高中数学选修2-2导数习题(无答案)

导数概念与运算

一、基本学问

1.概念：（1）定义：

（2）导数的几何意义：

（3）求函数在一点处导数的方法：

（4）导函数：

2.基本函数的导数：。=（C为常数）(x")'=,nwN.(sinx)'=

x

(cosx)'=(e)'=(a')'-(Inx)'=(logax)'=

3.运算法则：[〃(x)±v(x)]'=[M(X)V(X)]'=

4.复合函数的导数：

二、典型例题

例1.若函数段）在广。处的导数为A,则lim,隔/（。+由）-/（"+》）=

A.V-»OAr-t

例2.求下列导函数

c1+1③)=sirP2x@y=ln(x+Jl+x、)

①y=/cosx②

⑤y=冗•10sm2V⑥y=Insinx+V1-2x2

例4.求函数y=/+5x+4（1）在（0,4）处的切线；（2）斜率为3的切线；（3）过（0,3）处的切线

三、课堂练习

1.（2007全国U,8）已知曲线\,=t_31n》的一条切线的斜率为_L，则切点的横坐标为（）

42

A.3B.2C.lD.0.5

2.求导数（1）y=x3+x2+x+-+-^+-^-（2）y=--j=+>fx+3（3）y—（2元一3）（冗+2）+（3x+1）（1—x）

xxx'

v*_i_Q

3/(力=9+/'(-1*-1+1则/'(-I)=____，/⑴.4.求过原点且与曲线y=相切的切线方程.

x+5

四、规范训练

1曲线丁=/+3/+6》-10的切线中，斜率最小的切线方程为------------

2

2.已知y=f(x)在x=x0处可导，则lim.(x)『一"区>)1=()A.f(x())B.f(x„)C.[f'(x0)]D.2f,(x())f(x0)

n->8X-Xo

3.函数y=3x-V,求过点P(2,-2)的切线方程.

4.007江西11)设函数/(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=/(x)在x=5处的切线的斜率为()

A.—B.0C.—D.5

55

5.。06福建11)已知对随意实数x,有/(-x)=—/(x),g(-x)=g(x),且冗>0时，/(x)>0,g'(%)>0,

则x<0时()A.r(x)〉0,g'(x)〉08.f(x)>0,g\x)<0C./(x)<0,gz(x)>0D.f\x)<0,gf(x)<0

91

6.007全国H8)已知曲线y=±_31nx的一条切线的斜率为一，则切点的横坐标为()

J4.2

1

4・3氏2C.1D.-

2

7.G06湖南13)曲线丁=°和丫=/在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是

X

14

8.。04重庆文15)已知曲线=则过点P(2,4)的切线方程是

9.(’07全国U22)已知函数f(x)=d-x.(1)求曲线y=/(x)在点数(f,9(f))处的切线方程;⑵设。>0,

假如过点(。，勿可作曲线y=/(x)的三条切线，证明：

导数的应用(单调性、极值、最值)

一、基本学问

设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导

1.利用导数推断函数的单调性的充分条件如果在(外切内，广小)>0,则£(*)在此区间是增函数；

如果在(a,b)内,f'(x)<0,则f(x)在此区间是减函数

(求单调区间的步骤：求定义域，求导数，解不等式)

2.利用导数探讨函数的极值:

已知函数y=f(x)及其定义域内一点x。,对于存在一个包含X。的开区间内的所有点x,如果都有

f(x)<f(x°),则称函数f(x)在点X。处取极大值，记作y极大值=f(x()),并把X。称为函数f(x)的一个

极大值点；如果都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点X。处取极小值，记作y极小值=f(x0),并把X。称作极小值点.

(极值是局部概念，最值是整体概念；极大值可以小于微小值)(求极值的步骤：求导、解方程、推断、结论)

3.利用导数探讨函数的最值：(闭区间上的连续函数肯定有最大和最小值)

①函数危)在区间例上的最大值是函数危)在区间团,句上的极大值与加)十份中的最大者；

②函数./U)在区间［。⑸上的最小值是函数7U)在区间［a,勿上的微小值与犬矶;(份中的最小者；

(求最值的步骤：先求极值再与端点值比较)

二、典型例题

例1(1)求函数y=d—3/+3X—5的单调区间、极值.

(2)求函数y=3/—9x+5在xe［-2,2］上的最大值与最小值

例2.(05H文)设a为实数，函数/a)=f-『-x+a.(I)求/(x)的极值.(H)当a在什么范围内取值时，曲线

y-7(x)与x轴仅有一个交点.

