量子电子学讲义

量子电子学

第一章量子力学的基本原理

§1.1经典拉氏(lagrangian)运动方程

§1.2薛定四方程与路径积分方法

§1.3泊松括号与海森堡方程

§1.4量子化条件

§1.5力学量算符与力学量谱

§1.6测不准原理

§1.7表象理论

§1.8希尔伯特空间和算符及其矩阵表示

§1.9微扰理论

第二章量子化

§2.1一维谐振子的量子化

§2.2晶格的振动及其量子化

§2.3电磁场的量子化

§2.4光子数态及其性质

§2.5位相态及其性质

§2.6相干态

第三章密度矩阵理论

§3.1纯态、混合态、平均值及其密度算符

§3.2密度矩阵的性质

§3.3密度矩阵的运动方程

§3.4自旋一，粒子的密度矩阵

2

§3.5光子的密度矩阵和stokes参数

§3.6耦合系统的约化密度矩阵

第四章辐射场与原子系统的相互作用

§4.1原子极化率的密度矩阵

§4.2自发辐射跃迁

§4.3受激辐射与吸收

§4.4增益系、吸收系数与色散

§4.5均匀加宽与非均匀加宽

§4.6激光冷却与捕获原子

§4.7量子拍

第五章辐射场与原子系统的相干相互作用

§5.1二能级原子密度矩阵的矢量模型

§5.2超辐射

§5.3光子回波

§5.4自感应透明

§5.5光学章动

第六章非线性光学导论

§6.1非线性光学极化率张量

§6.2非线性耦合波方程

§6.3光学倍频、混频与参量过程

§6.4光学自聚焦与自偏

§6.5光学相位复共辐

§6.6受激喇曼散射与受激布里渊散射

第七章量子光学导论

§7.1平衡辐射的统计热力学

§7.2光的相干性与相干态

§7.3压缩态光场

§7.4纠缠态

绪论

一、量子电子学的研究对象

量子电子学主要研究辐射与物质的相互作用过程，主要涉及激光

的产生、放大、传输和调制以及激光产生的一系列新现象。

二、量子电子学的发展历史

1.量子力学的建立

自1924年DeBroglie的物质波假说给量子理论带来转机，1926

年Schrodinger从物质波的思想建立起波动方程，创立于量子力学，

以后他证明了他的波动力学方法与1925年Heisenberg发现的矩阵力

学量等价的，1927年Heisenberg提出了著名的“测不准原理”及1928

年Bohr作了“互补原理”的基本讨论，量子力学理论要求放弃经典

时空和因果的描述。1927年，VonNeumann引入密度矩阵描述统计

性质,密度矩阵方程是描述量子干涉现象的重要工具。1927年,Jorelan

KleinWigner和Dirac引入和发展了场的二次量子化理论，它是处理

辐射场与物质相互作用极有用的方法。1948年，Fegman首先发展了

量子力学的路径积分方法和图形方法，它比基于互关系的典型方法更

为有力，更适合于计算微扰的展开。以上几种方法在量子电子学种的

研究散射理论、量自拍、光泵、激光物理、激光光谱都是很重要的,

本课程将涉及这些内容。

2.量子力学的基本问题

1）如何描述微观粒子的运动状态？

2）如何测量力学量？

3）如何描述粒子运动状态的变化？

3.量子力学的基本假设

1）波函数粒子所处的状态用波函数来描述，波函数及其导

数要满足原值、有限和连续，粒子所有性质由波函

数完备描述

2）力学量力学量用线性、厄未算符表示，力学量的测量值是

由力学量算符的全部未征值所组成。

3）态叠加原理如果小,发…“”是系统的可能状态，那么其线

性叠加歹=也是系统的一个可能状态

i

4）Schrodinger方程给定粒子的初态以后，任意时刻的波函数

.（r,a可以由Schrodinger方程导出：

ih二一=HI//

dt

5）全同性原理全同粒子不可区分，全同粒子有两类：费

米子和玻色子，前者用反对称波函数表

示，后者用对称波函数表示

4.量子力学的几个重要推论

1)测不准原理(Heisenberg.1927)

