新教材2021-2022学年高中数学苏教版必修第一册测评 第3章 不等式

第3章不等式

3.1不等式的基本性质

课后篇巩固提升

A级必备知识基础练

1已知。+/?>0力<0,那么a,b,・a,-b的大小关系是()

\.a>b>-b>-a

B.a>-b>-a>h

C.a>-b>b>-a

D.a>h>-a>-h

ggc

解析[（方法一）:.又力<0,•：〃>（）,且⑷

（方法二）设〃=3力=-2,则a>-b>b>-a.

2.（2020湖南岳麓湖南师大附中高一月考）设M=3/-x+l,N=x2+41,则（）

A.M>N

B.M<N

C.M二N

D.M与N的大小关系与x有关

S1]A

33

♦・*M・N=3m・x+1-（x2+x-1）=2x2-2x+2-2X-2〃+2>O,.：M>M故选A.

3.设实数”=展一次力=6-l,c=/一遍，贝lj()

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>b>cD.c>a>b

函A

通-8=盛巴=盛8-遥=盛，:隹+i<遍+遍<通+々,二

G+1遍+、3订+R即b>a>(：

nn

4.若a/满足-<a<。<，贝IJa-p的取值范围是()

A.（-7C,7C）B.（-兀,0）

nnD.GO

C.（斗）

答案B

nnnnnn

解橱二<p<,.：-<-p<.<a<,.：-Tt<a-fi<it.：a<p,.:a/<0.・：・兀VQ/<0.

x

5.已知60Vx<84,28<y<33,则x-y的取值范围为丁的取值范围为—

gg{x-y|27<x-y<56}\y五歹<3)

解析|：28<y<33,.：-33<-y<-28.5L60<x<84,Z27<x-y<56.

1.1.120.x

由28<y<33,得33丫28,即”y<3.

V

6.⑴已知4<Z?v0,求证:";

(2)已知a>b,"，求证:〃/?>().

b_a_b2-a2_(b+a)(b-a)

画(/IF/-

t/a<b<0,.\b-^a<0,b-a>0,ab>0,

(b+a)(b-a)

ab<0,故ab

1_1b-a

；.a%,即ab<0,

而a>b,.9.h-a<0,•Sah>0.

a

7.已知12<a<60,15<6<36,求a-h和0的取值范围.

gri5<*<36,.：-36<-Z><-15,

.：12-36<a-Z?<60-15,.：-24<a-b<45.

Ill

又36<fc<15

12a60la

,费<15.3<b.

••,••<4.

a1

综上,的取值范围为（-24,45）,“的取值范围为（三4）.

B级・关键能力提升练

8.（2020北京八中期末）设a<b<0,则下列不等式不成立的是（）

31>1

D^ba

A。bD.

C.\a\>-bD.g>G

答案B

3〈21>1

ab2<0,即a,故A成立;对于B,若a=-2力=-1,

解析对于A,因为。<“0,所以曲>0,所以'

111L>J_

则。"=一1r=三此时0故B不成立;对于C,因为所以⑷>网=也故C成立;对于D,

因为所以-a>S>0,贝寸旧>故D成立.故选B.

9.（2020山西小店山西大附中月考）手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是

手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0,1）间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同

时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化

（）

A.“屏占比”不变B.“屏占比”变小

C.“屏占比”变大D.变化不确定

bb+mb+mb（a-b）m

|设升级前“屏占比”为1升级后“屏占比”为a+mg»x）,心°）,因为a函+砌>0,所

以该手机“屏占比''和升级前比变大.

11_ba____1

10.（2020浙江西湖学军中学高一月考）已知且M=i+al+b,N=1+a1+》,则M,N的大

小关系是（）

A.M>NB.MvN

C".M=AND.不能确定

除画已知0<a<2且M=l+°l+b,N=l十°1+上则0<而<1.则

M-N=（4用）_（而用）=l+a1+b-Q+a）（l+b）一。+欧1+切>0,因此

故选A.

