空间直线、平面的平行-2022-2023学年高一数学知识考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）【解析版】

专题07空间直线、平面的平行

知欢概要:

知识点直线与平面平行的判定与性质

1.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

a---b----a-----

图形

//口//Zb1

条件aua,bta,a//ba//aa//a,au0,aC0=b

结论a//ab//aa//b

2.特别提醒：应用“判定定理”时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须同时具备，缺一不可.

知识点：面面平行的判定与性质

面面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

/PzffD7

图形7

%?/%/

auB,buB,aC\b=P,a〃£,aAy=a,

条件qn£=0Q〃£,auB

alla,b//a£0y=b

结论a//ba//a

如1R点三常用结论

1.两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.

3.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

4.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

5.同一条直线与两个平行平面所成角相等.

6.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.

知浜点四判断或证明线面平行的常用方法

1.利用线面平行的定义，一般用反证法；

2.利用线面平行的判定定理（印。，bua,a/m,其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直

线平行，证明时注意用符号语言的叙述；）

3.利用面面平行的性质定理

（1）利用面面平行的性质定理（。〃£,aua=>a〃£）；

（2）利用面面平行的性质（a〃£,a〃a=a〃£）.

£立0考点速克

考点01与线、面平行相关命题的判定

【典例1】（2023春・全国•高一专题练习）已知a,b,。为三条不重合的直线，a,0,/为三个不重合的平

面其中正确的命题（）

①。〃C,bllcnallb；

②。〃bllynallb；

③allc，clla=>a〃a；

（4）ally,alianally；

⑤aHcc、bua,allb=alla.

A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤

【答案】A

【分析】分析各直线，平面的关系即可得出结论.

【详解】由题意，

①a//c,bile,故。b,故正确；

②。〃bUy,则。与6有可能平行、相交、异面，故错误；

③W/c,c//a,则a//a或auc,故错误；

@a//y,alia-,则7与a可能平行或相交，故错误；

⑤agtz,bua,ab,由线面平行的判定定理可得。Pc,故正确.

故选：A.

【典例2】（2023春・全国•高一专题练习）a,夕是两个平面，加，”是两条直线，下列四个命题中正确的

是（）

A.若相〃〃，n//a,则“eB.若相a,〃ua,则“2〃〃

C.若c〃尸，mua,贝卜”pD.若机〃"，"zua,nu/3,则々〃£

【答案】C

【分析】根据空间中，直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】A项：若根〃“，nila,则加//a或"zuc,故选项A不正确；

B项：若根//a,“ua,则或加与w异面，故选项B不正确；

C项：若尸，则a与夕没有公共点，又因为机ua,所以，"与"没有公共点，所以相〃尸，故选项C正

确；

D项：若加〃〃，，wua,〃ua,则a//尸或a与夕相交，故选项D不正确.

故选：C.

【典例3】【多选题】（2022春.安徽安庆・高一校考期中）下列命题中，正确的是（）

A.平行于同一条直线的两个平面平行

B.平行于同一平面的两个平面平行

C.平行于同一平面的两直线关系不确定

D.两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面

【答案】BCD

【分析】通过举反例说明选项A错误，其它选项根据线面、面面平行的判定和性质直接判断即可.

【详解】对于A,如图，平行于同一条直线的两个平面相交，故A错误；

对于B,平行于同一平面的两个平面平行正确，故B正确；

对于C,平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行，相交，也可以异面，故C正确；

对于D,根据两个平面平行的性质定理，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面正确，故C正确;

故选：BCD.

【总结提升】

直线、平面间平行的判定方法

(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件.

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.

(3)利用实物进行空间想象，比较判断.

(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等.

考点02直线与平面平行的判定与证明

【典例4】(2023•全国•高一专题练习)如图所示，已知M、N、P、。分别是空间四边形A8CD的边AB、BC、

CD、D4的中点.求证：

(1)四边形MNPQ是平行四边形;

(2)AC〃平面MNP.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用中位线性质及平行四边形的判定即可证结论；

（2）由中位线性质得MN〃AC,再应用线面平行的判定即可证结论.

【详解】（1）由M、N、P、。分别是空间四边形ABC。的边A3、BC、CD、的中点，

所以MQ//BD,NP〃BD且MQ=NP=^BD,

所以MNPQ为平行四边形.

