高中数学必修二6.2.1平面向量的线性运算

6.21平面向量的线性运算（精练）

【题组一向量的加法运算】

1.（2020•全国高一课时练习）化简.

（1）AB+CD+BC+DA-

（2）（JB+MB）+（Bd+BC）+OM.

【答案】（1）0；（2）AC.

【解析】（1）AB+CD+BC+DA=AB+W+CD+DA=6-

（2）^+MB）+（BO+BC）+OM^AB+BO+OM+MB+BC^AC.

2.（2020•江西高一期末）下列四式不能化简为标的是（）

A.MB+AD-BMB.（AD+MB）+（BC+CM）

C.（AB+CD）+BCD.OC-OA+CD

【答案】A

【解析】对B,（AD+MB）+（BC+CM）^AD+MB+BC+CM^AD，故B正确;

对C,（AB+Cb）+BC=AB+BC+CD=AD,故C正确；

对D,OC-OA+CD=AC+CD=AD^故D正确；故选：A.

3.（2020•全国高一课时练习）（1）如图（1）,在△ABC中，计算通+配+而；

（2）如图（2）,在四边形力腼中，计算通+配+①+次；

（3）如图（3）,在〃边形444…4中，M+石4+47+•••+席甚+中=?证明你的结论•

【答案】（1）0（2）0（3）0.见解析

【解析】（1）AB+BC+CA^AC+CA^AC-AC^O

⑵AB+BC+Cb+DA^AC+CD+DA^AD+DA^AD-AD^O

（?）

4*^2+42a+4Ai+,••+A1TA?+=o.

证明如下：

44+4A3+A4+…+A-A+AA

=AA+AA+---+A-iA+AA

=豆+…+4_A+d

=44+44=°

4.（2020•全国高一课时练习）（1）已知向量2,石，求作向量入使3+石+工=0.

（2）（1）中表示2,石，工的有向线段能构成三角形吗？

【答案】（1）见解析.

【解析】（1）方法一：如图所示，当向量£,b两个不共线时，作平行四边形Q40B，使得砺=£，砺=心

BD

^ia+b=OD>

又£+坂+"="所以。方+2=6，即0方=一"=—花’

方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作A48C,使得通=£，BC=b<CA=c>

则而+而+5=6，即£+B+"=G'

当向量两个共线时，如下图：使得通=£，BC=b<DE=c

ab

--------------->---------------->

4

-B-C

E《------------C-------------------D

AB+BC=a+b<DE=~（a+b）,

所以，AB+BC+DE=Q'即£+B+2=0.

（2）向量7坂两个不共线时，表示1坂，£的有向线段能构成三角形，

向量7坂两个共线时，a，b，c的有向线段不能构成三角形.

5.（2020•全国高一课时练习）一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16S"人，同时河水流速的大

小为4kx//i求船实际航行的速度的大小与方向（精确到/°）.

【答案】4后km,方向与水流方向成76°角

【解析】设船的航行速度为匕，水流速度为为，船的实际航行速度为匕r与岭的夹角为a，则

|v|=五/+同2=V162+42=416km/hyfn(km/h)

由tana=3=4,得aa76.

船实际航行的速度的大小为4j万切?，方向与水流方向成76°角.

6.(2020•全国高一课时练习)一架飞机向北飞行3()()如?，然后改变方向向西飞行4()()也?，求飞机飞行的

路程及两次位移的合成.

【答案】飞机飞行的路程为700k72：两次位移的合成是向北偏西约53。方向飞行500Am.

【解析】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是700bn；两次位移的合成是向北偏西约53°,方向飞

行500k%.

【题组二向量的减法运算】

1.(2021•全国练习)已知向量b>C>求作〃一6+不和白一伍一耳.

【答案】详见解析

【解析】由向量加法的三角形法则作图：a-b+c

由向量三角形加减法则作图:

a-(b-c\

2.（2020•安徽滁州市））化简：AB-CB+CD-ED-AE^（）

A-0B.ABC.BAD.CA

【答案】A

【解析】AB-CB+CD-Eb-AE=AB+BC+CD+DE-AE=AE-AE=6.故选：A.

3.（2020•全国高一课时练习）化简：

（1）AB+BC+CAi（2）（AB+MB）+BO+OM；

（3）OA+OC+BO+CO^⑷AB-AC+BD-CD；

⑸OA-OD+ADi（6）AB-AD-DC-

（7）NQ+QP+MN-MP.