11.（2020江苏无锡第一中学期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先

把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受,

不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,ceR,则下列说法正确的是（）

A.若。>0,则a2+l>（a-l）（a+2）

B.若。泌>0,则ac2>bc2

C.若a泌，且°，则ah>0

a〉b

D.若》>0,贝产+1b2+1

答案C

解而对于人,。2+1-（〃_1）3+2）=〃2+]_〃2_4+2=3-。,当。>3时,3-〃<0,。2+1<（〃_[）3+2）,当a=3

时,3-〃=0,。2+1=（。-1）（。+2）,当a<3时,3-〃>0,。2+1>（。-1）.（。+2）,故A错误;对于B,当c=0

时,仇2=0=儿2，故B错误;对于C,因为“乂,所以价“<0,又0b2<0,所以">0,故C正确;

b_（b-a）（ad-l）

b2+1

对于D,因为〃>%>0,所以6a<0,但a*d+DB+l）,不能判断ah｝的符号，则

a）?

强+1〃+1不一定成立故口错误,故选c.

12.（多选）（2020广东高州一中月考）若a<b<0,c>0,则下列结论错误的是（）

C.\ac\<\bc\

答案ABC

11CC11

——7——，————

因为a<"0,所以°'又c>0,所以02故A错误;因为a<6<0,所以0°又c>0,所以

，故B错误;因为a<*0,所以/>功>0,所以卜a|>阳，即⑷>|勿，又c>0,所以|ac|>|bc|,故C

——J-

错误;因为〃<Ac>0,c>0,所以c；故D正确.故选ABC.

13.（多选）（2020广东中山纪念中学高一月考）若>0,则下列不等式恒成立的是（）

b<b-H11

Aaa+1,b

A.BD.a+>b+

112a+ba

「a+2bb

C.a+>b+D.

S]AC

b+1>b1

解析由a>b>0,得ab+a>ab+h,^〃(/?+1)>伙〃+1),所以a，故A正确;若〃=2力二三满足

1_51011>111

3

〃>力>0,但〃+°2=/?+",故B错误;由a>匕>0,得>"，所以故C正确;由a>b>09

2a+b<a

得标,分>o,所以。2+2。〃>/?2+2。/?,所以0+2，2故D错误.故选AC.

14.（多选）（2020山东鱼台第一中学高一期中）若正实数X,），满足x>y,则下列结论正确的有

（）

A.xy<y2

B.x2>y2

y<y+m

cxx+m（m>o）

DX

答案|BCD

解词对于A,由于x,y为正实数，且x>y,得">），,故A错误;对于B,由于x,y为正实数，且x>y,

所以<>广故B正确;对于C,由于x.y为正实数，且所以二"（y-x）<0,则

y<y+m

y（x+M<x（y+M,所以'""成立，故C正确;对于D,由于x,y为正实数，且x>y,所以d-y>0,

-<—

取倒数得。<工故D正确.

15.(2020山西高一月考)已知l(o+bW4,-l则4a-2b的取值范围是.

解析因为1W〃+〃W4,-1Wa-bW2,4a-2A=3(a-〃)+(〃+〃),所以-2W4〃-2/?W10.

16.设a,b为正实数,有下列说法：

(2^/-82=1,则a-b<\\

1_1

卷喏0°=1,则““<1；

霹1“一两=1,则M出<1；

瞬1/协=],则依加<]

其中正确的说法有.(写出所有正确说法的序号)

解稿对于①由题意a,h为正实数，则a2-b2=i可化为a-h=a+b,»]^a-b>0,^a>b>0,ik

11

。+/?>〃-/?>0.若。-/?21,贝1+匕，1,贝1］有也这与a-^h>a-h>0矛盾;若。功<1,贝/+”<1,

3

则有。+〃>1>46故口正确.对于②取特殊值,4=3/则4»>1,故②不正确.对于③取特殊

值,4=9力=4,则故③不正确.对于④：'|。363|=1,〃>0方>0,・：出纳.不妨设6Z>/?>0,.*

〃2+"+按>〃2.2〃6+82>0,.：3»)(〃2+而+力2)>(。_与3_份2,即〃363>(q功)3>0,.：

1=I"-"|>(々-0)3>o,/.0<a-b<1,即|。-/?|<1.因此④正确.