Ax•Np*N方，A£­Ar>

2)量子力学的“隧道效应"：当E<U。的粒子运动到势垒左方边

缘(x=0)处时，有可能贯穿势

3)束缚系统的能级是分立的

一维无限深势阱E“=H〃2,〃=],2,3……

2ua2

匕=(2)%.sin(些)fV(x)

aa।

4)对应原理：(Bohr,1932)1

量子力学在下面条件下趋于经典极限，

即当普兰朗克常数力.0r

0ax

或者束缚系统的量子数〃->00

5.A-B效应：在经典物理中，瓦石是可观察物理量，而无9是不

可观察物理量，没有真实的物理意义，但在量子力

学中，,9是可观察物理量，能产生可观察的物理

效应。

先考察电子的波函数，设在无外场时电子的

Schrodinger方程的解为夕°,它满足：

(3+U)夕°=£群0(1)

2m

当存在静磁场时，Schrodinger方程为：

[-^-(p-eA)-^-U]y/=Ei1/(2)

2m

方程(2)的解为：〃(工)=%(£).*⑴

其中：S⑴，伍点(3)

力J

(A-丽/=(._/).0(元)*")

事实上：

=(加0)产)

,s(i)

(P-eA)V=(PV0)e

代入(2)式即可证明。

由(3)式可见：静磁场存在时唯一结果是使波函数增

加了一个相位因子：-p0-J/,咋看起来，似乎不

会产生任何可观察的物理效应(因为波函数的位相

是不可观察的)，其实不然，如果存在一个无场而

有势的复连通域，尽管VxZ=月=0,但因

此，[屋近仍然与路径有关，只要在这样的复连通

域将一电子束分裂成相干的两电子束，顺们通过

不同的路径——而使它们的波禹娄

位因子S|⑴和$2⑴，然后再复合，就迎观察到波

函数的干涉现象。口11)

参考：y.Aharonov-Bohm

Phys.Rev115485(1958)1231511(1961)125

2192(1962)

第一章量子力学的基本原理

§1.1薛定谭方程

-：定态薛定谓方程的建立

回顾一下当初建立薛定谭方程的思想对我们是有益的。

1.几何光学是波动光学的一种近似，它只适用于光在宏观范围内

进行的情况，而波动光学是几何光学更加精确的理论，对光在

小范围中的进行也适用。

2.牛顿力学只适用于粒子在宏观范围中的运动。在微观粒子中已

经失效，应该还有一种更精确的理论——波动力学，它能解决

粒子在微观范围内的运动问题。

3.这种描述微观粒子运动的波动力学形式式什么，如何建立？我

们可以从几何光学和牛顿力学的相似性中得到启发。事实上，

只要把德布罗意假设：2=包引入几何光学，就能得到与牛顿

p

力学的相似性：一个质量为的经典粒子在位场中运动，可用类似

于几何光学的办法得到其运动的轨道。

设粒子在a点以速度V运动，质点在纸面内受力，把质点的运动轨道

看作光线，做“波阵面”AB垂直于旧，A,B两点在质点在质点两旁并很

接近，粒子的动量P可由机械能守恒求出。

(1.1)

o

所以：P=[2〃(E-V⑺]%(1.2)

根据德布罗意假设，有;1="=——乜--(1.3)

P[2//(E-V)]^

设A点的波长为，B点的波长为4=丸+”,由此可画出了新的

波阵面AB,延长BA和6A’相交于O点，O点可看作是轨道ab部

分的曲率中心QA的长度是曲率半径R,由相似三角形得：竺=宜

AR

(1.4)

或丝=4=2

(1.5)

dRRPR

更是指/I在R方向上的微分，因此,(1.3)式对R求导得：

dR

dA_h]LidV_h/i

薪一尸正一尸人(1.6)

式中，是力在R方向上的分量。将(1.6)代入(1.5)式得:

V2,

〃下=一九

(1.7)

负号表示力指向曲率中心，此式就是牛顿力学中向心力与向心加速

度的关系式。由它可以求出轨道的曲率半径R。这样，粒子在各点的速

度和曲率半径都已求出，也就决定了粒子的轨道。注意：我们这里并没

有用到牛顿力学，而只用到几何光学和能量守恒定律。由此可见，几何

光学与牛顿力学具有类似的地方。事实上，经典力学的最小作用原理与

几何光学中的费马原理在数学上完全是相同的。

既然几何光学与牛顿力学具有相似性，那么，我们的出发点应该从

描述几何光学的亥姆霍兹方程出发：引入德布罗意假设，导出波动力学

方程：

设粒子在位场V而中运动时具有固定能量E,根据德布罗意假设：设

E=h①,具有固定能量E,就是有确定的波长，根据波动光学中的波动

方程：

iay(r-r)