【答案】（1）0.（2）AB（3）BA.

（4）0⑸0（6）CB.（7）0

【解析1（i）原式=/一/=o.

（2）原式=A»+8CUOA/+M月=A与

（3）原式=西+反一O耳一天^丽.

（4）原式=4总+8方+。3+。%=0

（5）原式=砺+而+。1=0

（6）原式=通一（M+加）=而一恁=丽.

（7）原式=而+而+/+*=。

4.（多选）（2020•全国高三专题练习）下列各式中，结果为零向量的是（）

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.OA+OC+BO+COD.AB-AC+BD-CD

【答案】BI）

【解析】对于选项A：AB+MB+BO+OM^AB^选项A不正确；

对于选项8：AB+BC+CA=AC+CA^Q^选项5正确；

对于选项C：OA+OC+BO+CO^BA'选项。不正确；

uunuunuunuuu,umuuu、,uumuun、uuuuuur

对于选项。：AB-AC+BD-CD=[AB^BD\-（AC+CD\=AD-AD=Q

选项。正确.

故选:BD

5.（多选）（2020•全国高一课时练习）已知£,行为非零向量，则下列命题中正确的是（）

A.若同+回=恒+同，则公与石方向相同

B.若同+回=|。一回，则Z与石方向相反

C.若同+|可=忸一可，则[与很有相等的模

D.若忖一|同=小一司,则公与.方向相同

【答案】ABD

【解析】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当4,。不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,

两边之差小于第三边有||£|-|切<|£±5<|£|+出|.

当a,B同向时有|£+5|=|£|+1|,卜aI—I•=1a-BI.

当a,7反向时有|£+B|=||£|-151|,|a|+1B|=|a-坂]

故选:ABD

【题组三向量的数乘运算】

1.(2020•全国高一课时练习)化简：

(1)5(32-2垃+4(2万—32)；

(2)；0—2杨_；(3£_2杨

(3)(x+y)a-(x-j)a.

11vJVv

【答案】(1)3a—21：(2)—5a+qb：(3)2yq.

【解析】⑴原式=151—10万+8万一12方=3£—2万；

1-2-3-1-1-1-11-1-

(2)原式=一。——b——a+—b——a+—b=--a+-h；

334222123

(3)IM=xa+ya-xa+ya=2ya.

2.(2020•全国高一课时练习)化简下列各式：

(1)2(32—2石)+3(2+5杨一5(4万一£)；

(2)-[3(2a+8万)-2(4a-2b)].

6

__iv14V

【答案】⑴14a-9石；(2)——a+—b

【解析】（1）原式=6（—4石+32+15万一20万+5£=14£—9万.

1---1--1-14-

(2)原式=一(6。+24力-8。+4与=一(一2。+28力=一一a+—b.

6633

3.(2020•全国高一课时练习)作图验证：

1-1-

(1)—(ci+/?)H—(a—b)=a

22

1-1--

(2)—(a+h)——(a—b)=b

22

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】如图，在平行四边形"切中，设丽=£,而=九则彳0=3(£+药,丽=3(£—B).

(1)因为40+08=48，所以/(a+B)+万(。-5)=a

(2)因为超一而=而+的=正+而=而，所以g(£—B)=B

4.(2020•全国高一课时练习)已知点8是平行四边形ACDE内一点，且通=a,AC6，通=

c,试用。，瓦表示向量前、BC，BE.在及前.

【答案】CD=c-jBC=b-a：BE=c-a：CE^c-b；BD^b-a+c-

【解析】•.•四边形ACDE为平行四边形.

二①=亚=2；

liC^AC-AB=B-£；

BE^AE-ABc-a；

CE^AE-AC^c-b:

BD=阮+⑰=b-a+c-

4.（2020•六安市城南中学）如图，四边形是以向量e=£,而=坂为边的平行四边形，又

BM=；BC,CN=CD,试用£、B表示。贬、ON-MN-

uuurir5r-.11111r1r1r

【答案】0加=一。+/人；ON=-(a+b；MN=-a——h

663、/26

【解析】\BM=LBC,BC=CA，:.BM=-BA,

36

/.BM=-BA=-(OA-OB)=-(a-b).

666

/.OM=OB+BM=b+-(a-b]=-a+-b.

6、>66

■.■CN=-CD,CD=OC，

3

_________2__.2__.__,2?

ON=OC+CN=-Ob=-(OA+OB)=-a+-b.

3333

/.MN=ON-OM=-a+-b--a--b=-a--b.