（2）由M、N分别是空间四边形的边AB、BC的中点，

所以"N〃AC,由（1）知MNu面MNP。，且AC<z面MNPQ,

故AC〃面"NP。，即AC//平面MNP.

【典例5】（2023春•全国•高一专题练习）如图，在长方体ABC。-A4G2中，E,尸分别是线段4耳，BC

的中点，证明：EP〃平面A41GC

【答案】证明见解析

【分析】取AB的中点G,连接EG,FG,证明EG〃平面AAiGC,尸G〃平面A^GC,通过面面平行的判

定定理可得平面EFGH平面AA^C,最后得到斯〃平面A4.GC

【详解】取A3的中点G,连接EG,FG,

贝|JEG〃A4|,FG//AC,

又EGN平面A41clC,bGu平面A41GC,①，ACu平面明。夕,

所以EG//平面441clC,FG//平面A41GC,

/△JC

&.........

\,/„....

卜，，-L・・

*G*

又EGFG=G,EG、尸Gu平面所G,

所以平面EFG〃平面A41G。，又EFu平面EFG,

所以EP〃平面441cC；

【规律方法】

1.证明线面平行的常用方法与思路

证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与己知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的

特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.

2.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平

行，再根据面面平行的性质证明线面平行.

考点03直线与平面平行的性质及应用

【典例6】（2022春.安徽安庆•高一校考期中）如图，P为平行四边形ABC。所在平面外一点，E为的中

pp

点，F为PC上一点,当出〃平面EBP时，—=.

【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果.

【详解】如图，连结AC交8E于点。，连结。尸.

AD//BC,E为的中点，

AOAE1

OC-BC-2'

平面平面EBP'平面B4c=OF,E4u平面P4C,

PA//OF,

PFAO1

FC-OC-2

【典例7】（2023春・全国•高一专题练习）如图所示，在四棱锥尸一ABC。中，底面ABC。是平行四边形，AC

与BD交于点。,M是PC的中点，在。M上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP//GH.

p

【答案】证明见解析

【分析】先证明线面平行，由AP〃平面的性质可得AP〃GH

V四边形ABCD是平行四边形,

二。是AC的中点.

又是PC的中点，...AP〃。肱

又平面BDM,

OAfc平面BDM,

：.AP//nBDM.

又：APu平面APGH,平面APGHCI平面

：.AP//GH.

【总结提升】

1.应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.

2.在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条

件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这

时才有直线与交线平行.

考点04面面平行的判定与证明

【典例8】(2023•全国•高一专题练习)在棱长为2的正方体42048/。。/中,M、N、Q、S分别是被A3、

BC、CiDi、D/A/的中点.

M

(1)求证：MN//QS；

(2)记MNQS确定的平面为％作出平面a被该正方体所截的多边形截面，写出作法步骤.并说明理由，然后计

算截面面积；

(3)求证：平面ACZ)///平面a.

【答案】(1)证明见解析

(2)作法见解析，面积为3g；

(3)证明见解析

【分析】（1）MN//AC,SQHAG，AC//AG,证得MN//SQ；

(2)取A4、CG中点E、F,则SQEME为平面a被该正方体所截的多边形截面，求截面面积即可;

(3)根据平面与平面平行的判定定理证明即可.

【详解】(1)证明：连接S。，MN,AC,4G如图,

正方体中4V/CG，A4,=CG，四边形ACGA为平行四边形，则有AC//AG，

M、N、Q、S分别是被A3、BC、G，、01A的中点,

:.MN//AC,SQgG，:.MN//SQ.

(2)取Ad、CG中点E、F,连接S、Q、F、N、M,E,如图,

则正六边形S4WE为平面a被该正方体所截的多边形截面,

S2MWE=6x；x0x夜xsin6°°=34

(3)MN!/AC,ACC平面a,跖Vu平面a,

AC//平面a,

又♦.S、E分别4。、AA的中点，.•.SEHAD,,

.SEu平面a,A2C平面a,AR〃平面a,

又•.ADJAC=A,ACu平面AC，，A〃u平面ACQ,

平面ACD]//平面a.

