高中数学竞赛真题分类汇编 10 排列组合、二项式定理（学生版+解析版50题）

竞赛专题10排列组合、二项式定理

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1.（2018•广东•高三竞赛）袋中装有m个红球和n个白球，m>n24.现从中任取两球，

若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系加+”440

的数组（m,n）的个数为.

2.（2018・湖南•高三竞赛）已知AuB={a1,%，4}，当AwB时,（48）与（8,4）视为不

同的对，则这样的（A8）对的个数有个.

3.（2018・湖南•高三竞赛）从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同

的数字作为二次函数〃"=依2+云+c（a=0）的系数.若二次函数的图象过原点，且其

顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有个.

4.（2018・湖南•高三竞赛）1|x|+三-2）的展开式中常数项为.

5.（2018•四川♦高三竞赛）设集合/={1,2,3,4,5,6,7,8},若/的非空子集48满足

A[\B=<Z,就称有序集合对（A,B）为/的“隔离集合对“，则集合/的“隔离集合对”的个

数为.（用具体数字作答）

6.（2020•浙江•高三竞赛）已知十进制九位数（4%则所有满足

q>电>…>%=4,a5<a6<­•­<«,,的九位数的个数为.

7.（2018・山东•高三竞赛）集合A、B满足AU8={1，2,3,L,10},AAB=0,若A中

的元素个数不是A中的元素，3中的元素个数不是B中的元素，则满足条件的所有不

同的集合A的个数为.

8.（2020.辽宁锦州.高二期末）482⑼被7除后的余数为.

9.（2021•江西•铅山县第一中学高二阶段练习（理））已知多项式

31029

x+x=a0+t7,（x+l）+a2（x+l）-i--i-t79（x+1）+a10（x+l）1°,贝a2-.

10.（2021•全国•高三竞赛）若（20》+11»=奴3+法、+。孙右）则

a-2h+4c-Sd=.

11.（2020・江苏•高三竞赛）用三个数字“3,1,4”构成一个四位密码，共有

___________种不同结果.

12.（2020.江苏.高三竞赛）已知集合。={1,2,3,4,5,6},则满足/（〃/（x）））=x的函数

/：AfA共有个.

13.（2018•河北•高三竞赛）欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每

步跨上一阶楼梯，则共有种上楼梯的方法.

222n

14.（2018・河南•高三竞赛）^（2x+4）"=a0+a}x+a2x+L+a2nx（«eN*）,贝ij

/+4+…+%“被3除的余数是.

15.（2018•湖北•高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从笫二次起每次出现的点数都不

小于前一次出现的点数的概率为.

16.（2019・河南•高二竞赛）称{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的某非空子集为奇子集：如果其中所有

数之和为奇数，则奇子集的个数为.

17.（2019・贵州•高三竞赛）已知山G{11,13,15,17,19},«e{2000,2001,....

2019）,则，的个位数是1的概率为.

18.（2020•全国•高三竞赛）在1,2,3,…，10中随机选出一个数。在一1,-2,一

3,一10中随机选出一个数从则/+方被3整除的概率为.

19.（2021・全国•高三竞赛）把数字0〜9进行排列，使得2在3的左边，3在5的左

边，5在7的左边的排法种数为.

20.（2021•全国高三竞赛）若多项式l-x+f———+/可以表示成

%+/，+•••+%999+a20y2”,这里），=X+1,贝！］/=.

21.（2021•全国♦高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所

有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再

有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为.

22.（2021•全国・高三竞赛）一次聚会有8个人参加，每个人都恰好和除他之外的两个

人各握手一次.聚会结束后，将所有握手的情况记录下来，得到一张记录单.若记录

单上的每条握手记录不计先后顺序（即对某两张记录单，可以分别对其各条记录进行

重新排列后成为两张完全相同的，则这两张被认为是同一种），则所有可能的记录单种

数为.

23.（2021•全国•高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率

为.

24.（2021.浙江.高二竞赛）对于正整数〃，若（孙-5x+3），-15）"展开式经同类项合

并，x'y，a,/=0,1,…合并后至少有2021项，则〃的最小值为.

25.（2021•浙江•高三竞赛）已知整数数列片,能，…，/，满足4o=2q,

%+4=2%，且=1（4=1，2....9）,则这样的数列个数共有个.