V2^/(r-r)--0

V7~

(1.8)

对于具有固定圆频率的光波，具有解：

（1.9）

把（9）式代入（8）式得：

。少（万）+（与尸以产）=0,2=—

ACD

（1.10）

这就是儿何光学中的亥姆霍兹方程，4为光波的波长，如果把实物粒

子的德布罗意波长：——-―-

(1.11)

把(11)式代入(10)

力2

——V2>(r)+V(r>(r)=Ey/⑺

2u

(1.12)

这方程称为定态薛定谓方程

二、含时间的薛定译方程

对于定态情况，粒子具有固定的能量E,根据德布罗意假定，粒子

从而具有固定的圆半球：。=互，这相当于光学中的单色光，而一般的

n

复色光，可以看成是个中单色光合成的，据此类推，一般波函数以尸⑺可

以看成由各种能量的定态波函数〃。⑺合成的

-昌

〃(〜)=2。/〃(尸)€方(M3)

n

其中.⑺是满足光态薛定谡方程:

ft2,

--VV„(r)+V(FK(r)=E,^„(r)

2u

(1.14)

产"t

(14)式两边乘以C〃eh,

力2a

——VV(r-f)+V(r)</(r-0=

2udt

这就是含时薛定郡方程

三、波函数的诠释

1.儿率解释：波函数究竟代表什么物理意义

波思(Born.M)认为：帆行力「是代表粒子在空间出现的儿率

密度

即几率密度：P（r.t）=w*（Ht）

显然：Jp（尸1）dv=J〃*（尸.f）以尸"）dv=常数

全空间全空间

或者：—J〃*任力”（尸l）du=O

山全空间

而Schrodinger方程显然，应该满足这个方程。

（四）儿率流密度

'：—'y/*wdv=—^(^*Vw—四吸)•乳do

由v2MA

=-da

一ih

其中J=——(四夕*——*v科)

2u

(1.16)

讨论:1)当Vf全空间时-,—f-0

出Rt全空间'

说明空间粒子数守恒

2)当Vf为有限空间时：■办代表体积V内儿率密度

的变化率，而「.以。代表流入体积v内的几率密度，因

此，

/=_迪（"."_必时*）称为儿率流密度

2M

（五）平均值

1.测量值：量子力学的测量值与经典力学的测量值有本质的区

另U，首先，在经典物理中，对任何状态下对某一物

理量进行测量，都有确定值，但在量子力学中，对

某一个物理量F进行测量，有两种可能的情况：一

种情况是：每次测量F都有唯一确定的值。我们称

系统处于F的本征态；另一种情况是：每次测量F

都具有不同值，比如测量N次，测量到F的值为：

片,工…工等，它们出现的相应次数为…

我们称：在材态中，测量值为工的儿率为：

要注意：这种测量的不确定性不是由于误差因素引

起的，而是由系统的状态确定的。

2.平均值：〈F〉=ZE,P.其中：P.=:，

3.位置与势能的平均值

设粒子处于状态“(X),现对粒子的位置进行测量，测量次数

为N,发现粒子位置出现在x~x+dx的次数为dN,贝小

器=5Jw(x)dx

〈X〉=rx^~=[x-*(x)(x)dx=P〃*(x)・x・“(x)dx

J-OONJ-COJ-00

(1.17)

〈V(x)〉=]〃*(x)V(xW(x)dx

(1.18)

4.动量及一般力学量的平均值

〈P、〉=一访J〃*(x)苏〃(x)dx

〈P〉=-ihj^*(r)Vi//(『)d\)

(1.19)

对于一般力学量〈F)=户〃(7)dv

(1.20)

5.平均值随时间的变化率

d(A)_d

*Ay/)dv

dtdt

・4"+”*—(Ay/)]dv

漪i

*

*z

l

--\

%力

)+/

i

<<

/43

\一%///

i

/

\j

力

即竽=碍〉+*为

(1.21)

6.厄氏定理(Ehrenfest)

单个粒子的经典运动方程为:

(1.21)

量子力学的对应原理：上式中所有矢量都应该对应的量子

力学算符的平均值来代替

d〈户、〉=痔〉

[dm⑴---=色〉

dtdtOX

或$〉

即.火m仍---=〈幻,=唔

dtdt力

或2〉

m---=色〉认。）=臂〉

dt.dtdz

(1.22)