【典例9】(2023•全国•高一专题练习)正方体4BCD-ABCA中，M,N分别为4月、4〃的中点，E、

F分别是86、G。的中点.

(1)求证：E、F、B、。共面；

(2)求证：平面AMV〃平面E7Z)B.

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】(1)根据题意证明所〃2D，即可得结果;

(2)根据线面、面面平行的判定定理分析证明.

【详解】(1)连接BQ,由题意可得：E,尸分别为用G，GQ的中点，则E/&8Q,

:BB]DDt,BB,=DD{,则88Q。为平行四边形，

,BDBR,

则E尸BD,故E、F、B、。共面.

(2)由题意可得：M,N分别为A4，A2的中点，则政VBR,

'：EFB,M，则脑VEF,且肱Vu平面AW,平面AAW,

EF平面AMN,

连接AE,由题意可得：〃后分别为4鼻,2。的中点，则A®A,B,,NE=AtBl,

'：AB,ABI=AB,则AEAB,NE=AB,即ABNE为平行四边形，

/.ANBE,

ANu平面AAW,BE.平面AAW,

BE!/平面AMN,

EFBE=E,ERBEu平面

故平面⑷VW〃平面£FDB.

【总结提升】

1.证明两个平面平行的方法有：

①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；

②用判定定理或推论（即“线线平行=面面平行”），通过线面平行来完成证明；

③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明（l，a,=a〃|3）；

④借助“传递性”来完成（a〃0,

2.面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用.

考点05平面与平面平行的性质及应用

【典例10］（2023春・全国•高一专题练习）如图，在长方体ABC。-4月£。中，AB=4,BC=BB、=3,G

A.ECF1

为AB的中点，E,歹分别在线段AG，AC上，M-^=—求证：EG//平面阴尸.

ACJ

【答案】证明见解析.

【分析】根据给定条件，结合线面平行的判定、面面平行的判定证得平面〃平面84尸，再利用面面平

行的性质推理作答.

【详解】在长方体ABCD-AgGR中，取AF的中点/，连接如图,

因G为AB的中点，则GM//3。而8尸u平面仍/，平面5耳尸，从而GM//平面班产，

A.ECF1

四边形ACCH为矩形，而t7=言=£，则有AE=CF=AM,又\EHAM,

即有四边形加叱4为平行四边形，则EM/MA//2瓦，而平面网F，近00平面即尸，

从而〃平面84尸，而GMEM=M,GM,EA/u平面£MG,因此平面WG〃平面尸，又EGu平

面EMG,

从而EG//平面阴尸.

【典例11】（2023春•全国•高一专题练习）在三棱柱ABC-ABC中,

⑴若瓦EG,8分别是AB,AC，A%AG的中点，求证：平面EFA〃平面BCHG.

An

（2）若点0,2分别是AC,AG上的点，且平面BCQ〃平面AAR,试求器的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）1

【分析】（1）分别证明。〃平面BCaG、AE〃平面3cHG即可;

（2）连接交4用于。，连接0R,由面面平行的性质定理可得BG〃D。、ADJIDG，然后可得答案.

【详解】（1）•；瓦F分别是AB,AC的中点，EF//BC,

'：EFa平面BCHG,BCu平面BCHG,

EFH平面BCHG,

V\GHEB,AG=EB,四边形AEBG是平行四边形，

A.EIIGB,又：平面3cWG,G3u平面3a/G,

AE〃平面3cHG,

又：入EcEF=E,AE,EFu平面EFAj,平面EFA]〃平面BCHG.

(2)

连接AB交AB】于。，连接。2,

由平面〃平面A42,且平面ABGc平面BCQ=3G，平面ABC】c平面=口。，

/.BCJ/D0,同理可得ADJIDC,,

所以翼=黑=1，即R为线段4cl的中点，

9CjOD

/\r)

所以。为线段AC的中点，即器=L

【总结提升】

1.面面平行的应用

(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行.

(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行.

考点06平行关系的综合应用

【典例12】(2023•全国•高一专题练习)如图：在正方体ABCD-A耳G2中，M为。。的中点.

