高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (四)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（4）

一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1.如图，在棱长为1的正方体48。。一公当6以中，点E,F分别是棱

BC,CG的中点，尸是侧面BCGB1内一点，若平面41P〃平面AEF,

则线段为P长度的取值范围是（）

A.[V2,V3]

3>/2\/5

B.

C.停，闾

2.己知根、〃是两条不同的直线，a、/?是两个不同的平面，下列说法正确的是

A.mlm，nua,mu00a〃£B.m，几ua=m//a

C.mln,nca,mu0naIBD.a"B，九ua=n///?

3.将直角三角形ABC沿斜边上的高A。折成120。的二面角，已知直角边AB=4遮，AC=4遍,

那么下面说法正确的是（）

A.平面ABC1平面ACO

B.四面体。一力BC的体积是g石

C.二面角4-BC—C的正切值是0

5

D.BC与平面ACD所成角的正弦值是乌

14

4.如图，在直三棱柱中，AB=AC=2,Z.BAC=120°,D

是AB上一点，且4。=2DB,E是的中点，F是CG上一点，当CF=1

时，BF〃平面CQE,则三棱柱ABC-4iBiCi外接球的表面积为（）

A.247r

B.32"

C.36TI

D.4071

二、多项选择题（本大题共17小题，共68.0分）

5.正四棱锥P-ABCZ）中，底面边长为2,侧面与底面所成二面角的大小为60。，下列结论正确的是

（）

A.直线PA与BC、PA与CD所成的角相等

B.侧棱与底面所成角的正切值为渔

3

C.该四棱锥的体积为4K

D.该四棱锥的外接球的表面积为等

6.在正方体ZBCD-AiBiGCi中的棱长为1,E'F为线段上当。1的两个动点，且EF则

下列结论中正确的有（）

A.B£1B]E;

B.平面AEF//平面BDG；

C.三棱锥B-4EF的体积为定值；

D.异面直线AE与8尸所成的角为定值.

