就很不容易了，而数字系统假设为16位字长就可以到达精度，因此数字滤波器可用在精密系统及测量中。〔2〕系统稳定性好模拟系统中各器件参数均有一定的温度系数并随环境条件而变，且易受感应、杂散效应影响。而构成数字滤波器的数字部件，只在0、1两种电平状态下工作，因此电路受以上环境因素的影响要小很多。〔3〕应用灵活性数字滤波器本质上只是一个序列的运算加工过程，其根本构成部件是加法器、乘法器、存放器、及控制器等。只要改变存储器中的系数或计算程序，即可改变系统的特性，因此应用非常灵活。而模拟滤波器通常是由R、L、C及有源器件组成，要想改变系统特性，必须改变硬件组成，过程复杂。由于这种灵活性，数字滤波器可以进行时分复用，即在不同时刻，使一套设备具有不同特性，并同时处理几路独立信号。在处理器内部，一节低阶滤波器屡次循环复用，可以等效于一个高阶滤波器，因此节省硬件，降低本钱。〔4〕处理功能强数字滤波可以完成某些模拟滤波器很难完成的信号处理任务。例如，在某些工业生产过程中，干扰信号频率很低，需要进行频率低至几赫兹信号的滤波，此时应用模拟滤波器就很难实现，而数字滤波器却不感到困难。数字系统可以具有庞大的存储单元，做各种复杂运算，因此能够进行许多复杂的信号处理。当然，数字滤波器也存在缺乏之处。主要问题是处理速度慢，一方面是A/D转换速度还不够快，另外是数字系统运算需要时间，因此对于很高频率的信号处理就会到困难，这也就是所谓的实时处理问题。随着大规模集成电路技术的不断开展，各种高速信号处理器件的不断出现，数字滤波器本身存在的问题正逐渐被克服。数字滤波器的设计数字滤波器设计方法主要有直接设计法和间接设计方法。间接设计法是借助于模拟滤波器的设计方法进行，其具体设计步骤是：将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标，设计出模拟低通滤波器的原型，再通过频率变换，将低通的传递函数转换成所需要的滤波器的传递函数，最后按照一定的变换关系将模拟滤波器转换成数字滤波器。直接设计法是直接在频域或时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。椭圆数字滤波器一般采用间接法设计，所以本论文重点介绍数字滤波器的间接设计法。数字滤波器的技术指标常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。现假设数字滤波器的频率响应函数为，用下式表示：〔3-1〕式中，为幅频特性函数；为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器的幅频特性相同，但相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，对几种典型滤波器，其相频特性是确定的，所以在设计过程中，对相频特性一般不作要求。但是如果对输出波形有要求，那么需要考虑相频特性的技术指标，例如波形传输、图像信号处理等，那么需要设计线性相位数字滤波器。图2-2所示的各种理想滤波器可以作为滤波器设计的逼近标准，即在兼顾复杂性与本钱问题的前提下，设计因果可实现的滤波器去近似实现理想滤波器。因此，在实际应用中滤波器的通带和阻带都允许一定误差容限的存在，即通带不是完全水平的，阻带也不是绝对衰减到零。此外，按照要求，在通带和阻带之间还应设置一定宽度的过渡带。以低通滤波器为例，如图3-1所示为低通滤波器的幅频特性，其中和分别称为通带边界频率和阻带截止频率。其通带频率范围为，且在通带中要求，阻带频率范围为，在阻带中要求。从到称为过渡带，过渡带上的频率响应一般是单调下降的。通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用表示，阻带内允许的最小衰减用表示。对低通滤波器，和分别定义为：dB〔3-2〕dB〔3-3〕10.7070图3-1低通滤波器的幅频特性指标示意图显然，越小，通带波纹越小，通带逼近误差就越小；越大，阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；与间距越小，过渡带就越窄。