函数的单调性 教案-高一年级上册数学人教B版（2019）必修第一册

函数的单调性

【第1课时】

单调性的定义与证明

【教学目标】【核心素养】

1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用

1.借助单调性判断与证明，培养

函数图像理解和研究函数的单调性.（重点）

数学抽象、逻辑推理、直观想象

2.会用函数单调性的定义判断（或证明）一

素养.

些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区

2.利用求单调区间、最值、培养

间.（重点、难点）

数学运算素养.

3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借

3.利用函数的最值解决实际问

助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最

题，培养数学建模素养.

值.（重点、难点）

【教学过程】

一、新知初探

1.增函数与减函数的定义

一般地，设函数y=f（x）的定义域为A,且MQA：如果对任意xi,X2

条件当X1>X2时

都有了（XI）>/（X2）都有了（XI）</（X2）

y=f（x）在Af上是增函数（也称y=f（x）在〃上是减函数（也称在

结论

在M上单调递增）航上单调递减）

yy

加2）

於2）\

图示

\----------

0

0X2XiXX2X\X

思考1：增（减）函数定义中的XI,X2有什么特征?

提示：定义中的XI,X2有以下3个特征

（1）任意性，即“任意取XI，X2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特

殊代替一般；

（2）有大小，通常规定X1>X2；

（3）属于同一个单调区间.

2.函数的单调性与单调区间

如果函数y=/（x）在/上单调递增或单调递减，那么就说函数y=/G）

在M上具有单调性（当M为区间时,称M为函数的单调区间，也可分别称为单

调递增区间或单调递减区间）.

思考2：函数在定义域上是减函数吗？

提示：不是.y=，在（-8,0）上递减，在（0,+co）上也递减，但不能

X

说丁=!在（-00,0）U（0,+co）上递减.

3.函数的最值

最大值最小值

条一般地，设函数/（X）的定义域为。且X0©。，如果对任意X©。

件都有/（X）＜/,（X0）都有于（x）＞f（xo）

称/（X）的最大值为了（X0）,记作启ax称，（无）的最小值为了（X0）,记作启in

结

=/（X0）,而X0称为f（X）的最大值=f（xo）＞而次称为f（X）的最小值

论

点点

统最大值和最小值统称为最值

称最大值点和最小值点统称为最值点

二、初试身手

1.函数y=f（x）的图像如图所示，其增区间是（）

r

一

-4-3014,

A.[-4,4]

B.[-4,-3]U[1,4]

C.[-3,1]

D.[-3,4]

答案：C

解析：由题图可知，函数y=/（x）的单调递增区间为[—3,1],选C.

2.下列函数中，在区间（0,+oo）上是减函数的是（）

1

A.y=―,B.y=x

C.y=^D.y=l-x

答案：D

解析：函数y=l—%在区间（0,+oo）上是减函数，其余函数在（0,+co）

上均为增函数，故选D.

3.函数y=f（x）在［—2,2］上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大

值分别是（）

A.-1,0B.0,2

1

C.-1,2D.2

答案：c

解析：由题图可知，/（x）的最大值为/（I）=2,y（x）的最小值为了（—2）

=-1.

4.函数/（x）=f—2x+3的单调减区间是.

答案：（一8,1］

解析：因为/（X）=f—2x+3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x

=L所以函数/（X）的单调减区间是（一00,1］.

三、合作探究

类型1:定义法证明（判断）函数的单调性

例1：证明：函数/（x）=x+：在（0,1）上是减函数.

,,,,变形

思路点拨：设元任取Xl，X2@o，1且X1>X2---->作差：执1一执2------->

,结论,,

判号：ficDfxi---->减函数

证明：设XI,X2是区间（0,1）上的任意两个实数，且X1>X2,则/（XI）-

/（X2）=Q1+!J—口2+1）=（X1-X2）+［（—1）=（XI—X2）+^777=（乃一

X.人"1/X.入2J\A1入2J4142

XI—X2―1~\~X1X2

刈）（J乃冷X1X2

・:0<%2<Xl<L

/.Xl—X2>0,O<X1X2<1，则一1+%1%2<0,

.-X2—1+即%2

<0,即/（为）</（X2）?

.../（X）=龙+，在（0,1）上是减函数.

规律方法

利用定义证明函数单调性的步骤

1.取值：设Xl,X2是该区间内的任意两个值，且X1>X2.