26.（2021•全国•高三竞赛）将2枚白棋和2枚黑棋放入一个4x4的棋盘中，使得棋盘

的每个方格内至多放入一枚棋子，且相同颜色的棋子既不在同一行，也不在同一列，

如果我们只区分颜色而不区分同种颜色的棋子，则不同放法的种数为.

27.（2021・全国•高三竞赛）用平行于各边的直线将一个边长为10的正三角形分成边长

为1的正三角形表格，则三个顶点均为格点且各边平行于分割线或与分割线重合的正

三角形的个数是.

4038

28.（2021・全国•高三竞赛）设（1+x+x）20|9=£a苫,其中q（i=0,1,…,4038）为常

*=0

1346

数，则za3k=.

k=0

29.（2021・全国•高三竞赛）设《，生工，田是1，2,9的一个排列,如果它们满足

a}<a2<%>%>%>%>%<4<4>，则称之为一个“波浪形排列'’.则所有的“波浪形

排列”的个数为.

30.（2021・全国•高三竞赛）从正方形的四个顶点及四条边的中点中随机选取三个点，

则“这三个点能够组成等腰三角形”发生的概率为.

31.（2021.全国•高三竞赛）圆周上有20个等分点，从中任取4个点，是某个梯形4个

顶点的概率是.

32.（2021・全国•高三竞赛）在平面直角坐标系xOy中，点集

K={（%y）|xe{l,2},yw{l,2,3,4}}.从K中随机取出五个点，则其中有四点共线或四点

共圆的概率为.

33.（2021.全国•高三竞赛）在0、1、2、3、4、5、6中取5个数字组成无重复数字的

五位数，其中是27倍数的最小数是.

34.（2019・山东•高三竞赛）6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球

排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是.

35.（2019•贵州・高三竞赛）若（a+b）〃的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数

列，则最大的三位正整数片.

36.（2019・广西•高三竞赛）从1,2,20中任取3个不同的数，这3个数构成等差

数列的概率为.

37.（2019•浙江•高三竞赛）在复平面上，任取方程3°°_1=0的三个不同的根为顶点组

成三角形，则不同的锐角三角形的数目为.

38.（2019・新疆・高三竞赛）随机取一个由0和1构成的8位数，它的偶数位数字之和

与奇数位数字之和相等的概率为.

39.（2019・新疆・高三竞赛）记国为不超过实数x的最大整数.若A=，］+「+.•.+

■J20191rJ2020-

—+—，则A除以50的余数为.

40.（2020.全国•高三竞赛）现有10张卡片，每张卡片上写有1,2,3,4,5中两个不

同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为1,2,3,

4,5的五个盒子中，规定写有i,j的卡片只能放在，•号或」号盒子中.一种放法称为

“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则“好的”放法共有

________种.

41.（2021.浙江.高三竞赛）一条直线上有三个数字q,a2,a},数字々位于q,%之

间，称数值|4-%|+|“2-闯为该直线的邻差值.现将数字卜9填入3x3的格子中，每个

数字均出现，过横向三个格子、竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8

条直线的邻差值之和的最小值为,最大值为.

42.（2021•全国•高三竞赛）刘老师为学生购买纪念品，商店中有四种不同类型纪念品

各10件（每种类型纪念品完全相同），刘老师计划购买24件纪念品，且每种纪念品至

少购买一件.则共有种不同的购买方案.

43.（2021・全国・高三竞赛）从集合{L2,…,2020}的非空子集中随机取出一个，其元素

之和恰为奇数的概率为.

44.（2021・全国•高三竞赛）将圆周2〃+1等分于点A，…向，在以其中每三点为顶

点的三角形中，含有圆心的三角形个数为.

二、解答题

45.（2021•全国•高二课时练习）已知集合A/={1,2,3,4,5,6},N={6,1,8,

9）,从M中选3个元素，N中选2个元素组成一个含5个元素的新集合C,则这样的

集合C共有多少个？

46.（2018•广东•高三竞赛）已知正整数n都可以唯一表示为

"=4+4.9+%-92+…①的形式，其中m为非负整数，为w{0,l,…,8}

（j=0,a,„6{I,---,8}.试求①中的数列4,4,%，…，4严格单调递增或严

格单调递减的所有正整数n的和.

47.（2019•江苏•高三竞赛）平面直角坐标系中有16个格点（i,力，其中0杂3,0</<3.