例3(2005山东卷)己知x=l是函数/(x)=根/一3(机+1)丁+〃x+1的一个极值点，其中帆,〃e<0,(I)

求小与”的关系式；(II)求/(x)的单调区间；

(III)当1,1］时，函数y=/(x)的图象上随意一点的切线斜率恒大于3m，求“的取值范围.

例4.函数,f(x)=4x+ax2-|x3在区间［-1,1］上增，求实数a的取值范围.

例5.(2007山东文)设函数/(X)=ax'+61nx,其中ab#0.证明：当时，函数/(x)没有极值点；当

时，函数/(x)有且只有一个极值点，并求出极值.

三、课堂练习

1.在(a,b)内，/(x)>0是f(x)在(41)内单调增加的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.可导函数y=.f(x),f(xo)=0是函数y=/(x)在均处取得极值的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.关于函数y=/(x)在区间他,句上的极值与最值，下列说法正确的是()

A.极大值肯定大于微小B.最大值肯定是极大值C.微小值肯定不是最大值D.最小值肯定小于微小值

4己知/(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-l时取的极大值7,当x=3时取得微小值，求微小值以及对应的a,b,c

5.函数y+cx+d的图象与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为⑵-y-4=0,若函数在

户2处取得极值0,试确定函数的解析式.

,1,

6.已知函数/(x)=/-'Y+bx+C,若函数/(X)的图象有与X轴平行的切线.(1)求b的取值范围:

(2)若函数/(x)在尸1处取得极值，且xe[-l,2]时，恒成立，求c的取值范围

四.规范训练：5、己知/'(X)=G：3+3x?-X+1在R上是减函数,

1在区间［，,2］上，函数f(x)=X?+px+q与g(x)=2x+二求。的取值范围

2x~

在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在己,2］上的最

2

大值()A.UB.-C.8D.4

44

6、已矢口函物(x)=-x3+x?+tv+f在区间(一1,1)上

是增函数，求r的取值范围

2、己知政)=2*3-6*2+111(111为常数)，在［-2,2］上有最大

值3,那么此函数布-2,2］上的最小假)

A.-37B.-29C.-5D.-I1

7、若三次函翻&)=胃+人在(-8,+8)内是增函数,

则实数大的取值范围

3若函数y=x，+bx2+ex在区间一8,0)及

［2,+8)是增函数，在0,2)是减函数，

求此函数在-L4］上的值域

8、若函麴'(x)=gx、-；斯2+(a-l)x+l在区间

(1,4)内是减函数，在［6,+8)为增函数，

求实数。的取值范围

4若函数/(x)=log/d—4X)(。＞0,a工1)在区间

(彳,。)内单调递增’则a的取值范围——

定积分与微积分基本定理

一、基本学问

1.一般函数定积分的定义：(被积函数，积分上限，积分下限)

2.定积分的几何意义：

3.定积分的物理意义：

4.微积分基本定理：

5.定积分的性质：⑴fcf(,x)dx=c[f(.x)dx(c为常数)

JuJa

(2)/(x),g(x)可积，贝[[/(x)+g(x)kx=ff(x)dx+fg(x)dx(3)[f(x)dx=[f(x)dx+\f(x)dx

JaJaJaJaJaJc

6.常见函数的原函数：

①常数函数：/(x)=c的原函数为尸(x)=cx+c'(c’为随意常数)；

②幕函数：/(x)=x"(〃/一1)的原函数为尸(x)=±+d(c'为随意常数)；

n+1

③反比例函数：/(©=，的原函数为/。)=111|刈+，’(。'为随意常数)；

X

④指数函数：/。)=优3>0,。工1)的原函数为/意)=金+。'(。'为随意常数)；

Ina

⑤正弦函数：/(x)=sinx的原函数为/(x)=—cosx+c'(c’为随意常数)；

⑥余弦函数：/(x)=cosx的原函数为尸(x)=sinx+c'(c’为随意常数)；

⑦对数函数：/(x)=lnx的原函数为尸(x)=xlnx-x+c'(c,'为随意常数)；

二、典型例题

例1.求下列定积分

(1)J(3x2-2x+\)dx=(2)J2cosxdx=

f2i

(3)\±dx=

例2.求面积

(1)曲线y=sinx与x轴在区间[0,2万]上所围成阴影部分的面积。

(2)抛物线y=f与直线丫=4所围成的图形的面积。(3)计算由y=x2和x=/所围成的图形的面积。

例3.计算J,卜2-*/x=例4.求曲线X=y2,x+y=2