2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 练习课件

微专题二次函数综合题类型一线段问题1.(2023重庆A卷节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点(1，3)，且交x轴于点A(－1，0)，B两点，交y轴于点C.(1)求抛物线的表达式；第1题图解：(1)将点(1，3)，(－1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋2，得

解得∴该抛物线的表达式为y＝－

x2＋

x＋2；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标．第1题图(2)∵当x＝0时，y＝2，∴C(0，2).∵当y＝0时，x＝－1或x＝4，∴B(4，0)，∴OC＝2，OB＝4，BC＝2.∵直线BC过点B(4，0)，C(0，2)，∴直线BC的函数表达式为y＝－

x＋2.∵PD⊥BC，PE∥y轴，∴∠PDE＝∠BOC＝90°，∠PED＝∠BCO，∴△PDE∽△BOC，∴

，∴

，∴DE＝

PE，PD＝

PE.第1题图设P(m，－

m2＋

m＋2)，则E(m，－

m＋2)(0<m<4).∴PE＝－

m2＋

m＋2－(－

m＋2)＝－

(m－2)2＋2.∵－

<0，∴当m＝2时，PE有最大值，最大值为2，∴△PDE周长的最大值为DE＋PD＋PE＝

PE＋

PE＋PE＝

＋2.此时点P的坐标为(2，3).第1题图

解题关键点根据PD⊥BC，PE∥y轴推导出△PDE∽△BOC，得出DE，PE，PD之间的关系是解题的关键．第2题图2.(2023济宁节选)如图，直线y＝－x＋4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x＝

的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A.

P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式；解：(1)在直线y＝－x＋4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴B(4，0)，C(0，4).由题可设抛物线的解析式为y＝a(x－

)2＋k(a≠0)，把B(4，0)，C(0，4)的坐标代入可得解得∴抛物线的解析式为y＝－(x－

)2＋

＝－x2＋3x＋4；第2题图(2)若m<

，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．第2题图(2)存在，理由如下：∵点A是抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴的另一个交点，∴点A(－1，0).①当－1＜m＜

时，点P在x轴的上方，∵MN＝2ME，∴点E为线段MN的中点，∴点E的横坐标为xE＝

，纵坐标yE＝

，∴点E的坐标为(

，

).又∵点E在直线BC：y＝－x＋4上，代入得m2－3m＋1＝0，解得m1＝

(舍去)，m2＝

.②当m＝－1时，P点即A点，此时点E与点M重合，不合题意．③当m＜－1时，点P在x轴下方，点E在射线NM上．设线段MN的中点是点F(

，

).第2题图第2题图∵MN＝2ME，∴M为EF的中点，∴点M的横坐标为xm＝3－m＝

.纵坐标为ym＝－m2＋3m＋4＝

.∴点E的坐标为(

－2m，

).又∵点E在y＝－x＋4上，∴代入得

＝2m－

，即3m2－5m－13＝0，解得m1＝

(舍去)，m2＝

.综上，存在m使MN＝2ME，m＝

或m＝

.第2题图

解题关键点m<需分三种情况讨论：－1<m<，m＝

－1，m<－1.类型二面积问题3.(2023安徽)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x＝2.(1)求a，b的值；解：(1)由题意得

解得

；(2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E.(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(2)(i)如解图①，延长BD与x轴交于点M，延长CE与x轴交于点N，过点A作AF⊥CE于点F，由(1)知抛物线的解析式为y＝－x2＋4x，由题意知直线OA的解析式为y＝x，∴B(t，－t2＋4t)，C(t＋1，－(t＋1)2＋4(t＋1))，D(t，t)，E(t＋1，t＋1)，第3题解图①∴OM＝t，BD＝－t2＋3t，CE＝－(t＋1)2＋3(t＋1)，AF＝－t＋2，∵0<t<2，∴1<t＋1<3，∴S△OBD＋S△ACE＝

OM·BD＋

CE·AF＝

t·(－t2＋3t)＋

[－(t＋1)2＋3(t＋1)]·(－t＋2)＝2.第3题解图①

解题关键点用含t的代数式表示△OBD和△ACE的面积再求解；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为

？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．(ii)存在．如解图②，当点B在点D上方，即2<t<3时，过点D作DQ⊥EC于点Q，∵BD∥EC，∴四边形DBEC为梯形，则S四边形DBEC＝

(BD＋EC)·DQ＝

(－t2＋3t＋t2－t－2)·1＝t－1，当S四边形DBEC＝

时，可得t－1＝

，解得t＝

；第2题解图②第3题解图③当点D在点B上方，即t>3时，如解图③，过点D作DQ⊥EC于点Q，此时S四边形DBCE＝

(BD＋EC)·DQ＝

(t2－3t＋t2－t－2)·1＝t2－2t－1，令t2－2t－1＝

，解得t1＝

＋1<3，t2＝－

＋1<3，均舍去．综上所述，t的值为

.