若在这16个点中任取"个点，这”个点中总存在4个点，这4个点是一个正方形的顶

点，求〃的最小值.

48.（2019•上海•高三竞赛）设〃为正整数，称〃X”的方格表7〃的网格线的交点（共

（〃+1）2个交点）为格点.现将数1,2......（〃+1）2分配给7〃的所有格点，使不同的格

点分到不同的数.称Tn的一个1x1格子S为“好方格”，如果从2s的某个顶点起按逆时

针方向读出的4个顶点上的数依次递增（如图是将数1,2，…，9分配给乃的格点的一

种方式，其中8、C是好方格，而小。不是好方格）设7〃中好方格个数的最大值为

/（«）.

（1）求心）的值;

（2）求火〃）关于正整数〃的表达式.

49.（2021•全国•高三竞赛）平面上有八个点，其中无三点共线，将这〃个点两两相

连，用红、黄、绿三种颜色染这些线段，且任意三点所成的三角形的三条边均恰好有

两种颜色，证明：〃<13.

50.（2021.全国•高三竞赛）求方程|"-°'|=1的整数解，其中p、q是质数，八s是大于

1的正整数，并证明所得到的解是全部解.

竞赛专题10排列组合、二项式定理

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1.（2018・广东•高三竞赛）袋中装有m个红球和n个白球，m>n24.现从中任取两球，

若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系加+”440

的数组（m,n）的个数为.

【答案】3

【解析】

【详解】

记''取出两个红球”为事件A,“取出两个白球”为事件B,“取出-红一白两个球”为事件

c2c2c'C1

C,则尸（4）=声，P（8）=#,P（C）=-J^.

依题意得P（A）+P（B）=P（C）,即C；+C；=C1C：.所以初+〃=（初一”）2,从而机+〃为

完全平方数.又由加>〃N4及〃?+〃W40,得9W"V40.

m+n=9,m+n=16,m+n=25,m+n=36,

所以或或或

m-n=3,m-n=4,m-n=5,m-n=6,

解之得（m,n）=（6,3）（舍去），或（10,6）,或（15,10）,或（21,15）.

故符合题意的数组（m,n）有3个.

故答案为3

2.（2018•湖南•高三竞赛）已知AuB={a1,02M3}，当AHB时,（48）与（氏4）视为不

同的对，则这样的（48）对的个数有个.

【答案】26

【解析】

【详解】

由集合A、B都是4U8的子集，AxB且4=8=（4,4，%）.

当力=0时，B有1种取法：

当A为一元集时，B有2种取法；

当A为二元集时，B有4种取法；

当A为三元集时，B有7种取法.

故不同的（A,B）对有1+3x2+3x4+7=26（个）.

故答案为26

3.（2018・湖南•高三竞赛）从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同

的数字作为二次函数+云的系数.若二次函数的图象过原点，且其

顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有个.

【答案】24

【解析】

【详解】

可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶

点坐标的符号分别考查.

因为图象过坐标原点，所以c=0.故二次函数可写成/（x）="+bx的形式.

X/（x）=afx+—Y--,所以其顶点坐标是，二，马.

v7I,2a）4aI,2a4a）

h卜?

若顶点在第一象限，则有9>0,-2>0.故。<0,b>0.

2a4ci

因此，这样的二次函数有A•A：=12个.

若顶点在第三象限，则有-2-<0，-生<0.故。>0，6>0.这样的二次函数有

2a4a

尺=12个.

由加法原理知，满足条件的二次函数共有«・4+&=24个.

故答案为24

4.（2018・湖南・高三竞赛）“x|+上一2）的展开式中常数项为

【答案】-20

【解析】

【详解】

6

、3、3

因为百

（W+.所以7>（-1）七：（川）3

-2=胴-=-20.

)桐)

故答案为・20

5.（2018・四川•高三竞赛）设集合/={1,2,3,4,5,6,7,8},若/的非空子集48满足

=就称有序集合对（A3）为/的“隔离集合对“，则集合/的“隔离集合对”的个

数为.（用具体数字作答）

【答案】6050

【解析】

【详解】

设A为/的人（1（左47）元子集，则B为/的补集的非空子集.所以，“隔离集合对”的个

数为

777

（28-*-1）=2域2'"-ZC=（1+2）-C2'+C；2"）-Q8-C；-C；）=3*-2。+1=6050

k=\k=\Jl=l

故答案为6050.