§1.2与时间无关的Schrodinger方程的某些解

一、宇称

在一个具有空间反演对称性的势场中，粒子的状态波函数具

有确定的宇称，从定态Schrodinger的方程出发：

力2

---V22w(r)+V(r)u(r)=Eu(r)

2m

(1.23)

当空间反演用-尸代替尸，得：

力2,

---V2u(-r)+V(-r>(-r)=Ew(-r)

2m

(1.24)

如果V(-尸)=V(尸)，即势场具有反演对称性

力2

2

贝----Vw(-r)+V(r)M(-r)=Ew(-r)

2m

(1.25)

比较(1.23)与(1.25)式可知：〃⑺与“(-力都是具有相同未

征值E的波动方程的解。

现在来构造两个新的波函数：

行)=好)+〃(->)偶函数

(1.26)

w0(r)=w(r)-M(-r)奇函数

(1.27)

当本征值E是非简并时，则〃，和人应该是同一个函数的倍数，(因为

和“。都是具有相同本征值E的波动方程的解)这样，

“⑺、M(->)、〃,")、沏⑺都具有相同的本征值，它们应该是同一函数的

倍数，这样就有两种可能：

①”行)是勺⑺的倍数，而“°⑺为零，即〃(一尸)="(尸)，具有偶

宇称

②"⑺是〃0(万)的倍数，而右⑺为零，即"(->)=-〃(尸)，具有奇

宇称。

因此，当场具有反演对称时，V(-r)=V(r),本征函数具有确

定的宇称。

二、谐振子

pzpz1

一维谐振子的Hamiltonian为：H=^-+v(x)=^-+-kx2

2m2m2

Schrodinger方程为：~—^-^+-kx2u=Eu

2mdx22

(1.28)

这是一个变系数的二阶级分方程，下面求解这个方程，

令：百=ax,a4=(^-)2co2=—,2=—

力mhw

(1.28)变成：^+(A-e)u=Q

(1.29)

上

当y〉〉％时一,(1.29)具有形式解：u^cce2,因此，我

们很自然地假设(1.29)具有下列形式解：

上

=2

(1.30)

问题是如何确定H©)?

将(1.30)代入(1.29)得

-2g+(2-1)W©=0

西一d七

(1.31)

求解(1.31)式可得：

%=2〃+1,n=1,2,3,…

(1.32)

En=ho)(n+

(1.33)

讨论：⑴谐振子最低能量为"而不是0,这与经典谐振子有

质的区别

⑴谐振子最低能量为.是测不准原理的必然结果。

根据测不准原理AP(-Ar>^,取最小测不准间隔

2

则"

2A2(4心「m}

，='a(当”,时)

2V4/7?

下面讨论方程(1.31)的解，因为；1=2〃+1,代入(1.31)得

2dHg)

四”“姑+2nHn=0

(1.34)

利用生成函数，可以求出(1.34)方程的解

注意到:介

则生成函数………=54勺为

(1.35)

对(1.35)两边求导得(对Q：

t^lS^=2Se-^=2st^S"=2Y^5-

„=o〃！„=o〃！M〃！

co8

HE)-s-'-t.n+l

--------------------on+9ks

n=0n\n=0(n+1)!

(1.36)

比较S的同次幕得：

”,：©2""⑹

(九+1)!n\

••.”：MC)=2(〃+1).”“C)

即H：C)=2〃H,TG)

(1.37)

另外：由生成函数可得:

dG(S£)

=(—2S+2»G(S/)

dS

«=0〃！»=0〃！

=2..C)5-i+2.巩©s”

"=0〃！«=o〃！

(1.38)

(1.38)式的左边又可写成：之也四51

占〃！

..5+1)”“+闾丁_s.+2宁”包

5+1)!h(n-D!h〃！

比较S的同次累得：

4Hll©=房)+2〃H._W)

(1.39)

(1.37),(1.39)称为兄e)的递推公式:

将递推公式代入(1.34)式，即可证明：

吆皿T也3+2皿=0

下面的工作就是具体求出”“⑹的表达式：

注意到：

2]]J加上乩©S”}

las/兀0阳1£n\

」Js=o

=比“0+g4H2©2上工H“@

rdH-----1---------d

\dSn\_!2!n\

=*q)

——｛票…工。

s=o

=(—1)"々长四~«一铲

.•.“0=1,“2=25”3=魅2—2,…

(1.40)