7.将边长为1的正方形力BCO沿对角线BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角的大小为全则

下列结论正确的是（）

A.AC1BD

B.AB与CD所成的角是60。

C・。点到面ABC的距离为第

D.三棱锥A-BCD的外接球半径是立

2

8.如图，在正方体ABCD—4B1GD1中，点P在线段BQ上运动，有下列

判断，其中正确的是（）

A.平面PBiD，平面4皿

B.&P〃平面AC/

C.异面直线&P与NO1所成角的取值范围是（0,外

D.三棱锥Di-APC的体积不变

9.如图，在菱形A8CD中，AB=2,/.ABC=60°,M为3C的中点，将团沿直线AM翻折

成回连接BiC和当。，N为从。的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（）

A.AM1BjC

B.CN的长为定值

C.力名与CN的夹角为看

D.当三棱锥AMD的体积最大时，三棱锥&-AMD的外接球的表面积是87r

10.四棱锥P-4BCD的底面ABC。是矩形，侧面PADABCD,^APD=120°,AB=PA=PD=

2,下列说法正确的是（）

A.PC=V7

B.PC与A。所成的角的余弦为渔

4

C.PC与A。所成的角的余弦为一渔

4

D.该四棱锥P-48CD外接球的半径为遥

11.如图，点M是正方体ABCD-AiBiGDi中的侧面力DC14上的一个动点，则下列结论正确的是

（）

6

Ai

KJ

AB

A.点M存在无数个位置满足CM1ADr

B.若正方体的棱长为1,三棱锥B-QM。的体积最大值为］

C.在线段力么上存在点M,使异面直线与C£＞所成的角是30。

D.点M存在无数个位置满足〃平面Bi/C

12.已知球。与棱长为3的正四面体ABC。的各个棱都相切，则（）

A.正四面体ABCD的高为连

B。与平面ABC所成角的正切值考

C.球O的表面积为4兀

D.球。的体积与四面体ABC。的体积之比为g

13.如图，正方体力8。。-4道传1。1的棱长为小线段劣以上有两个动点

E,F,且EF=¥a,以下结论正确的有（）

A.AC1BE

B.点A到ABEF的距离为定值

=

C.VA-BEF'^^ABCD-A1B1C1D1

D.异面直线AE,8尸所成的角为定值

14..在直三棱柱ABC-41&G中，“BC=90。，AB=BC=2,AA2=2,

M是BC的中点，N是4Ci的中点，点P在线段BiN上，点。在线段A例

上，且4Q=|AM,S是4cl与4C的交点，若PS〃面/AM,贝心）

A.PS"B\Q

B.P为BiN的中点

C.AC1PS

D.三棱锥P-BiAM的体积为|

15.如图，在菱形ABC。中，AB=2,AABC=60°,M为BC的中点，将团ABM沿直线AM翻折

成团连接HR和Bi。，N为反。的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A.AM1BiC

B.CN的长为定值

C.与CN的夹角为，

D.当三棱锥当-AMD的体积最大时，三棱锥&-4MD的外接球的表面积是87r

16.在正三棱锥P-ABC中，侧棱长为2近，底面边长为26，则下列关于正三棱锥P-4BC的说法

正确的是（）

A.PA1BC

B.侧面与底面的夹角的余弦值为当

C.三棱锥的体积为4M

D.三棱锥外接球的表面积为16兀

17.如图，在正方体4BCD-&B1GD1中，点E在棱DO1上，且2OE=

EDr,尸是线段BBi上一动点，则下列结论正确的有

A.EF1AC

B.存在一点F,使得AE〃CJ

C.三棱锥的体积与点尸的位置无关

D.直线与平面AEF所成角的正弦值的最小值为鬻

18.如图，正方体4BCO的棱长为。，线段劣劣上有两个动点E,F,且后F=心&，以

2

下结论正确的有（）

A.AC1BE

B.点A到回BEF所在平面的距离为定值

C.三棱锥4-BEF的体积是正方体ABCD-%B1C也体积的以

D.异面直线4E,8尸所成的角为定值

19.如图直角梯形A8CZ）中，AB//CD,ABIBC,BC=CD=：4B=2,E为A2中点,以OE为

折痕把AADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=26，贝女）

A.平面PED，平面PCD

B.PC1BD

C.二面角P-OC-B的大小为3

D.PC与平面尸EZ）所成角的正切值为V2

20.下列命题中正确的是（）

A.平面a〃平面0,一条直线。平行于平面a,则“一定平行于平面0

B.平面a〃平面氏则a内的任意一条直线都平行于平面口

C.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面

平行

D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线

21.以等腰直角三角形A8C的斜边8c上的中线AO为折痕，将△48。与△AC。折成互相垂直的两

个平面.下列说法正确的有（）

A.BD_L平面ACD

B.△ABC为等边三角形

C.平面力DC1平面ABC

D.点。在平面ABC内的射影为^力口。的外接圆圆心

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

22.（一）如图在四面体ABC。中，若截面尸QMN是正方形，则在下列命题中正确的有.（填

上所有正确命题的序号）

①AC1BD

（2）AC=BD

③"〃截面PQMN

④异面直线PM与8力所成的角为45。（二）如图，在正方形ABCD中，E,尸分别为BC,CO的

中点，”为EF的中点，沿AE,EF,FA将正方形折起，使8,C,。重合于点。，构成四面体，

则在四面体4-0EF中，下列说法不正确的序号是.

①AO_L平面EOF

@AH1平面EOF

③AO1EF

@AF1OE

⑤平面AOE，平面AOF.

（三）设成，〃是两条不同的直线，a,B，y是三个不同的平面.在下列命题中，正确的是（

写出所有正确命题的序号）

①若m//n,n//a,则m〃a或mua；

②若m〃a,n//a,mu0,nu0,则戊〃夕；

③若aly,01y,则戊〃0；

④若a〃夕，0〃y，m1a,则TH1y（四）如图所示，正方体ABC。-

为B1GD1的棱长为2，E,尸为44rAB的中点，M点是正方形

ABB14内的动点，若GM〃平面CDiE,则M点的轨迹长度为

23.如图，在矩形A8CD中，AB=2,40=1,点E为CZ）的中点，F为线段CE（端点除外）上一动点

.现将团尸沿4尸折起，使得平面.43。，平面ABC.设直线尸£）与平面A8CF所成角为0,则sin。

的最大值为__________________

24.如图，在四边形ABC。中，ADHBC,AD=AB,^BCD=45°,/-BAD=90°,将△4BD沿8。

折起，使平面AB。_L平面3CD,构成三棱锥4-8C0,则在三棱锥4-BC。中，下列判断正确

的是.（写出所有正确的序号）

①平面480L平面ABC

②直线BC与平面48。所成角是45。

③平面4CD1平面ABC

④二面角C一AB—。余弦值为当

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

25.如图，在多面体A3CDEF中，AB//CD,AD1CD,CD=2AB=2AD,四边形AOE尸是矩形,

平面BCE，平面4BC£>,AF=AAD.

