《三维设计》高三数学 第3章 第7节 课时限时检测 新人教A版

第3章第7节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a<b”是使“cosA>cosB”成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：a<b⇔A<B⇔cosA>cosB.答案：C2．△ABC中，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(\r(2),2)，则符合条件的三角形有()A．1个B．2个C．3个 D．0个解析：∵asinB＝eq\f(\r(10),2)，∴asinB<b＝eq\r(3)<a＝eq\r(5)，∴符合条件的三角形有2个．答案：B3．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16eq\r(2)，则三角形的面积为()A．2eq\r(2)B．8eq\r(2)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)解析：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝8，∴sinC＝eq\f(c,8)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,16)abc＝eq\f(1,16)×16eq\r(2)＝eq\r(2).答案：C4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.eq\f(5,18) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(7,8)解析：设等腰三角形的底边为a，顶角为θ，则腰长为2a由余弦定理得cosθ＝eq\f(4a2＋4a2－a2,8a2)＝eq\f(7,8).答案：D5．(·惠州模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：∵eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).答案：D6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝eq\r(2)a，则()A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定解析：法一由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，b2＋ab－a2即(eq\f(b,a))2＋eq\f(b,a)－1＝0，eq\f(b,a)＝eq\f(－1＋\r(5),2)<1，故b<a.法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abb2＋ab－a2＝0，b＝eq\f(a2,a＋b)，由a<a＋b得b<a.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．在△ABC中，若a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝__________.解析：∵cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\r(1－\f(1,3)2)＝eq\f(2\r(2),3)，又S△ABC＝4eq\r(3)，即eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(eq\r(3)b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.解析：由正弦定理得(eq\r(3)sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，化简得eq\r(3)sinBcosA＝sin(A＋C)．∵0<sinB≤1，∴cosA＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)9．(·新课标全国卷)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝eq\f(1,2)CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－eq\r(3)，则∠BAC＝________.解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，又因为AD＝2，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DCsin60°＝3－eq\r(3)，所以DC＝2(eq\r(3)－1)，又因为BD＝eq\f(1,2)DC，所以BD＝eq\r(3)－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝eq\f(1,2)DC·AE＝3－eq\r(3)，所以AE＝eq\r(3)，又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝eq\r(3)，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝2eq\r(3)－3，所以tan∠ACE＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq\r(3)，所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.答案：60°三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小，并判断△ABC的形状．解：法一：∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝eq\f(3,2)(舍去)．∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－\f(a＋c,2)2,2ac)＝eq\f(1,2)，化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c∴△ABC是等边三角形．法二：∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0.即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝eq\f(3,2)(舍去)．∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3).∴sinA＋sin(eq\f(2π,3)－A)＝eq\r(3)，∴sinA＋sineq\f(2π,3)cosA－coseq\f(2π,3)sinA＝eq\r(3).化简得eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)，∴sin(A＋eq\f(π,6))＝1.∵0<A<π，∴A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).∴A＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,3).∴△ABC是等边三角形．11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且atanB＝eq\f(20,3)，bsinA＝4.(1)求cosB和a；(2)若△ABC的面积S＝10，求cos4C解：(1)由bsinA＝4，得asinB＝4，又atanB＝eq\f(20,3)，∴cosB＝eq\f(3,5).又由atanB＝eq\f(20,3)知tanB>0，则sinB＝eq\f(4,5)，tanB＝eq\f(4,3)，故a＝5.(2)由S＝eq\f(1,2)acsinB，得c＝5，∴A＝C.由cos4C＝2cos22C－1＝2cos2(A＋C)－1＝2cos2＝2×(eq\f(3,5))2－1＝－eq\f(7,25).12．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋eq\f(1,2)c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．解：(1)由acosC＋eq\f(1,2)c＝b和正弦定理得，sinAcosC＋eq\f(1,2)sinC＝sinB，又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，∴eq\f(1,2)sinC＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝eq\f(1,2)，∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理得，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2,\r(3))sinB，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2,\r(3))sinC，则l＝a＋b＋c＝1＋eq\f(2,\r(3))(sinB＋sinC)＝1＋eq\f(2,\r(3))[sinB＋sin(