6.（2020•浙江•高三竞赛）已知十进制九位数（4生…%，，则所有满足

4>%…=4,%<4<…<的的九位数的个数为.

【答案】25

【解析】

【详解】

由题意得：q（i=L2,3,4,6,7,8,9）w{5,6,7,8,9},且有顺序.于是满足题意的有

N=C；・C；=25.

故答案为：25.

7.（2018・山东.高三竞赛）集合A、B满足A|JB={1,2,3,L,10},7n3=0,若A中

的元素个数不是A中的元素，5中的元素个数不是B中的元素，则满足条件的所有不

同的集合A的个数为.

【答案】186

【解析】

【详解】

设A中元素个数为2化=1,2,…,9）,则8中元素个数为10-Z，

依题;意女eA,(m—g)</<("?+1)-

10-kiB,10-keA,此时满足题设要求的A的个数为金3.

其中，当％=5时，不满足题意，故&H5.

所以A的个数为C；+C；+…+C：-C；=28-C；=186.

8.(2020・辽宁锦州•高二期末)48?以被7除后的余数为.

【答案】6

【解析】

【分析】

将问题转化为二项式定理即可求解.

【详解】

48202,=(49-1)2021的通项公式为配产C'x49202fx(—1)',当re{0,l,2,…,2020}时,

都能整除7,当r=2021时，该项为-1,所以余数为6.

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查二项式定理，属于基础题.

9.(2021•江西•铅山县第一中学高二阶段练习(理))已知多项式

9

x，+=4+q(x+1)+a,(x+1)~+,•,+dt9(x+1)+ul0(x+1),则％"

【答案】42

【解析】

【分析】

根据题意把V+产变形为[-1+(x+1)[+[-1+(x+1)『，然后利用二项式定理来求.

【详解】

因为*3+/=[-1+(工+1)了+[-1+(工+1)["

=%+4(x+1)+a,(x+1)-+…+%(x+1)，+即,(x+1)>

所以％=Y+Gi=42.

故答案为：42.

10.(2021•全国•高三竞赛)若(20犬+11»=奴3+加/+°孙2+小3,则

a-2b+4c-8d=.

【答案】-8

【解析】

【分析】

【详解】

令x=l,y=-2,条件式立即化为(-2)3=a-2b+4c-8d,即a-»+4c-8d=—8.

故答案为：-8.

11.(2020・江苏・高三竞赛)用三个数字“3,1,4”构成一个四位密码，共有

___________种不同结果.

【答案】81

【解析】

【详解】

解析：只有一个数时，3种；

两个数时，C(C：+2xC)=42种；

三个数时,3x3x4=36种，共81种.

故答案为：81.

12.(2020.江苏.高三竞赛)已知集合A={1,2,3,4,5,6},则满足/(f(/(x)))=x的函数

/：AfA共有个.

【答案】47

【解析】

【详解】

解析,值域中元素的个数为1或6,

若值域中元素的个数为1,则/。)=机(机为常数)，共6种；

若值域中元素的个数6,

当/(》)=》时，1种；

当xf/(x)->/(/(x))f/(/(/(X)))->x,则3个一组,有2C：=40.

因此题述所求为1+6+40=47个.

故答案为：47.

13.(2018•河北•高三竞赛)欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每

步跨上一阶楼梯，则共有种上楼梯的方法.

【答案】21

【解析】

【详解】

本题采用分步计数原理.

第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼

梯的方法；

第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有煤=6种方

法；

第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有0=10种

方法；

第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有C；=4种方

法；共计21种上楼梯的方法.

2n22n

14.(2018•河南•高三竞赛)(2x+4)=a0+x+a2x+L+a2„x(«eN*),则

七+%+…+%,被3除的余数是.

【答案】1

【解析】

【详解】

令x=0,得小=42".

分别令x=l和x=—l,将得到的两式相加，得%+/+%+…+%,=g(62"+22").

所以。2+%+…+”2“=!(6?”+22")-42n=22"702"+1)_42”

s(-l)2''xl-l2n=-2sl(mod3).

15.(2018・湖北•高三竞赛)一枚骰子连贯投掷四次，从笫二次起每次出现的点数都不

小于前一次出现的点数的概率为.

【答案】三7

72

【解析】

【详解】

设外心、%、氏分别是四次投掷骰子得到的点数，那么(4,%，%，%)共有64种不同的

情况.