17.(2020浙江高一课时练习)已知4>/?>c,用作差法证明a2h+h2c+c1a>ah2+hc2+ca2.

证函由4>〃>C,可得。-/»0力-c>0,〃-c>0.

又

12222222

出b+b^c+da-alhbd-cci=(afe-afe)+(6c-ca)+(ca-cb)=ab(a-b)+c(b-a)(b+a)+c(<a-b)=(a-b)(ab

-bc-ac+c2)=(a-b)(a-c)(b-c)>0,

所以cfib+b2c+(ra>ab2-^bc1+CO2.

18.某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往.甲车队说广如领队买全票一张，其余人可享

受7.5折优惠」乙车队说:“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的车票原价、车型都

是一样的.试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.

国设该单位有职工n人(〃金N)全票价为x元，坐甲车需花y元，坐乙车需花/2元，

3134

4*45

则y\=x+x(n-l)=xn,y2=xn,

14111n

*5420Xi-5

所以yi・)，2=xn-xn=x-xn=

当几=5时,yi=”;当n>5时田<»当0<n<5时,力>处

因此,当单位人数为5时，两车队收费相同;大于5时，选甲车队更优惠;小于5时，选乙车队

更优惠.

C级学科素养拔高练

19.(2020福建古田玉田中学月考)(1)设x<y<0,试比较(/+>2)(")与(x2_y2)a+y)的大小;

(2)已知-1<。+6<3,2<。功<4,求2a+36的取值范围.

网⑴(r+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2ry(x-j).

:'工勺<0,・：xy>0,x-y<0.

/•-2xy(x-y)>0.

•:a2+y2)(.x-y)>(/-产)(尤+丫).

cm+n=2.

lm-n=3.

(2)■｛殳2。+3〃=〃2(a+/?)+〃(〃-/?),贝U

1

2

1

2,5

.：2a+3b=(a+份-(a-b).

\*-1<a+b<3,2<a-b<4,

55151

75T5

(a+6)<,-2v-\a-b)<-\.

95113

2<22T

(a+h)-(a-b)<.

渭）

故2〃+3b的取值范围为

第3章不等式

3.2基本不等式（〃力20）

3.2.1基本不等式的证明3.2.2基本不等式

的应用

课后篇巩固提升

A级一必备知识基础练

1.设a,b为正数，且a+6W4,则下列各式正确的是（）

i+-

A.<lB.21

C.a匕D2咚2

答案B

胸因为岫鼠丁门或⑶2=4,所以汁哩21

22、4=I,当且仅当a=b=2时，等号成立.

2.若x>0,)>0,月y=i,则外有（）

1

B.最小值八

A.最大值64

1

C.最小值2

D.最小值64

答案D

2+8

（工'）肛=2y+8x22回前=8内,.：月28,当且仅当x=4,y=16时,等号成

解桐由题意孙

立，故xy有最小值64.

3.（2020黑龙江尖山双鸭山一中高二开学考试）下列说法正确的是（）

4

A.x+*的最小值是4

V%2+4+T：:

B.&"4的最小值是2

C.若0<x<l,则x（l-x）的最小值为4

2

D.如果以,0c2,那么a>b

拜D

1V-2+4+1

癖树对于A,当x<0时/+'的值小于0,故A不正确;对于B,疡而N2,当且仅当

收+4=1时，等号成立,这样的x不存在，故最小值不为2,故B不正确;对于C,r0<x<l,.：

//+1—-11

l-x>O,：x(l-x)W(2)2=4,当且仅当x=l-x,即X=2B寸，等号成立，故C不正确;对于D,：•

ac2〉/^,.：/〉。,."〉人,故D正确.故选D.