⑴求证：BOM平面AMC；

⑵若N为CG的中点，求证：平面AMCi平面BND、.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)设ACBD=O,接OM,证明OMBDX,再根据线面平行的判定定理即可得证；

(2)证明四边形CN2M为平行四边形，从而可得，N〃CM,即可证得，平面AMC,再根据面面平

行的判定定理即可得证.

【详解】(1)证明：设AC3O=O,接。河，

;在正方体ABC。-中，四边形ABCD是正方形，是3。中点，

M是。R的中点，，。加〃2。，

BD}cz平面AMC,OMu平面AMC,

■■BQ平面AMC；

(2)证明：QN为CG的中点，M为OQ的中点，

:.CN//DlM,:.CN=DlM,

四边形CN2M为平行四边形，，D.N//CM,

又•.MCu平面AMC2"<2平面4加。,;.〃"，平面AMC,

由(1)知8。平面AMC,・，BQCRN=A，BQu平面BND「QNu平面BN],

.,.平面AMC1平面BN?.

【典例13](2023・全国•高一专题练习)由四棱柱ABCD-ABIGA截去三棱锥后得到的几何体如

图所示，四边形A3CD为平行四边形，。为AC与3D的交点.

(1)求证：A。〃平面用cq；

(2)求证：平面\BD//平面BCR；

(3)设平面片CQ与底面A3CD的交线为/,求证：BD//1.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)取4。的中点。一连接CO“AO1,结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可;

(2)由线线平行证平面4C，，结合A。〃平面与CQ即可证平面平面耳C2；

(3)由线面平行证线线平行即可.

【详解】(1)取42的中点a,连接CO“AQ,

ABCD-4耳6A是四棱柱，；.AQ4oc,

四边形AOCO1为平行四边形，，A.O//O.C,

又O|Cu平面A。Z平面B[CR,；.4。//平面片CR.

(2).•.四边形B8倒。是平行四边形，.\3。〃耳R,

,/BD<2平面BlCDl,BQ[U平面BXCD},BD//平面Bg,

由(1)得40〃平面片CR且8。\O=O,BD、AQu平面AB。，

...平面A3。〃平面BC2.

(3)由(2)得：平面片CQ,

又BDu平面ABC。，平面用CRc平面ABCD=/,BD//1.

【典例14】(2022春.河南•高一校联考期中)如图，在正方体ABCO-ABg。中，£尸,G分别为所在棱的

中点，Q,“分别为正方形ADRA和正方形ABCD的中心，连接班EG,FG,DXQ,CH,QH,CDX.

(1)证明：平面EFG//平面CD'QH.

(2)问在线段CD上是否存在一点P,使得OQ/平面RPH?若存在，写出尸点的位置并给出证明；若不存

在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，在靠近。点的线段DC三分点处，证明见解析.

【分析】(1)由面面平行的判定即可得证；

(2)要证明D。//平面〃尸8,只要平行于平面。尸》内的某一条直线即可，再运用直角坐标系的思

想求出DP的长度即可.

【详解】(1)连接CH,则有EF"CRCB//D◎，:.EF//D©,同理GE//RC,

防匚平面6所，RQ0平面GEF,所以2。//平面GEF,

GEI平面GEF,D"平面GEF,所以。。//平面GEF,

且〃Qu平面CRQH,RCu平面C〃QH,D,Q2c=R,

平面GEF11平面CD©H；

(2)如图

设平面QDC与RH的交点为N,正方体的棱长为2a,

CD_L平面〃。<=平面①。］£>,，67)_12。，

又QQLDQ,OQu平面。℃,C£>u平面。QC,DQCD=D,

D}Q1平面。QC,

连接QN,QNu平面。。c,••.2。，QN,.2QN是直角三角形，

在，RA8中，2A=2缶,DH=AH=缶,=^DD；+DH?=14a2+2"=痘,

由余弦定理得：cosZA»H二丝+"八丁=坐，乙91H=g,

2D]AD]H26

rA

八zRQF246

在RtDQN中，D、N=-^^=卡=〃,

cosNAD]H,33

~2

在平面。。C内作直线NL//DC,交QD于L,则NL_L平面441n。，NL1QD,

在线段OC上取P点,使得DP=NL,则四边形DPNL为矩形，QD//NP,NPu平面'PH,0D(z平面RPH,

.18〃平面APH,

产点即是所求的点；

取。C的中点K,连接“，则〃K_L平面。2GC,

过N点在平面内作HK的平行线NM,交RK于M点，过M点作。C的平行线，交DQ于W,连接

WL,则四边形是矩形,

QMD、NWMD,M

WM=LN=DP且IK一丽^^一2K

276

RN一丁“_2a_l.