所以低通滤波器的技术指标完全由通带边界频率、通带最大衰减、阻带截止频率和阻带最小衰减确定。对于选频型滤波器一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只需要其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是指“通带波纹幅度”和“阻带波纹幅度”，而通带最大衰减和阻带最小衰减是与和完全等价的两个常数。对图2-4所示的单调下降幅频特性，和分别可以表示为：dB〔3-4〕dB〔3-5〕如果将归一化为1，〔3-4〕和〔3-5〕式那么表示为dB〔3-6〕dB〔3-7〕当幅度下降到时，标记，此时dB，称为3dB通带截止频率，它可以理解为幅频下降3dB或者幅值下降到归一化幅值的0.707倍时，其对应的频率。、和统称为边界频率，它们是滤波器设计中涉及到的很重要的参数。模拟滤波器根本原理模拟滤波器的技术指标间接法设计的关键在于过渡模拟滤波器的构建。首先需要将数字滤波器的技术指标、、和转换为模拟滤波器的技术指标、、和。模拟滤波器的技术指标与数字滤波技术指标意义相似：和分别称为通带边界频率和阻带边界频率，和分别是通带最大衰减和阻带最小衰减。对于模拟滤波器，在给定技术指标的情况下，首要任务是找出系统函数使之近似地符合给定的技术指标。对于典型的可实现函数，往往先求对应频率响应的幅度平方函数，由此寻找。待求的应满足系统稳定性要求，且系统单位冲激响应是的实函数，这样应具有共轭对称性，即：〔3-8〕由此得：〔3-9〕如果能由、、和求出，那么就可以求出，由此可求出所需要的。必须是因果稳定的，因此其极点必须落在s平面的左半平面，相应的极点必须落在右半平面。这就是由求所需要的的具体原那么。实际上，幅度平方函数就是对理想幅度平方函数的近似逼近函数，解决滤波器系统函数设计的关键是要找到这种逼近函数。选用不同的逼近函数对应于不同的滤波器实现方法，目前常用的典型模拟滤波器有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器等。巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器又称最平坦响应滤波器，它是最根本的逼近函数之一。它的频率响应在通带和阻带内没有波纹，且为频率的单调减函数，在靠近零频处最平坦。〔1〕巴特沃斯滤波器的幅频特性巴特沃斯滤波器的幅度平方函数定义为：〔3-10〕式中，称为滤波器的阶数，取正整数。其幅度特性与和的关系如图3-2所示，其具有以下特点：图3-2巴特沃斯滤波器幅频特性最大平坦性在处，，可以证明：的前阶导数都等于零，这说明巴特沃斯滤波器在附近的一段范围内是非常平直的，它以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器，最平坦响应滤波器亦因此而得名。2〕3dB不变性在处，，即幅频特性在点下降3dB，随着阶数N的增加，频带下降的边缘越陡峭，越接近理想特性，但不管N为多少，幅频特性都要通过点。通带、阻带下降的单调性由通带、阻带上幅频特性下降的单调性，可知巴特沃斯滤波器具有较好的相频特性。〔2〕巴特沃斯滤波器系统函数与极点分布巴特沃斯滤波器幅度平方函数无零点分布，其极点个数为2N个，且呈等角度分布在以为半径的圆周上，称为巴特沃斯圆。具体分析如下：〔3-11〕为求出的2N个极点，由，得：〔3-12〕由此得：〔3-13〕所以〔3-14〕当N为偶数时〔3-15〕当N为奇数时〔3-16〕为的极点，此极点分布有以下特点：1〕的2N个极点以为间隔均匀分布在半径的圆周上；2〕所有极点以轴为对称轴分布，虚轴上无极点分布。3〕当N为奇数时，有两个极点分布在的实轴上；当N为偶数时，实轴上无极点，所有负数极点均以轴呈对称分布。图3-3〔a〕〔b〕分别画出了和时的极点分布。