1+1+JL

4.(2020陕西新城西安中学高三月考)设a>0力>0,且不等式"b"吆0恒成立，则实数%的

最小值等于()

A.OB.4C.-4D.-2

悟案k

1+!+k(a+b)2(a+b)2_b+a

廨洞由。Ka+>20,得k》-ab,因为ab0石+224(当且仅当4=6时，等号成立)，所

(a+b)2(a+b)2

以-a》W-4.要使k》-ab恒成立，应有人2-4,即实数k的最小值等于4故选C.

L+：=>/ai

5.若a>0力>0,且°°，则苏+加的最小值为.

矗M

窿画：Z>0力>0,.：°”227叫即曲22,当且仅当。=/?=e时，等号成立..：

苏+6322\/(。①322折=4收,当且仅当“=8=>②寸，等号成立.则苏+加的最小值为4注.

6.已知0<x<1,则*3-3x)取得最大值时x的值为.

113x+3-3x31

由x(3-3x)=3x3x(3-3x)W%(2卜=1当且仅当标=3-3左即xJ时，等号成立.

7.若对任意x>0,X+3x+*a恒成立，则实数a的取值范围是.

解稠因为x>0,所以x+*》2,当且仅当x=l时，等号成立.

x=]VJ_=1

x2+3x+l%+工+3—2+35

所以x

当且仅当X=1时，等号成立.

X11

即严+3计1的最大值为弓故65

4

二

8.(1)已知x<3,求y=+x的最大值；

中

(2)已知x,y是正实数，且x+y=4,求工'的最小值.

敏1)：x<3,.：x-3<0,

44

X3

.：y=x°+x=-+(X-3)+3

当且仅当3〃二3•，即产1时，等号成立.

.：/)的最大值为-1.

(2):尢》是正实数，

13y3%

.：(x+),)(X亍)=4+(X，)，4+2用,

y_3a

当且仅当Xy,即x=2(V3-1)J=2(3-通)时，等号成立.

3里

又x+y=4,.：X'21+之，

当且仅当x=2(百-l),y=2(3-6)时，等号成立.

故“、的最小值为i+2.

B级关键能力提升练

X2-2X+2

2x-2

9.若-4<X<1,则y=)

A.有最小值1B.有最大值1

C.有最小值-1D.有最大值-1

答案D

x^-2x+2_111「11

解析卜=左2孔（心1）+1」..故y=-2L（x-l）+eD」W-l,当且仅当

1

77

和x=0时，等号成立.

10.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(l+x)(l+y)的最大值为()

A.16B.25C.9D.36

r(l+x)+(l+y)n)2+(x+y)]2+8

|解析|(1+x)(1+y)WL2」2=[2」2=(2)2=25,当且仅当i+x=i+y,即x=y=4时,

等号成立.故(l+x)(l+)，)的最大值为25.故选B.

士+匕旦

11.已知。>0力>0,若不等式0ba+匕恒成立，则，〃的最大值为()

A.10B.I2C.16D.9

ggD

41m41

丽由已知a>0力>0,若不等式°fb->a+匕恒成立，则%“+%)恒成立.问题转化成求

，i+hf4+l竺+日跖

产(""%+〃)的最小值j=("“)(a+/?)=5+""25+2、"%=9,当且仅当a=2〃>0时，等

号成立.所以加W9.故选D.

xy

12.(2020浙江西湖学军中学高一月考)设正实数xj,z满足/・3孙+4产z=0,则当“取得最大值

2+2

时,”）‘z的最大值为（）

9

4

A.OB.3CD.1

ISUD

解析|:•正实数x,y,z满足/_3盯+4产z=o,:=%2-?孙+4死.：

xy_xy_11

22--

T—x-3xy+4y4生32

NXx=1,当且仅当x=2y>0时，等号成立，此时z=2y2..：

2,122,1212,12

-十-------------十----------/一\一十.-----

Xyz2yy2y=_(y4)2+]w1,当且仅当y=l时，等号成立.即*y②的最大值是[

故选D.