AB

(1)证明：DE1•平面ABC。；

(2)若二面角B-CF-。的正弦值为等，求4的值.

26.如图，在三棱柱48C-4/16中，底面三角形ABC是边长为2的正三角形，侧面4。的必是菱

形，且平面ACC141平面A8C,E,尸分别是棱4G，BC的中点，C^G=2GC.

⑴求证：EF〃平面

(2)若三棱锥G-ABC的体积为1,求平面EFG与平面4CG&所成的二面角(锐角)的余弦值.

27.如图，在直三棱柱48。一4避1(:1中，AB=AC=1,Z.BAC=90°,且异面直线与当口所成

的角为60。，设44i=a.

(1)求a的值；

(2)求直线/加到平面&BC的距离.

28.如图，四棱锥S-4BCC中，4B〃CD,4D_L4B,S41DC,SB14C,CD=2AB=V2AD=2,

SD=3,SE=2EB.

s,

(1)求证：SD〃平面AEC.

(2)求点A到平面BEC的距离.

29.如图，四棱锥P-4BCD的底面ABC。为菱形，^ADC=120°,ACA.PB,PD1CD,M是PC

的中点.

(1)证明：PDABCD.

(2)若PO=AO=1,求点C到平面BD例的距离.

30.如图，点C是以48为直径的圆上的动点(异于A,B),已知48=2,AE=夕，四边形BEDC

为矩形，平面4BC，平面BCDE.设平面E4O与平面ABC的交线为I.

(1)证明：11平面AC。；

(2)当三棱锥4-BCE的体积最大时，求直线/与平面ACE所成角的正弦值.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能

力，属中档题.

解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置.分别取棱BBi、BiG

的中点〃、N,连接易证平面&MN〃平面4EF,点P必在线段

MN上,由此可判断「在M或N处时4P最长，位于线段MN中点处时

最短，通过解直角三角形即可求得.

解：如图所示:

分别取棱8当、々Ci的中点M、N,连接MN,连接BQ,

•••M、N、E、产为所在棱的中点，•••MN〃BCrEF"B(\,

：.MN//EF,乂MN仁平面AEF,EFu平面AEF,

•••MN〃平面AEF；

vAAJ/NE,A4i=NE,.•.四边形4EN41为平行四边形，

:'A\N"AE,又AiNC平面AEF,AEc¥jSlAEF,

AN〃平面AEF,

又占NnMN=N,.•.平面4MN〃平面AEF,

•••P是侧面BCCiBi内一点，且&P〃平面AEF,

则P必在线段MN上，

22

在Rt△中，AAM=+ByM=Jl+(|)=多

同理，在中,求得&N=亨，

为等腰三角形，

当P在MN中点。时为P1MN,此时4P最短，P位于M、N处时&P最长,

4。=J&M2—OM2=J$2_4)2=乎，

A』=A]N=与

所以线段为P长度的取值范围是呼呼.

故选B.

2.答案：D

解析：

本题考查空间点、线、面的位置关系.属基础题.

根据面面平行，垂直的判定定理，线面平行的性质定理逐句判断即可.

解：因为nca,mu，不一定能推出a〃6，所以A选项错误；

因为m〃n,nc.a,可得771〃。或小0：0：,所以8选项错误；

因为mln,nca,mu£不一定能推出a_L0,所以C选项错误；

因为。〃。，nua,所以n〃夕.故。正确.

故选D

3.答案：D

解析：

本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，二面角以及直线与平面所成角的求法，平面的垂直的

判断，考查空间想象能力以及计算能力和推理论证能力，属于中档题.

逐项判断即可.

解：如图，

由题易得AD_LC。，AD1BD,CDCBD=D,

AD1平面BCD,

又BCu平面BCD,

所以AD1BC,

易知NCDB是二面角C-AD-B的平面角，

故"DB=120。，CD=8,BD=4,AD=4A/2.

在4CDB中，由余弦定理得BO?=CD2+BD2-2CD-BDcosl200,

可得BC=4«，过。作。FJLBC于尸，连接AF,因为ADJ.BC,DFOAD=D,

所以BCJ■平面AQF,贝U4F1BC,

由面积相等得，CD-BDsinl20°=|/)F-BC,

可得OF=巫.

