2024成都中考数学二轮复习专题 PA+kPB型之胡不归问题专项训练（含答案）

2024成都中考数学二轮复习专题PA+kPB型之胡不归问题专项训练（学生版）课中讲解故事介绍从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？模型建立如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．问题分析，记，即求BC+kAC的最小值．问题解决构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．模型总结在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．例1.四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点,则AM+BM的最小值为.变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？过关检测1.如图，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+2PB的最小值为.2.如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。试说明CE是⊙O的切线。若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的AB的长。例2.如图，在直角坐标系中，，，，，为射线上一点，一动点从出发，运动路径为，点在上的运动速度是在上的3倍，要使整个运动时间最少，则点的坐标应为A． B． C． D．

例3.如图，抛物线与轴交于、两点，过的直线交抛物线于，且，有一只蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点处觅食，则蚂蚁从到的最短时间是．例4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与轴交于点（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若为轴上的一个动点，连接，则的最小值为；（3）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有个；②连接，，若不小于，求的取值范围．

过关检测1.等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为．2.如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．（1）填空：点A的坐标为，点B的坐标为；（2）直线l1的表达式为；（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．

3.如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？

学习任务1.如图，在平面直角坐标系中，点，点P为x轴上的一个动点，当最小时，点P的坐标为___________.2.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M为对角线BD（不含点B）上的一动点，则的最小值为___________.3.如图，△ABC是等边三角形．（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．

4.如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？

5.如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且．（1）求直线和直线的解析式；（2）点是线段上一点，点是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点，于点．当与的乘积最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值；（3）如图2，直线上有一点，将二次函数沿直线平移，平移的距离是，平移后抛物线上点，点的对应点分别为点，点；当△是直角三角形时，求的值．家长签字：____________2024成都中考数学二轮复习专题PA+kPB型之胡不归问题专项训练（解析版）课中讲解故事介绍从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？模型建立如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．问题分析，记，即求BC+kAC的最小值．问题解决构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．模型总结在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．例1.四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点,则AM+BM的最小值为.变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？过关检测1.如图，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+2PB的最小值为.

2.如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。试说明CE是⊙O的切线。若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的AB的长。

例2.如图，在直角坐标系中，，，，，为射线上一点，一动点从出发，运动路径为，点在上的运动速度是在上的3倍，要使整个运动时间最少，则点的坐标应为A． B． C． D．【分析】假设在的速度为3，在的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出的取值范围，进而求出的坐标．【解答】解：假设在的速度为3，在的速度为1，设坐标为，则，，设，等式变形为：，则的最小值时考虑的取值即可，，，△，的最小值为，，点的坐标为，故选．解法二：假设在的速度为，在的速度为，总时间，要使最小，就要最小，因为，过点作交于点，交于，易证，所以，所以，因为是等腰三角形，所以，所以要最小，就是要最小，就要、、三点共线就行了．因为，所以，即，所以，所以点的坐标应为．【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式△判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．例3.如图，抛物线与轴交于、两点，过的直线交抛物线于，且，有一只蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点处觅食，则蚂蚁从到的最短时间是．【分析】过点作轴的平行线，再过点作轴的平行线，两线相交于点，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到，设，，则，则可判断蚂蚁从爬到点所用的时间等于从爬到点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点所用时间等于它从以1单位的速度爬到点，再从点以1单位速度爬到点的时间，利用两点之间线段最短得到的最小值为的长，接着求出点和点坐标，再利用待定系数法求出的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定点坐标，从而得到的长，然后计算爬行的时间．【解答】解：过点作轴的平行线，再过点作轴的平行线，两线相交于点，如图，，，，设，，则，蚂蚁从爬到点的时间若设蚂蚁从爬到点的速度为1单位，则蚂蚁从爬到点的时间，蚂蚁从爬到点所用的时间等于从爬到点所用的时间相等，蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点所用时间等于它从以1单位的速度爬到点，再从点以1单位速度爬到点的时间，作于，则，的最小值为的长，当时，，解得，，则，，直线交轴于点，如图，在中，，，则，设直线的解析式为，把，代入得，解得，直线的解析式为，解方程组得或，则点坐标为，，，蚂蚁从爬到点的时间，即蚂蚁从到的最短时间为．故答案为．【点评】本题考查了二次函数与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标化为解关于的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在和上爬行的时间相等．例4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与轴交于点（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若为轴上的一个动点，连接，则的最小值为；（3）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有个；②连接，，若不小于，求的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，连接，作于，交于，此时最小．最小值就是线段，求出即可．（3）①先在对称轴上寻找满足是等腰三角形的点，由此即可解决问题．②作的中垂线与轴交于点，连接，则，以为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点、．则，从而线段上的点满足题意，求出、的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，抛物线解析式为，，顶点坐标，．（2）如图1中，连接，作于，交于，此时最小．理由：，，，，，，此时最短（垂线段最短）．在中，，，，，，的最小值为．故答案为．（3）①以为圆心为半径画弧与对称轴有两个交点，以为圆心为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点有5个，即满足条件的点也有5个，故答案为5．②如图，中，，，作的中垂线与轴交于点，连接，则，以为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点、．则，从而线段上的点满足题意，，，，，，，解得或，故，，，，的取值范围.