13.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为"这两年的

平均增长率为均大于零)，则()

a+ba+b

A.x=2B.x<2

a+ba+b

C.x>2D.x22

奉B

1+a+l+b

解析由题意得A(1+a)(1+/?)=A(l+x)2,则(1+a)(1+/?)=(1+x)2,因为(1+〃)(1+/?)W(2卜，所

2+a+ba+ba+b

以1+xW2=1+2，所以xW2，当且仅当〃4时，等号成立.故选B.

14.(多选)下列不等式一定成立的是()

11

4v

A./+>x(x>0)B.x+N2a>0)

C4+1,2|X|(XWR)Dx2+1>l(xeR)

固宴]BC

111

薪|对于A,当x=“时j2+”=x，所以A不一定成立;对于B,当JC>0时,x+X\2,当且仅当x=\时,

等号成立，所以B一定成立;对于C,不等式好+1-2团=(叶1)220,即/+1221M恒成立，所以C

]

一定成立;对于D,因为好+121,所以0<"十】Wl,所以D不成立.

15.(多选)若正实数a,b满足a+b=l,则下列说法错误的是()

1

A.“6有最小值4B.四+也有最小值近

j_+20

C.而亚有最小值1D/+块有最小值2

|答案|ABD

：%>0力>0,且a+b=l,.：\=a+b》2届,

111

・：ab&"，当且仅当〃=b="时，等号成立.・：ab有最大值",二A错

误.（限+&y=a+b+2而1=1+2屈W1+2、彳=2,・：而+历4&,当

1

且仅当2时，等号成立.所以"+仍有最大值企,・：B错

—1,■+■1^―^~―=―a+■b■■■■111I,—1,

误4a4b4ab4ab）上当且仅当〃4=2时等号成立二4a4b有最小值],

1_11

4

.：C正确.〃2+。2=3+份2.2〃〃=]・24/?21-2义2,当且仅当a=b=2时，等号成立.：

10

辟+尻的最小值是匕不是2,.：D错误.

16.（多选X2020重庆万州第二高级中学月考）若q,A,ceR,且出?+Z?c+cn=l则下列不等式成立的

是（）

Aa+b+cWBB.（a+b+c）223

1+1+1

Cabc22遮

答案|BD

前由基本不等式可得屋力z+NeZAcd+aZezc。,上述三个不等式全部相加得

2（Q2+〃?+/）22（〃b+bc+cQ）=2,/QZ+尻+C22],当且仅当a=b=c时，等号成立..：

里

3

（。+6+。）2=。2+人2+02+2（。/?+%。+（?。）23,.：。+人+（:忘-避或〃+h+c2避.若a=h=c=-，则

1+1+1

ab'=-3遍＜2次.因此,A,C错误,B,D正确.故选BD.

17.（2020江苏淮安高一月考）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨,运费为4万元

/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则

x=________.

疆]20

400

国丽该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买“次.运费为4万元/次，一

（把）

年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为''x4+4x）万

4001600

元.*x4+4x2160,当且仅当x=4x,即x=20时，等号成立.故当x=20时,一年的总运费与总存

储费用之和最小.

18.(2020浙江高一月考汜知x>0,y>0,且"I>=2,则2x+y的最小值为.

奉7

1t811十8

|解析|由"I)=2,可得2x+y=2(x+l)+y-2=无2。+1)+川(”+1')-2

116(x+l)y

------------1~r

J16(x+1).y]

2410+2Nyx+l」-2

=7,

16(x+l)_y1

当且仅当y*，即产%=6时，等号成立.

故2x+y的最小值为7.