(1.40)式称为厄米多项式,它是谐振子Schrodinger方程(1.34)的

本征函数。至此，谐振子的本征值与本征函数已完全求出。

其本征函数为：

身

A(x)=N,e2乜⑹

N”为归一化常数：Nn=—j

I乃乃〃!2"J

，“〃(％)=—V------乜3)・e2

\7i/2nl2nJ

(1.41)

§1.3柏松括号与量子化条件及海森伯方程

一、柏松括号

设任一力学量F是广义坐标/和广义动量5以及时间t的函数

F=FSiRt),i=l,2…〃

力学量F的时间演化率为：

dF(q”Pi，t)5Fdq5FdP.

--------=---卜>(------t1---------)

dtdt,=1dqidtdPidt

(1.42)

根据Hamiltonian方程:

.dH.m

%=玄={%+"}

阴

(1.43)

(1.44)

把(1.44)(1.43)代入(1.452)式得:

dF(qj,Pj,t)dF8HdFdH、

------------------=-------F

dtdt占dq,叫阳西

(1.45)

其中…㈤耳膏喘嗡•勖称柏松括号。

事实上，对任何一对力学量A,B,都有:

一ie,SASBdA©B、

白阳叫叫dq/

(1.46)

二、量子化条件

我们先研究柏松括号，当F=H时,有

本律里-"骂+也=0

占的阴阴彻dt

所以也=辿=。

dtdt

如果H不显含时间3对不受外力作用的任意孤立系统，有:

—=0,则H=常数

dt

显然，它是顺从能量守恒原理的。

另外，我们来观察柏松括号的对易关系，令：A=q,,B=P,,则

管寮偿加。

(1.47)

£dPdPidPHP：

7台沟叫叫闻

(1.48)

叱｝=£/箸嘤•篝)=琳=卜父

普彻dPjdPjdqt[0,i*jHj

(1.49)

如果。，。为算符，而不是经典力学量，它们的对易关系为：

r人人f/人人人人\

[/，④]=(0・%—%・•/)=0

(1.50)

/人力人]人=(人£力人-人4比)=0

(1.51)

@，。】=(。♦2_户/•。)=igj=\｛

0,ij

(1.52)

自,户/=清｛%力｝

显然，算符《耳的对易关系与经典力学量劣力的柏松括号非常相

似，根据量子力学中力学量与经典力学量的对应关系，即将经典力学

量中的广义坐标和广义动量用相应的算符表示，

即为相应量子力学中的力学量。因此，只要将经典柏松括号改为对易

括号，及口力｝一（自乃］,经典力学方程就可以自然过渡到量子力

学方程，即对于不显含时间的力学量算符。⑺，有：

华T。⑺⑼

dtih

(1.53)

或者：摘3=⑺田］

dt

（1.54）

这正是海森伯方程。

我们再来分析一下经典柏松括号与量子对易关系的区别，从而总

结出量子化的条件。由此比较（1.49）和（1.52）可见，柏松括号与

对易关系的区别主要来源于算符的不对易性！如果算符是对易的，则

对易关系与柏松括号并没有区别。只要承认“力学量由算符表示”这

一量子力学的基本假设是正确的。则，对易关系与柏松括号的这种区

别则是必然的。因此，我们可以将（1.52）式作为量子化条件。

口，户/=请学

三、经典力学与量子力学的联系

Hamiltonian方程:Heisenberg方程:

'.SH

4=—={4，"}

,dP；atinoqi

明粤T户⑺，联驾

rp：=----

dqidtihdPj

显然，Hamiltonian方程与Heisenberg方程是非常相似的，事实上，

当力.0时、［仇,月］=拓{%,4}.0即团,户,］=0,廓用对易！Hersenber

方程自然过渡到Hamiltonian方程，即量子力学自然过渡到经典力学。

因此，Plank常熟h时一个分水岭，当测量精度达到需要考虑到h的

影响时，则量子效应就会表现出来，而当测量精度无需考虑到Plank

常数的影响，测量结果可以由经典力学准确预言，量子力学是经典力

学更加精确的描述!