2.作差变形：作差/（XI）—/（X2），并通过因式分解、通分、配方、有理

化等手段，转化为易判断正负的式子.

3.定号：确定了（XI）—/（X2）的符号.

4.结论：根据/（为）-/（X2）的符号及定义判断单调性.

提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.

跟踪训练

X

1.证明：函数y=干在（-1,+oo）上是增函数.

证明：设X\>X2>~1,则

X1~X2

""1&+1Xl+IX2+1*

*.*X1>X2>—1，Axi—%2>0，X1+1>0,及+1>0,

>0,即川一y2>0,yi>y29

/在（-1,+oo）上是增函数.

类型2：求函数的单调区间

例2：求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是

减函数.

2x+l,x>l,

(1)/(x)=—；(2)/(x)

X、5—羽x<l；

（3）f（x）=——+2M+3.

解：（1）函数/（x）=—L的单调区间为（-00,0）,（0,+oo）,其在（一

X

00,0）,（0,+oo）上都是增函数.

（2）当%>1时，/（%）是增函数，当x<l时，/（%）是减函数，所以/（%）

的单调区间为（—00,1）,[1,+00）,并且函数/（X）在（—00,1）上是减函数，

在[1,+s）上是增函数.

—X2+2X+3,X>0,

(3)因为/(尤)=-X2+2|A-|+3=^

、一x2—2x+3,x<0.

根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数/(x)的单调区

间为(一oo,-1],(—1,0),[0,1),[1,+co).

f(x)在(-8,—1],[0,1)上是增函数，在(一1,0),[1,+oo)上是

减函数.

「一X2+2X+3,X>0,

(3)因为/(x)=一d+2国+3=.0工。

、一—2x十3,x<0n.

根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数/(X)的单调区

间为(一00,—1],(—1,0),[0,1),[1,+co).

f(x)在(-8,—1],[0,1)上是增函数，在(一1,0),[1,+oo)上是

减函数.

规律方法

求函数单调区间的方法

1.利用已知函数的单调性求函数的单调区间.

2.利用函数图像求函数的单调区间.

提醒：1.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区

间之间要用“，”隔开.

2.理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系.

跟踪训练

2.根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数.

解：函数在[―1,0],[2,4]上是减函数，在[0,2],[4,5]上是增函数.

3.写出y=|f—2x—3]的单调区间.

解：先画出

x2—2x—3,x<—1或x>3,

/(x)的图像，如图.

、一(f-2x-3),-1<^<3

所以y=|f—2x—3|的单调减区间为(一8,-1],[1,3]；单调增区间为[—

1>1],[3>+oo).

类型3：函数单调性的应用

探究问题

1.若函数/(x)是其定义域上的增函数，且/(a)寸。)，则a,》满足什

么关系.如果函数/(x)是减函数呢？

提示：若函数/(x)是其定义域上的增函数，那么当/(a)时，a>b-,

若函数/(x)是其定义域上的减函数，那么当/(a)>f(b)时，a<b.

2.决定二次函数/(x)=af+6x+c单调性的因素有哪些？

h

提示：开口方向和对称轴的位置，即字母。的符号及一二的大小.

例3：(1)若函数/'(X)=—%2—2(a+1)x+3在区间(一oo,3]上是增函

数，则实数a的取值范围是.

(2)已知函数y=/(x)是(一8,+oo)上的增函数，且/'(2x—3)>f(5x

—6),则实数x的取值范围为.

思路点拨：(1)|分析加的对称轴与区间的关系|数形结合，

建立关于a的不等式——>求a的范围

(2)|必;一3已工一6/(%)在(-co,+oo)上是增函数，建立关于x的不等式

---->求x的范围

答案：(1)(—co,-4]

(2)(—co,1)

解析：(1),.'f(x)=—%2—2(tz+1)x+3的图像开口向下，要使/(x)

在(一oo,3]上是增函数，只需一(a+1)>3,即aS—4..•.实数a的取值范围

为(—GO,14].

（2）,：f（x）在（-oo,+oo）上是增函数，且/（2x—3）>f（5x-6）,

2x—3>5x_6>即x<L.,.实数尤的取值范围为（—00,1）.］

母题探究

1.（变条件）若本例（1）的函数/（x）在（1,2）上是单调函数，求。的

取值范围.

解：由题意可知一（tz+1）或一（tz+1）>2,即ag—3或位一2.

所以a的取值范围为（-00,-3］U［—2,+co）.