〔a〕〔b〕图3-3函数极点分布为了得到稳定的，取全部左半平面的极点：〔3-18〕当N为偶数时，得：〔3-19〕当N为奇数时，得：〔3-20〕为应用方便一般将式〔3-19〕和式〔3-20〕对进行归一化处理，即将分子、分母各除以，并令，称为归一化复频率，得：〔N为偶数〕〔3-21〕〔N为奇数〕〔3-22〕切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器又分为切比雪夫I型滤波器和切比雪夫II型滤波器。切比雪夫I型滤波器具有在通带内等波纹，在阻带内单调下降的振幅特性；而切比雪夫II型滤波器恰恰相反，它的振幅特性在通带内单调下降，在阻带内是等波纹的。它们的过渡带较巴特沃斯滤波器陡峭，且在相同技术指标前提下，所需阶数较巴特沃斯滤波器低。本论文以切比雪夫I型滤波器为例，介绍其频率特性及传输函数。〔1〕切比雪夫滤波器的幅频特性切比雪夫滤波器的幅度平方函数定义为：〔3-23〕式中，表示通带内幅度波动的程度，为小于1的正数；表示通带截止频率；为N阶切比雪夫多项式，定义为：〔3-24〕图〔3-4〕是按照式〔3-23〕画出的切比雪夫滤波器的幅频特性曲线。由图可见，曲线有如下特性：当时，在间等幅波动，越小，波动幅度越小。当时，假设N为奇数，；假设N为偶数，。无论N为何值，当时，。当时，曲线呈单调下降，N越大，特性曲线衰减越快。5〕由于滤波器通带内存在起伏，因而使通带内的相频特性也有相应的起伏波动，即相位是非线性的，这给信号传输时带来非线性畸变，所以在有设计要求群延时为常数时，不宜采用这种滤波器。图3-4切比雪夫滤波器幅频特性曲线〔2〕切比雪夫滤波器的系统函数和极点分布与巴特沃斯滤波器类似，切比雪夫滤波器的系统函数是根据切比雪夫幅度平方函数来求解，并得到其极点分布。将代入式〔3-23〕，解方程可得到极点分布。设其系统函数的极点为，经计算可用下式给出：，〔3-25〕〔3-26〕〔3-27〕〔3-28〕〔3-29〕由上式可得：〔3-30〕上式是一个平面上的椭圆方程，它的短轴和长轴分别位于平面的实轴和虚轴。可见，切比雪夫滤波器的系统函数的极点排列在一个椭圆圆周上。取左半平面的极点作为的极点，可推出表达式为：〔3-31〕椭圆滤波器〔1〕椭圆滤波器的频率响应和极点分布椭圆滤波器在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性，它的相频特性在大约半个通带范围上非常接近线性相位。椭圆滤波器作为一种零、极点型滤波器，在有限频率上既有零点又有极点，极零点在通带内产生等纹波特性。阻带内的有限频率零点减小了滤波器过渡带以获得极为陡峭的衰减特性曲线。也就是说，椭圆滤波器以通带和阻带的波纹特性换取了对理想滤波器幅频响应的最好逼近。同时由于其阻带范围内出现了旁瓣，所以椭圆滤波器的阻带旁瓣大小需要满足滤波器技术指标对阻带最大衰减的要求。dBrad/s图3-55阶巴特沃斯、切比雪夫、椭圆滤波器的比拟图3-8比拟了有5个极点的巴特沃斯滤波器、0.1dB切比雪夫滤波器和0.1dB有两个传输零点的椭圆滤波器的幅频特性。显然，椭圆滤波器的过渡带较其它两种滤波器要窄的多。而在满足幅频响应指标相同的条件下，椭圆滤波器所需的阶数最小，处理速度最快。所以工程实际中，希望滤波器阶数最低时，就选择椭圆滤波器，这使其成为一种性价比最高的滤波器，应用非常广泛。椭圆滤波器的幅度平方函数可表示为：〔3-32〕其中是阶雅克比椭圆函数，是通带内幅度波动程度，椭圆函数既有零点又有极点。当为奇数时，可以表示为：〔3-33〕其中，。当为偶数时，可以表示为：〔3-34〕其中，。的零点是；而极点是。的值由椭圆积分给出，其定义是：〔3-35〕的零、极点互为倒数的关系使得椭圆滤波器在通带和阻带内均呈现等波纹特性。图3-6所示为归一化的椭圆低通滤波器幅频响应。图3-6归一化椭圆低通滤波器幅频响应〔2〕椭圆滤波器的设计椭圆滤波器的系统函数和阶数是由系统通带边界频率、通带内最大衰减、阻带截止频率以及阻带内最小衰减决定的。