§1.4路径积分方法与薛定谓方程

量子力学的路径积分方法是费曼（Feynman）于1948提出来的

不同于基于对易关系的量子力学的典型方法，它已广泛用于近代量子

场理论中，特别是对于规范场理论。格子模型以及非线性量子场理论

是一个标准的方法。它非常适合于微扰展开以及有逻辑上和自洽的优

点，提供处理量子场论中棘手的发散问题一种有希望的方法。

路径积分是基于由拉式量L的时间积分构成作用量S的指数变

换函数，以这样的指数函数作为一积分核，可以将某一时刻的量子力

学波函数变换成另一时刻的波函数。

首先，定义作用量S：

s=[Z金，①/）力

（1.55）

并引入时间演化算符（又称格林函数，或变换函数或核），波函

数是下列方程（仅讨论一维情况）：

群（172,，2）=L%（%,；%，G）沙（/，。）dq】

（1.56）

它给出波函数以q"）及材（W修）之间的演化关系，路径积分为：

©%,%；%,%）=k（2,l）=jexp[|『q,t）o0/

（1.57）

积分遍及从©/）到①2%）的所有路径，而。。“为：

_N_N

0。，=（2加力"）一万limTI3/（2加力"）一万]

'Nfoo?,k=\

（1.58）

(参考：FegnmanPhysicsLettvuheIII)

令：e=St=―,/=A=(2加方3)

N

路径对于相位的贡献是相应的作用量S(再作用的量子单位立)，积

分量将时间分割相等的N份下进行，对于很短的区间G,作

用量是这区间中拉式量L的e倍，可以写成：

J/Ahe2

(1.59)

现将这代到一维势场V(x,f)中运动粒子的特殊情况，有：

丫2.

L=m---V(x,t),则(1.59)式变为(令q=x):

2

沙(q,f+e)=f[{exp[：讯：*)川.{exp[-：eV(兰土/)]卜己(x'j)dx'

L"Ah2Gh2

(1.60)

作替代：x'=x+u,且假设〃是小量，则有：

产1un.V-(ei)V(^)

h

i//(q,t+e)=-e力仁•e-+r/,t)dr/

bA

(1.61)

将材展开成幕级数，只得保留e的一阶项。这隐含着保留〃的二阶项。

€丫(亨/)由6丫(无#代替，展开左方到c的一阶项，而右边展开到e的

一阶及〃的二阶，我们得到：

〃(1/)+£—f—e"力，eh2•[]-----V(X,O]

dtAh

布//1^2///(1.62)

・[〃(%/)+〃丁+W/]d"

ox2ox

1产im//

如果取右边第一项的积分：vl/的=1则

Af

1im〃/

,八相・加"二。

£°A

产1imrj2/诙W

第三项的积分：［-e"加•〃/77=——

L1cAm

则(1.62)式变为：

/+€字力e5V

dt2imdx2

(1.63)

整理得：衅"福察+S-

(1.64)

这就是一维势场V(x/)中运动粒子的薛定谓方程，它是由量子力学路

径积分推导出的波动力学微分方式代

将（1.64）式推广到普遍形式：

诙也=的

dt

方就是Hamiltonian算符，对带电粒子再电磁场中的Hamiltonian为:

人1_PA_e人人

H=（-，升▽——?!）•（-%▽——4）+

2mcc

式中，e为电荷，c是光速，Z是电磁场矢势，①是电磁场标势。

第二章量子化

Jordan,klein,wigner及Dirae等人引入的产生和湮灭算符，首

先应用于量子电动力学，以后在量子场理论中得到发展并成为近代理

论场物理的基础，近年来，量子场理论已应用于激光物理学、非线性

光学、量子化学、核物理及固体理论中量子力学变体问题上，这一章

重点讨论“二次量子化”所涉及的产生的和湮灭算符问题。

§2.1产生和湮灭算符

p21

经典力学中的Hamiltonian为：H=—+-mco2x2

2m2

(2.1)

将(2.1)式改写为：H--^―(mcox-iP\mo)x+iP)

2m

(2.2)

p2)

量子力学中的Hamiltonian为：H=——+—mco2x2

2m2

(2.3)

由于算符的不对易性，(2.3)式可以改写成:

/VI人/VI/7)人人

H(mcox-iP\tn(Dx+iP)-----(xP-Px)

2m2

(2.4)

a=—/cox+iP)

72mti3

令

1八

a+=—/(^TTTCDX-iA)

2mli3

(2.5)

将（2.5）式代入（2.4）式得：H=ha）（a+a+

(2.6)

〃+,a称为产生、湮灭算符

1.〃的对易关系

va+a=(2/n力g)7(mcox—iP}(ma)x+iP)