2.（变条件）若本例（2）的函数/（x）是定义在（0,+oo）上的减函数,

求x的取值范围.

解：由题意可知，

f2%—3>0,

55x—6>0,解得

121-3<5x—6,

••.X的取值范围为［I，+»）

规律方法

函数单调性的应用

1.函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，

反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.

2.若一个函数在区间［a,加上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任

意子集上也是单调的.

类型4：求函数的最值（值域）

9_y—I—1

例4：已知函数f（x）=~——.

JiIJL

（l）判断函数在区间（一1,+oo）上的单调性，并用定义证明你的结论;

（2）求该函数在区间［2,4］上的最大值和最小值.

解：（1）f（x）在（一1,+oo）上为增函数，证明如下：任取一14142,

„,,、，、2%1+12X2+1Xl-X2

则小）-/（X2）=

XI+1X2~\~1（X1+1）（X2+I）'

因为一1<X1<X2=X1+1>0,X2+l>0>X1-X2<Q,

所以/（X1）—/（X2）<0=5/（X］）<f（%2）,

所以/（X）在（-1,+co）上为增函数.

（2）由（1）知/（x）在［2,4］上单调递增,

2x2+15

所以/(X)的最小值为/⑵=-^--

最大值为了⑷2=x不4+了1=9(

规律方法

1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤

(1)判断函数的单调性.

(2)利用单调性求出最大(小)值.

2.函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数/(x)在区间［a,加上是增(减)函数，则/(x)在区间［a,b］

上的最小(大)值是/(a),最大(小)值是/(。).

(2)若函数/(x)在区间［a,加上是增(减)函数，在区间也c］上是减(增)

函数，则/(%)在区间［a,c］上的最大(小)值是/(。)，最小(大)值是/(a)

与f(c)中较小(大)的一个.

提醒：(1)求最值勿忘求定义域.

(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现

的错误，求解时一定注意.

跟踪训练

x2,—1〈烂1,

4.已知函数/(x)=<1求(1)f(x)的最大值、最小值;

一，X>1,

〔X

(2)f(x)的最值点.

解：(1)作出函数/(x)的图像(如图).

y

A0\C1%

由图像可知，当x=l时，f(x)取最大值为/(I)=1.当尤=0时，/(x)

取最小值/(0)=0,

故/(x)的最大值为1,最小值为0.

(2)f(x)的最大值点为xo=l,最小值点为xo=O.

四、课堂小结

1.定义单调性时应强调XI，X2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上

无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较.

2.证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、定

号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直

到符号判定水到渠成才可.

3.求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：

(1)图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出最值；

(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求

出最值；

4.通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识.

五、当堂达标

1.思考辨析

(1)若函数y=f(x)在定义域上有/(1)</,(2),则函数y=f(%)是增

函数.()

(2)若函数y=/(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y=/(x)的单调递

减区间是[1,3].()

(3)任何函数都有最大(小)值.()

(4)函数/(x)在出，加上的最值一定是/(a)(或/(")).()

答案：(1)x(2)x(3)x(4)x

2.下列函数中，在(0,2)上是增函数的是()

A.y—~B.y=2x—\

C.y=l-2xD.y=⑵一1)2

答案：B

解析：对于A,y=,在(-co,0),(0,+co)上单调递减；对于B,y=2x

—1在R上单调递增；对于C,y=l—2x在R上单调递减；对于D,⑵一

1)2在(一00,3上单调递减，在g,+oo)上单调递增.故选B.

3.函数2x,%e[0,3]的值域为.

答案：[—1,3]

解析：•.•函数y=/一2%=(%—1)2—1,[0,3],.,.当x=l时，函数y

取得最小值为-1,当尤=3时，函数取得最大值为3,故函数的值域为[—1,3].

2x

4.试用函数单调性的定义证明：/(%)=-?在(1,+oo)上是减函数.

JX—1

2

证明：/(%)=2+—,

设X1>X2>1，

22_______2(X2—xi)

则/（Xl）—f（X2）

X]—1X2-1(%1—1)(%2—1)

因为沏>X2>1,

所以X2—Xl<0,XI—1>0,X2—1>0>

所以f（Xl）<f（X2）,

所以/（X）在（1,+oo）上是减函数.

【第2课时】

函数的平均变化率

【教学目标】【核心素养】

1.理解斜率的含义及平均变

通过利用函数/（X）的平均变化证明/（X）在/

化率的概念.（重点）

上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素

2.掌握判断函数单调性的充

养.