现设为频率归一化的基准频率，即：〔3-36〕定义频率的选择性因数为：〔3-37〕那么通带边界频率和阻带截止频率分别归一化，得：〔3-38〕〔3-39〕再假设：〔3-40〕〔3-41〕〔3-42〕〔3-43〕那么得到椭圆滤波器的阶数为：〔3-44〕这时，根据椭圆函数数值表可以得到相应阶次滤波器系统函数的分子、分母系数。这时，令归一化的基准频率为，那么得到归一化后的椭圆滤波器系统函数为：〔3-45〕式中，，所以，实际的椭圆低通滤波器就可以通过去归一化来得到：〔3-46〕模拟滤波器频率变换高通、带通和带阻滤波器设计的常用方法是借助于对应的低通原型滤波器。首先，通过频率变换公式将所需形式的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标；然后，设计相应的低通滤波器系统函数；最后，对低通滤波器系统函数进行频率变换，得到所需形式滤波器的系统函数。定义为归一化低通滤波器系统函数，即是关于某个边界频率归一化的低通滤波器。归一化频率根据设计需要而定，巴特沃斯滤波器的低通原型是关于3dB截止频率归一化的低通系统函数，切比雪夫滤波器和椭圆滤波器的低通原型是关于通带边界频率归一化的低通系统函数。定义为的归一化复变量，为归一化频率，其通带边界频率记为。〔1〕低通到高通的频率变换从低通到高通滤波器的映射关系为：〔3-47〕在频率轴上该映射关系为：〔3-48〕式中，为希望设计的高通滤波器的通带边界频率。频率变换公式〔3-48〕意味着将低通滤波器的通带映射为高通滤波器的通带，而将低通滤波器的通带映射为高通滤波器的通带。同样，将低通滤波器的阻带映射为高通滤波器的阻带，而将低通滤波器的阻带映射为高通滤波器的阻带。映射关系式〔3-48〕确保低通滤波器在通带上的幅度值出现在高通滤波器的通带上。同样，低通滤波器在阻带上的幅值出现在高通滤波器的阻带上。最后，只要将通带边界频率为的低通原型滤波器的系统函数转换成通带边界频率为的高通滤波器系统函数即可：〔3-49〕〔2〕低通到带通的频率变化从低通到高通滤波器的映射关系为：〔3-50〕在频率轴上该映射关系为：〔3-51〕式中，，用来表示带通滤波器的通带宽度，和分别为带通滤波器的通带下截止频率和通带上截止频率；表示带通滤波器的中心频率。根据式〔3-51〕的映射关系，频率映射为，频率映射为频率和，频率映射为频率和。也就是说，将低通滤波器的通带映射为带通滤波器的通带和。同样，映射为频率和，频率映射为频率和。最后，将转换为带通滤波器的系统函数，即：〔3-52〕可以证明：〔3-53〕所以，带通滤波器的通带频率是关于几何对称的。如果原指标给定的边界频率不能满足式〔3-53〕，就要改变其中一个边界频率，但要保证改变后的指标高于原始指标，具体计算公式为：或〔3-54〕如果，那么减小〔或增大〕；反之，如果，那么减小〔或增大〕。〔3〕低通到带阻的频率变换低通到带阻的频率映射关系为：〔3-55〕在频率轴上该映射关系为：〔3-56〕式中，，用来表示带阻滤波器的阻带宽度，和分别为带阻滤波器的阻带下截止频率和阻带上截止频率；表示带阻滤波器的中心频率。由式〔3-56〕可知，是的二次函数，从低通滤波器频率到带阻滤波器频率为双值映射。最后，将阻带边界频率为的低通原型滤波器转换为所希望设计的带阻滤波器系统函数，即：〔3-57〕模拟滤波器与数字滤波器的转换关系间接法设计数字滤波器，首先需要将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标，设计过渡模拟滤波器后，再将模拟滤波器的系统函数按照一定变换关系转换为数字滤波器的系统函数。二者的转换，实质上是域与域之间的映射转换，为使数字滤波器保持模拟滤波器的特性，这种映射关系应满足以下条件：〔1〕为使模拟滤波器的频率特性和数字滤波器的频率特性有相互对应关系，要求平面的虚轴映射为平面的单位圆，使得相应的频率之间呈线性关系。〔2〕域左半平面映射到平面的单位圆内部，也就是稳定的模拟滤波器经映射后仍然是稳定的数字滤波器。将系统函数从平面转换到平面的方法有很多种，常用的是脉冲响应不变法和双向性变换法。