：.DP=WM----.DnK———xci————x2cl

D[Hy/6a33

即尸点的位置在靠近。点的。c线段的三分点处;

综上，存在点尸满足题意，尸点在靠近。点的DC线段的三分点处.

【规律方法】

利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线

的位置.对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.

【易错提醒】

1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.

2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理

为依据，绝不能主观臆断.

3.解题中注意符号语言的规范应用.

•・■•,

¥般真题探秘二

1.（2021.山东•高考真题）己知a,夕表示平面，m,"表示直线，以下命题中正确的选项是（）

A.假设mmLn,那么〃〃a

B.假设根ua,〃u/7,a///3,那么〃

C.假设根ua,那么，山/£

D.假设机ua,”ua,ml1/3,n//{3,那么<z〃/?

【答案】C

【分析】

根据线面垂直的性质定理，可判断A；根据面面平行的性质定理，可判断B、C；根据面面平行的判定定理，

可判定D

【详解】

选项A：假设”?_La,那么M/a或"在a内，故选项A错误；

选项B：假设根ua,7zu/,a//13,那么心//〃或机与〃异面，故选项B错误；

选项D：假设〃zua,nua,mH/3,n///3,且加、”相交才能判定。〃力，故选项C错误；

选项C：依照两平面平行的性质可知C正确.

故选：C

2.（2019•全国高考真题（理））设。，£为两个平面，则。〃£的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与£平行

B.a内有两条相交直线与£平行

C.a,£平行于同一条直线

D.a,£垂直于同一平面

【答案】B

【解析】

由面面平行的判定定理知：&内两条相交直线都与£平行是。//月的充分条件，由面面平行性质定理知，

若《//£,则a内任意一条直线都与£平行，所以a内两条相交直线都与£平行是。//£的必要条件，故

选B.

3.（2015•北京高考真题（理））设a,4是两个不同的平面，m是直线且机ua.尸”是“口尸”

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

»tua,用“?得不到"不，因为圆方可能相交，只要刑和a户的交线平行即可得到冽aP，

maa,:.m和尸没有公共点，二m尸，即a£能得到mft,am?”是“a尸”的必要不充

分条件.故选B.

1.（2023春•全国•高一专题练习）已知。，b,c为三条不同的直线名△/为三个不同的平面，则下列说法

正确的是（）

A.若a//b,bua,贝!|a//（zB.若aua,bu0,allb,贝lJc//£

C.若a〃尸，alia,则a〃/D.若ac0=a,p\y=b,tzc/=c,a//b,则6〃c

【答案】D

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，逐个选项分析.

【详解】若a//），bua,则a//a或aua,故A选项错误；

若aua,bu/3,allb,则a〃万或a与夕相交，故B选项错误.

若a//£,al/a,则。///或au£,故C选项错误；

若ac0=a,°y=b,acy=c,aHb,则6〃c,正确，

证明如下：allb,aj,buyally,

又aua,且tzc7=c,-,a//c,则6〃c,故D选项正确；

故选：D.

2.（2023春.全国•高一专题练习）在正方体ABC。-ABC.中，尸是平面4BGR内的一动点，M为线段0c

的中点，则下列说法错误的是（）

A.平面上4〃内任意一条直线都不与8C平行

B.平面R4B和平面尸CM的交线不与平面ABCD平行

C.平面P8C内存在无数条直线与平面R1〃平行

D.平面PAM和平面PBC的交线不与平面A3CD平行

【答案】B

【分析】对A,根据2C与平面/MM相交判断即可；对B,根据线面平行的判定与性质判断即可；对CD,

延长AM,BC交于E,根据线面平行的性质判断即可.