解题关键点分点B在点D上方和点B在点D下方两种情况讨论求解．第4题图类型三等腰三角形存在性问题4.(2023青海省卷节选)如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴相交于点A和点C(1，0)，交y轴于点B(0，3)．(1)求此二次函数的解析式；解：(1)∵点C(1，0)和点B(0，3)是二次函数y＝－x2＋bx＋c图象上的两点，把点C(1，0)和点B(0，3)代入上式得解得∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．(2)存在．如解图，连接AB，作线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，连接AM，BM，过点M作MG⊥y轴于点G.设点M(－1，y)，对称轴与x轴交于点Q，则QM＝y，BG＝3－y.第4题解图∵△AMB是等腰三角形，∴AM＝BM，则AM2＝BM2，∴在Rt△AQM中，AM2＝AQ2＋MQ2＝22＋y2.在Rt△BMG中，BM2＝MG2＋BG2＝12＋(3－y)2∴22＋y2＝12＋(3－y)2，解得y＝1，∴点M的坐标为(－1，1).第4题解图第5题图类型四直角三角形存在性问题5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A(4，0)，B(0，－4)，对称轴是直线x＝1，点P为平面内一点．(1)求抛物线的函数表达式；备用图解：(1)∵抛物线过点B(0，－4)，∴c＝－4，即抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx－4.将点A(4，0)代入y＝ax2＋bx－4中，得16a＋4b－4＝0.∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴－

＝1，由

解得∴抛物线的函数表达式为y＝

x2－x－4；第5题图备用图(2)若点P为y轴右侧抛物线上一点，其横坐标为t，过点P分别作AB和y轴的垂线，垂足分别为点E，F，PF交AB于点G，当△PEG≌△BFG时，求t的值；(2)∵PE⊥AB，PF⊥y轴，∴∠PEG＝∠BFG＝90°.∵∠PGE＝∠BGF，∴△PEG∽△BFG.∵A(4，0)，B(0，－4)，∴OA＝OB＝4，∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°.∵PF⊥y轴，∴△BFG是等腰直角三角形，第5题解图∴∠BGF＝45°，∴∠PGE＝45°∵PE⊥AB，∴△PEG是等腰直角三角形，∴PG＝

EG.当△PEG≌△BFG时，∴EG＝FG，∴PG＝

FG.由A(4，0)，B(0，－4)可知直线AB的函数表达式为y＝x－4，第5题解图∴P(t，

t2－t－4)，G(

t2－t，

t2－t－4)，∴PG＝t－(

t2－t)＝－

t2＋2t，FG＝

t2－t，∴－

t2＋2t＝

(

t2－t)，解得t＝0(舍去)或t＝

2；第5题解图(3)若P是抛物线对称轴上的点，将抛物线y＝ax2＋bx＋c先向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线y1，抛物线y1与y轴交于点M，点N为抛物线y1的顶点，当△PMN为直角三角形时，直接写出所有符合条件的点P的纵坐标．第5题图备用图【解法提示】∵y＝

x2－x－4＝

(x－1)2－

，∴y1＝(x－1＋4)2－

＋3＝(x＋3)2－

＝

x2＋3x＋3，∴N(－3，－).令x＝0，则y1＝3，∴M(0，3).∵抛物线y的对称轴为直线x＝1，点P在抛物线对称轴上，∴设P(1，m)，∴PN2＝(1＋3)2＋(m＋)2，MN2＝

，PM2＝12＋(m－3)2.∵△PMN为直角三角形，∴需要分以下三种情况：①当∠MNP＝90°时，MN2＋PN2＝PM2，

＋(1＋3)2＋(m＋)2＝12＋(m－3)2，解得m＝－

；②当∠PMN＝90°时，PM2＋MN2＝PN2，12＋(m－3)2＋

＝(1＋3)2＋(m＋)2，解得m＝

；③当∠MPN＝90°时，PM2＋PN2＝第5题图备用图MN2，12＋(m－3)2＋(1＋3)2＋(m＋

)2＝

，解得m＝

或m＝.综上所述，当△PMN为直角三角形时，所有符合条件的点P的纵坐标为－

或

或

或

.第5题图备用图(3)当△PMN为直角三角形时，所有符合条件的点P的纵坐标为

或

或

或

.