脉冲响应不变法脉冲响应不变法是把模拟滤波器的冲激响应进行等间隔抽样，其抽样值作为数字滤波器的单位抽样响应，即：〔3-58〕式中，为抽样间隔。对取变换即可求得作为该滤波器的系统函数。下面设模拟滤波器的系统函数仅具有单极点，以此为例简要分析脉冲响应不变法的原理。其表达式为：〔3-59〕〔3-60〕对式〔3-59〕取反变换，得：〔3-61〕按式〔3-58〕对抽样并取变换，得：〔3-62〕〔3-63〕比照式〔3-59〕和式〔3-63〕可见，脉冲响应不变法的原理就是把局部分式展开式中的代之以，即得。此结果说明，平面极点映射到平面，是位于处的极点，假设在平面的左半平面，那么必位于平面的单位圆内，从而保证了数字滤波器的稳定性。与的映射关系为：〔3-64〕上式说明，平面与平面的映射呈多值多元关系。假设，，那么，。多值映射关系也可以从下式看出：〔3-65〕当不变，以整数倍改变时，映射值不变，也就是将平面沿着轴分割成一条条宽为的水平带，每条水平带都按前面分析的关系映射成整个平面。平面与平面间映射的多值性是脉冲响应不变法的一个缺点，同时如果原的频带不是限于之间，那么会在奇数倍的附近产生频谱混叠，对应数字频率在附近产生频谱混叠。脉冲响应不变法的频谱混叠现象如图3-7所示。图3-7脉冲响应不变法的混叠现象示意图综上所述，对于脉冲响应不变法，它可以把稳定的模拟滤波器变换成稳定的数字滤波器，变换时频率呈线性关系。混叠现象不严重时，转换后的数字滤波器频率特性形状与模拟滤波器根本相同，在时域上两者的冲激响应形状一致。但是由于混叠现象的存在，使得设计出的数字滤波器在附近的频率响应特性不同程度地偏离模拟滤波器在附近的频率特性，严重会是使数字滤波器不满足给定的技术指标。因此，脉冲响应不变法只适用于低通滤波器和带限的高通、带通、带阻滤波器，在不带限情况下，需要在高通、带通、带阻滤波器前参加保护滤波器，滤除高于折叠频率的频带，但是这样会增加系统的本钱和复杂度。另一种常用的变换方法——双线性变换法，能够有效地解决脉冲响应不变法带来的频谱混叠问题。双线性变换法双线性变换是采用非线性频率压缩的方法，将整个模拟频率轴压缩到之间，再用转换到平面上。设，经过非线性频率压缩后用，表示，用正切变换来实现频率压缩：〔3-66〕式中，为采样间隔。当从经过变化到时，那么由经过变化到，实现了平面上整个虚轴完全压缩到平面上虚轴的之间的转换。由式〔3-66〕有：〔3-67〕代入，得到：〔3-68〕再通过从平面转换到平面上，得到：〔3-69〕〔3-70〕式〔3-69〕和式〔3-70〕都成为双线性变换。双线性变换过程就是从平面映射到平面，再从平面映射到平面。由于从平面映射到平面的非线性频率压缩，使得带限于，因此再用脉冲响应不变法从平面转换到平面就不会出现频谱混叠现象，这是双线性变换法最大的优点。从平面转换到平面时采用转换关系，平面的之间水平带的左半局部映射到平面的单位圆内部，虚轴映射为单位圆，因果稳定，转换成的也是因果稳定的。令，，代入式〔3-76〕，得到模拟频率和数字频率之间的关系：〔3-71〕〔3-72〕上式中平面上的与平面的成非线性正切关系，如图3-8所示。附近接近线性关系；当增加时，增加得越来越快；趋近于时，趋近于。正是这种非线性关系，消除了频谱混叠问题。图3-8双线性变换的频率关系但是，与之间的非线性关系也是双线性变换法的缺点，使数字滤波器频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器的频响曲线形状。这种非线性影响的实质问题是：如果的刻度是均匀的，那么其映像的刻度不是均匀的，而是随着的增加越来越密集。双线性变换频率轴的非线性畸变问题，对于常用的大量具有片段常数频响特性的滤波器来说，问题并不严重。对于一般的低通、高通等滤波器，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数，在阻带内要求逼近一个衰减为的常数，这种特性的滤波器，通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但结果仍然具有原片段常数特性，只是通带截止频率、阻带起始频率发生了非线性变化。