要条件.（重点、难点）

【教学过程】

一、新知初探

1.直线的斜率

（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A（xi,力），B（及，”），当

XI力2时，称为直线AB的斜率；（若记AX=X2—XI,\y=yi—y\,当Ax^O

时，斜率记为卓），当X1=X2时，称直线43的斜率不存在.

（2）作用：直线A3的斜率反映了直线相对于工轴的倾斜程度.

2.平均变化率与函数单调性

若/是函数y=/（X）的定义域的子集，对任意XI,X2©/且记>1=/

zX,zxAyyo-yiL„^ff（X2）-f（XI）

（XI），yi-f（X2）,右一；zR即x，一Yl'贝」

八人X2Aly八人A2AlJ

（1）y=f3在/上是增函数的充要条件是R>0在/上恒成立；

（2）y=f（x）在/上是减函数的充要条件是仪VO在/上恒成立.

当X#X2时，称第=/（&［（.）为函数y=/（X）在区间［为，X2］（XI<X2

时）或［X2,X1］（X1>X2时）上的平均变化率.通常称Ax为自变量的改变量，Ay

为因变量的改变量.

3.平均变化率的物理意义

(1)把位移S看成时间/的函数s=s(力，则平均变化率的物理意义是物体

在时间段吊，力上的平均速度，即：上，二:5)-.

t2-tl

(2)把速度v看成时间t的函数v=v⑺,则平均变化率的物理意义是物

体在时间段出，力上的平均加速度，即:J。2)一：5).

t2-t\

二、初试身手

1.已知点A(1,0),B(-1,1),则直线A3的斜率为()

C.-2

D.2

答案：A

1—01

解析：直线A3的斜率一^7=—上

-1—1L

2.如图，函数y=/(x)在［1,3］上的平均变化率为()

A.1

B.-1

C.2

D.12

答案：B

K/⑶一/⑴1—3_

解析:二二3^=3-1=一1.

3.一次函数y=—2%+3在R上是______函数.(填“土曾”或“减”)

答案：减

解析：任取沏，X2eR且x#X2.

.*.yi=12xi+3,yi=-2xz+3,

，言=：：_：；=-2<0,故y=-2x+3在R上是减函数.

4.已知函数/(x)=2f+3x—5,当xi=4,且Ax=l时，求的平均变

化曙

解：V/(x)=2x2+3x—5,xi=4,%2=XI+AX,

**.^y—f(X2)-f(xi)=2(xi+Ax)2+3(xi+Ax)—5—(2x?+3xi—5)

=2(Ax)2+(4xi+3)Ax.

当xi=4,Ax=l时，A)/=2xl2+(4X4+3)xl=21.

Ay21

则nI上=T=2L

三、合作探究

类型1：平均变化率的计算

例1：一正方形铁板在0℃时边长为10cm,加热后会膨胀，当温度为/℃时,

边长变为10（1+G）cm,。为常数.试求铁板面积对温度的平均膨胀率.

思路点拨：由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变

化率.

解：设温度的增量为则铁板面积S的增量

AS=102[1+G（f+Af）]2-102（1+G）2=200（。+/力Ar+100a2（At）2,

所以平均膨胀率等=200（a+/f）+100次△九

规律方法

1.关于平均变化率的问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平

均速度、平均加速度、平均膨胀率等.找准自变量的改变量和因变量的改变量是

解题的关键.

2.求平均变化率只需要三个步骤：（1）求出或者设出自变量的改变量；（2）

根据自变量的改变量求出函数值的改变量；（3）求出函数值的改变量与自变量的

改变量的比值.

跟踪训练

1.路灯距地面8m,一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从

路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯.

（1）求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；

（2）求人离开路灯10s内身影长度y关于时间/的平均变化率.

解：（1）如图所示，设此人从C点运动到3点的位移为xm,A3为身影长

度，AB的长度为ym,由于CD//BE,则罪=器即卡=竽，所以产（）.25%.

(2)84m/min=l.4m/s,则y关于t的函数关系式为y=0.25x1.4r=0.35t,

所以10s内平均变化率詈=得=0.35(m/s),

即此人离开灯10s内身影长度y关于时间/的平均变化率为0.35m/s.