7

对于A,AD，平面BCD,ADu平面ACD,

••・平面ACCJ_平面BCD,

••・易知平面ABC与平面4c。不垂直，A错；

对于B,四面体D-4BC的体积U=[XSABCDx40

=ix(|x8x4xsinl20°)x4V2=中个气,

故8错；

对于C,由前可知N4尸。为二面角4-BC—。的平面角，

tan乙4FO=略=簧=乎，故C错；

7

对于。，

过8作8。垂直CO的延长线于。点，由前可知，平面ZCD，平面8CO,

平面ACO0平面BCO=CD,BOu平面BCD,所以B。_L平面ACD,

则4BC。就是BC与平面ACD所成角，

BO=BDsin60°=273.BC=4近，

sin/-BCO=—=,£)正确.

BC4V14

故选。.

4.答案：B

解析:

本题考查了棱柱的外接球的问题.连接4F交EC于M,连接DM.可得△ABC外接圆的半径为

2stn300

2,进而可求得外接球的半径，可得表面积；

解：连接AF交EC于连接。

因为BF"平面CDE,所以

"AD=2DB,AAM=2MF,则HE=2CF=2,

二外接球的球心到平面ABC的距离为2,•.•AB=AC=2,/.BAC=120°,

•••△力BC外接圆的半径为Tx焉=2,

则所求外接球的半径为2vL表面积为32兀，

故选&

5.答案：AD

解析：

本题考查正四棱锥的结构特征及异面直线所成夹角及线面所成夹角与四棱锥的体积公式以及四棱锥

外接球的表面积，属于较难题目.

对于4,直线PA与BC所成角为/PAD,PA与C。所成的角为NP4B,从而直线P4与8C、PA与

C。所成的角相等；

对于B,由PO_L平面ABC。，NP40是侧棱与底面所成角，推导出侧棱与底面所成角的正切值为在；

2

对于C,直接由四棱锥的体积公式求解；

对于。，设该四棱锥的外接球半径为R,则R2=(g-R)2+(e)2,解得R=嘉，由此能求出该四

棱锥的外接球的表面积.

解：连结4C,BD,交于点O,连结PO,取4力中点E,连结。E、PE,

对于A,直线PA与BC所成角为ZPAD,

PA与CD所成的角为NP2B,

VPA=PB=PD,AB=ADf・•・Z.PAD=Z-PAB.

.••直线PA与8C、PA与CD所成的角相等，故A正确：

对于B,•.•P。，平面ABCD,二NPAO是侧棱与底面所成角，

•••正四棱锥P-4BCD中，底面边长为2,侧面与底面所成二面角的大小为60°

•••OA=^AC=-^V22+22=V2,Z.PEO=60°,OE=1,PE=2,PO=V22-l2=痘,

・•・侧棱与底面所成角的正切值为tan“A。=关=冬故B错误：

对于C,该四棱锥的体积为V=ixS正方形ABCDXPO=1X2X2XV5=竽，故C错误：

对于D,设该四棱锥的外接球半径为R,

则炉=(V3—R)2+(V2)2,解得R=嘉，

•••该四棱锥的外接球的表面积为S=4兀/?2=等，故D正确.

故选：AD.

6.答案：BC

解析：

本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，异面直线及其所成的角，考查空间想象能力，逻辑

思维能力，是中档题.

通过直线AC垂直平面8占劣。，判断A是正确的;通过平面4BC0〃平面必&62即可判断B正确；

三角形BEF的面积和4到平面BE尸的距离是定值，说明C是正确的；只需找出两个特殊位置，即

可判断。是不正确的，综合可得答案.

解：由图显然3C0E不成立，故A错误；

••・如图，。为AC的中点，

•••平面ABCD〃平面4道道1。1，/2u平面4/停1。1，当么〃平面ABCD,所以名。/无。,

又AD["BC],所以平面AB"]〃平面BDCi，即平面AEF〃平面BDC】'故B正确;

••・由于点B到直线8必的距离不变，故△BEF的面积为定值.又点A到平面BEF的距离为去故〃_BEF

为定值，即.三棱锥B-4EF的体积为定值，C正确；

当点E在5处，F为。1当的中点。1时，异面直线AE,BF所成的角是2。。送=30。，

当E在01处，尸在当的位置时，异面直线AE,BF所成的角是々A。1。430。，故。不正确；

故选BC.

7.答案：ACD

解析：

本题考查空间中直线与直线的位置关系，线面垂直的判定，线面垂直的性质，异面直线所成角，点

到面的距离，简单组合体及其结构特征，考查逻辑推理能力和空间想象能力与计算能力，属于综合

题.

根据题意，利用线线，线面的位置关系，几何体的体积计算，空间距离的计算对选项逐一判断即可.