336626

5.(2020•全国高一课时练习)向量:，)：,二；如图所示，据图解答下列问题:

（1）用a,d,e表示£）8；

（2）用乙£表示丽；

（3）用工表示反;

（4）用d,c表示反

UlftlIU1I

【答案】⑴DB=d+e+a

UUU11

（2）DB=-b-c；

UUU1I1

⑶EC=e+a+5；

UUKl1IU

"）EC=-c-d-

【解析】由图知而=£,直=£前=",屁=2,丽=",

（1）DB=DE+EA+AB=d+e+a；

（2）DB=CB-CD=-BC-CD=-b-c^

（3）EC=EA+AB+BC=e+a+b--

（4）EC=-CE=-（CD+DE）=-c-d

【题组四向量的共线定理】

1.（2021•全国）设录,是两个不共线的向量，若向量£=1+/lUeR）与石=—何―21）共线，则（）

A./l=OB.4=-1

I

C.X--2D.4--

2

【答案】D

【解析】由已知得存在实数4使仁区即心超一叵询，于是1—解得

2.（2020•全国高一课时练习）设是不共线的两个非零向量，己知通=2G+pB,

BC=a+b,CD=a-2b,若A,三点共线，则，的值为（）

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】D

【解析】因为A8,C,故存在实数；L,使得A&=2BB,y.BD=2a-b'

所以2M+=24万一，5，故4=1,〃=一1，故选D.

3.（2020•全国高一课时练习）判断下列各小题中的向量Z与石是否共线：

⑴a=-2e,b=2e<

（2）a=q—e］，b——2q+2e,•

【答案】（i）7与石共线；（2）Z与丁共线.

【解析】（1）b=2e=-a>所以£与石共线;

（2）b——2et+2e2——2（e,—e2）=—2a>所以q与石共线.

4.（2021•四川乐山市•高一期末）已知向量病,日不是共线向量，a=3m+2n,b=6m-4n，c^m+xn

（1）判断Z，石是否共线；

（2）若Rm，求为的值

2

【答案】（1）£与万不共线.（2）x=-

【解析】（1）若£与♦共线，由题知％为非零向量，

则有5=热，即6加一4〃=力（3加+2〃），

6=3A

•••〈C,得到4=2且丸=一2,

-4=22

.•.4不存在，即［与B不平行.

（2）a//c>则^=7。，即，〃+x"=3rm+2r〃，

1=3r2

即〈c，解得尤=—.

x=2r3

5.（2020•全国高一课时练习）已知非零向量4*2不共线，且丽=在一1，PB=-3^+4^,

①=—2］—贰，=41—5段，能否判定A,B,D三点共线？请说明理由.

【答案】无法判定A,B,D三点共线，见解析

【解析】无法判定A,B,D三点共线，证明如下：

A.BA.P+PB=（2q-e2）+（-36+4e,）=-q+34,

CDCQ+QD=（—2q—e,）+（4q—5e2）=2q—6e,,

所以前=—2,看,

所以向量而与前共线.

由于向量共线包括对应的有向线段平行与共线两种情况,

所以无法判定A,B,D三点共线.

6.（2020•全国高一课时练习）设用02是两个不共线向量，已知A8=2耳一8e2，CB=e1+3e2,

Cb=2e,-e[.若BF=3"-电,且B,D,F三点共线，求衣的值.

【答案】左=12

[解析]BDCD—CB=（2q—02）—（q+3e2）=q—4e,,BF3q-kc-,,

VB,D,F三点共线，.•.丽:=2而，即惠一左己=4冢一4；国.

由题意知家,耳■不共线，得__解得&=12.

7.（2020•全国高一课时练习）已知q,e2是两个不共线的向量，若汕=2耳一862，CB=ei+3e2,

CD=2e,-e^,求证：A,B,〃三点共线.

【答案】见解析

【解析】••,丽=4+3],CD=2ex-e^，：.BD=Cb-CB=ex-^.

乂通=2.—8公=2怎一4£），二，.•.而||丽.

•..AB与AD有公共点B,；.A,B,D三点共线.

8.（2020•全国高一课时练习）如图所示,在平行四边形ABCO中，而=£,而=尻"为A3的中点,

点”在上,且丽=2NB■证明：WN,C三点共线.

【答案】证明见解析

【解析】VDN=2NB,

\l^B=^DB=^(AB-AD)=^(b-a).

连接MN,NC,则俪=耐+8月=耐一丽=

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