19.已知。力,。为不全相等的正实数，且而c=l.求证:〃+/?+<?<"l

怔丽因为〃，"c为不全相等的正实数，且ahc=\,

所以岸庐靛=2c,庐次瓦=2兄滔苫吃24以上三个不等式相

1.1.1、

M#C2)>2(a+b+cl

加，得2

1.1.1

即标层c2>q+6+c.

111

滔+京+了

所以a+b+c<

20.(1)若x<3,求y=2x+l的最大值;

2%

(2)已知x>0,求y=M+l的最大值.

敏1)因为x<3,所以3-x>0.

11

一

所以y=2x+l+=2(x-3)+X'3+17

J(3小句+7.

1

由基本不等式可得2(3-x)+3〃22份,

1V2

1

当且仅当2(3-x)=3t即x=3-■时，等号成立.

所以-+3"]W-2A

1

3r]+7W7-2A

工5

所以y=2x+1+十

V2

当且仅当x=3-丁时，等号成立.

1

古攵y=2x+l+'-3的最大值是7-2V2.

2%2

x2+l

(2)y=

1

因为x>0,所以x+”22二2,

1

当且仅当》=:即X=1时，等号成立.

所以0<

2x

所以y="+1的最大值为1.

C级学科素养拔高练

21.(2020黑龙江齐齐哈尔第八中学期中)第一机床厂投资A生产线500万元，每万元可创造利

润1.5万元.该厂通过引进先进技术，在A生产线的投资减少了x(x>0)万元，且每万元创造的利

润变为原来的(1+0.005©倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线，且每万元创

造的利润为1.5(a-0.013x)万元，其中4>0.

(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来4生产线的利润，求x的取值范围；

(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后月生产线的利润，求a的最大值.

网(1)由题意，得1.5(1+0.005x)(500-x)21.5x500,整理得/-300xW0,解得0WxW300.

又x>0,故0VxW300.

故x的取值范围为(0,300].

⑵由题意知,8生产线的利润为1.5(a-0.013x)x万元，技术改进后小生产线的利润为

1.5(1+0.005x)(500-x)万元，则1.5(a-0.013x)x<1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立.

x।500

又x>0,.：aW125"+1.5恒成立.

x।500

又125”导4,当且仅当x=250时，等号成立，

•：0<aW5.5,即a的最大值为5.5.

第3章不等式

3.3从函数观点看一元二次方程和一元二

次不等式

3.3.1从函数观点看一元二次方程

课后篇巩固提升

A级

1.下列一元二次方程的解集为空集的是()

A.x2+2x+l=0B.x2+2x+2=0

C.X2-1=01=0

直B

画对于A,因为1=22-4x1x1=0,所以方程有两个相等的实数根,A不合题意;对于B,因为

/=F-4xlx2<0,所以方程没有实数根，故B符合题意;对于C,方程有两个不相等的实数根

x=±l,故C不符合题意;对于D,因为/=(-2)2-4xlx(-l)>0,所以方程有两个不相等的实数根，

故D不合题意.故选B.

2.(2020辽宁阜新第二高级中学高一月考)已知方程x2-px-q=0的解集为{-1,3},则p与q的值分

别为()

A.p=-2,4=3

B.p=2,q=3

C.p=-2,q=-3

D.p=2,<7=-3

答案|B

解析|由题意可知-1和3是方程x2-px-q-0的两个根,由根与系数的关系可知-1+3=p,-lx3=-q,

解得p=2,q=3.故选B.

3.（2020浙江西湖学军中学高一月考）若a/是二次函数），=/-依+8的两个零点，则（）

A.|a|23且网>3

B.|a+6I<4日

C.|a|>2且网>2

D.|a+川>46

国明:a/是二次函数产炉-丘+8的两个零点,.：/=公-32>0,解得Q46或k<-g；

a+介匕磔=8,：|a+川>4反故选D.

4.若a,是二次函数y=x2+3x-6的两个零点，则返3或的值是（）

A.3B.15

C.-3D.-15

拜B

解析|；a版是二次函数>,=x2+3x-6的两个零点,.：a2+3a-6=0,即a2=6-3a.由根与系数的关系可

知a+£=-3,.：々2-3夕=6-3a-3£=6-3（a+£）=6-3x（-3）=15.故选B.