解：对于A,如图，

取8。的中点O，连接AO,OC,•.•正方形ABC。，

.-.AB=AD,BC=CD,：.AO1BD,0C1BD,且40n0C=。，AO、0Cu平面AOC,

BDJ_平面AOC,又•：ACu平面AOC,BD1AC,故A正确；

对于8,如图,

A

取AC的中点E,BC的中点F,连接OF,EF,OE,

则易知，EF//AB,OF//CD,二ZOFE为异面直线48与CO所成的角或其补角,

•••二面角.4—30-0的平面角的大小为申••・由选项4知，乙40C=g,

又••・4。=0C=->AAC=—>0E=—，

224

・；EF=OF==乙K0E=渔，OFE是顶角不为60。的等腰三角形，故B错误;

224

对于C,如图，

由选项A知，平面A。。_L平面BCD,△AOC是等边三角形，

^^AOC=0C,取0C的中点G,连接AG,则4G1OC,AGu平面AOC,

AG_L平面BCD,设D点到面ABC的距离为h,

AG=与AB=BC=1,AC吟,

SA48c=”C•JAB2—（第2=|x^X^=^,

S^BCD=-CD=iX1X1=i

f

由%-BCD=^D-ABC得gS^BCD'4G=gSfBC九，

—X"匡=”且h,解得h=叵，故C正确;

324387

对于。，如图,

由选项A可知，点。到A,B,C,。四点的距离相等，OA=OB=OC=OD=丝,

2

故三棱锥4-BC。的外接球半径是玄，故。正确.

2

故选ACD.

8.答案：ABD

解析：

本题主要考查三棱锥体积、线面平行的判定、面面垂直的判定以及异面直线所成角，要注意使用转

化的思想.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

连结。8,容易证明OB】上平面AC。1，从而可以证明面面垂直；连接&B,&G容易证明平面B41cJ/

平面4CD1，从而由面面平行的性质可得；分析出41P与4%所成角的范围，从而可以判断真假

；VD1-APC=VP-AD1C＞尸到平面4。停的距离不变，且三角形力。1C的面积不变，从而可以判断真假.

解：对于4,连结。8,

因为正方体中，BBiJ•平面ABCQ,4Cu平面ABC。，所以BBilAC,

又因为0B1AC,DB,为平面。8当内两条相交直线，所以AC_L平面。BB1，

因为u平面OBBi，所以叫14。，

同理可得OB11AD1，

因为ADi、AC为平面AC/内两条相交直线，

可得0/JL平面AC%,

OB】u平面尸为。，从而平面，平面ACCi，A正确；

对于8,连接48,aG，

A\CJ[AC,平面ACD1，ACu平面力所以41cl〃平面AC/,

同理BQ〃平面4CD],

乂41G、BC1为平面841G内两条相交直线，

所以平面B&Q〃平面4CD],

因为&Pu平面所以&P〃平面AC/,故2正确：

对于C,因为40J/BC1，所以&P与所成角即为aP与BCi的所成角，

4B=BG=AICI，△B&G为等边三角形，

当户与线段BG的两端点重合时，4P与AD1所成角取最小值或

当P与线段BG的中点重合时，41P与AD1所成角取最大值会

故41P与AD1所成角的范围是椁,皆，故C不正确；

对于。，由选项B得BG〃平面4D]C,故BC]上任意一点到平面AD1。的距离均相等，

所以以P为顶点，平面4。道为底面，则三棱锥P-ADiC的体积不变，

又比L”C=/TDiC，所以三棱锥Di-APC的体积不变，故。正确.

故选ABD.

9.答案：ABD

解析：

本题考查几何体的翻折问题，考查线面垂直的判定与性质，异面直线所成的角，空间中的距离，球

的表面积计算，考查空间想象能力，属于中档题.

对于A,由AM1BC,且将A/IBM沿直线AM翻折过程中1BiM用幺M1CM的关系不变即可判

定；对于B,由面面平行的判定定理及等角定理可得NNFL5X1,运用勾股定理计算即可判定；

对于C,由NE〃4为即可判定线线角，由此计算即可判定；由翻折过程中，面力1面AMCD时

三棱锥B1-4MD的体积最大即可得出三棱锥特征，由三棱锥特征可计算其外接球半径，即可求解判

定.