解题关键点△PMN的直角边不确定，需分∠MNP＝90°，∠PMN＝90°，∠MPN＝90°三种情况讨论．第6题图类型五特殊四边形存在性问题6.(2023邵阳节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A(－2，0)和点B(4，0)，且与直线l：y＝－x－1交于D，E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋c经过A，B两点，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－

x2＋x＋4；(2)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B，C，M，R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．第6题图(2)∵抛物线与y轴交于点C，∴当x＝0时，y＝4，即C(0，4).∵B(4，0)，M(t，－t－1)，∴BC＝

，BM2＝(t－4)2＋(－t－1)2＝2t2－6t＋17，CM2＝t2＋(t＋5)2＝2t2＋10t＋25，①如解图①，当BC为对角线时，MB＝CM，∴2t2－6t＋17＝2t2＋10t＋25，解得t＝－

，∴M(－

，－

).由菱形的性质可得

解得∴R(

，

)；第6题解图①②当CM为对角线时，如解图②，第6题解图②∵四边形BMRC为菱形，∴BM＝BC，∴2t2－6t＋17＝(4)2，解得t＝

或t＝

，∴－t－1＝－

－1＝

或－t－1＝－－1＝

，∴M(

，

)或M(

，

).由菱形的性质可得，

或解得

或∴R(

，

)或R(

，

)；第6题解图②点R的坐标即为四边形BMRC为菱形时，点M的坐标，∴R(

，

)或R(

，

).综上所述，点R的坐标为(

，

)或(

，

)或(

，

)或(

，

)或(

，

).③当BM为对角线时，如解图③，即四边形CMRB是菱形，第6题解图③

解题关键点菱形的边不确定，需分BC，CM，BM为对角线讨论．第7题图类型六相似三角形问题7.(2023随州节选)如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(2，0)和C(0，2)，连接BC，点P(m，n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N.(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；【解法提示】(1)∵抛物线过点A(－1，0)，B(2，0)，∴抛物线的解析式为y＝a(x＋1)·(x－2)，将点C(0，2)的坐标代入上式，得2＝－2a，∴a＝－1.∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)，即y＝－x2＋x＋2.设直线BC的解析式为y＝kx＋t，将点B(2，0)，C(0，2)的坐标代入上式，得

解得

.∴直线BC的解析式为y＝－x＋2；第7题图解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2，直线BC的解析式为y＝－x＋2；(2)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图【解法提示】∵点P与点C相对应，∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB.①若点P在点B左侧，则∠CBN＝45°，BN＝2－m，CB＝2.当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，直线OP的解析式为y＝x，∴－m2＋m＋2＝m，解得m＝

或m＝－

(舍去).∴OP2＝()2＋()2＝4，即OP＝2.∴，即

，解得OQ＝

－1.∴P(，

)，Q(0，

－1).当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，当点Q在点P上方时，PQ＝

m，OQ＝－m2＋m＋2＋m＝－m2＋2m＋2，∴，即

，第7题图第7题图解得m＝1＋

(舍去)或m＝1－

(舍去).当点Q在点P下方时，PQ＝

m，直线QP的解析式为y＝x－m2＋2.∴OQ＝m2－2，∴，即

，解得m＝

或m＝

(舍去)，∴OQ＝

，∴P(，

)，Q(0，

).②若点P在点B右侧，则∠CBN＝135°，BN＝m－2.当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，直线OP的解析式为y＝－x，∴－m2＋m＋2＝－m，解得m＝1＋

或m＝1－

(舍去)，∴OP＝

m＝

＋

，∴，即

，解得OQ＝1.∴P(1＋

，－1－

)，Q(0，1).当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，第7题图PQ＝

m，OQ＝|－m2＋m＋2＋m|＝m2－2m－2.∴，即

，解得m＝1＋

或m＝1－

(舍去).∴P(1＋

，－3－

)，Q(0，－2).综上所述，P(，

)，Q(0，

－1)或P(，

)，Q(0，

)或P(1＋

，－1－

)，Q(0，1)或P(1＋

，－3－

)，Q(0，－2).第7题图第7题图(2)存在．P(，

)，Q(0，

－1)或P(，

)，Q(0，

)或P(1＋

，－1－

)，Q(0，1)或P(1＋

，－3－

)，Q(0，－2).类型七角度问题8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝

x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C，作直线AC.(1)求抛物线的函数表达式；第8题图解：(1)∵抛物线y＝

x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，B(2，0)，∴解得∴抛物线的函数表达式为y＝

x2＋x－4；(2)点M是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接MA，MC，BC，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；第8题图(2)在y＝

x2＋x－4中，令x＝0，得y＝－4，∴点C(0，－4).设直线AC的函数表达式为y＝kx＋c，将A(－4，0)，C(0，－4)代入，得

解得∴直线AC的函数表达式为y＝－x－4.设点M的坐标为(d，

d2＋d－4)，则点F的坐标为(d，－d－4)，∴MF＝(－d－4)－(

d2＋d－4)＝－

d2－2d.∵A(－4，0)，B(2，0)，C(0，－4)，∴OA＝4，AB＝6，OC＝4，∴S