5.若关于x的一元二次方程x2+2r-/n=0的解集中只有一个元素，则m的值为.

鲍：•关于x的一元二次方程/+2x-m=0的解集中只有一个元素，

.：/=抉-4收=0,即22-4（-，〃）=0,解得m=-\.

6.若M42是二次函数y=x2+x-2的两个零点，则x\+x2+x\xi=.

fH-3

解析由根与系数的关系可知㈤+X2=-1KlX2=-2,.：»+X2+X|X2=-3.

7.（2021海南僚州八一中学高一月考）己知关于x的一元二次方程x2+Zr+2h4=0有两个不相

等的实数根.

（1）求上的取值范围；

⑵若X|42是方程的两个根，且（X|-X2）2=12,求k的值.

解（1）由题意可得/=22-4（2/4）=-8%+20>0,

5

解得k<\

・：k的取值范围为\k\k<

(2)丁孙超是方程的两个根,

/•x\+X2=-2,XIX2=2A：-4.

-XXI-X2)2=12,

/•(X\+%2)2-4XIX2=12,

」4-4(2h4)=12,解得」=1.

B级________I关键能力提升练

8.（2021北京昌平临川学校高一月考）已知关于x的方程F6x+A=0的两根分别是M盟,且满足

-L+1

""2=3,则k的值是（）

A.lB.2C.3D.4

gg]B

解明因为关于X的方程/-6工+%=0的两根分别是X1,X2,故X|+X2=6,X|X2=A.故

=勺+>2=6

"1"2X/2元=3,解得k=2.故选B.

9.关于x的方程（怯2）/-叙+1=0有实数根，则m满足的条件是（）

AMW6

B./w<6

C.mW6且m=^l

D./n<6且n#2

廨丽①当机-2=0,即机=2时，方程化为-4x+l=0,只有一个实根，符合题意;②当团-2邦,即机先时,

方程有实数根的充要条件是/=（-4）2-4（m-2）20,解得〃?W6,即且，厚2.综合①②得

故选A.

10.已知M/2是函数》二12_以_23£对的两个零点，下列结论一定正确的是（）

A.X]+X2>0B.XIX2>0

C.Xl<0^¥2<0D.X#X2

11]D

幽由根与系数的关系可得XI+X2=a,xiX2=-2,故可排除B,但因为无法得知。的正负，故A,C不

正确;又/=（-a）2-4xlx（-2）=a2+8>0,.：方程有两个不相等的实数根，故选D.

11.（多选）（2020江苏启东中学高一开学考试）函数y=（/-4）辰口的零点可以是（）

1

2

Aa=-2B.x=-

1

2

CJC=D,X=2

|答案|CD

11

庭丽由题意,方程（注4）辰五0,则/一4=0或2x-1=0,解得x=±2或x=2,又由2x-l20,解得x22.

1

所以函数）=。2-4）12卜1的零点为x=2或.故选CD.

12.（多选）关于x的方程加卜标加+5=0,以下说法正确的是（）

A.当/n=0时,方程只有一个实数根

B.当,”=1时，方程有两个相等的实数根

C.当m=-1时，方程没有实数根

D.当〃?=2时,方程有两个不相等的实数根

g^AB

5

解析［当m-0时，方程化为-4x+5=0,解得x=",此时方程只有一个实数根，故A正确;当m-\时,

方程化为N-4x+4=0,因为/=(-4)2-4xlx4=0,所以此时方程有两个相等的实数根，故B正确;当

m=-\时，方程化为-f-4x+6=0,因为/=(-4)2-4x(-l)x6>0,所以此时方程有两个不相等的实数根,

故C错误;当，”=2时，方程化为2A4尤+3=0,因为/=(-4)2-4x2x3=-8<0,所以此时方程无实数根，

故D错误.故选AB.