这个问题的解决可以通过“预畸变校正”来实现，即在由数字滤波器的临界频率求原型模拟滤波器的临界频率时，不是按照线性关系来求得，而是根据式〔3-72〕这个非线性关系求得。这就保证了通过双线性变换后，所设计的模拟截止频率正好映射在所要求的数字截止频率上。椭圆数字滤波器设计及仿真椭圆数字滤波器的设计步骤采用间接法设计椭圆数字滤波器的一般步骤，总结如下：〔1〕确定所需类型椭圆数字滤波器的技术指标〔以低通为例〕：通带边界频率、通带最大衰减和阻带截止频率、阻带最小衰减和采样间隔。〔2〕将所需类型椭圆数字滤波器的边界频率转换为相应类型的模拟滤波器技术指标，可采用脉冲响应不变法或双线性变换法。采用脉冲响应不变法时，转换关系为：〔4-1〕采用双线性变换法时，边界频率的转换关系为：〔4-2〕当采用双线性变换法时，采样间隔为任意值；采用脉冲响应不变法时，为使频谱混叠足够小，采样间隔需满足。〔3〕将相应类型的椭圆模拟滤波器技术指标转换成椭圆模拟低通滤波器的技术指标。〔4〕设计椭圆模拟低通滤波器。〔5〕通过频率变换将椭圆模拟低通滤波器转换为相应类型的椭圆模拟滤波器。〔6〕采用脉冲响应不变法或双线性变换法，将相应类型的椭圆模拟滤波器转换成椭圆数字滤波器。椭圆数字滤波器的MATLAB仿真MATLAB仿真软件是一套集数值计算、符号运算及图形处理等强大功能于一体的科学计算语言。它的应用范围涵盖了电子、半导体制造、医学研究、航空航天、汽车制造、分子模型、影视、建筑等行业。MATLAB拥有友好的工作平台和编程环境，简单易用的程序语言，强大的科学计算及数据处理能力，出色的图形处理功能，应用广泛的模块集和工作箱，实用的程序接口和发布平台，模块化的设计和系统级的仿真。随着MATLAB的信号处理工具箱的推出，现如今它已成为数字信号处理应用中分析和仿真设计的主要工具。MATLAB的信号处理工具箱提供了各种数字滤波器的设计函数，其中椭圆数字滤波器的设计函数有：ellipap、ellipord和ellip。通过编程可以很容易由滤波器的技术指标得到所需滤波器的阶数，实现各种类型的椭圆数字滤波器，大大简化了椭圆数字滤波器的设计。下面，将按顺序介绍在本论文中椭圆数字滤波器的设计涉及到的重要函数调用方式以及椭圆数字滤波器的设计仿真实例。重要函数调用方式〔1〕椭圆滤波器设计函数1〕Ellipap函数：设计归一化椭圆模拟低通滤波器。其调用方式为：[z,p,k]=ellipap(N,rp,rs)：用于计算N阶归一化模拟低通椭圆滤波器的零点向量z、极点向量p和增益因子k。输入参数N为滤波器的阶数；输入参数rp为滤波器在通带内的最大衰减值；输入参数rs为滤波器在组带内的最小衰减值。返回长度为N的列向量z和p分别给出N个零点和N个极点。2〕Ellipord函数：计算椭圆滤波器的最低阶数N和通带边界频率。其调用方式为：[n,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs)：用于计算满足指标的椭圆数字滤波器的最低阶数N和通带边界频率wpo。参数wp为通带边界频率，ws为阻带截止频率，rp为通带最大衰减，rs为阻带最小衰减。[n,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs,’s’)：用于计算满足指标的椭圆\模拟滤波器的最低阶数N和通带边界频率wpo。3〕Ellip函数：直接调用设计椭圆滤波器。其调用方式为：[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn)：用来返回或设计的截止频率为wn〔wn必须为整数〕的N阶椭圆滤波器的分子系数向量b和分母系数向量a〔按照降幂排列〕。输入参数rp用来指定通带内波纹的最大衰减；输入参数rs用来指定阻带内波纹的最小衰减；wn的取值范围为〔0.0，1.0〕，其中1对应于0.5fs，fs为采样频率。