解：对于A,因为菱形A8C。中，MB|=2,AABC=60°,M为BC的中点，所以AM1BC,将△力BM

沿直线AM翻折成△ASM,则AM11CM,因为nCM于点M,且当"c面B]MC,CMc

郦、MC,所以AMJ.颐[MC,又因为B、Cu面BiMC,所以AM1&C,故A正确；

对于8,如图1,取A£＞的中点为E,连接CE交于点F,因为N为当。的中点，则NE〃/!Bi，CE〃4M,

由面面平行的判定定理可得面力BiM〃面ENC,又因为面4B1M和面ENC均与平面&MD相交，交线

分别为&M和NF,所以NF〃MBi，由4可得AM1&M,由等角定理可得NNF「90,又因为

\NF\=^\B1M\=^\FC\=^\AM\=^-,

所以|NC|=JlNFp+|FC『=](+]=],为定值，所以8正确;

图1

对于C,由B可得NE〃4当,所以4NEC或其补角即为他与CN的夹角，在4ENC中，|EN|=：\ABX\=

1，\EC\=HM|=V3.\NC\=1,所以cos/NEC="9变=_匕所以AB1与CN的夹角为'；，故

2X1X12•>

c错误；

对于。，因为在翻折过程中，△AMD始终不变，又由A可得AM所以将AABM沿直线AM

翻折过程中，当面4&MJJSAMCD时，三棱锥&-AM。的体积最大.此时由面48泌1面AMCC,

面ABiMn面力MCD=AM,AM1BXM,可得1面AMCD.又因为MC〃4D,所以AMIAD,所以

Bi。即为三棱锥&-AM。的外接球的直径，由|MD|=y/\AM\2+\AD\2=V3T4=近，可得以。|=

+|MD|2=VTT7=2V2)

所以球的半径为近，表面积是8元，故。正确.

故答案为：ABD.

10.答案:BD

解析：

本题考查四棱锥的结构特征，空间中的距离，异面直线所成的角，面面垂直的性质，四棱锥的外接

球的结构特征，属较难题.

对于A,取A。的中点E,连接PE,由面面垂直的性质可得PEJ,平面A3C'。，即可得直角三角形

求解长度；对于8C,由4D〃BC可得“CB或其补角即为直线PC与AO所成的角，在△PBC中计算

角度即可：对于D,设ABC。中心为01，球心为O,△PAD外心为。2，由四棱锥和其外接球特征构

建两个直角三角形求解即可.

解：对于4,取AD的中点E,连接PE,因为乙4PD=120。伊川=|PD|=2,

所以PE14),K|PE|=1,\AD\=2V3,

又因为面P4DJ•平面4BCC,平面P.ADC平面AD,PEu面PAD，

所以「£_1平面48。。，连结CE,则「/?U平面力BCD,所以PEICE,

又因为底面A8c。是矩形，\AB\=2,所以|CE|=V7,

所以|PC|=J|PE|2+|Cf|2=2VL所以4错误；

对于3C,因为4D〃BC,所以NPCB或其补角即为直线PC与A。所成的角，

△PBC中，由A可得|P8|=|PC|=2VL\BC\=2V3.

所以cos/PCB=g编用=上鼻=在，故8正确，C错误；

2\PC\'\BC\2X2V2X2V34

对于。，如图，设ABC。中心为01，球心为O,△PAD外心为。2，

由乙4PD=120°|P4|=\PD\=2,可得。2位于△P4D外,

由四棱锥和其外接球特征可得。。[1面ABCZ),。。21面如。，且BE,。?三点共线.

所以。。「。道，0021P02.

22

所以|0B|=R=J|0]B|2+|。1。|2,\0P\=R=VlOO2|+\PO2\,

所以|0#|=2,|P02|-I00J=1,\002\=\0iE\=1,

解得I。。/=1,则R=V4TI=V5»所以。正确.

故选8£>.

11.答案：ABD

解析:

本题考查空间垂直关系的证明和判断，考查几何体体积的计算，异面直线所成角的计算，线面平行

的判断，属于中档题.

通过证明ADi_L面AiDC,可得当点M6&D上时，有CM1AD1，可判断A；由己知//MD=

当点M与点&重合时，点M到面GBD的距离最大,计算以LQBD可判断3；连接4/，因为CD〃4/i，

则乙4181M为异面直线BiM与C。所成的角，求出的长，可判断C；证明平面aCD1〃平面&BD,

即可判断。.