13.(多选)(2020重庆巴蜀中学高一月考)已知关于x的一元二次方程(3a2+4)x2-18ox+15=0有

两个实数根内用,则下列结论正确的有()

V15VI5

AG3或aW-3

4,3a2-5

C.|xi-X2|=

axiX2-Sx2

DaxiX2%=5

ggABD

5

国羽因为（3届+41-18分+15=0有两个实数根，所以/=324q2-60x（3屏+4）》0,故/浮,所以

V15vT515

a》3或aW-3，故A正确.由根与系数的关系可得XI+X2=3°~+4,X]X2=3"~+4,所以

1+1_«i+%2_18a_6

X1*2x/215弓%故B正

（1+门4仞2一240）：（七々14钻2-240）_44钻2-240_W3xJ3aXJ_+J_=6

确.即初=2（3"+4）3^+43a2+4，故c错误.因为“制5〃

所以5xi+5x2=6aiiX2,故5XI-5CZXIX2=⑪1X2-5冗2,若工]=0,则15=0,矛盾，

13a2+4

故汨邦；若gX2-X|=0,则数2-1=0,故吏=1即-18+15=0,故3。2+4=3〃2,矛盾.故O¥|X2-Xl#0.

。一产2-5%2

所以•肛=5故D成立.故选ABD.

14.已知关于X的方程以2+方小1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a的取值集合

为.

馥{-1,0,1}

解析若。=0,则x=l;

若存0,则原方程化为(x-l)la(x+l)+l]=0,

则x-1=0或a(x+1)+1=0.

①当x-l=0时,x=l是方程的一个整数解.

②当a(x+l)+1=0时3+1=-°,且x是整数,a是整数，知a-i\.

综上,a的取值集合为{-1,0,1}.

15.已知m,n是二次函数y=/-2x-7的两个零点，则m2+mn+2n-.

Wg]4

解析|由题意知m,n是方程=0的两个实数根，

・：相+〃=2,机〃=-7.

・：〃於+mn+2n=m(m+拉)+2n=2m+2〃=4.

16.已知二次函数y=/+4心i的两个零点分别是孙孙利用根与系数的关系求下列式子的值:

(1)U1-X2)2；

(X1+刀2=・4：

国由题意知一元二次方程9+441=0的两根分别是》/2,则“1“2='.

(1)(X1-X2)2=(jtl+X2)2-4XIX2=16+4=20.

(1]+m)2.2宜[2_G4)2.2XGD

(2)X1X2X1'X2(22)2

一学科素养拔高练

17.已知关于x的二次函数y=/-(2hl)x+d+l的图象与x轴有两个交点.

(1)求4的取值范围；

⑵若图象与x轴交点的横坐标为加典,且它们的倒数之和是求k的值.

网⑴：•二次函数)，=r-(2%1)/+炉+1的图象与x轴有两个交点，

.：当)，=0时1)x+R+1=0有两个不相等的实数根.

•：/=h2-4ac=[-(2k-1)]2-4x1x(fc2+l)>0.

解得k<-)即k的取值范围为(-8,・

(2)当y=0时/2-(2攵-1)工+攵2+1=0,

则X\+X2=2k-1^1X2=/^+1,

1+1_Xi+%2_2fc-l3

・•Xi%2xlx2k2+l_2

•="，

1

解得k=-l或k=-%舍去)，.：k=-l.

第3章不等式

3.3从函数观点看一元二次方程和一元二

次不等式

3.3.2从函数观点看一元二次不等式

课后篇巩固提升

A级一必备知识基础练

1.(2020广东新会会城华侨中学期中)不等式4-/<0的解集为()

A.(-℃,-2)U(2,+oo)B.(2,+oo)

C.[-2,2]D.[0,2]

薜丽由4-%2<0可得％2-4>0,即(心2)。+2)>0,解得犬<-2或心>2.因此,原不等式的解