在这里，如果wn是一个二元向量，即wn=[w1,w2]，那么此函数返回的是一个2N阶的带通椭圆滤波器的设计结果，其通带是。[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn,’high’)：设计椭圆高通滤波器。[b,a]=ellip(n,rp,rs,wn,’stop’)：设计带阻滤波器，此时wn=[w1,w2]。上面三种情况返回的向量b和a的维数都是〔N+1〕，而不是N。[z,p,k]=ellip(…)：当函数有三个输出变量时，得到的是椭圆滤波器的零极点增益模型。[a,b,c,d]=ellip(…)：当函数有四个输出变量时，得到的是椭圆滤波器的状态方程。ellip(n,rp,rs,wn,’s’)、ellip(n,rp,rs,wn,’high’,’s’)、ellip(n,rp,rs,wn,’stop’,’s’)：用参数s来指定设计的是模拟椭圆滤波器，此时，wn的单位是rad/s，可以大于1。〔2〕频率变换函数1〕Lp2hp函数：模拟低通滤波器到模拟高通滤波器。其调用方式为：[numt,dent]=lp2hp(num,den,wo)：将用传递函数表示的、截止频率为1rad/s的模拟低通滤波器变换为截止频率为wo的模拟高通滤波器。[at,bt,ct,dt]=lp2hp(a,b,c,d,wo)：将用状态方程表示的、截止频率为1rad/s的模拟低通滤波器变换为截止频率为wo的模拟高通滤波器。2〕Lp2bp函数：模拟低通滤波器到模拟带通滤波器。其调用方式为：[numt,dent]=lp2bp(num,den,wo,bw)：将用传递函数表示的、截止频率为1rad/s的模拟低通滤波器变换为中心频率为wo、带宽为bw的模拟带通滤波器。[at,bt,ct,dt]=lp2hp(a,b,c,d,wo,bw)：将用状态方程表示的、截止频率为1rad/s的模拟低通滤波器变换为中心频率为wo、带宽为bw的模拟带通滤波器。3〕Lp2bs函数：模拟低通滤波器到模拟带阻滤波器。其调用方式为：[numt,dent]=lp2bs(num,den,wo,bw)：将用传递函数表示的、截止频率为1rad/s的模拟低通滤波器变换为中心频率为wo、带宽为bw的模拟带阻滤波器。[at,bt,ct,dt]=lp2bs(a,b,c,d,wo,bw)：将用状态方程表示的、截止频率为1rad/s的模拟低通滤波器变换为中心频率为wo、带宽为bw的模拟带阻滤波器。〔3〕模拟滤波器与数字滤波器转换函数1〕Impinvar函数：模拟滤波器变换成数字滤波器的脉冲响应不变法。其调用方式：[bz,az]=impinvar(b,a,fs)：将模拟滤波器的〔b,a〕换成数字滤波器的〔bz,az〕，输入参数fs是对模拟滤波器频率响应的采样，其默认值为1。[bz,az]=impinvar(b,a,fs,tol)：输入参数tol表示区分多重极点的程度，其默认值为1%。2〕Bilinear函数：模拟滤波器转换为数字滤波器的双线性变换法。其调用方式为：[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,fs)：将采用零极点模型表达的模拟滤波器转换为数字滤波器。列向量z为零点向量，列向量p为极点向量，k是系统增益，fs是指定的采样频率，其单位为Hz。[numd,dend]=bilinear(num,den,fs)：将采用传递函数模型表达的模拟滤波器转换为数字滤波器。[ad,bd,cd,dd]=bilinear(a,b,c,d,f)：将采用状态空间模型表达的模拟滤波器转换为数字滤波器。椭圆数字滤波器设计仿真实例〔1〕椭圆数字低通滤波器的设计仿真1〕设计说明：运用双线性变换法设计椭圆数字低通滤波器，其技术指标为：通带边界频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。画出该滤波器幅频、相频曲线及零极点分布。