如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则

ax<a2<a3<a4.

若4、出、由、。4的值都相等，贝M4%,4,%)有C；种不同的情况；

若外纭%、%恰好取两个不同的值，则(%外,%，%)有3C；种不同的情况；

若外的、%、4恰好取3个不同的值，则(4，。2，％，能)有3亡种不同的情况；

若4、出、生、4恰好取4个不同的值，则（4,%，/，。4）有C：种不同的情况.

因此，满足qMa2Ma3M%的情况共有C：+3C：+3C；+C：=126（种）.

故所求的概率为1蒙26=看7.

16.（2019•河南♦高二竞赛）称｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝的某非空子集为奇子集：如果其中所有

数之和为奇数，则奇子集的个数为.

【答案】256

【解析】

【详解】

全集｛1,2,3.........9｝中含有5个奇数、4个偶数.根据奇子集的定义知，奇子集中只

能含有1个奇数、3个奇数、5个奇数，而偶数的个数为0、1、2、3、4都有可能.

所以，奇子集共有：

C；（C：+C：+…+C：）+（C：+C：+…+C：）+（1+C：+…+C：）

=（C；+C；+C；）C+C：+...+C；）=（5+10+l）x24=256个.

故答案为：256.

17.（2019•贵州•高三竞赛）已知"G｛11,13,15,17,19）,”G｛2000,2001........

2019｝,则mn的个位数是1的概率为.

2

【答案】j

【解析】

【详解】

当加=11,｛2000,2001,2019｝时，mn的个位数都是1,此时有20种选法;

当m=13,〃G｛2000,2004,2008,2012,2016｝时,mn的个位数都是1,此时有5种

选法；

当机=15时，”7”的个位数不可能为I,此时有0种选法;

当.=17,ne｛2000,2004,2008,2012,2016｝时，的个位数都是1,此时有5种

选法；

当，”=19,〃丘｛2000,2002,2004,2018｝时，m的个位数都是1,此时有10种选

20+5+0+5+102

综上，所求概率为

5x205

2

故答案为：y

18.（2020•全国•高三竞赛）在1,2,3,…，10中随机选出一个数。在一1,一2,一

3,…，-10中随机选出一个数6则/+人被3整除的概率为.

37

【答案】而

【解析】

【分析】

题中条件/+6是3的倍数，考虑被3除的余数分情况讨论.另外注意有/和b被3除

的余数相加是3的倍数.

【详解】

数组（。,。）共有IO?=100种等可能性的选法.

考虑其中使小+匕被3整除的选法数N.

若。被3整除，则b也被3整除.此时a,6各有3种选法，这样的（。力）有32=9种.若。不

被3整除，则。=（3后±1）2=%2±64+1=3（3二±2左）+1,于是/被3除余1，那么b被

3除余2.此时。有7种选法，b有4种选法，这样的（。力）有7x4=28种.

37

因此N=9+28=37.于是所求概率为丽.

【点睛】

此题考查计数原理和概率的知识，属于中档题.

19.（2021・全国•高三竞赛）把数字0-9进行排列，使得2在3的左边，3在5的左

边，5在7的左边的排法种数为.

【答案】151200

【解析】

【分析】

【详解】

考虑全排列，有种虢排法；

将数字2、3、5、7从队列中拿出来，保留原队列顺序，有A：种排法；

使得2在3的左边，3在5的左边，5在7的左边，只能按照2、3、5、7的顺序排

列，有1种排法：

故满足题意的排法数是j-Ao=151200.

故答案为：151200.

20.（2021•全国•高三竞赛）若多项式l-x+V——”+产可以表示成

920

an+aty+---+atgy'+a2ny,这里)'=x+l,贝！j生=__.

【答案】1330

【解析】

【分析】

【详解】

因为：

j(l-x+x2-------xl9+x20)=(l+x)(l-x+x2-------xl9+x20)=l+x21=l+(y-l)21,

又因为：

1919=]

y(l~x+x~-------x+》-0)=y(a()+axy-\----Fi?19y+^20^-°)%y+“iy-+—bnl9y°+a^y~

所以叼=（4=1330.

故答案为：1330.