(2mfi①[m2(o2x2+户+imco(xP-Px)]

=(力⑼TH+y[X,P]

=(力。)T(方一空)

2

(2.7)

同理:a+a-(ha)y'(H+—hco)

2

(2.8)

/.[a,a+]-aa*-a+a-1

2.aZ的本征函数与本征值

令府=/a的本征值为n,相应的本征态为|〃)，

则N\n^=a+a\rij=〃|〃)

两边同乘以(〃|得：n=("1+&〃)=卜|〃)『>0

n>0

先计算：心?|〃)=。+闻〃)

=(aa+-l)iz|n)

=na\n)-a\n^

-(n-l)a\n^

可见：《〃〉是内的属于本征值为(n-l)的本征态

又；jV|n-l)=(H-l)|/i-l)(•.•假设N的本征值为n的本征态为[〃)，

而本征态为卜L1〉的本征值

当然为(n-D)

.•.。|〃)与|〃—1)是同一个态，它们之间只相差一个常数Co

(2.10)

取(2.10)的厄米共辄有：

++

(a|/i))=(cn|«-l))

得：

(2.11)

(2.10)乘以(2.11)得：匕-1,-1)

•4却『二〃c“=G

而因：a\n)-4n\n-

(2.12)

可以证明：Na2\n^(n-2)a2\n)

(2.13)

•/Na2\n)=Naci\nj

-Nay/~n\n-]^

—y/~n-\ln—1(H-2)|n-2)

=(n-2)aa\n)

=(n-

同理可证：&1〃〉=(〃-3)/|〃)

可见，n-\,n-2,“-3,…都是舟的本征值，但因为n必须大于

零，

n>0,所以，〃=0,1,2,3,…

同理：=J〃+l|鹿+1)

Na+1ii)=a+aa+\n^

=a+(a+a+l)|n)

=(〃+1)(2+I71)

「・〃+=cj〃+1〉，而|cj=〃+l

a+\n^=-yjn+l|n+1)

(2.14)

而方=力双〃+。+；)

人1

=%G(N+])

(2.15)

3.方的本征值与本征态

•.•。=方旗而+f,显然方与内对易

可见，方与内有共同的本征态，因为[〃)是力的本征态，

即刈力=〃|〃),故I”)也是用的本征态,而，

M〃〉=E」〃)

.・.力旗R+g)[〃)=£„|〃)

En—h①(n+g),n=0,1,2,•••

(2.16)

由此可见，无零直接求解微分方程，用量子力学算符的基本就可

以求出力的本征值。

下面求力的本征矢

从基态本征矢出发：

1°）

W=#|l）=4（。+）1。）

1

阿=5小=丧.专（”|1）=71n（“。〉.（心3

|〃）=+（"|0）

（2.17）

4.a*,a在能量表象中的表示

在粒子数表象中，以|〃）为基矢张成一个Hilhert空间，矩阵为:

⑺丽〉=4n（n'\n-t）=4n3n,n_x

（2.18）

=y!n+\（n'\n+1）=4n+\3n,n+x

(2.19)

’01000…、'01000…、

00行00Vi0000•••

a=000V30…a+=0后000…

0000n-007300•­•

,.•・•・……・•・••・

\,....../\,•...../

H的矩阵元为：”“，“=（〃'必|〃）=力0+=%以〃+g）即!

/1

-ooo

2

3

o-oo

2

-方G5

oo-o

2

7

ooo-

L2

坐标与动量的矩阵元

X=------(。+。+)

\2mco)

户=-(1-)%-4+)

\2mco)

r方、片厂,___

{n'\x\n)=--(6%“T

\2ma>j

M户I〃)=(M夕,,i-川)

0Vioo

Vi0V20

0720V3

0VToo

-VToV2o

mtico%

X=-Io-V20V3

2

o0-A/30

5.坐标表象中右，a的表示

在坐标表象中，"户的形式为:

人d

x^p=-ih—

dx

I

a=(2mha))^(mcox-viP)

」.a

=Qmho))2(加0戈+力——)

dx

i“e、

=&(>用)

(2.20)

mco

其中：=fn0Jx=ax.a=

ylhcotn~h~

合、

同理+i”一)

a=JK247结7

(2.21)

先求:%,(%)=(xp)

,/=0

--r=(4+2)WoO=

V2。

上

即唠…)2

“oT)=N°e