2〕程序代码：clc;clearall;Rs=20;Rp=1;Wpl=0.2*pi;Wsl=0.3*pi;OmegaPl=tan(Wpl/2);OmegaSl=tan(Wsl/2);Eta_P=OmegaPl/OmegaPl;Eta_S=OmegaSl/OmegaPl;[N,Wn]=ellipord(Eta_P,Eta_S,Rp,Rs,'s');[numl,denl]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,'s');[num,den]=bilinear(numl,denl,0.5);subplot(2,2,3);zplane(num,den);w=0:pi/256:pi;h=freqz(num,den,w);g=abs(h);g1=angle(h);subplot(2,2,1);plot(w/pi,g);gridaxis([0102]);xlabel('\omega^pi');ylabel('magnitude');title('themagnitudeofthefilter');subplot(2,2,2);plot(w/pi,g);gridon;axis([01-55]);xlabel('\omega^pi');ylabel('Phase');title('Thephaseofthefilter');3〕运行结果：椭圆数字低通滤波器阶数：N=3；椭圆数字低通滤波器系统函数分子分母多项式系数：num=[0.254460.43220.43220.25446]den=[1-0.189030.71974-0.15739]椭圆数字低通滤波器频率响应特性及零极点分布如图4-1所示。图4-1椭圆数字低通滤波器仿真结果示意图4〕结果分析：由图4-1可以清晰地看到，椭圆数字低通滤波器的幅频响应曲线在通带和阻带上都存在等波纹，其过渡带较窄，相频响应在大约半个通带范围内非常接近线性相位。它是一种零、极点型滤波器，在有限频率上既有零点又有极点。〔2〕椭圆数字带阻滤波器的设计仿真1〕设计说明：直接调用函数设计椭圆数字带阻滤波器，要求滤除2200~2500Hz频段的频率成分，阻带衰减大于40dB，保存0~1500Hz和2800Hz以上的频率成分，通带幅度失真小于1dB，画出椭圆数字带阻滤波器频率响应曲线。2〕程序代码：fsl=2200;fsu=2500;fpl=1500;fpu=2800;Fs=8000;ws=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];wp=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];Rp=1;Rs=40;[N,wpo]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs);[b,a]=ellip(N,Rp,Rs,wpo,'stop');freqz(b,a);3〕仿真结果：图4-2椭圆数字带阻滤波器频率响应特性4〕结果分析：由得到的仿真结果幅频响应曲线可以看到，该带阻椭圆数字滤波器可以实现技术指标所要求滤波效果。通带范围0~1500Hz和2800Hz以上的频率成分，经过对取归一化后，得到0~0.375和0.7以上保存频率范围，2200~2500Hz对应的归一化滤除频率范围是0.55~0.625，幅频响应曲线显示滤波器幅频特性完全符合设计要求。但是相频特性曲线的线性较差，有待进一步改善。〔3〕椭圆数字带通滤波器的设计仿真1〕设计说明：输入信号，设计椭圆数字带通滤波器,使输入信号通过椭圆数字滤波器后仅保存220Hz频率成分，画出椭圆数字滤波器的频率响应曲线，以及输入信号、输出信号波形及频谱图。2〕程序代码：Fs=2000;Nn=200;t=(1:Nn)/Fs;w1=2*pi*100;w2=2*pi*220;w3=2*pi*400;y=sin(w1*t)+2*sin(w2*t)+5*sin(w3*t);figure(1);subplot(2,