过关检测1.等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为．【解答】解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝所以点G的坐标为（0，﹣）．故答案为：（0，﹣）．2.如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．（1）填空：点A的坐标为，点B的坐标为；（2）直线l1的表达式为；（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．【解答】解：（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，故答案为（﹣2，0）、（0，2）；（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，故：答案为：y＝2x﹣2；（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴yE＝2OB＝4，将yE＝4代入l1的表达式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，则点E的坐标为（3，4）；（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，直线l2：y＝x+2，则∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．

3.如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？

【分析】（1）首先求出点、坐标，然后求出直线的解析式，求得点坐标，代入抛物线解析式，求得的值；（2）因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是或．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：．如答图3，作辅助线，将转化为；再由垂线段最短，得到垂线段与直线的交点，即为所求的点．【解答】解：（1）抛物线，令，解得或，，．直线经过点，，解得，直线解析式为：．当时，，，．点，在抛物线上，，．抛物线的函数表达式为：．即．（2）由抛物线解析式，令，得，，．因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是或．①若，则有，如答图所示．设，过点作轴于点，则，．，即：，．，代入抛物线解析式，得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），．，，即，解得：．②若，则有，如答图所示．设，过点作轴于点，则，．，即：，．，代入抛物线解析式，得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），．，，，解得，，，综上所述，或．（3）方法一：如答图3，由（1）知：，，如答图，过点作轴于点，则，，，，．过点作轴，则．过点作于点，则．由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，，即运动的时间值等于折线的长度值．由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．点横坐标为，直线解析式为：，，，．综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少．方法二：作，，交直线于点，，，，当且仅当时，最小，点在整个运动中用时为：，，，．【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．

学习任务1.如图，在平面直角坐标系中，点，点P为x轴上的一个动点，当最小时，点P的坐标为___________.[答案]：2.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M为对角线BD（不含点B）上的一动点，则的最小值为___________.[答案]：3.如图，△ABC是等边三角形．（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图1中∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，∵△PCQ是等边三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．（2）证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等边三角形，∴AD＝DQ，∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）．（3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．∵PE＝PA，∴PA+2PC＝2（PA+PC）＝2（PE+PC），根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF．由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∴x＝2（y+y），∴y＝x．4.如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？【分析】（Ⅰ）只需把、两点的坐标代入，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线与抛物线的交点的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，从而得到，然后根据三角函数的定义就可求出的值；（Ⅱ）（1）过点作轴于，则．设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则，易得．若点在点的下方，①当时，．此时可证得，根据相似三角形的性质可得．则有，然后把代入抛物线的解析式，就可求出点的坐标②当时，，同理，可求出点的坐标；若点在点的上方，同理，可求出点的坐标；（2）过点作轴于，如图3．易得，则点在整个运动中所用的时间可表示为．作点关于的对称点，连接，则有，，，从而可得，．根据两点之间线段最短可得：当、、三点共线时，最小．此时可证到四边形是矩形，从而有，．然后求出点的坐标，从而得到、、的值，即可得到点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）把，代入，得，解得：．抛物线的解析式为联立，解得：或，点的坐标为．如图1．，，，，，，，是直角三角形，，；（Ⅱ）方法一：（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．过点作轴于，则．设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．，，．若点在点的下方，①如图2①，当时，则．，，，．．则．把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）．②如图2②，当时，则．同理可得：，则，把代入，得，整理得：解得：（舍去），，，；若点在点的上方，①当时，则，同理可得：点的坐标为．②当时，则．同理可得：点的坐标为，．综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；方法二：作的“外接矩形”，易证，，以，，为顶点的三角形与相似，或，设，，，①，，，，②，，，（舍，满足题意的点的坐标为、，、，；（2）方法一：过点作轴于，如图3．在中，，即，点在整个运动中所