21.（2021.全国•高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所

有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再

有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为

319

【答案】元

【解析】

【分析】

【详解】

相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率,

10

即自。_1+4一319・

p一3「方+诃-五

319

故答案为：引耳,

22.（2021.全国.高三竞赛）一次聚会有8个人参加，每个人都恰好和除他之外的两个

人各握手一次.聚会结束后，将所有握手的情况记录下来，得到一张记录单.若记录

单上的每条握手记录不计先后顺序（即对某两张记录单，可以分别对其各条记录进行

重新排列后成为两张完全相同的，则这两张被认为是同一种），则所有可能的记录单种

数为

【答案】3507

【解析】

【分析】

【详解】

根据已知，将这8个人进行分组，每组的所有人排成一个圆圈，每个人和与其相邻的

两个人握手.

问题转化为这样的分组、以及分完组之后的项链排列（因为要求握手记录无序）方法

有几种.

注意到最多分成两组，则：

当分成一组时，有;种；

2

,4'2'

当分成两组时，若两组人数分别为3和5,则有利1

若两组人数都是4,则有盘.工.工种.

2!22

7!4!2!3!

-=3507种.

222!22

故答案为：3507.

23.（2021.全国•高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率

为.

23

【答案】砺

【解析】

【分析】

【详解】

有两次为5的概率为RG=—,

63216

有两次为6和4的概率为=生,

6216

匚匚加了廿4，163023

所以概率为——十——=—.

216216108

23

故答案为：—T.

108

24.（2021.浙江.高二竞赛）对于正整数〃，若（孙-5x+3y-15）"展开式经同类项合

并，=0,1,•••,〃）合并后至少有少21项,则〃的最小值为,

【答案】44

【解析】

【分析】

【详解】

由(孙一5x+3y_15)"=(x+3)”(y-5)",共有(〃+1/项，

所以5+1)222021,Wn>V2021-1,则〃„*=44.

故答案为：44.

25.(2021.浙江.高三竞赛)已知整数数列4,生，…，/，满足%=2q,

4+4=24,且|4+「q|=1(k=\,2,9),则这样的数列个数共有个.

【答案】192

【解析】

【分析】

【详解】

分情况讨论：

①先考虑对，延，4,设q=r,则：

(1)q=匕处=广+1，％=广+2,%=厂+3,4=厂+4；

(2)%=r,q=r+1，6=八%=「+1，4=广；

(3)a4=r,a5=r+l,a6=/-,(77=r-l,as=r；

(4)a4=r,a5=r-l,ab=r-2,a7=r-3,a8=r-4；

(5)4=r,as=r-\,ab=r-2,a1=r+3,a8=r；

(6)q=r,a5=r-\,af>=r,a-,=r-l,as=r；

②再考虑出，4o,同理共有4种，且%()=r+s,其中s=6,4,2,0,—2,-4,—6：

③最后考•虑4,见,田共有8种，艮4=r+f淇中£=土1,±3,所以。产%,故%=2%一定有

解，

综上共有8x6x4=192个；

故答案为：192.

26.(2021.全国•高三竞赛)将2枚白棋和2枚黑棋放入一个4x4的棋盘中，使得棋盘

的每个方格内至多放入一枚棋子，且相同颜色的棋子既不在同一行，也不在同一列，

如果我们只区分颜色而不区分同种颜色的棋子，则不同放法的种数为.

【答案】3960

【解析】

【分析】

利用去杂法可求不同方法的种数.

【详解】

解析：将两枚白棋放入方格中的方法数为受=72种，两枚黑棋放入方格中使得它

们既不在同一行，也不在同一列的方法数为皆上=72,其中至少有1枚黑棋与白棋

放入同一方格的方法数为2x9=18种，两枚黑棋均放入两枚白棋所在的方格中的方法

数为1种，故由容斥原理可知不同的方法数为72x（72-2x9+1）=3960种.

故答案为：3960.

【点睛】

思路点睛：对于较为复杂的组合计数问题，我们可以采用去杂法从反面考虑，但要注

意防止重复计算，如本题中同色的棋子不做区分.

27.（2021.全国•高三竞赛）用平行于各边的直线将一个边长为10的正三角形分成边长

为1的正三角形表格，则三个顶点均为格点且各边平行于分割线或与分割线重合的正

三角形的个数是.