【详解】对A,因为BC与A"在平面A3CD内且不平行，故BC与AM相交，故2C与平面相交，若

平面PAM内任意一条直线与8C平行，则3C〃平面R4M,矛盾，故A正确；

对B,由A8平行BC,平面PCM,3Cu平面尸CM,故AB//平面尸CM.设平面A4B和平面PCM的

交线为/,由线面平行的性质可得AB///,又/(Z平面ABC£>,ABu平面ABCD,故〃/平面ABCD,故B

对CD,延长AM,BC交于E,连接如图.

由题意，平面P4M和平面P8C的交线即直线PE,故当平面尸3c内的直线与PE■平行时，与平面R4M也

平行，故C正确；

交线PE与平面A3CD交于E,故D正确；

故选：B

3.(2023・全国•高一专题练习)如图，长方体ABCD-EFGH中,AB=BC=2,BF=1,M为E厂的中点,

P为底面ABCD上一点，若直线HP与平面没有交点，则HDP面积的最小值为()

HG

E

D

A

「73

AV2D.1

-fT2

【答案】A

［分析】确定HP//平面BMG,取CD中点N,证明平面AHN〃平面BDG,确定P在AN上运动，当。尸，A7V

时面积最小，计算得到答案.

【详解】直线HP与平面BMG没有交点，所以HP/平面BMG,

取8中点N,连接

因为AB〃"G,AB=HG,所以四边形ABG"是平行四边形，

所以AH//BG,8Gu平面加G,平面MJG,故A"〃平面BDG；

同理可得AN〃平面加G,ANAH=A,AN,AHu平面AHN,

故平面AH2V//平面瓦）G,

1x22小

故P在4V上运动，当。PL4V时，DP最小，最小值为

此时的的面积最小，求得工xix2叵=好.

255

故选：A

4.（2021秋・广西河池•高一校考期中）已知三条不同直线九九」，三个不同平面。，力有下列命题:①若根//。，

nila,则加〃几；②若a〃£,lua,则〃/4；③。，九八y,则。〃£；④若W为异面直线，mua,

mlIp,nila,则。〃尸.其中正确的命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】以正方体为例，可判断①、③错误；根据线面平行的性质，可得②正确；根据线面平行的性质,

可知景u£,有mHk,klla,kI〃=A.然后根据面面平行的判定，即可得④正确.

如图，正方体ABCD-AACA.

对于①，如图，44〃平面A3C。，4r〃平面48。，但是4g4。=4,故①错误；

对于②，因为&〃£,/ua,根据面面平行的性质可知，有〃/£成立，故②正确；

对于③，如图，平面ABB]A_L平面ABCD,平面BCC,B,_L平面ABCD，但是平面ABBlAi「平面BCCXB}=BBX,

故③错误；

对于④，如图，连结AC、AG>BR,aGcB]A=O].

因为机//£,可知过直线机可作平面£,使得£lB=k,则k<=?，根据线面平行的性质可得必〃-又加ua,

k<za,所以klla.

因为"4〃为异面直线，ku。，milk,nu/3,所以左与〃相交，设左c〃=尸.

又左〃a,nila,nu/3,ku/,kc〃=P,所以a〃尸，故④正确.

所以②④正确.

故选：C.

二、多选题

5.（2022春•安徽芜湖•高一校考期中）已知夕，夕是两个平面，则下列条件可以得到，//£的是（）

A.平面a内的任何一条直线/,都有/c尸=0

B.平面。内有无数条直线与平面夕平行

C.平面a内任意一条直线与平面月内的任意一条直线都没有公共点

D.平面。内有两条相交直线都在平面夕外

【答案】AC

【分析】根据平面与平面平行的性质判断各选项即可.

【详解】若切勿不成立，则a与尸相交，那么与a内的任一条直线都与夕无公共点矛盾，故A、C正确;

对于B,平面/与平面夕也可能相交，故B错误；

对于D,在平面月外，可以是平行，也可以是相交，故D错误.

故选：AC.

6.（2023•全国•高一专题练习）如图所示，在平行六面体A8C。-ABCa中，点p,。分别为棱AB,

CD,3C的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（）

A.&M*//*D\PB.

c.AM•〃平面。CG。D.AM♦〃平面2尸。与

【答案】ACD

【分析】根据题意可证明AM〃尸2,由此可判断A、C、D选项；根据AM与平面AORA相交，平面BCC4

〃平面3CG片可知4M与耳。互不平行，由此可判断B选项.