解：对于A,连接4。1，41。,4传,

由正方体的性质可得A£)i1A1D,AD11DC,AXD(\DC=D,AXD,DCu平面人1。。

则他_L平面&DC

当点Me&D时，有CMu平面&DC,所以CM_LADi

故点M存在无数个位置满足CM14D1，故A正确；

对于B,由已知UB-QMD=

当点M与点4重合时，点M到面QBO的距离最大

则三棱锥B-CiMD的体积最大值为以LQBD=l3-4x|x|xlxlxl=p故8正确;

a

对于C,连接41M

因为CD〃/I1B1，所以4I1B1M为异面直线与CO所成的角

设正方体棱长为1,41M=x(x>0),则BiM?=x2+1

点占到线的距离为弊己=争:当WxWl

1

co«=/%=oos30=--

v/^TT2

解得x=畀停H

所以在线段上不存在点M,使异面直线与8所成的角是30°,故C错误;

对于。，连接速

vA1D1//BCfA1D1=BC

四边形ABC名为平行四边形，则48〃。停

AXBC平面B1CD1，DiCu平面/CD1

•••4/〃平面B1CD1，同理可证DB〃平面/CD]

VAXBC\DB=B,AyB,DBu平面4B。

平面々CD1〃平面&BD

若M64D,MBu平面&BD,则BM〃平面8山道，故。正确;

故选：ABD.

12.答案：AB

解析：

本题以正四面体为载体考查几何体的高，线面角度，球的表面积公式，及球体积公式和棱锥的体积

公式，涉及知识多，对空间想象力要求高，属于较难题.解题时根据正四面体定义，底面为边长为3

的正三角形，顶点在底面射影为底面正三角形中心，侧棱长均相等，长度为3,根据这些条件对各

选项逐一求解即可.

解：对于A：如图，过。点作0G_1_平面ABC,垂足为G,则OG为正四面体ABCZ）的高，

由正四面体的定义可知点G是三角形ABC的中心，

连结AG,并延长交BC于凡则尸为BC的中点，且尸为BC与球。的切点，

设与球。的切点为E,则E为A。的中点，

连接ER则。为EF的中点，因为正四面体ABCD的棱长为3,所以4B=3,

AF=^,则AG=b，在RtAZMG中，AD=3,所以，故A正确；

对于B：因为球0与棱长为3的正四面体ABCD的各个棱都相切，

所以球心0为正四面体ABCD的中心，所以0G=工。6=渔，

44

因为。G1平面ABC,所以NOAG为0A与平面ABC所成的角，

nl

所以tanz(MG=^=^=立，故8正确；

AG痘4

对于C：由A的解答可知：2R=EF="

2

所以R=这，所以球。的表面积为47TR2=4兀xj=；7r,故C不正确；

482

对于。：由命题C的解答知：VrM=-nR3=-7TX=—7T，

球33328

正四面体ABCD的体积为力断幽BCD=xDG=|x|x9x^xV6=^,

所以球。的体积与四面体A8CQ的体积之比为看故。不正确.

故选AB.

13.答案：ABC

解析：

本题考查异面直线所成的角及线面垂直的判定与性质，同时考查棱锥的体积及空间距离，为较难题.

结合正方体的性质及已知逐一分析求解即可，解此题的关键是对正方体的性质要熟练.

解：对于A,

连接BD,交AC于0,在正方体中，有aCJ.BC,

又在正方体中，DDrABCD,ACu平面ABC。，

则。1AC,

5LBDC\DDX=D,BD、DDru平面BADB,

•••AC1平面BiD/B,

又BEu平面B/iDB,

AC1BE,

所以4正确；

对于B,A到平面BE尸的距离等于A到平面&D1DB的距离，

又ACJ■平面8也08,

・•.在正方体中，A到平面的距离为A。，为定值枭，

所以8正确；

2

对于C,由己知，得：SABEF=|xax^a=^a,

3

所以三棱锥4-BEF的体积为V=|SAB£FxAO=^a,

而正方体ABC。-&B1C1D1的体积为a3,

所以三棱锥A-BEF的体积是正方体ABCD-48传1。1体积的七,

所以C正确；

对于Q,设异面直线AE,BF所成的角为a,

当E与％重合时，F为劣5中点，连接4弘和BQ,

在正方体中易知四边形ABCiCi为平行四边形，贝必D//BQ,

・•・a=乙FBG，

因为QF_L平面BiJOB,所以QFLBF,

所以sina=螯=：,a=30°；

当尸与以重合时，E为&Di中点，

在正方体中有

则a=Z_E44i，tana—>aH30。，

异面直线AE、BF所成的角不是定值，

所以。错误.

故选ABC.

14.答案：ACD

解析：

本题考查了简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和

体积，平面的基本性质及应用，线面平行的性质，线面垂直的性质和空间中的距离，属于较难题.