【答案】315

【解析】

【详解】

解析：设边长为〃的正三角形中由格点构成各边平行于分割线或与分割线重合的正一

角形的个数为则4=1,々=5吗=13,

当"为偶数时，则4=an.,++2（1+2+3+等）+3，

其中C3为增加的一条边上的〃+1分点中的任意两个不同的构成的正三角形的个数；

2（1+2+3+彳）+］为以增加的一条边上的〃+1分点中的任意一个点为顶点的正三角

形的个数，

同理，当“为奇数时，则=4i+C；+1+2（l+2+3+yl）,

其中C3为增加的一条边上的〃+1分点中的任意两个不同的构成的正三角形的个数；

21+2+3+?）为以增加的一条边上的”+1分点中的任意一个点为顶点的正三角形

的个数，

故即）=1++c；——卜G：

+[(2x0+l)+2xl+(2xl+2)+2x(l+2)+…+2x(l+2+3+4)+2x(l+2+3+4)+5]=

《+《+…+品+（1+2+3+4+5）+40+3+6+10）=品+15+80=315

答案为：315.

20194038

28.（2021.全国•高三竞赛）设（1+x+xJ=Z4x"，其中4（，=0」,…,4038）为常

k=Q

1346

数，则Z".

1=0

【答案】3刘8

【解析】

【详解】

4036

设（1+x+f=b0+4x+b/2+...+b^x,

则（1+X+X?）刈9=（1+X+、乂d+伪X+…+%36*6）.

可见％=%，4=伪+仇+&，4=4+4+4,…，因此％038=4036.

,%+%+…+。4038=4>+4+…+°4036=3""'.

故答案为：32fm.

29.（2021.全国.高三竞赛）设是1,2,....9的一个排列，如果它们满足

q<生<%>4>%>%>%<4<“9，则称之为一个“波浪形排列则所有的“波浪形

排列”的个数为.

【答案】379

【解析】

【详解】

解析：的只能取7、8、9,按照的取值依次分成三类，

若色=9,有量以=280种排列;

若为=8,有C；C；=84种排列；

若%=7,有C：=15种排列：

可得总数为379.

故答案为：379.

30.（2021・全国•高三竞赛）从正方形的四个顶点及四条边的中点中随机选取三个点，

贝『‘这三个点能够组成等腰三角形”发生的概率为.

【答案】得

【解析】

【详解】

解析：按照选取点中正方形顶点的个数进行分类，依次可以为3、2、1、0个，

,,205

相应的等腰三角形个数为C：+4xl+4x2+C：=20,因此所求概率为至=而.

故答案为：.

14

31.（2021•全国•高三竞赛）圆周上有20个等分点，从中任取4个点，是某个梯形4个

顶点的概率是.

【答案】三48

323

【解析】

【详解】

解析：梯形共有两种：从10组平行于直径的9条平行直线中选2条，或从10组不平

行打工役的1（）条门1线中选2条.第-种去掉短形m（）x©-4）=320个，第：种

去掉矩形有10x（C：。-5）=400个，共有720个，故概率是7^=京.

48

故答案为：——•.

323

32.（2021・全国•高三竞赛）在平面直角坐标系xOy中，点集

K={（x,y）|x£{l,2},y£{l,2,3,4}}.从K中随机取出五个点，则其中有四点共线或四点

共圆的概率为.

【答案】I

【解析】

【详解】

考虑任四点不共线、任四点不共圆的情形.

由无四点共线知福列至少有一个点不取.

不妨设左边一列有两个点不取，分六种情况知方法数为2+2+0+0+2+2=8.

故原概率为

故答案为：~■

33.（2021・全国•高三竞赛）在0、I、2、3、4、5、6中取5个数字组成无重复数字的

五位数，其中是27倍数的最小数是.

【答案】14256

【解析】

【详解】

解析：首先这个数是9的倍数，故这5个数字只能是0、3、4、5、6或1、2、4、5、

6,五位数字之和为18.设五位数是北苏，则

l（XXX）a+l（XX为+l（X）c+10d+em104+Z?—8c+l（）d+e（mod27）,

为了使数最小，考虑。=1，故可取各数字为1、2、4、5、6,

先考虑12456,止匕时10a+b—8c+10d+e=12—32+50+6=28,不合要求；

再考虑14256,此时10a+b—8c+l（W+e=14—16+50+6=54,符合要求.

故所求的最小的数是14256.

故答案为：14256.

34.（2019・山东・高三竞赛）6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球

排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是.

