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文档简介

高中数学：概率模型的应用

在求解概率问题时，当题意所表述的形式难于解决时，

可将该问题转化成一个熟悉的“概率模型”，从而求

解，常见的解法就是转化为摸球与放球问题，使问题得

以解答。

袋中有N个白球、M个黑球，现有放回地从袋中摸

球，求：

(1)在n次摸球中恰好摸到k(k=0,1,…，n)个

黑球的概率；

(2)第k次才摸到黑球的概率；

(3)第r次摸到的黑球是在第k次摸球时实现的概

率。

解：由于袋中有N+M个球且是有放回地摸球，故每次

摸球都有N+M种等可能结果(此时设想球是编了号，

可区别的)。

(1)设在n次摸球中恰好模型k(k=0,1,…，n)

个黑球为事件A,考虑前n次有放回摸球，共有

(N+M)n种可能，对于事件A有此种不同情况，而每

种情况(如前k次均摸到黑球，后n—k次摸到白球)

都有MkN»k种可能，又因吐种情况是两两互斥事件，故A

有喘种结果，由等可能事件概率公式得

(2)设第k次才摸到黑球为事件B,前k次摸球有

(N+M)k种等可能结果，事件B的发生表明前k—1

次均摸到白球有N1种可能，第k次才摸到黑球有M种

可能，故事件B有种可能，由等可能事件概率公

Nk-1M

式得P(B)=(N+M)上。

(3)设第r次摸到黑球是在第k次摸球时实现的为事

件C,前k次摸球有(N+M,种等可能结果。第k次摸到

黑球，有M种结果，前k—1次摸球有r—1次摸到黑

球，有C造M「-1NkT种可能，故C事件共有C谓MiNkTM种结

果。由等可能事件概率公式得P(C)=(N+M＞。

可化为摸球问题举例：

例1100件产品(各不相同)中有35件次品，随机不

放回地抽取5件，求：

(1)”仅后两件是次品”的概率；

(2)”有两件是次品”的概率。

分析：此问题，可将“产品”换成“球”，“次品”换

成“黑球”，“件”换成“个”，“抽”换成“摸”，

就变成无放回摸球问题。

解：(1)设仅后两件是次品为事件A,球各不相同，

总的抽法有M。。。则对于事件A来说，前三次抽得正

品、后两次抽得次品有双小种可能,由等可能事件概率

a0.0345

公式得P(A)=FT

(2)设有两件是次品为事件B,则P(B)

0.345

等5短

JCoo

例2一副扑克牌(除了大小王)有4种花色，每种花

色13张，共52张，从中有放回地任取4张，求有两张

方块的概率。

分析：把“52张牌”看成“52个球”，“方块”看成

“黑球”，相当于求从52个球中有放回地摸出4个

球，其中有两个黑球的概率。

解：设有放回地摸出4个球，其中有两个黑球为事件

A,则套用摸球问题第一问可得P(A)

O

例3某数学家有两盒火柴，每盒有n根火柴，每次用

火柴时，他在两盒中任取一盒并从中任取出一根，求他

发现用完一盒时，另一盒还有r根(l〈r〈n)的概

率。

解：由题意知数学家共用了2n-r根火柴，其中n根取自

一盒，n—r根取自另一盒。于是此问题可等价转化为

“2n-r个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放n个，乙

盒放n—r个的概率“，记作事件A,因每个球放入两个

盒子共有2种放法。

・・.2n—r个球的所有等可能结果为产-「，甲盒放入n个球

空mnnr-1

的可能结果为Ck。即P(A)二

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