利用直三棱柱48。-48心的结构特征构建一个边长为2的正方体48以）-48£。1，连接当必，

连接当。1，利用正方体的结构特征，结合平面几何知识得点P在线段&么上，连接BD,交AC于O,

利用平面几何知识得点Q在8。上且BQ=|B。，连接BO1，利用平面几何知识得点S在BA上，且

是BQ的中点，利用平面的基本性质得PSu平面DD1a8,再利用线面平行的性质对4进行判断，在

平面DJBiB中，利用平面几何知识对8进行判断，利用正方体的结构特征得AS_L平面ODiBiB,再

利用线面垂直的性质对C进行判断，利用点到面的距离和线到面的距离得点尸到平面8送M的距离

等于点S到平面的距离，再利用三棱锥的体积公式得遇时=%_B遇M，再结合题目条件得

匕-B14M=:匕;，即KP-BI4M=再利用二棱锥体积等量得=以-BIQM，再

利用三棱锥的体积公式计算七-BCM对。进行判断，从而得结论.

解：因为在直三棱柱4BC-41B1G中，AABC=90°,AB=BC=2,AAt=2,

所以构建一个边长为2的正方体4BC0-&8道］。1如下图：

连接当以，因为N是&Ci的中点，

所以N是与4Ci的交点，且N是当5的中点，

而点P在线段&N上，因此点P在线段当。1上.

又因为M是BC的中点，点。在线段4M上，且

所以点Q是△ABC的重心.

连接BZ),交AC于O,则。是AC的中点，也是BD的中点.

由。是4c的中点知：8。是△ABC在AC边上的中线，

因此点Q在B。上，即点。在8。上，且BQ=：BO.

又因为S是AG与&C的交点，连接BDi，

所以点S在上，且是的中点.

对于A、因为点P在线段B/i上，点S在BZ?i上，所以PSu平面。D/iB.

又因为点Q在BO上，所以BiQu平面。。避道，

而平面DDi/Bn平面为AM=BiQ,PS〃面当4”，

因此PS〃B】Q,所以A正确；

对于8、如图：

在平面。DiBiB中,设BiQClDiB=".

因为BQ=：BO,。是8。的中点，

所以BQ=[B0=]当。1，

因此HB=[DI”，即

所以券号=黑，即B】P=扣iBi=|B】N,

u-^n333

因此8不正确；

对于C、在正方体ABCO-AiBiGDi中，

因为4c平面。PSu平面DD/iB,

所以ACIPS,因此C正确；

对于。、因为PS〃平面

所以点P到平面BiAM的距离等于点S到平面&AM的距离，

因此%FAM=

又因为S是4cl的中点，所以%-比4M='

即/_B[4时

又因为%1-B1力M=,S^BIGM

=-1x2rxl-xe2xc2=-4,

323

所以了p_B[4M==?因此。正确•

故选ACD.

15.答案：ABD

解析：

本题考查几何体的翻折问题，考查线面垂直的判定与性质，异面直线所成的角，空间中的距离，球

的表面积计算，考查空间想象能力，属于中档题.

对于A,由AM1BC,且将AABM沿直线AM翻折过程中4M1&M和4M_LCM的关系不变即可判

定；对于8,由面面平行的判定定理及等角定理可得NNFC'90,运用勾股定理计算即可判定；

对于C,由NE〃ABi即可判定线线角，由此计算即可判定；由翻折过程中，面4B1M1面4加8时

三棱锥a-4MD的体积最大即可得出三棱锥特征，由三棱锥特征可计算其外接球半径，即可求解判

定.

解：对于A,因为菱形ABC。中，=2,乙4BC=60°,例为BC的中点，所以AM1BC,将AABM

沿直线4W翻折成AABiM,则AMJ.CM,因为BiMnCM于点M,且BIMU/g/B^MC,CMu

面B[MC,所以4M_L而&MC,又因为B】Cu面B^MC,所以AMI/C,故A正确；

对于B,如图1,取AD的中点为E,连接CE交MD于点F,因为N为B1。的中点，则NE“AB、,CE//AM,

由面面平行的判定定理可得面力BiM〃面ENC,又因为面Z&M和面ENC均与平面/MD相交，交线

分别为BiM和NF,所以NF〃MBi，由A可得4"1当“，由等角定理可得NNFC'=90,又因为

\NF\=|I^MI=i,\FC\=\\AM\=

所以|NC|=J|N尸J+|FC|2=J/]=1为定