【详解】连接MP,因为M，尸别为棱AB,CO中点，所以M/7/4O且MP=AD因为ABCD-A4G。为平

行六面，所以AD//4A且=所以加尸=4。且加产〃4口，故为平行四边形，\MHPD,,故

A正确；

因为"Pu平面。CG2，AME平面。CCQ，所以AM〃平面。CG2；同理4加〃平面2尸。耳，故c、

D正确

因为AM与平面相交，且平面BCC#//平面BCC由，所以AM与平面BCC出相交，又因为耳Qu平

面BCGq相交，所以AM与与Q互不平行.故B错误

故选：ACD

三、填空题

7.（2023•全国•高一专题练习）在正方体ABCD-\BXCXDX中，过&G，2三点的平面与底面ABCD的交线为I,

则直线/与4G的位置关系为.（填“平行”“相交”或“异面”）

【答案】平行

【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理确定正确答案.

【详解】根据正方体的性质可知：AG//AC,

由于AGO平面ABC。，ACu平面ABCD,所以AG〃平面ABCD,

由于平面4C]Bc平面ABCD=/,4Gu平面AGB,

所以〃/AG.

8.（2023春・全国•高一专题练习）如图，E、F、G、H分别为空间四边形A8C。的边AB、BC、CD、D4上

Ap

的点，且AC=6,BD=4,则当丁=时，四边形EFGH为菱形.

【分析】利用相似，得到当当=瞿=芸=*=1■时，EH=GF二BD=9,EF=GH昊AC=9,

DEDHnrDCJ25555

Ap3

即可得到当钎=:时，四边形EFGH为菱形.

BE2

【详解】解：F、G、H分别为空间四边形A2CD的边AB、BC、CD、D4上的点，且AC=6,BD=4,

・••当个=2=—=——时，EH//BD//FG,EF//AC//GH,且EH=GF=±BD=—,EF=GH=

BEDHBFDG255

.♦•当等=：时，四边形EFG”为菱形.

BE2

3

故答案为：—.

2

9.（2023・全国•高一专题练习）如图所示，△A8C和△48C的对应顶点的连线AV,BB，,CC交于同一点

口OAOBOC2

且市=方=丁nil则——•

【分析】根据线段题意可得：AB//AB,,AC//4C',BCHBC',得到平面ABC〃平面A'B'C',进而得到

NABC-.NAB'C',利用相似三角形的面积比等于边长比的平方即可求解.

「半融、..,,„OA_OB_2

【佯解】•A4cBB=。，且前

/.AB//AB',同理AC〃A'C',BC//BC'.

因为ABO平面A'B'C',A'B'U平面AB'C',所以AB〃平面AB'C',

同理可得：AC〃平面A'3'C',又因为ABcAC=A,且AB,ACu平面A3C,

所以平面ABC//平面A'8'C',

,/AB//AB,AC//Ac',ABAC=ZBAC,

同理NABC=NA'B'C'，

7ABe:VA"且彩喂W

4

故答案为：—.

四、解答题

10.（2022春.安徽芜湖.高一校考期中）如图，在正四面体S-ABC中，AB=4,E,F,R分别是S3,SC,

的中点，取SE,的中点N,点Q为平面S3C内一点

（1）求证：平面MAT?平面AEF

（2）若RQ，平面的，求线段RQ的最小值,

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）先由线面平行判定定理证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行即可;

（2）由面面平行确定点。在线段MN上，再求建V/?在边上的高，即尺。的最小值.

【详解】（1）'：M,N分别为SE,SF的中点，...MNEF,

又：MNu平面A£F,£Fu平面AEF,：.MN，平面A£7L

'：R,M分别为SA,SE的中点，；.RWAE,

又：平面尸，AEu平面AEF,RM'平面AEF,

又,：MNcRM=M,MNu平面MNR,RMu平面MM?,

平面MNRv,平面AEF.

由（1）知，平面肱\田，「平面AEE,

若平面SBC内存在一点Q,使RQ&平面AEF,则。在线段MN上,

线段RQ的最小值为R到直线MN的距离，即_MNR在边MN上的高，

,；E,P分别为SB,SC的中点，M,N分别为SE,M的中点，