类型2：利用平均变化率证明函数的单调性

例2：若函数y=/(x)是其定义域的子集/上的增函数且/(x)>0,求证：

8=就丁在/上为减函数.

思路点拨：由y=f(x)在/上为增函数的充要条件可得仪>0,再证&<0

即可.

证明：任取xi,且％2>xi,则Ax=&-xi>0,Ay=/(X2)~f(xi),

•.•函数y=f(x)是其定义域的子集/上的增函数，

Ay

.*.Ay>0,若>0，

.A_zx_z、11/(xi)―—(X2)

..△g—g(X2)g(&)―/(a/(xi)—/(xi)/(尬)-

又,：于(x)>0,:•于(xi)f(X2)>0且/(XI)~f(X2)<0,

/.AgVO,

故g=77■在/上为减函数.

规律方法

单调函数的运算性质

若函数/(x),g(尤)在区间/上具有单调性，则：Lf(x)与/(x)+C

(C为常数)具有相同的单调性.

2.f(x)与o/(x),当。>0时具有相同的单调性；当。<0时具有相反的

单调性.

3.当/(x)恒为正值或恒为负值时，/(%)与77♦具有相反的单调性.

(4)在J(x),耳(x)的个共单调区间上，、如下结论：

Q

f(X)f(X)+g(x)/(%)—g(x)

(X)

增不能确定单

增函数增函数

函数调性

减不能确定单

增函数增函数

函数调性

减不能确定单

减函数减函数

函数调性

增不能确定单

减函数减函数

函数调性

跟踪训练

3

2.已知函数/(x)=1—士，x©［3,5］,判断函数/(x)的单调性，并证

JLI乙

解：由于》=尤+2在［3,5］上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知/(x)

3

=1一士为增函数•

九十2

证明过程如下：

任取XI,［3,5］且为<%2,即Ax=%2—%1>0，

3(3)33

则Ay=/(%2)-f(xi)=1-——1-—T7-—T7--—JJ：=

，JJ%2+2IX1+2Jxi+2X1+2

3(愈一'i)____

(沏+2)(检+2)•

,**(%1+2)(%2+2)>0,

.\Ay>0,<,.^>0,故函数/(x)在［3,5］上是增函数.

类型3：二次函数的单调性最值问题

探究问题

1.二次函数/(x)=ax1-\-bx-\-c(<7>0)的对称轴与区间［加川可能存在几

种位置关系，试画草图给予说明？

提示：

2.求二次函数/(x)在［如川上的最值，应考虑哪些因素？

提示：若求二次函数/(x)在［加，川上的最值，应考虑其开口方向及对称轴

b

x=一五与区间［加，川的关系.

例3：已知函数/(%)=x1~ax+\,求/(%)在［0,1］上的最大值.

思路点拨："+

分析与।二^求/⑺的最大值1

［。，1］的关系

解：因为函数/(x)=f—以+1的图像开口向上，其对称轴为x=8

当1鸟，即无1时，/(X)的最大值为/(I)=2—a；

当3>3，即«>1时，f(x)的最大值为f(0)=1.

母题探究

1.在题设条件不变的情况下，求/(x)在［0,1］上的最小值.

解：⑴当上0,即处0时，/(X)在［0,1］上单调递增，.../(x)min=/(0)

=1.

(2)当W，即至2时，f(x)在［0,1］上单调递减，

/./(x)rnin=/(I)=2—a.

(3)当0苧1,即0<a<2时，f(x)在0,宙上单调递减，在存1上单调

递增，故/(X)min=/0=l一:

2.在本例条件不变的情况下，若。=1,求/(X)在上，f+1］(/©R)上的

最小值.

解：当。=1时，f(x)=x2—x+L其图像的对称轴为x=；,

①当仑|时，/(x)在其上是增函数，(x)min=/(力=户一/+1；

②当/+1J,即二一；时，/(X)在其上是减函数，

.../(X)min=/(/+D=^)2+|=1；

③当即一宗修时，函数/(X)在/，3上单调递减，在g/+1

上单调递增，所以/(X)min=，g=|.

规律方法

二次函数在闭区间上的最值

设/(x)=ax1-\-bx-\-c(a＞0),则二次函数/(x)在闭区间［冽，网上的最大

值、最小值有如下的分布情况：

bbbbb

—7T<m<n,即一丁m<—^<n,即

对称轴与区间2a2am<n<F，即一五

b

的关系£(—oo,m)一五©(如n)£(几，+oo)

y