【答案】/

【解析】

【详解】

由题意可知，所有的排列方法种数为：N=

6!x3!x3!

满足题意的排列方法数量为：〃=­；x2x5,

3!x2!

5!〜「

-------x2x5§

故同色球不相邻的概率为P=&务一=—.

⑵924

6!x3!x3!

故答案为：费.

35.（2019•贵州•高三竞赛）若（。+份〃的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数

列，则最大的三位正整数n=.

【答案】959

【解析】

【详解】

设（“+力〃的展开式中连续三项的二项式系数为C：T,C：,CZ（啜*«-1）.

因为2C：=CL+C”，所以/-（4Z+1）〃+4二-2=0,

得到〃=++1±由①

2

由〃为正整数，则8k+9应为奇完全平方数，故设8*+9=（2"计1）2,即兼=布+%-2,

代入①式得"=（"7+1）2—2或n-m2-2.

所以，三位正整数〃的最大值为959.

故答案为：959.

36.（2019・广西•高三竞赛）从1,2,…，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差

数列的概率为.

【答案】弓3

38

【解析】

【详解】

设取出的3个不同的数分别为a、6、c.不同的取法共有C；o种，

若这3个数构成等差数列，则有。+。=24故、c同为奇数或同为偶数，且。与c确定

后，b随之而定.

从而所求概率为「=与手=亮.

do

3

故答案为：—.

37.（2019•浙江•高三竞赛）在复平面上，任取方程z"x>-l=O的三个不同的根为顶点组

成三角形，则不同的锐角三角形的数目为.

【答案】39200

【解析】

【详解】

易知的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为需，即将单位圆均

匀分成100段小弧.

首先选取任意一点A为三角形的顶点，共有W0种取法.按顺时针方向依次取顶点B和

顶点C,设AB弧有x段小弧，CB弧有y段小弧，AC弧有z段小弧，则AABC为锐角

三角形的等价条件为：

jx+y+z=100卜+y+z=97

［掇心y,z49=［健上y,z48

计算方程组①的整数解个数，记

[={x|x+y+z=97,x..49},g={y|x+y+z=97,y..49},

P3={z[x+y+z=97,z..49},S={(x,y,z)|x+y+z=97,x,y,z..O},

则］c月c剧=图

=C9-1|用+区|+|图制+Wc4c即）=「-3/=1176.

由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为竺殍砂=39200.

故答案为：39200.

38.（2019•新疆•高三竞赛）随机取一个由0和1构成的8位数，它的偶数位数字之和

与奇数位数字之和相等的概率为.

【答案喷

【解析】

【分析】

该8位数首位数字必须为1,分别计算出奇数位上和偶数位上1的个数，结合组合知

识求出基本事件总数和偶数位数字之和与奇数位数字之和相等包含的基本事件个数即

可得解.

【详解】

设”是满足题意的8位数，故知其偶数位上1的个数和在奇数位上1的个数相同，从

而在奇数位上与偶数位上1的个数可能为1、2,3或4.注意到首位为1,下面分情况

讨论：

（1）奇数位上与偶数位上有1个1,3个0共有C；C=4种可能;

（2）奇数位上与偶数位上有2个1,2个0,共有C〉C：=18种可能;

（3）奇数位上与偶数位上有3个1,1个0,有C〉C：=12种可能；

（4）奇数位上与偶数位上有4个1,共有C>C：=1种可能.

合计共有4+18+12+1=35个满足条件的自然数".又因为0和1构成的8位数共有

2'=128个，从而概率为三33.

12o

35

故答案为：石w

【点睛】

此题考查求古典概型，关键在于熟练掌握计数原理，根据分类计数原理结合组合知识

求解概率.

39.（2019.新疆•高三竞赛）记区为不超过实数x的最大整数.若A+・・.+

,则A除以50的余数为

【答案】40

【解析】

【分析】

根据『子均不是整数，利用放缩法分析"—<[?卜图<7”,结合

二项式定理得A除以50的余数.

【详解】

注意到71，二均不是整数.

88

所以对任意正整数%均有

=72*-1-!=7.72t-2-l=7-(49/-'-1

88

r

=7.(50-1>T_1=7.(C3x50"T+…+C；Tx50«--x(-l)+..-+C*：］'x(-l广)-1

=7-(-I/-1-I(mod50).

从而Aw7J010・（l-l）-1010=40（m